CC BY
15Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 12.2010
УДК 539.3
КОНСТРУКТИВНО-НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК1
Е.И. Михайловский, В.Н. Тарасов
Излагается вторая часть статьи (первая часть опубликована в предыдущем выпуске настоящего "Вестника": 2010. - Вып. 11. - С. 5-51.), посвященная устойчивости и закритическому поведению конструкций и сооружений при односторонних ограничениях на перемещения. Статья, как было сказано в предисловии, является обзорной, однако изложенный в данной части метод движения по параметру жесткости упругой среды, публикуется впервые.
3. Устойчивость упругих систем в условиях конструктивной нелинейности
3.1. Локальный метод поиска
собственных значений положительно однородного оператора
3.1.1 В монографии [49] сказано следующее: "Типичный случай длинного стержня на упругом основании представляют, например, сварные рельсы. При высоких температурах может возникнуть в таких рельсах значительное сжимающее усилие; поскольку свободному поперечному выпучиванию препятствует мостовая, рельсы могут выпучиваться по волнистой линии, если поперечное сопротивление окажется недостаточным". Закономерен вопрос: пНа каком основании при математической формулировке задачи на устойчивость продольно сжимаемых рельсов жесткости при движении пв мостовую"и пиз мостовой" принимаются одинаковыми? Из простых умозрительных соображений следует признать, что считать названные жесткости одинаковыми, оснований нет.
1Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-01-00178-а
© Михайловский Е.И., Тарасов В.Н., 2010.
Иными словами, при принятии гипотезы Винклера уравнение продольного изгиба рельса следует представлять в виде
Е1ии1У + + = —Рии". (3.1)
а не так, как его традиционно записывают (см., например, форм. (3.106) [41]):
Е1ио1У + сии = -Рио". (3.2)
Выше использованы обозначения: Е1- жесткость стержня при изгибе; Р- продольная сжимающая сила; сх, С2, с - жесткости винклеровых сред; ги — ги_- срезки функций прогиба:
= ™ > ° гю = 1°' ™ " ° (3 3)
|0, V) < 0 ' |гу, V) < 0 ' 1 ' )
Спектральные задачи на основе уранвения (3.1) можно обобщить так: найти нетривиальное решение операторного уравнения
Л(и) = Аи + Ви+ + Си_ = \<^и (3.4)
где А- линейный оператор, порожденный дифференциальным выражением с четными (вообще, говоря, обобщенными) производными от функции и(М), М Е со старшей производной 2к и граничными условиями вида
(Ци)(М) = 0, зе\\к, МедП (3.5)
(I- линейные дифференциальные выражения с порядком старшей производной не достигающим 2к); ф- линейный оператор, порожденный дифференциальным выражением со старшей производной порядка 2(к — г), г > 1 и граничными условиями (3.5); В, С- операторы умножения на неотрицательную функцию.
Таким образом, ставится задача: найти нетривиальное решение уравнения (3.4) на множестве функций
ПА = {иеСРк\П):(Ци)(М)=0, зе\ :к, М Е дП} . (3.6)
Обозначим множество функций, суммируемых с квадратом вплоть до к-ой обобщенной производной и удовлетворяющих граничным условиям (3.5), через Щк)(П) Известно [50, 43], ЧТО - полное гильбертово пространство в котором И а является плотным множеством. Учитывая, что Л (аи) = аЛ (и) при а > 0, сформулированную задачу можно
отнести к проблеме собственных значений положительно однородных операторов.
Норму и скалярное произведение в пространствах И7^ = Н и Ь2{р) будем обозначать так:
1М|я, (щу)н1 \\u\l (и, V). (3.7)
Имеют место соотношения
ЯсЬ2(Я), \\и\\н > Со\\и\\, Со > 0, (3.8)
т.е. пространство Н ограничено вкладывается в пространство Ь2(&) [50,43].
Проблеме собственных значений положительно однородного оператора можно дать вариационную формулировку: найти и(М), такие, что
¡(и) —У тт, 971 = {и £ Н : д(и) = 1}, (3.9)
где введены обозначения
/(«) = ±(/Ч и), Г и = А(и)- д(и) = \(Ящ и). (3.9')
Ниже предполагаем, что (после соответствующего расширения) А : Н —у Ь2 - положительно определенный самосопряженный оператор; : Н —у Ь2(&) - положительный вполне непрерывный (компактный) оператор. Это означает, что для всякого и из Н выполняются неравенства
(Ащи)н > 12\\и\\2н] (<^и,и)н> 0 ^иф 0. (3.10)
Пусть далее
6(М), с(М) е Ь2(П), Ь(М) > 0, с(М) > 0 (3.11)
Тогда под операторами умножения в (3.4) будем понимать отображения В : и —У Ьи^ С : и —У си^ и е Н, Ъи,си е Ь2(&). (3.12)
Можно показать [10,51], что множество 971 в силу компактности оператора является слабо замкнутым, т.е. ему принадлежит предел любой слабо сходящейся последовательности {ип} С 971 и что /(и)- непрерывный сильно выпуклый на 971 функционал, т.е. для любых и, V £ 971 выполняется неравенство
/И >/(у) + а'у,и-у)+^\\и-у\\2н, ¡1> 0. (3.13)
Таким образом, задача (3.9) разрешима, так как непрерывный сильно выпуклый функционал достигает своего минимума на любом слабо замкнутом множестве [37].
Пусть ирешение задачи (3.9).Тогда, используя правило множителей Лагранжа, можно записать
fu* = \Qu*, g{u*) = 1. (3-14)
Функции из удовлетворяющие условиям (3.14), будем на-
зывать стационарными точками задачи (3.9).
И, наоборот, если w* ф 0 - решение уравнения (3.4), то и* — — w*/\/9(w*) ~ стационарная точка функционала f(u) на множестве Ж
3.1.2 Для нахождения стационарных точек задачи (3.9) можно использовать следующий итерационный процесс. Предположим, что найдено j-oe приближение Uj G Аj £ R . Ввведем в рассмотрение множество
Щ = |и е W$k\il) : (Quj.u-uj) = о} (3.15)
и найдем элемент
üj+1 = arg min f(u). (3.16)
Элемент üJ+i, доставляющий минимум выпуклому функционалу f(u) на выпуклом множестве 97tj, очевидно, существует. Необходимое условие выполнения условия (3.16) можно записать в виде
f'uj+i = Xj+iQuj, \{Quj, 1) = 1. (3.17)
Учитывая, что на основании (3.17) справедливы равенства
/(üj+i) = K/4'+büi+i) = \\j+i{Quj,üj+1) = Aj+i,
(j + l)-oe приближение определяется так:
иэ+1 = = Д^+1)- (З-18)
Изложенный алгоритм назван авторами локальным методом поиска собственных чисел положительно однородного оператора [52] (ниже для краткости - локальный метод ). Локальный метод позволяет найти какое-либо, необязательно минимальное, собственное число. В работах [10,51] приведено доказательство сходимости и обсуждаются вопросы
модификации локального метода с целью получения минимального собственного числа.
3.1.3. Уравнение (3.1) можно преобразовать к следующему виду:
ги1У + + к2уо_ = -Аю", (3.19)
где использованы обозначения
. ^ тг . 7П Р12 7 /4с; ,
™ =ж 5 = 1Х' хе1"Л Х = = (ЗЛ9)
□ В названии статьи объектами исследования названы пластины и оболочки. Уравнение (3.19) описывает "продольный" цилиндрический изгиб пластины, под действием сжимающего усилия Тс, если положить
Т 12 1Ас-
или осесимметричное выпучивание цилиндрической оболочки, длиной /, толщиной к и радиусом Д, если
Поэтому естественно рассмотреть простейший элемент конструкции -стержень. ■
Можно показать, что операторы
г/4 г/2
л П —
Л =371, Я = -на множестве функций
ВА = {ш £ С(4)[0,тг] : ги(0) = ги(тт) = 0, г</(0) = гу;(тг) = 0} , плотном в гильбертовом пространстве
ж2(2)(0,тг) = {гу е н/2(2) : ™(0) = гу(тт) = 0, г</(0) = гу;(тг) = о} ,
удовлетворяют условиям, обеспечивающим сходимость локального метода.
Таким образом, задача (3.9) допускает следующую формулировку:
1 Г*
/М = о/ + к1ии\ + к2ии2_Щ * Л
теш
>(0,1) : g(w) = 1, } g(w) = ± J* w'2d£. (3.20) При этом (j + 1) - ое приближение определяется соотношениями
Wj+1 = arg min f(w),
Ш3 = jw e W"2(2) : ^ w'3(w' - w'3)di = o| ,
wi+1 = ^j+i/^^J+i)' AJ+i = /K'+i)- (3.21)
При использовании конечномерной аппроксимации процесс (3.21) сводится к решению последовательности задач невыпуклого квадратичного программирования.
В табл. 3.1 представлены результаты расчетов первого собственного числа Pj для продольно сжатого шарнирно опертого стержня (см. уравнение (3.19)), полученные с применением локального метода на сетке размерностью т — 34 при фиксированном значении параметра жесткости fei, (ki — 16), и значениях параметра к2, изменяющихся от 18 до 810 [11]. Соответствующие собственные формы показаны на рис. 3.1.
Таблица 3.1
к2 18 90 150 810
Pi 8.338 9.842 9.956 10.105
Ai 8.309 9.797 9.909 10.055
Форма прогиба 1 2 3 4
Если прогибы стержня ограничены с одной стороны абсолютно жестким основанием к2 —> ос, то задача (3.20) трансформируется в следующую:
1 Г* //
fo(w) — ~ (w 2 + kiw2)d£ —у min ,
2 J0 we?ßio
mo = {we wP(0,тг) : g(w) = 1, w > o} ,
g(w) = lj\'4 = 1. (3.22)
Задача (3.22) допускает аналитическое решение [51]. Введем обозначения
mi = \l — + \/ •— - о;, т2 = \1 — - \/ ^ - о;,
л/з 7Г kl 2 Р
= и = Ё~Г р =ш-
w 0.2 0
-0.2
О тг/4 тг/2 Зтг/4 £ 7Г
Рис. 3.1.
Если /2 < то длина части стержня, отошедшей от жесткой стенки. Критическая сила в этом случае определяется формулой Ркр = = 2.Ътт2Е1л/к[/12, а собственная форма имеет вид
w(x) = Asin3(m2x)6(/2-х), А > 0, хе[0,1] (3.24)
(В(-)-функция Хевисайда).
Если же /2 > то ограничение w(x) > 0 не влияет на решение задачи. Критическая сила при этом определяется из уравнения
2mim2(l — cosmi/sinm2/) {m\ + m\) sinmi/sinm2/ = 0. (3.25)
3.1.4. Задача (3.22) имеет очевидное обобщение:
f(u) = \{Au,u) —> min
uem
ш = \u g - g(u) = i, ^ > o|,
(3.23)
д(и) = \{Ящи) = 1. (3.26)
Можно показать, что при свойствах, которыми наделены выше операторы А и (3, локальный метод, будучи примененным к задаче (3.26), сходится. В частности, решение задачи (3.22), полученное с использованием локального метода, хорошо согласуется с аналитическим решением (3.23)-(3.25).
Для проверки того, является ли найденное локальным методом собственное число минимальным, можно после нахождения А* = Ит/(щ) при к\—^ос дополнительно рассмотреть следующую задачу:
Л(гх) = \{{А-КО)и,и) —> тт, (3.27)
где
и(М)>0УМеП. (3.27')
Если /1(11) > 0 для всех неотрицательных и(М) , то А* является минимальным числом, при котором задача (3.27) имеет нетривиальное решение, и носит смысл критической нагрузки.
Задачи на устойчивость упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения могут быть исследованы аналитически лишь в редких случаях (см., например, [12,53]). При численном решении задачи (3.26) с использованием конечномерной аппроксимации приходится иметь дело с задачей нелинейного программирования следующего вида:
(3.28)!
(3.28)2 (З.28)3
Куна-Таккера и Х{ > 0, г е
Ах, - + ЛА = (3.29)1
1=1
Аг(6г,х*) =0, ге1 :т, (3.29)2
= 1. (3.29)з
Умножая скалярно уравнение (3.29)1 на вектор х* и учитывая равенства (3.29)2, (3.29)з, получаем
/(я*) = = А*. (3.30)
/(х) = —>
д{х) = = 1,
(Ьг? х) < 0, % е 1 : т.
Пусть х* - решение задачи (3.28). Тогда по теореме (см., например, [54]) найдутся множители Лагранжа А* б1:ш, такие, что
Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами (3.28)з. Так как при х G Г, д(х) — 1 выполняется условие f(x) > /(#*) = А*, то для этих векторов
\((А - АQ)x, х) = \(Ах, х) - х) > А* ~ А. (3.31)
Введем в рассмотрение матрицу G(А) = А — АQ. Из (3.31) следует, что для всех Л < А* матрица G(А) положительно определена на конусе Г. И, наоборот, если Л > А*, то существует вектор х G Г, такой, что
(G(\)х,х) < 0.
Следовательно, нахождение решения задачи (3.26) сводится к отысканию числа Л, такого, при котором нарушается условие
(G(\)x,x) >0 Vx G Г.
Иными словами, механическая проблема устойчивости упругих систем при жестких ограничениях на перемещения сводится к математической проблеме идентификации положительной определенности квадратичных форм на конусах.
Необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичной формы в важном частном случае, когда Г представляет собой положительный орнант в i?n, т.е.
Г = {х G Rn : xv > 0, i/el :п},
установлены в работах [55,56]. Использование этих условий сопряжено с вычислением большого количества определителей (в общем случае 2п) и является крайне трудоемким.
Задача нелинейного программирования, в которую переходит вариационная задача (3.27) в результате конечномерной аппроксимации, невырожденным линейным преобразованием z = Vx трансформируется в задачу сепарабельного невыпуклого квадратичного программирования
1 п
- V fijyzl —> min, (V*bi, z) < 0, г G 1 : га,
Z z—' z£Rn
u=l
для нахождения решения которой можно рекомендовать применение метода ветвей и границ [57].
3.1.5 Рассмотрим прямоугольную пластину с областью срединной поверхности ^ = {0 < х < а, 0<2/<6}, нагруженную по краям х — 0, х — а нормальными усилиями Т0 и по всем краям- касательными усилиями S0 при граничных условиях жесткой (подвижной) заделки
или шарнирного опирания. Предполагаем, что перемещения по линиям у — 60, У — (0 < 60 < &i < 6), ограничены абсолютно жесткими тонкими ребрами одностороннего действия. Тогда по аналогии с (3.22) рассматриваемую задачу можно сформулировать так [58]:
d0 fa fb
U = — / / [(Дг^)2 — (1 — w)]dxdy —> min,
2 JoJo «ешг
ая = |гу g ' g(w) = 1, (Г^гу)(М) =0, ¿ = 1,2, M e Ш,
w(x,b0) > 0, гг;(х, bi) > o|,
= I f f (T0wfx2 + 2S0wfxwfy)dxdy = 1. (3.32)
^ Jо </o
Если г^* - решение задачи (3.32), то критические силы определяются по формулам
= A*T0, = ЛА* = U(wж).
Для решения задачи (3.32) применялся локальный метод с последующей проверкой результатов методом ветвей и границ. Прогиб пластины аппроксимировался двумерными интерполяционными кубическими сплайнами. Для шарнирно опертых краев использовалась также аппроксимация частичной суммой ряда Фурье.
В табл. 3.2 приведены результаты вычислений при следующих значениях параметров: dö = 1, а = 1,6 = 0.2, т = 20, п = 10 (m, п - число точек сетки, соответственно по х и по у, используемой при строении интерполяционного сплайна). При этом принимались следующие обозначения:
Л11} — собственное число для шарнирно опертой пластины без ограничений на прогиб, аппроксимируемый тригонометрическим рядом;
Л<2),Л<3) — собственные числа для шарнирно опертой пластины, подкрепленной жесткими ребрами по линиям у — Ь0 = 6/3, у — Ъ\ — 26/3 при аппроксимации прогиба соответственно рядом Фурье и сплайнами;
Л^ — собственное число для пластины с подвижным жесткими краями без ограничений на прогиб при аппроксимации сплайнами;
Л15) — собственное число для пластины с подвижными жесткими краями, подкрепленной ребрами по линиям у — 60 = 6/3, у — Ъ\ — 26/3, при аппроксимации сплайнами.
Таблица 3.2
3;1 2;1 1;0 1;1 1;2 1;3 1;4 1;5
№ 313.0 444.6 988.4 723.6 492,1 366.1 290.3 240.1
№ 357.2 514.9 1106 869.2 607.6 449.0 354.7 293.1
№ 357.4 515.7 1107 871.0 599.6 443.2 351.0 288.7
я!4) 551.0 775.7 1757 1237 827 611.5 485 399.2
л(,5) 750.2 1049 2384 1640 1079 790.5 623.6 513.7
Формы потери устойчивости пластины с жестко защемленными краями при Т0 = 3, = 1 показаны на рис. 3.2, а (без ограничений на прогиб) и 3.2, б (жесткие ребра при у — Ь/3,у = 26/3 ). При отсутствии ребер выпуклости имеются по обе стороны срединной плоскости недеформированной пластины (см. рис. 3.2, а), а при наличии ребер выпуклости расположены по одну сторону срединной плоскости (см. рис. 3.2, б).
Рис. 3.2.
Изложенная выше задача в работе [59] была переформулирована (усложнена) следующим образом. Вместо абсолютно жестких ребер рассматривалась система из к упругих "ребер", реагирующих на поперечное выпучивание пластины в сторону ии < 0 как одномерные винкле-ровы основания (ребра) с жесткостями эе Е 1 : к. При этом автор ограничился рассмотрением случая шарнирно опертой пластины. Для решения уравнений Кармана формально расписывалась итерационная схема стационарного метода Ричардсона [60], которая в последующем распространялась на задачи минимизации соответствующих энергетических функционалов. Искомые функции ъи(х, у), Ф(х, у) при переходе к конечномерной аппроксимации приближались кубическими сплайнами
двух переменных [61]. В результате исходная проблема устойчивости и закритического поведения пластины при односторонних упругих ограничениях свелась к решению двух задач выпуклого квадратичного программирования. Результаты численных экспериментов представлены в виде графиков с использованием линий уровня.
3.2. Комбинированный алгоритм „ППВ+ЛПВ"
Алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) для решения одномерной спектральной задачи (3.1) впервые применялся в работе [58]. Поясним порядок реализации алгоритма ППВ. Уравнение (3.2), преобразованное к виду (3.19), с использованием конечно-разностной аппроксимации на сетке с узлами ^ = г/г, г Е 0 : т, К — 1т/т заменяем однородной системой алгебраических уравнений. Некоторая интрига в этой, вообще говоря, рутинной процедуре связана с аппроксимацией подчеркнутых в уравнении (3.19) нелинейных слагаемых. Введем т.н. вектор формы
& = (з.зз)
где 0 - знак транспонирования,
10, ъи < 0
С использованием компонент вектора формы названные нелинейные слагаемые аппроксимируются с помощью формул
= = С1 - (3.34)
В окончательном виде аппроксимирующаяся система алгебраических уравнений содержит 2т — 1 неизвестных:
Е 1 : т — 1 — компоненты искомого вектора ш = [г^,
Ь^, г Е 1 : т — 1— компоненты вектора формы, рассматриваемые
как параметры системы уравнений; А — собственное число, т.е. такое, при котором определитель линейной однородной системы уравнений обращается в нуль.
Придавая параметрам Ь^ значения 0 или 1 в различных сочетаниях, придем к 2Ш_1 вариантам вектора формы. Фиксируя тот или иной вариант вектора формы, будем иметь детерминированную спектральную
задачу в Решив ее, запоминаем собственное число и собственную
форму уо (или — гй), если последняя согласуется с выбранным вектором формы. После перебора всех вариантов вектора формы определяем наименьшее собственное число для сетки размерностью га. В общем случае в зависимости от га алгоритм ППВ позволяет находить не только первое собственное число, но и часть собственного спектра. Однако практическая реализация алгоритма ППВ наталкивается на ситуацию, которую Р. Беллман называл "проклятием размерности": при использовании этого алгоритма "вслепую"на сетке размерностью га необходимо решать 2т~1 линейных спектральных задач в
В работе [62] предложен комбинированный алгоритм "ППВ+ЛПВ" (ЛПВ - локальный перебор вариантов) который заключается в следующем. Сначала на редкой сетке, т.е. такой, чтобы 2т~1 было не слишком большим числом, реализуется алгоритм ППВ и устанавливается качественно адекватная собственная форма, имеющая устойчивый с ростом га вид графика (например, собственная форма с двумя полуволнами). Затем применяется алгоритм ЛПВ, который заключается в том, что число узлов сетки последовательно удваивается делением пополам, а перебор вариантов производится лишь вблизи корней эволюционирующей собственной формы. Процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой (и достижимой) точностью.
При этом могут быть использованы две схемы перебора вариантов.
Первая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения графиком приближенной собственной формы оси £ не выйдет за пределы интервала [£г?£г+1]- По этой схеме для каждого корня собственной формы реализуются два варианта вычислений (рис. 3.3):
1)62^+1 = 1, 2)62^+1 = 0. (3.35)
Таким образом, при наличии р корней собственной формы перебору подлежит 2Р вариантов вектора формы.
Вторая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения графиком собственной формы оси £ может выйти за пределы интервала, в котором она располагалась до удвоения числа узлов сетки (см. рис. 3.3).
Вторая схема сводится к перебору четырех вариантов для каждого корня собственной формы:
1) Ь21 = &2г+1 = &2г+2 = 0,
--"--\—-\—-Л—--* с
6-1 \ 6 \ \6+1 \ 6+2 ^
Рис. 3.3.
2) &2» = 1, &2г+1 = &2г+2 = О,
3) Ъ2г = &2г+1 = 1, &2г+2 = О,
4) Ъ2{ = &2г+1 = &2г+2 = 1. (3.36)
При наличии р корней собственной формы реализация второй схемы ЛПВ предполагает перебор 22р вариантов собственного вектора.
Обратимся вновь к табл. 3.1, где (наряду с Р/) приведены значения первого собственного числа Ах, полученные с применением первой схемы ЛПВ (ППВ при т — 8 , ЛПВ при т = 16,32). Как уже было сказано параметр к\ фиксировался (к\ — 16) , а параметр к2 изменялся от к2 = 18 до к2 = 810.
Из рис. 3.1 видно, что полуволна ъи < 0 с ростом как бы вытесняется в сторону винклеровой среды меньшей жесткости.
С учетом того, что локальный метод и комбинированный алгоритм перебора вариантов оценивают собственные числа сверху, можно заключить о более точной оценке первого собственного числа при использовании алгоритма "ППВ+ЛПВ'^Ах^) <
С применением алгоритма ППВ решалась задача об устойчивости осесимметрично изгибаемой круглой пластины на границе винклеро-вых сред от действия равномерно распределенной по контуру радиаль-но сжимающей нагрузки [63]. Позднее эта же задача исследовалась с помощью комбинированного алгоритма ПППВ+ЛПВП [64]. Последний из названных алгоритмов применялся также для решения задачи на устойчивость в рамках осесимметричной деформации продольно сжимаемой цилиндрической оболочки (в частности, с учетом поперечных
сдвигов по модели С.П. Тимошенко) при внешних и внутренних односторонних ограничениях винклерового типа [66-68].
3.3. Алгоритм движения
по параметру жесткости 3.3.1. Иллюстрация применения алгоритма
Ниже излагается алгоритм движения по параметру жесткости одной из разномодульных упругих сред, альтернативный комбинированному алгоритму „ППВ+ЛПВ".
Поясним этот алгоритм на примере продольно сжимаемого шарнир-но опертого стержня на границе винклеровых сред с параметрами жесткости к\ — 20, к2 = 25. Сначала рассматриваем случай однородной упругой среды с параметрами жесткости к\ — к2 = к = 20. Собственные числа для этого случая определяются по формуле [41]
(3.37)
где п - число полуволн собственной формы
ги(£) = Ввтп£, £ Е [0,тг]. (3.38)
Выясним, какому значению п отвечает минимальное собственное число Ах при к = 20. На основании формулы (3.37) получаем
А(х) = 21, А(2) = 9, А(з) = 11.22, А(4) = 17.25.
Отсюда следует, что
Ах = А(2) = 9, А2 = А(з) = 11.22, А3 = А(4) = 17.25 и т.д.
Таким образом, минимальному собственному числу (Ах = 9) отвечает двухполуволновая собственная форма.
Далее решаем эту же задачу с использованием конечно-разностной аппроксимации на достаточно густой сетке. В данном случае принимаем т — 100 и получаем Ах = 9.0065. Соответствующую этому числу собственную форму рассматриваем как качественно адекватную для случая к\ — 20, к2 — 21. Используя перебор возможных вариантов, будем проверять на соответствие следующие векторы формы:
АМ = ^ +
7Г
£
М1) = (Ьг = 1, г е 1 : 51; 6» = 0, г е 52 : 99), М2) = = 1, г е 1 : 50; = 0, г е 51 : 99), ¿(3) = = 1, г е 1 : 49; Ьг = 0, г е 50 : 99).
Рис. 3.4.
--- 6<2>
Ь(3) В случае А^ = 20, = 21 векторы формы
50), 6(3)
не приводят к согласованному решению, а непротиворечивому варианту
¿,(2)
отвечает собственное число Ах = 9.129. Полученную при этом собственную форму принимаем за качественно адекватную для случая к\ — 20, к2 = 22. Вариант
6(2) дает решение Ах = 9.243. Продолжая процесс, получаем результаты, представленные в таблице
Таблица 3.3
¿2 21 22 23 24 25
6(0 6(2) М2) М2) 60) 6(1)
А1 9.129 9.243 9.346 9.443 9.532
3.3.2. Учет трансверсальных сдвигов
в уравнении продольно-поперечного изгиба стержня
Рассмотрим продольно-поперечный изгиб стержня с учетом сдвигов по модели С.П.Тимошенко. Свяжем со стержнем прямоугольную декар-
тову систему координат (х1з х3) так, чтобы продольная ось х\ = х
А £
соединяла центры тяжести поперечных сечении, а ось х3 = £ проходила по линии симметрии поперечного сечения стержня. Предполагаем, что поперечная погонная нагрузка q действует в плоскости (хх, а продольная сжимающая сила направлена по оси х\. Кроме этого считаем, что изгибная жесткость относительно оси х2 намного меньше соответствующей жесткости относительно оси х3, т.е.
/ = /2= [ [ = (3.39)
где (5) - область поперечного сечения стержня.
При названных условиях реализуется продольно-поперечный изгиб в плоскости (хх, £3).
Как известно, продольная деформация поперечно изгибаемой балки в соответствии с гипотезой плоских (нормальных) сечений определяется
по формуле
eíi = Í/P ~ (3.40)
где 1/р- кривизна изогнутой оси балки, w - прогиб балки, w" = d2w/dx2.
Если имеет место поперечный сдвиг а^ = "ф волокон х\ и х3, то ему отвечает дополнительная продольная деформация
= + = (3.41)
Изменением длины оси стержня от действия продольных сил пренебрегаем, считая стержень гибким. Тогда полная продольная деформация слоя £ = const за счет поперечного изгиба стержня (балки) определяется формулой
4 = 4'+ 4" = (-«/'+ <//)£• (3.42)
Принимая статическую гипотезу о том, что напряжения на площадках, паралельных оси стержня, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями в поперечных сечениях, получаем
<7^ = Ее\х = E(-w" + (3.43)
где Е - модуль Юнга материала балки.
Как известно, сдвиг а^ связан с компонентами тензора малых деформаций Коши формулой (см., например, [23])
sinc*i3 =
13
l + 2eWl + 24
Отсюда с учетом того, что деформации е^ малы по сравнению с единицей, имеем
е13 ~ У^з = У^, и поэтому в соответствии с законом Гука справедлива формула
4, = 2це[ъ = цф, (3.44)
где ¡л - модуль сдвига: ¡л = £'/2(1 + и); и - коэффициент Пуассона.
Упругая энергия балки, длиной / и площадью поперечного сечения Б, определяется соотношением
1 г1 Г С 1
/ (^пеп + 24зе1з)^ ^ =
и (5) ]
U=2
1 Г1
- / [EI(-w" + ф')2 + цвф2] dx. (3.45)
2 Jo
Далее получим формулу для работы, совершаемой продольной силой Р. В соответствии с рис.3.5 имеем
АР = Р [ ((¡в-(1х) = Р [ (VI + т'2 - 1 )<1х « -Р [ J о «/о 2 У о
ги,2с1х. (3.46)
Учитывая, что работа погонной поперечной силы q определяется по формуле
Ап
/ дгис1х, (3.47)
Jo
приходим к следующему выражению для полной потенциальной энергии продольно-поперечного изгиба стержня (балки) с учетом трансвер-сальных сдвигов:
Ад= [ (3.48)
Jo
11 = и - Ар - Ад =
'о
где
^ = \Е1(-уо" + ф')2 + -^ф2 -Руо'2. (3.48')
2 2
Уравнения Эйлера для функционала (3.48) определяются равенствами
ар ¿2 ар _о
дш (1х ди)1 Ах2 дъи" дР А дР
дф Ах дф'
= О
и имеют вид
Е1уо1У = 9 + Е1ф"' - РУО", (3.49)1
Е1(-ги" + т//)' = А^. (3.49)2
Для получения единого разрешающего уравнения продольно-попе-речного изгиба, воспользуемся уравнениями равновесия элемента балки
где
М = [ а^Б = Е1(-ъи" + ф'),
д= [ = ¡лБф. (3.50')
J(S)
Очевидно, что соотношение (3.49)2 представляет собой первое уравнение равновесия (3.50), записанное с учетом формул (3.50'). Неиспользованным осталось второе уравнение (3.50), из которого, принимая во
внимание вторую формулу (3.50'), получаем
^ = (3 51)
Исключив с помощью равенства (3.51) функцию ф(х) из уравнения (3.49)1, окончательно будем иметь
Е1уо1У = д- Цд" - РУО", (3.52)
где Кф - параметр, связанный с учетом поперечных сдвигов (см. фор
м.
(1.22)0:
Ц = Е1 /цв. (3.53)
Уравнение (3.52) является уравнением Эйлера-Пуассона для функционала
1-1
= / (у2£/«;"2 - У2Р«/2 -дю + к%4'у))<1х. (3.54)
3.3.3. Постановка спектральной
задачи при учете поперечных сдвигов
Учитывая, что поперечную нагрузку при деформации продольно сжатого стержня составляют реакции винклеровых сред, т.е.
q — + с2ги_, (3.55)
уравнение (3.52) трансформируется в следующее:
Е1ы1У + + с2ги_ - + с2^_)" = -Руо". (3.56)
Ограничимся рассмотрением краевых условий шарнирного опира-ния, которые с учетом первого равенства (3.507) имеют вид
<ш = О, М = Е1(-ии" + ф') = 0 при х = 0, х = I. (3.57)
Принимая во внимание равенства (3.51), (3.55), второе условие (3.57) можно преобразовать так:
т" — ф' — т"--+ с2г^_) = т" = 0.
/л о
Таким образом, граничные условия шарнирного опирания при поперечной нагрузке в виде реакций винклеровой среды записываются так же, как и в случае классической теории изгиба балок:
и) — 0, и]" — 0 при х — 0, х — I. (3.58)
Выполним в уравнении (3.56) и в функционале (3.54) при учете соотношения (3.55) замену по формулам (3.197). Записывая функционал с точностью до постоянного множителя, будем иметь:
ги1У + + к2ы_ - х2(к1ги+ + к2и]_)" = -Аги"; (3.59) ](уо) = I Г у2 + + к2ги2_ - \ги'2+
2 Л
+х2(к1ъи+ + к2уо_)уо"] , (3.60) где дополнительно принято обозначение
м? = тг2Ц,/12. (3.61)
Рассмотрим, в частности, случай к\ — к2 = к. Уравнение (3.59) для однородной винклеровой среды принимает вид
ии1У + (Л - х2к)ии" + кии = 0. (3.62)
Учитывая, что спектральная задача {(3.62), (3.58)} при к2 — 0 имеет решение (3.37), (3.38), сразу можно записать
к
Х(п) — п2 -\—г + у^к, ии = Взтп^. (3.63)
п2
Выявим значимость связанного с учетом поперечных сдвигов последнего слагаемого в формуле для А(п). Зададимся вопросом: при каком п отношение ^
Щп) = ^— (3-64)
А(П)
принимает максимальное значение?
В результате элементарных преобразований устанавливаем, что максимум /¿(п) достигается при п — [^к], где квадратные скобки означают целую часть заключенного в них числа. При этом само отношение (3.64) принимает вид
2 2
Если положить, например, к2 — А- Ю-3, к = 104, то получим
та х//(п) = //(ю) = 0.1667.
3.3.4. Конечно-разностная аппроксимация
Заменим формулу (3.60) приближенной с использованием дискретного представления функции ги(£), £ Е [0,7г] на сетке
щ = е -1 : т + 1, + К к = 7г/(т + 2),
= 0, £т+1 = тт. (3.65)
Интегралы вычисляем по формуле трапеций, производные аппроксимируем конечно-разностными отношениями
Ш =-2Л-' " =-^-5
=-2Л-' =-2Л-'
«/'(?_,) = «/'(?„,«) = (3-66)
Значения срезок функции в узлах сетки представляем соотношениями (3.34).
Граничные условия шарнирного опирания
гу(0) = гу(тт) = 0, w"(0) = ги"(тг) = 0 в терминах дискретных значений функции w(£) можно записать так: W-1 = ^т+1 =0, w0 = w1/2, wm = wm-i/2. (3.67)
С учетом соотношений (3.34) энергию деформации винклеровых сред (с точностью до постоянного множителя) можно представить формулой
га—1
£ ЫЬЩ + Л2(1 - h)2)} wj 4 (3.68)
г=1
где
W = ..• , = /idiag
Cifci, ...,Cm_i6m_i
(3.68')
= + &2(1 - Ьг), С\ = сш_1 = 1.5, Сг = 1,ге2:т-2.
(В выражении для матрицы С на основании формулы (З.ЗЗ7) вместо б2, (1 — Ь¿)2 записано Ъ^ 1 — Ь^.)
Функционал (3.60) с пспользоваанпем формул (3.66), (3.68) заменяем следующим приближенным выражением:
где
А =
№
J(w) = l/2w®Aw + l/2w®Ciw - l/2\w®Qw,
an Ol2 1 0
«21 6 -4 1
1 -4 6 -4 1
1 -4 6 -4 1
0 1 -4 6 OJJXI- -2,m—1
1 ^m—l,m—2 OJJXI- -l,m—1
<712 -1 0
921 2 0 -1
-1 0 2 0 -1
-1 0 2 0 -1
0 -1 0 2 4m- -2,m—1
-1 Qm-l,m-2 Qm- -l,m—1,
(3.69)
(3.69')i
(3.69')2
Сг =С-
к
т
С11&1 ^
Ь1+Ь2 2
О
-2Ы
2
Ьт-З+Ьт-2
О
—2Ьгг^_2
Ьт-2+Ьт-1
^т—1,т—1
(3.69')2
В формулах (3.69') для рассматриваемого здесь случая шарнирно опертого стержня следует положить
&11 — ат_ 1 Ш_1 — 3.25, а12 — <221 — ат_1^т_2 — аш_2,ш-1 —3.5,
Чи — Чт-1,т-1 — 2.75, §12 — ?21 Ят-1,т-2 Ят-2,т-1 ~0.5,
Си = Сш_ 1>ш_1 = 1.5. (3.70)
Необходимое условие минимума функционала (3.69) имеет вид
]{уо) = Аш + Схгё - А^й = 0. (3.71)
При отсутствии симметрии балки относительно сечения х — 1/2 (£ = 7г/2), осуществляя переход от винклеровых сред с жескостями ¿4, £4 + г Ак к случаю £4, £4 + + 1)А/с, приходится выполнять локальный перебор вариантов вектора формы вслепую, например, по первой или второй схеме ЛПВ. Однако в случае одинаковых граничных условий на краях х — 0, х — I число вариантов сокращается в связи с предсказуемостью эволюции собственной формы при увеличении параметра жесткости Например, в п.3.3.1 рассматривались три „возможных" варианта вектора формы Однако очевидно, что при уве-
личении жесткости точка, являющаяся корнем собственной формы, может перемещаться по оси £ лишь вправо (см. рис. 3.5) и поэтому форму Ьследует исключать из числа возможных.
Несложный анализ эволюции собственной формы позволяет минимизировать число вариантов вектора формы для симметричной относительно сечения х — 1/2 конструкции.
Пусть собственная форма при £4 — к2 = к имеет р — п — 1 корней, и пусть при жесткостях £4, £4 + г Ак j-ъm корень собственной формы принадлежит интервалу (<^.,<^.+1). Тогда при переходе от случая £4, £4 + гАк к случаю £4, £4 + (г + 1 )Ак достаточно рассмотреть варианты:
р - четное число
^ = <
1, г е 1 : «1
0, г Е ¿ч + 1 : «2
1, г Е в2 + 1 : «з
0, г Е вр. -1 + 1 :
1, г Е вр + 1 : т
02) _
р - нечетное число
= <
1, г Е 1 : «1 + 1
0, г Е + 2 : ¿?2 — 1
1, г Е 52 : 53 + 1
О,
I1'
г Е г Е вр : т
2 :зр-1
1;
(3.72)]
=
1, г е 1 : 5х
0, г е 51 + 1 : 52
1, г е 52 + 1 : 5з
1, г е 5Р_1 + 1 : 5Р г е 5Р + 1 : т -
= <
1,
1,
0,
1,
1,
10,
г е 1 : 51 + 1
г е 51 + 2 : 52 — 1 г е 52 : 53 + 1
(3.72),
г е 5Р_1 : 5Р + 1 ге5р + 2:т—1.
Рассмотрим эволюцию трехполуволновой собственной формы при увеличении параметра жесткости Нетрудно убедиться, что при х2 = = 0, к = 36 минимальному собственному числу отвечают две собственные формы, так как (см. форм. (3.37))
А1 = А(2) = А(3) = 13.
Поэтому, задавшись целью исследовать эволюцию трехполуволновой собственной формы при к2 —ос, примем к\ — 37. Тогда в случае однородной среды в соответствии с формулой (3.63) при к2 — 0.004 получим
А(1) = 38.15, А(2) = 13.40, А(з) = 13.26, А(4) = 18.46.
Таким образом, имеем
Ах = А(з) = 13.26. В этом случае р — 2 и формулы (3.72)1 принимают вид (рис.3.6)
ь^ =
1, г е 1 : 51 Г 1, г е 1 : в! + 1
0, г е 51 + 1 : Ь(Р = \ 0, г е «1 + 2 : - 1 (3.73)
1, г Е 82 + 1 : т — 1, I 1, г Е ^ : т — 1.
Рис. 3.6.
Приближенное решение на основе конечно-разностной аппроксимации при тп = 100 для случая к\ — к2 — 37, х2 = 0.004 имеет вид
Ах = А(з) = 13.286.
При этом корни собственной формы содержатся в интервалах (£33, £34), (^66^67) и формулы (3.73) принимают вид
{1, г е 1 : 33 Г1, г е 1 : 34
0, г е 34 : 66 ъ[2) = I 0, гЕ 35 : 65
1, г е 67: 99, [1, г е 66 : 99.
Выборочные результаты расчетов2 можно представить в виде следующих таблицы и рисунка:
¿2 37 50 60 80 100
А 13.286 13.681 13.888 14.174 14.366
Собственная форма 1 2 3 4 5
[6ц 61+1] [62 5 62+1] [£зз, £34] [£бб, ^бг] [£34, 6б] [£б5, £бб] [£зб, £зб] [£б4, 6й1 [Ы, 67] [£бЗ, ^64] [£37, £зв] [£б2, £бз]
2Расчеты выполнены Е.В.Тулубенской
а
\
//Ц /— 5 7ГГ-4 У/7~Г-3 У/т—2
/ 1
тг/4 тг/2 Зтг/4 £ *
Литература3
49*. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем/ С.П. Тимошенко.- М.-Л.: ОГИЗ, 1946. - 839с.
50*. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных/ С.Г. Михлин. - М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.
51. Тарасов В.Н. Некоторые задачи и методы конструктивно-нелинейной механики упругих систем. Под ред. проф. Е.И. Михайловского/ В.Н. Тарасов, Д.В. Холмогоров. - Сыктывкар: Изд-во Сыкт. ун-та, 2001.- 189с.
52. Михайловский Е.И. Локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора: тез. докл./Е.И. Михайлов-
3Начало библиографического списка см. в первой части статьи
ский, В.Н. Тарасов//Международная научн. конфпосвящ. 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. ~ С. 88.
53. Михайловский Е.И. Закритическое поведение продольно ежа того стержня с жесткими ограничениями на прогиб/ Е.И.Михайловский, В.Н. Тарасов, Д.В. Холмогоров.//АН СССР.ПММ. -1985-
- Т.49, вып. 1. - С. 156-160.
54*. Моисеев H.H. Методы оптимизации/ H.H. Моисеев, Ю.П. Ива-нилов, Е.М. Столярова. - М.: Наука, 1978. - 325 с.
55*. Рапопорт JI.B. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе/ Л.Б. Рапопорт// РАН. НИМ.- 1986. - Т. 50, вып. 4.- С. 674-679.
56*. Крепе B.JT. О квадратичных формах, неотрицательных на ор-танте/ В.Л. Крене//ЖВМиМФ. - 1984. ~ Т. 24, Щ. - С. 497-503.
57*. Сухарев А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания: Математические методы в исследовании операций/А.Г. Сухарев.-М.: Изд-во Московск. ун-та, 1983. - 193 с.
58. Тарасов В.Н. Влияние граничных условий на устойчивость прямоугольных пластин при жесткиих ограничениях на перемещения/ В.Н. Тарасов, И.Н. Логинов// Вестн. Сыкт. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. Инф. - 1995. - Вып. 5. - С. 215-226.
59. Холмогоров Д.В. Закритическое поведение подкрепленной пластины/ Д.В. Холмогоров// Вестн. Сыкт. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. Инф. - 2003. - Вып. 5. - С. Ц5-158.
60. Михайловский, Е.И. Итерационные методы решения операторных уравнений: уч. пособие для вузов/ Е.И. Михйловский, В.Л. Никитенков A.A. Холопов - Сыктывкар: Изд-во Сыкт. ун-та, 2009.-
- 322с.
61*. Завьялов B.C. Методы сплайн-функций/В.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. - М.: Наука, 1890. - 352 с.
62. Михайловский Е.И. Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче/ Е.И. Михайловский Е.В. Тулубенская// РАН. ПММ. - 2010. - Т. Ц, вып. 2--С. 299-310.
63. Тулубенская Е.В. Устойчивость круглой пластины на границе двух винклеровских сред/ Е.В. Тулубенская, Д.В. Логинов//Т/бе/ш-нейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: тр.научн. школы акад. В. В. Новожилова. - СПб: СПбГУ] 2004--С. 162-166.
64. Михайловский Е.И. Алгоритм локального перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины на границе винклеровских сред/ Е.И. Михайловский, Е.В. Тулубенская// Механика и процессы управления: Тр.XXXVI Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С. П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. академика В.П. Макеева". - Екатеренбург: УрО РАН,2007. - С. 109-116.
65. Тулубенская Е.В. Устойчивость стержня переменной жесткости при односторонних ограничениях на перемещения/ Е.В. Тулубенская, Р.В. Каргин// Вестн. Сыкт. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. Ннф. -- 2008. - Вып. 8. - С. Ц1-Ц8.
66. Михайловский Е.И. Учет поперечных сдвигов в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки в условиях конструктивной нелинейности/ Е.И. Михайловский, Е.В. Тулубенская!¡Вестн. Сыкт. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. Ннф. - 2009. - Вып. 9. - С. 64~77.
67. Михайловский Е.И. К проблеме устойчивости в условиях конструктивной нелинейности/ Е.И. Михайловский// Вестник СПбО АНН. - 2010. - т. - С. 236-248.
68. Тулубенская Е.В. Устойчивость оболочек и пластин конструктивно-нелинейной механики: дисс....канд. физ.-мат. наук: 01.02.04.: защищена 02.04.09: утв. 19.06.2009// Тулубенская Елена Владимировна. - СПб, 2009. - 89 с. - Библиогр.: с. 79-89.
Summary
Mikhailovskii E. I., Tarasov V.N. The constructive - nonlinear mechanics of plates and shells
Presents the second part of the article (the first part was published in the previous issue this "Messenger": 2010.-Vyp.ll - C.5-51) devoted to the stability and supercritical behavior of stractures and structures in unilateral restractions on the movement. The article, as stated in the preface, is a review. However, as set out in this part of the method of motion in the parameter stiffness of the elastic medium is published for the first time.
Сыктывкарский университет
Поступила 23.09.2010
