CC BY
38
УДК 539.3
АЛГОРИТМ ДВИЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ЖЁСТКОСТИ В ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ НА ГРАНИЦЕ ВИНКЛЕРОВЫХ СРЕД
Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская
Сыктывкарский государственный университет, математический факультет,
167001, Сыктывкар, Октябрьский пр., 55.
E-mails: [email protected], [email protected]
Для решения проблемы устойчивости одномерных элементов конструкций на границе разномодульных упругих сред предложен алгоритм движения по параметру жёсткости одной из сред. Исследована эволюция трёхполуволновой собственной формы продольно сжимаемого стержня при граничных условиях шарнирного опирания и жёсткой заделки с учётом поперечных сдвигов по модели С. 77. Тимошенко.
Ключевые слова: устойчивость, спектральная задача, перебор вариантов.
Введение. Задачи на устойчивость одномерных элементов конструкций на границе разномодульных упругих сред винклерова типа при использовании конечно-разностной аппроксимации (на сетке размерностью т) приводятся к решению спектрального уравнения
где A, Q — ленточные положительно определённые матрицы (т — 1) х (т — 1);
С = Ь&\щ[сі(кіЬі + к2( 1 - Ьг)),..., ст-і(кіЬт-і + к2(1 - Ьт-1))]—матрица жёсткостей, к\, к2 — безразмерные параметры жёсткости; Л — собственное число.
Граничные условия задачи отражены в структурах матриц А и С}.
Спектральная задача (1) является неопределённой из-за того, что компоненты г Є {1,2, ...,т — 1}, вектора формы изначально неизвестны. Можно использовать следующий алгоритм нахождения первой собственной пары (числа и формы) уравнения (1). Задаётся некоторый вектор формы и решается соответствующая детерминированная спектральная задача. Запоминаются согласующиеся с выбранным вектором формы значения й] или —й] и отвечающие им собственные числа. После перебора всех возможных значений вектора формы, которые составляют 2т~1 вариантов, выбирается наименьшее собственное число и отвечающая ему собственная форма.
Евгений Ильич Михайловский (д.ф.-м.н., профессор), зав. кафедрой, каф. математического моделирования и кибернетики. Елена Владимировна Тулубенская, ст. преподаватель, каф. математического моделирования и кибернетики.
Aw + Cw = XQw
(1)
w = [wi,W2,...,wm-i}T, Wi = w(£i), & = hi, h = IT/m- b = [bi,b2,... ,bm- i]T b —вектор формы такой, что
(2)
Сформулированный алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) всегда приводит к искомому решению. Однако он наталкивается на т. н. «проклятие размерности» (curse of dimensionality, Bellman, R. E.): при использовании этого алгоритма, например, на сетке размерностью т = 100 потребовалось бы решать свыше Ю30 линейных спектральных задач.
Обойти названное препятствие в реализации алгоритма перебора вариантов позволяет предложенный в работе [1] комбинированный алгоритм «ППВ + ЛПВ» (ЛПВ — локальный перебор вариантов). Сначала на редкой сетке, т. е. такой, чтобы число 2т~1 было не слишком большим, реализуется алгоритм ППВ, и устанавливается отвечающая минимальному собственному числу качественно адекватная собственная форма, т. е. имеющая устойчивый с ростом m вид графика. А затем при последовательном удвоении числа интервалов сетки выполняется перебор вариантов лишь вблизи корней названной формы, т. е. реализуется алгоритм ЛПВ.
В данной работе предлагается альтернативный комбинированному алгоритм движения по параметру жёсткости одной из разномодульных упругих сред. Поясним этот алгоритм на примере продольно сжимаемого шарнирно опёртого стержня на границе винклеровых сред с параметрами жёсткости к\ = 20, к2 = 25. Сначала рассматриваем случай однородной упругой среды
с параметрами жёсткости к\ = к2 = к = 20. Собственные числа для этого случая определяются по формуле [2]
Выясним, какому п отвечает минимальное собственное число Ai при к = = 20. На основании формулы (3) получаем А(^ = 21, А(2) = 9, А(3) = 11,22, А(4) = 17,25. Отсюда следует, что Ai = А(2) = 9, Х2 = А(3) = 11,22, Аз = А(4) = = 17,25 и т. д. Таким образом, минимальному собственному числу (Ai = 9) отвечает двухполуволновая собственная форма.
Далее решаем эту же задачу с использованием конечно-разност-ной аппроксимации на достаточ- - „ ^
но густой сетке, например, т = \ ^
= 100. Получаем в рассматривав- ' N. \ 52 -----►
мом частном случае Ai = 9,0065. --------------|—V----1—-----1--------
Соответствующую этому числу 49 \ 50 \ 51
собственную форму рассматрива- \ ~ ~ *(1)
ем как качественно адекватную
для случая к\ = 20, к2 = 21. ~~-ь®
Используя формальный перебор ----~---__Ь(з)
вариантов, будем проверять на
соответствие следующие векторы Рис' 1
формы (рис. 1):
(3)
где п — число полуволн собственной формы
w(0 = Bsmn£, С є [0,7Г].
(4)
6(1) = {Ъг = 1, г Є {1, 2,... , 51}; Ъг = 0, і Є {52, 53,... , 99});
6(2) = {Ъг = 1, г € {1, 2,... , 50}; Ъг = 0, г € {51, 52,... , 99});
6(3) = {Ъг = 1, г € {1, 2,... , 49}; 6* = 0, г € {50, 51,... , 99}).
В случае к\ = 20, к2 = 21 век-
Таблица 1 торы формы не приво-
дят к согласованному решению, а варианту
Ь(2)
отвечает решение
21 22 23 24 25
}р) 1Р) ір) ір) ІР) }Р)
Аі 9,129 9,243 9,346 9,443 9,532
случай к\ = 20, к2 = 22, принимая для него за качественно адекватную форму, отвечающую случаю к\ = = 20, к2 = 21. Вариант Ь^ даёт решение Аі = 9,243. Продолжая процесс, получаем результаты, представленные в табл. 1.
1. Постановка спектральной задачи. Уравнение продольно-поперечного изгиба стержня имеет вид [3]
Е1и}1У = д — Щд" — Руо",
2 „II
(5)
где ЕІ — жёсткость стержня при изгибе; д — погонная поперечная нагрузка; Р —продольная сжимающая сила; Пф = ЕІ/цБ] ц, = Е/2(1+и), Е, и — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала стержня; Б — площадь поперечного сечения стержня; и/ = йиз/йх.
Уравнение (5) является уравнением Эйлера для функционала
,](иі)= I ( ]-Е1ии"2 — ^Ри}'2 — дъи + \(1х.
/п \2 2 /
(6)
Впредь считаем, что ось стержня расположена на границе винклеровых сред с жёсткостями с\ при и) > 0 и с2 при и: < 0. Тогда в соответствии с аксиомой связей имеет место
д = -С1«;+ - с2гу_, (7)
где ь]^, IV- — положительная и отрицательная срезки функции прогиба:
■ш, IV > 0,
из+
0, IV ^ 0,
и), ъи < 0.
0, и) ^ 0;
Подставив вместо д в уравнение (5) правую часть формулы (7), получим Е1уо1У + С1«;+ + с2«;_ — {с\и}+ + с2гу_)" = — Риз". (8)
Ограничимся рассмотрением одинаковых граничных условий на краях х = 0 и х = I, а именно граничных условий шарнирного опирания и жёсткой заделки.
В первом случае граничные условия имеют вид [3]
IV = 0, М = ЕІ(-уі)11 + 'ф') = 0 при х = 0, х = I, где ф — поперечный сдвиг по модели С. П. Тимошенко.
Принимая во внимание формулу ф' = —д/цБ и равенство (7), второе условие (9) можно преобразовать так:
ы" — ф' = ы"-------^(с11У+ + С2«;_) = ы" = 0.
цЬ
Таким образом, граничные условия шарнирного опирания при поперечной нагрузке в виде реакций винклеровой среды записываются так же, как и в случае классической теории изгиба балок:
IV = 0, IV11 = 0 при х = 0, х = I. (10)
Во втором случае граничные условия при учете поперечных сдвигов име-
ют вид
IV = 0, $ = —к/ +-0 = 0 при х = 0, х = I. (11)
Исключить из второго граничного уравнения (11) сдвиг не представляется
возможным. Поэтому ниже будем рассматривать граничные условия типа жёсткой заделки:
IV = 0, «/ = 0 при х = 0, х = I,
т. е. такие же, как и в случае классической теории изгиба балок.
Выполним в уравнении (8) и в функционале (6) при учете соотношения (7) замену по формулам
А 7Г п , 1АСг . 1 „ 12Р 2 К
[0,тг], г-1,2; х -
Обозначая теперь штрихом производную по £ и записывая функционал с точностью до постоянного множителя, будем иметь
ии1У + к\и}+ + к2У0- — к2(к^+ + к2'и)-)" = —\ъи", (12)
1 [ж
^(гу) = о / \р"2 + к\и}+2 + к2и}-2 + к2(к1и}++ к2и}-)и}" — \и},21\ (13)
2 .] о
Рассмотрим, в частности, случай к\ = = к. Уравнение (12) для одно-
родной винклеровой среды принимает такой вид:
ъи1У + (А — я2к)ь]" + къи = 0.
Учитывая, что спектральная задача при к2 = 0 и при граничных условиях (10) имеет решение (3), (4), сразу можно записать
к
А(га) = п2 Н—^ + я2к, ъи = В8\пп{;. (14)
Выявим значимость связанного с учётом поперечных сдвигов последнего слагаемого в формуле для А(га). Зададимся вопросом: при каком п отношение
Р{п)=я2к/А(га) (15)
принимает максимальное значение?
В результате элементарных преобразований устанавливаем, что тахР(га)
достигается при п = [у/Щ, где квадратные скобки означают целую часть заключенного в них числа. При этом само отношение (15) принимает вид
к2п2
та хР(ге) = ——
2 + жгпг
Если положить, например, к2 = 0,004, к = 104, то получим
тахР(га) = 0,1667 (16,67%).
2. Конечно-разностная аппроксимация. Заменим формулу (13) приближённой с использованием дискретного представления функции £ €
[0, 7г], на сетке Юг = ги(£г), г € {-1, 0, . . . , Ш + 1}, {г+1 = 6 + Л-, Ь = 7г/(т + 2), £_1 = 0, {т+1 = 7Г. Интегралы вычисляем по формуле трапеций, производные аппроксимируем следующими конечно-разностными отношениями:
I (& \ ^*+1 ^г—1 ц (/- \ ^г+1 2-Шг -\- "Шг—1
К() =------2Л------' Ш) =--------------№---------'
!. . Зш_1 -|- 4шо *Ш1 {,, ц]ш—\ 4шт -|- Зшт+1 , .
«- «-!) = --------^-----------, » («•*+.) = -----------^-----------• (16)
II . И)—\ 2'Шо + *Ш1 //✓ ._ ч ^гп— 1 2'Шт -|- Шт+1
™ (С-1) = --------Д2------> ™ = ----------Д2----------•
Значения срезок функции ги(£) в узлах сетки представляем соотношениями
(см. (2))
ад+(&) = ЬгЫг, г0_(^) = (1 - Ь^. (17)
Граничные условия шарнирного опирания ги(0) = ги^тт) = 0, «/'(0) =
= ъи,,(1т) = 0 в терминах дискретных значений функции ги(£) можно записать так:
и)-1=и)т+1=0, гу0 = 0,5гУ1, и)т = 0,5и)т-1. (18)
Аналогично граничные условия типа жёсткого защемления ги(0) = ъи(1г) = = 0, «/(0) = «/(71") = 0 имеют вид
и)-1=и)т+1=0, = 0,25гУ1, = 0,25гут_1. (19)
С учётом равенств (17) энергию деформации винклеровых сред (с точностью до постоянного множителя) можно представить формулой
Ь т~1 1
2 Е Ык^2г + *2(1 - Ьг)2)] ад2 = -адтСад, (20)
г=1
где гЬ = [101,102, • • • ,гот_1]т, С = [с^, ..., ст_1&т_1] , 6» = кгЬ +
+&г(1 — &г). (В выражении для матрицы С на основании (2) вместо Ь2, (1—Ьг)2 записано 6», 1 — 6^ соответственно.)
Функционал (13) в соответствии с формулами (16), (20) можно заменить следующим приближённым выражением:
где
(21)
7(го) 1 - 2 _Т л ~ 1 уи Ауи + - готС'іго — Яй),
Г ап «12 1
Й21 6 -4 1 0
1 1 -4 6 -4 1
¥ 1 -4 6 -4 1
0 1 -4 6 ^т—2,т— 1
_ 1 (1т—1,т—2 СЬт—1,т— 1
'Чи <712 -1
<721 2 0 -1 0
і -1 0 2 0 -1
4/г -1 0 2 0 -і
0 -1 0 2 Ят—2^т— 1
-1 Ят—1,т—2 Ят—1,т—1_
К
СцЪх 2
&1+&2 2
&1+&2
2_
-2 Ъ2
&2+&3
2
Ъгп — З+Ьт — 2
о
2ЬГп—2
Ьт — 2 Н~^т. — 1
о
Ьт —2+Ьт —1 2
Сщ— 1,т— 1 Ьщ— 1
В матрицах в зависимости от вида граничных условий следует полагать:
Я.Ц = (1т—1>т—1 = 3,25, Я>12 = Я-21 = 0"т—1,т—2 = &т— 2,т— 1 = 3,5;
<?11 = Чт—1,т—1 = 2,75, 512 = (?21 = Чт—1,т—2 = Чт—2,т—1 = 0,5;
С1 — Сц — Ст— 1 — ! — 1,5
при шарнирном опирании краев;
Я.Ц = = 4,4375, Я>12 = Я-21 = Чт—1,т—2 = Ото—2,т—1 = 3,75;
<?11 = Чт—1,т—1 = 2,0625, 512 = (?21 = Ят—1,т—2 = Ят—2,т—1 = 0)25;
С1 — Сц — ст—1 — ст—\т—\ — 1,0625
при жёстком защемлении краев.
Необходимое условие минимума функционала (21) имеет такой вид:
\7wJiw) = Ай) + С\гй — \С}гй = 0.
При отсутствии симметрии балки относительно сечения х = 1/2, осуществляя переход от винклеровых сред с жескостями к\, к\ + хАк к случаю к\, к\ + (г + 1)Ак, приходится выполнять локальный перебор вариантов вектора формы вслепую, например, по первой или второй схеме ЛПВ [1]. Однако
в случае одинаковых граничных условий на краях х = О, х = I число вариантов сокращается в связи с предсказуемостью эволюции собственной формы при увеличении жёсткости к2. Например, во введении рассматривались три «возможных» варианта вектора формы Ь^, Ь^3\ Однако очевидно, что
при увеличении жёсткости к2 точка, являющаяся корнем собственной формы, может перемещаться по оси £ лишь вправо (см. рис. 1) и поэтому форма Ьне является возможной.
Несложный анализ эволюции собственной формы позволяет минимизировать число вариантов вектора формы для симметричной относительно сечения х = 1/2 конструкции.
Пусть собственная форма при к\ = к2 = к имеет р = п — 1 корней и пусть при жёсткостях к\, к\ + хАк ^’-тый корень собственной формы принадлежит интервалу (С^,С^+1)- Тогда при переходе от случая к\, к\ + гАк к случаю к\, к\ + (г + 1)Д&; достаточно рассмотреть следующие варианты:
- р — чётное число:
=
П,
0,
1,
0,
1,
П,
0,
1,
0,
1,
- р — нечетное число:
Ц(!) -
1,(2)
г € г € г €
г € г €
г € г € г €
г € г €
1,2,...,51};
•§1 + 1)51+2,..., §2};
52 + 1, §2 + 2,. . . , ^3};
Эр— 1 + 1, 1 + 2, . . . , },
+ 1, + 2,..., т — 1};
1, 2,... , £1 + 1};
•§1 +2,,3\ + 3,... ,,з2 — 1};
«2, ^2 + 1, • • •, ^з + 1};
вр—1 + 2, вр— 1 + 3,..., 1Эр 1},
+ 1,... ,т - 1};
п, г € 1,2,...,51};
о, г € .^1 + 1, §1 + 2, ,52};
1, г € 52 + 1) 52 + 2, ,53};
1, г € 5р—1 + 1) 5р_1 + 2,... 5 р};
,о, г € 5р + 1, + 2, , т - 1};
(1, г € 1, 2,... , §1 + 1};
0, г € _$1 +2,81 + 3, ,52 - 1};
1, г € 52) 52 + 1, • • • вз +1};
1, г € 5р—1 + 2, .§р—1 + 3,... 5 р ~ 1}!
[о, г € 5р + 2, £р + 3, , т - !}•
(23)
3. Примеры применения алгоритма движения по параметру жёсткости.
Рассмотрим задачу об устойчивости шарнирно опёртого стержня на границе винклеровых сред. Нетрудно убедиться, что при к2 = 0, к = 36 минимальному собственному числу отвечают две собственные формы, так как Аі = А(2) = = А(з) = 13 (см. (3)). Поэтому, задавшись целью исследовать эволюцию трёхполуволновой собственной формы при к2 —У оо, примем к\ = 37. Тогда в случае однородной винклеровой среды к\ = к2 = 37 в соответствии с (14) при к1 = 0,004 получим А(і) = 38,15, А(2) = 13,40, А(3) = 13,26, А(4) = 18,46. Таким образом, имеем Аі = А(3) = 13,26. В этом случае р = 2 и формулы (23) принимают такой вид (см. рис. 2):
Г1, І Є {1,2,...,ві}; ь\ ^ = % 0, г є {«і + 1, «і + 2,..., ^2};
[і, г Є {«2 + Мг+2,... ,т - 1};
Г1, * Є {1, 2,..., «і + 1};
ь\ ^ = < 0, г Є {«і + 2, «і + 3,... , в2 — 1};
[і, г Є {«2,«2+ !,-•• ,т - 1}.
Приближённое решение на основе конечно-разностной аппроксимации при т = 100 для случая к\ = к2 = 37, я2 = 0,004 имеет вид Аі = А(3) = 13,286. При этом корни собственной формы содержатся в интервалах (£зз,£з4)) (Сбб,Сб7) и формулы принимают такой вид:
[і, г Є {1,2,...,33}; [і, г Є {1, 2,... , 34};
Ь\Г] = < 0, г Є {34,35,... ,66}; ъ\2) = <0, і Є {35, 36,... , 65};
[і, і Є {67,68,... ,99}; [і, і Є {66, 67,... , 99}.
Выборочные результаты расчётов представлены в виде табл. 2 и рис. 3.
Таблица 2
37 50 60 80 100
А 13,286 13,681 13,888 14,174 14,366
Собственная форма 1 2 3 4 5
> Сяі + і] [Ся2, Ся2 + і] [£33, бм] [£б6, Сбг] [£з4; Сзб] [С65, £бб] [£з5, £зб] [С64, Сбб] [£зб, Сзг] [С63, £б4] [£37, £зв] [£б2, £бз]
7г/4
7г/2
Зтг/4
7г/4
7Г/2
Зтг/4
Рис. 3
Рис. 4
Таблица 3
62
63
64
65
66
Вектор формы
Ъг =
Рассмотрим теперь аналогичную задачу для жёстко защемленного стержня. Как известно [2], в случае жёстко защемленного стержня использование аналитического решения сопряжено с выполнением громоздких численных расчетов. Поэтому для установления значений параметра жесткости к = к\ = &2, при котором на смену собственной формы, имеющей одну точку пересечения с осью £, приходит форма с двумя точками пересечения (условнотрехполуволновая), проводился численный эксперимент. Некоторые результаты этого эксперимента приведены в табл. 3.
Далее применялся алгоритм движения по параметру жёсткости, начиная с к = 65. Результаты расчетов приведены в табл. 4 и показаны на рис. 4.
19,975
20,137
20,299
20,414
20,518
Ъг =
1, г€ {1,2,... ,50}
0, г € {51,52, ..,99},
1, *€{1,2,.. ,50}
0, г € {51,52, ..,99}
1, *€{1,2,.. ,50}
0, г € {51,52, ..,99}
'1, *€{1,2,.. ,33}
0, г € {34,35, ...,66}
Л г € {67, 68, ...,99}
'1, *€{1,2,.. ,33}
0, г € {34,35, ...,66}
Л г € {67, 68, ...,99}
Таблица 4
65 70 80 100 130
Л 20,414 20,731 21,276 22,124 23,016
Собственная форма 1 2 3 4 5
[£з1, ^81+1] [Ся2? Ся2 + 1] [£зз, бм] Кбб, Сбг] [£зз, бм] [С66, Сбг] [бз4, бзб] [С65, ббб] [£зб, бзб] [С64, ббб] [бзб, £37] [С63, Сб4]
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-01-00178-а) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГЗ № 02.740.11.0618).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Михайловский Е. И., Тулубенская Е. В. Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче // ПММ, 2010. Т. 14, № 2. С. 299-310; англ. пер.: Mikhailovskii Е. Tulubenskaya Е. V. An algorithm for the local exhaustive search for alternatives in an essentially non-linear eigenvalue problem // J. Appl. Math. Mech., 2010. Vol. 74, no. 2. Pp. 214-222.
2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
[Vol’mir A. S. Stability of Deformable Systems. Moscow: Nauka, 1967. 984 pp.]
3. Михайловский Е.И., Тарасов B.H. Конструктивно-нелинейная механика пластин и оболочек// Вестн. Сыкт. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф., 2010. №12. С. 3-32. [Mikhailovskii Е. Tarasov V. N. Constructive-nonlinear mechanics of plates and shells // Vestn. Sykt. un-ta. Ser. 1. Mat. Meh. Inf., 2010. no. 12. Pp. 3-32].
Поступила в редакцию 07/XI/2010; в окончательном варианте — 17/VIII/2011.
MSC: 74H15; 74G60, 74B20
ALGORITHM OF MOTION ON THE PARAMETER OF RIGIDITY IN STABILITY PROBLEM ON THE BORDER OF WINKLER’S MEDIUMS
E. I. Mikhailovskii, E. V. Tulubenskaya
Syktyvkar State University, Faculty of Mathematics,
55, Oktyabrskii pr., Syktyvkar, 167001, Russia.
E-mails: emichSinbox.ru, [email protected]
To solve the stability problem of one-dimensional elements of construction on the border of different elastic ambiences the algorithm of motion on the parameter of one ambience is suggested. Evolution of triple half-wave eigenform of longitudinal compressed rod is studied according to S. P. Timoshenko model’s using boundary conditions of articulate and rigid fixing.
Key words: stability, spectral problem, brute-force search.
Original article submitted 07/XI/2010; revision submitted 17/VIII/2011.
Evgeniy I. Mikhailovskii (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept, of Mathematical Model & Cybernetics. Elena V. Tulubenskaya, Senior Teacher, Dept, of Mathematical Model & Cybernetics.
