Учет поперечных сдвигов в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки в условиях конструктивной нелинейности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 9. 2009

УДК 539.3

УЧЕТ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ В ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ В УСЛОВИЯХ КОНСТРУКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Е.И. Михайловский, Е.В. Тулубенская

В работе рассматривается задача об устойчивости продольно сжимаемой шарнирно опертой цилиндрической оболочки, расположенной на границе раздела двух разномодульных упругих сред. Используется уточненная теория типа Маргера-Тимошенко [1]. Решение задачи ищется с помощью комбинированного алгоритма перебора вариантов.

1. Подготовка полевых и граничных уравнений

Основные соотношения уточненной теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко для круговой цилиндрической оболочки радиуса Д в безразмерных координатах

£ = хх/Я, ср = х2/Я,

имеют вид [1]

Я1 кЬ2 Л.Д2«, + Д^(Ф - д?Дф) =Л + (/

д*Д)Л(Ф,«0

(1.1)

где

гг), Д() =

<92Ф д2и) 92Ф д2ги

д^д(р д^д(р дер2 д^2 ’

@ Михайловский Е.И., Тулубенская Е.В., 2009.

=

ЕЬ?

- Ъ2 =

И2

12(1 -и2У'ф 6(1 -рУ

О (теория Маргера)

к = { 1 (теория Маргера-Тимошенко) ,

15/8 (теория Маргера-Журавского)

Л — толщина оболочки, Е — модуль Юнга, и — коэффициент Пуассона.

Рассмотрим продольно сжимаемую шарнирно опертую цилиндрическую оболочку на границе разномодульных винклеровских сред. Основное уравнение (относительно функции ги(£)) получим из (1.1) при условии, что

д2

IV

А(Ф,ги) = В А(ги,ги) = 0.

При ЭТИХ условиях С учетом ТОГО, ЧТО Тц = —То = С0П5£, система (1.1) является линейной и допускает следующее преобразование:

А =

<г0д2о дп)

-ЕКВ^- Д2()

де

= с/0[А4( ) - 2(1 + и)к

д4А()

+ 46‘

д\),

0

кк2, . ч д2гл „ . Ш.

эё{

/1-Д2Го(/-^А)^ Я^(/-^Д())

В2 д£2

Д2()

, „ /с/г.2,, о 92 кИ2!, „

= Д4(Д2^ - д^Д3^) - В2Т0 — (А2ю - ^Д3<

Отсюда имеем

Д

или

ш = —— =>- Дгу = Д„ Д

л 4 п/л ,,д4Аъи 4 с?4 го

Д4ги - 2(1 + и)к + 46

ае4 ае4 д4г/л, кН1 А3 ^ т0 а2 /л2 Ш = — [(А ™ _ ад)]’

б?о

где

В2

дп = -С1«;+ - с2гу_,

(1.2)

ci, С2 - жесткости винклеровских сред; w.|_ = тах{0, ги}, W- = min{0, w} - срезки функции W.

Полезным, особенно при формулировании граничных условий, является также уравнение

1 д2Ч>

дфі дф2 2(1 + v)kR + dtp Eh

Qn

r3 де;1

діЛ('Ї.И')

(1.3)

В частности, для осесимметричной деформации уравнение (1.2) принимает вид

dA rdAw . ч 7 d2w , п

wiw-2{i+v)kw+ibw]=

_ R4 d4 . khld2qn т0 <е khld2u, К2 d£2> tPd? R2 dz2 *'

(1.4)

Вместо (1.4) достаточно обеспечить выполнение следующего уравнения четвертого порядка [2]:

wIV — 2(1 + v)kw" + 4 b4w =

#(п _к_Кп>'Л л..»

do[Qn R2 Qn) d,

jv\

W------

R2

(1.5)

(Штрихом помечены производные ПО £ [О,//Д]).

Введем новую переменную £ = 7г(Д//)£, 0 < <^ < 7г. Если сохранить за ней прежнее обозначение £ и понимать под штрихом производную по новой переменной, то уравнение (1.5) можно записать так:

w

aez

aez

(1.6)

где

Iі / Eh .

q = —kiw+ - k2w_, ki = -j—т(сі + -=_-), i = 1, 2 ,

a0ті4" К

ae2 =

12

, A =

T0/2

Й07Г

2 *

(1.6')

Граничные условия шарнирно опертого края, нагруженного равномерно распределенной сжимающей нагрузкой Тс, записываем в терминах величин, помеченных в нижеследующей таблице:

Т1п Мп М\2 F* в:

W + Ф1 'д2 + Ф2 -^22 К2п

(1,7)

Основные (требующие безусловного выполнения) условия шарнирно опертого края £ = const имеют вид (здесь и ниже учитывается, что нормальная нагрузка на краю полностью передается на жесткую опору, в связи с чем там можно полагать qn — 0):

w = 0, MX1 = = 0. (1.8)

Остальные граничные условия с учетом (1.8) принимают вид

#2 + Ф2 = о, 42 = ^1^ф" = о, в; = ф = -д2г„. (1.9)

(Последнее граничное условие в (1.9) записано с учетом формулы (15.166) |3|).)

Уравнение (1.3) на шарнирно опертом крае £ = const принимает вид , 2(1 + р)к 1 „ „ 2(1 + и)кТ0 „

-W .

ЕкК 4 Л 7 ЕЬК

Подставляя это выражение для ф[ во второе равенство (1.8), получим

(1 - 2(1 = о.

ЕН

Таким образом, за исключением частного случая, когда

Т0 = Ек/2(1 + и) к,

выбранный вариант граничных условий шарнирно опертого края можно записывать в том же виде, что и в классической теории оболочек:

ш = 0, и)" = 0. (1.10)

2. Постановка спектральной задачи

2.1. Случай разномодульных винклеровских сред

Равенство (1.6) является уравнением Эйлера для функционала

= Т(ад, ад', «/')<*;, (2.1)

где

Е = и/'2 + А^ад2 + А^ад2 —

2 2 -^(к1ю+ + къЬ)-)™" + А(ад'2 + ^-ад"2). (2.1')

03 03

Действительно, уравнение Эйлера-Пуассона для функционала вида (2.1) определяется равенством

d дЕ &дЕ_

дш дш' d^2 дии"

Учитывая, что

= ги, = \п2_\

дии

дъи2. [ 2ъи, и1 > 0

~г дю к го < 0 " = 2ад+,

ъи > 0 / «Л и1 > 0 сР I [го, ш > 0

ю < 0 |0, го < 0 ” = ^2 [0, < 0

приходим к уравнению (1.6).

Заменим формулу (2.1) приближенной с использованием дискретного представления функции ги(£), £ £ [0,7г] на т-мерной сетке:

Щ = ги(&),г Е 0 : т; = & + т, т = ж/т, £0 = 0, £то = п.

Интегралы вычисляем по квадратурной формуле трапеций, производные аппроксимируем конечно-разностными отношениями

Значения срезок функции ю(£) в узлах сетки представляем формулами ги+(&) = Ь^, ги_(&) = (1 - (2.3)

где

_ Г 1) Щ > 0 /2

Ьг - \0, иог < 0 • }

Граничные условия шарнирного опирания, имеющие вид (см. форм. (1.10))

го(0) = ги(1т) = 0, и)"(0) = «/'(я-) = 0, (2-4)

с учетом аппроксимации (2.2)3 в терминах дискретных значений функции го(£) можно записать так:

и)0 = и)т = 0, уо-г = -и)1, ыт+1 = -гот- 1. (2.5)

Принимая во внимание формулы (2.2), (2.3), (2.5), выражению (2.1) можно придать вид

J(w) = Уг й® Ахи + 1/2'й)®Сп) — 1/2\'<1)®(^')1), (2-6)

где и) = [гуь г«2, • • •, гуто_х]®, ® - знак транспонирования;

'5-41 -4 6-4 1

1-46-41

А = —

т°

1-46-41 1-4 6-4

1 -4 5

0 =

1

4т

3 0-1

0 2 0 -1 -1 0 2 0 -1

-1 0 2 0 -1 -10 2 0 -10 3

7Г

ее2

■А,

С = т diag \k\b\ + ^2(1 — 61)2 ,..., кф2т_ -1 + ^2(1 — Ьт-1)2 ]-

' -2&1 61 + 62

к\Т12 61 + ^2 -262 62 + 63

8е2Т Ьп-3 + Ъп-2 —26п_2 Ьп-2 + Ьп—1

Ьп—2 + Ьп- -1 —26„ -1

-2(1 - -м 2 — 61 — 62

ьо ьо 2 -&! - 62 -2(1 - 62) 2-62 - 63

8е2Г 2 Ьп—3 Ьп—2 -2(1- Ьп-г) 2 - Ьп-2 Ьп— 1

2 — 6П_2 Ьп—1 -2(1- Ьп-2)

Необходимое условие минимума функционала (2.6) выражается уравнением

Агй + Сп) — \Qtjb = 0. (2.7)

2.2. Решение задачи в случае однородной винклеровской среды

Собственную форму спектральной задачи (1.6) при с\ — с2 = с будем искать в виде следующей (удовлетворяющей граничным условиям (2.4)) функции:

уо{х) — Ап 8тп*ж, п^ — тт/1. (2.8)

Подставив выражение (2.8) вместо прогиба в уравнение (1.6) и положив Чп — —СИ), получим

А» [<1оп\ + с( 1 + кН2фп1) -ТпК 1 + кЩ,п1)\ = 0, (2.9)

где

_ д Е1ъ с-с+ж.

Нетривиальному решению соответствует критическая сила (усилие)

т<»>- Ап- I а. (2.10)

1 + кК^п1 п1

Подставляя это выражение вместо Т0 в последнюю формулу (1.67), получим

п2 к ~ с1А

^ 1 + 7г2п2/ае2 п2’ с10тгА

где индекс в скобках при параметре Л указывает на число полуволн собственной формы.

На основании формулы (2.11) при к = 20, у — 0.3, 1/к — 60, к = 1(15/8) имеем

А(1) = 20.999(20.999), Л(2) = 8.990(8.981), Л(3) = 11.170(11.124),

Л(4) = 17.085(16.943), Л(5) = 25.399(25.058). (2.12)

Откуда следует, что первому собственному числу отвечает двухполуволновая собственная форма, т.е.

Лх = Л(2) = 8.990(8.981).

Из формулы (2.10) усматривается, что при больших значениях п* жесткость винклеровского основания не оказывает влияния на величину критической силы, при этом

Пт Т(п) = ф/к. (2.13)

Рис. 1

Иными словами, учет поперечных сдвигов приводит к качественному изменению собственного спектра (рис.1).

Из формулы (2.11) следует, что при

4

® ^ тг2/ае2) (1 + 47г2/ае2)

наименьшему значению сжимающей силы будет соответствовать собственная форма с одной полуволной и для расчета минимальной критической силы следует использовать формулу (2.10) при п — 1, а наименьшее значение сжимающей силы, которому соответствует п-полуволновая собственная форма будет при

Г > ___________(гс - 1 )2^2___________

— (1 + (п — 1)27г2/ае2) (1 + п27г2/ае2) ’

г < п2(п + I)2

— (1 + п27г2/ае2)(1 + (тг + 1)27г2/ае2)

Если V = 0.3, 1/к = 60, к = 1(15/8), то минимальным параметром жесткости, имеющим собственное число 2-го ранга (кратности 2) является к = 3.98698(3.97565), для которого А(1) = А(2) = 4.98633(4.97442). При к < 3.98698 первому собственному числу отвечает собственная форма с одной полуволной, при 3.98698 < к < 35.69654 — с двумя полуволнами.

3. Комбинированный алгоритм

Для решения поставленной задачи воспользуемся комбинированным алгоритмом, который предполагает последовательное применение алгоритмов полного перебора вариантов (ППВ) и локального перебора вариантов (ЛПВ) [4].

Алгоритм полного перебора вариантов возможных форм изгиба в соответствии с принятой сеткой заключается в следующем:

перебираются все 2Ш_1 возможных представлений вектора формы

Ь = [Ьг,.. .,ьт-1]® ;

для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения модифицированным медодом Якоби [5] детерминированного (все компоненты вектора формы известны) уравнения (2.7);

запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба или — согласуется с выбранным вектором формы.

Применяем алгоритм ППВ, увеличивая число узлов сетки, до тех пор, пока качественная конфигурация собственной формы искомого собственного числа не стабилизируется. Собственную форму, имеющую устойчивый с ростом тп вид графика, будем называть качественно адекватной.

После определения качественно адекватной собственной формы, применяем алгоритм локального перебора вариантов, взяв за начальное приближение названную форму:

1. Последовательно удваиваем число узлов сетки путем деления интервалов пополам и выполняем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме; если же график приближенной собственной формы не пересекает ось £, то выполняем дробление сетки без перебора вариантов.

При этом могут быть реализованы две схемы ЛПВ.

Первая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения ^рафиком приближенной собственной формы оси £ не выйдет за пределы интервала, в котором она располагалась до удвоения числа узлов сетки. По этой схеме для каждого корня собственной формы реализуются два варианта вычислений (рис.2):

1) &2г+1 = 1? 2) &2г+1 = 0.

Остальные компоненты вектора формы не варьируются, т.е.

^3 — 1’ ^7 + 1 = 1 => b2j = 1, &2І+1 = 1, &2І+2 = 1, /о 1\

Ък — 0, &/С+1 = о =>* ь2к — 0, &2/С+1 = 0, &2/С+2 = 0.

Вторая схема ЛПВ основана на предположении, что при удвоении числа узлов сетки точка пересечения графиком собственной формы оси £ может выйти за пределы интервала, в котором она располагалась до

удвоения числа узлов сетки (см. рис. 2). Вторая схема сводится к перебору четырех вариантов для каждого корня предыдущего приближения к соответствующей собственной форме:

&І+2 &І+3

6-1

\ С ''С

\ Чі \ \StH-l \

Рис. 2

- если 6^ = 1, 6^+1 = 0, где (&, 6+1) - интервал, содержащий точку пересечения графиком качественно аддекватной собственной формы оси £, то реализуются следующие варианты вычислений:

1) ^2 і = 0, &2І+1 = 0, &2г+2 = 0;

2) Ь2І = 1, ^2г+1 = 0, &2г+2 = 0;

3) &2г = 1, Ь2І+1 = 1) І>2і+2 = 0;

4) &2г = 1, Ь2І+1 = 1) І>2і+2 = 1;

если Ьі = 0, Ьі+\ — 1, то рассматриваем следующие варианты вычислений:

1) Ї>2І = 1, Ь2і+і = 1) &2І+2 = і;

2) Ь2І — 0, &2г+1 = 1, І>2і+2 = і;

3) &2г = 0, Ь2і+і = 0, &2г+2 = і;

4) Ь2і = 0, Ь2і+і = 0, 62г+2 = 0.

Остальные компоненты вектора формы не варьируются (см. (3.1)).

2. Процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой (и достижимой) точностью.

4. Численное решение в случае

разномодульных винклеровских сред

Процесс сходимости алгоритма ППВ для вычисления первого собственного значения при к\ — 18, к2 — 20, к = 1(15/8), у — 0.3, 1/к — 60 усматривается из таблицы 1

Таблица 1.

т М Вектор формы

4 18.081(18.036) [0,1,1]

6 11.758(11.740) [0,0,1,1,1]

8 10.271(10.258) [0,0,0,1,1,1,1]

10 9.671(9.659) [0,0,0,0,1,1,1,1,1]

11 9.484(9.495) [0,0,0,0,0,1,1,1,1,1]

Приняв собственную форму, полученную с применением ППВ при т = 11 за качественно адекватную, реализовывали алгоритм ЛПВ, результаты расчетов с использованием которого представлены в таблице 2

Таблица 2.

к т

11 22 44 88 176 352

0 9.508 8.917 8.777 8.742 8.730 8.726

1 9.484 8.906 8.766 8.733 8.722 8.719

15/8 9.495 8.896 8.757 8.723 8.718 8.716

Далее для вычисления первого собственного числа применялась первая схема ЛПВ, начиная с т = 4, при фиксированном значении параметра к2 — 20 и изменении параметра к\ от 10 до 20. Результаты расчетов представлены в таблице 3 при к — 1 и в таблице 4 при к = 15/8.

Таблица 3.

т Аі

ЬО II II Ю о о ЬО II II Ю о ^ к\ = 18 к2 = 20 кг = 19 к2 = 20 II ьо II Ю О

4 12.999 16.073 18.081 18.444 18.768

8 8.276 9.433 10.271 10.443 10.603

16 7.419 8.368 9.075 9.222 9.359

32 7.222 8.130 8.807 8.949 9.080

64 7.174 8.071 8.742 8.882 9.012

128 7.153 8.049 8.724 8.864 8.996

256 7.145 8.041 8.719 8.862 8.994

Таблица 4.

т Аі

ЬО II II Ю о о ЬО II II о ^ кг = 18 к2 = 20 кг = 19 к2 = 20 и?* II ьо II Ю О

4 12.978 16.038 18.036 18.398 18.722

8 8.264 9.420 10.258 10.430 10.590

16 7.409 8.358 9.065 9.212 9.349

32 7.213 8.120 8.798 8.939 9.071

64 7.165 8.062 8.733 8.873 9.003

128 7.140 8.048 8.720 8.853 8.988

256 7.134 8.043 8.716 8.850 (8.985)

При к\ 20, к2 — 20 собственное число будет приближаться к определенному по формуле (2.11) Аі = 8.990(8.981).

Сравнивая таблицы 2 и 3, убеждаемся в том, что при тп = 256 и т = 352 первое собственное число, отвечающее параметрам жесткости к\ = 18, к2 = 20, имеет с точностью до третьего знака после запятой одно и то же значение 8.719(8.716), которое можно принять в качестве окончательной оценки Аі для указанных параметров жесткости. При этом в случае реализации первой локальной схемы (см. табл. 3.) алгоритм пППВ(ш = 4)+ЛПВ(т = 8,16, 32, 64,128, 256)п свелся к решению 20 линейных спектральных задач вместо 2255 ^ 1026 таких задач, при реализации алгоритма ППВ. Использование второй локальной схемы (см. табл. 2.) по алгоритму пППВ(т = 11)+ +ЛПВ(т = 22, 44, 88,176, 352)п свелось к решению 1044 линейных спектральных задач вместо 2351 ^ 1035 таких задач, при попытке применить метод ППВ.

Значения первых трех собственных чисел при к\ — 3.95, к2 = А приведены в таблице 5 и при к\ — 3.98, к2 — 4 в таблице 6.

Таблица 5.

т Аі ^2 Аз Алгоритм

8 5.186 5.645 12.237 ППВ

16 5.007 5.122 9.965 лпв

32 4.962 5.003 9.527 лпв

64 4.951 4.988 9.417 лпв

128 4.950 4.978 9.392 лпв

256 4.949 4.977 9.386 лпв

Таблица 6.

т Ах А2 Аз Алгоритм

8 5.212 5.675 12.244 ппв

16 5.033 5.150 9.971 лпв

32 4.989 5.031 9.533 лпв

64 4.979 5.003 9.412 лпв

128 4.978 4.994 9.397 лпв

256 4.977 4.986 9.390 лпв

На основании этих таблиц заключаем, что при к\ —> 4, к2 = 4 собственные числа приближаются к значениям

А(1) = 4.99935(4.99878),

Л(2) = 4.98958(4.98051),

А(3) = 9.39188(9.34639).

полученным по формуле (2.11) при к = 4, а это подтверждает достоверность вычислении, выполняемых с использованием алгоритма "ППВ+ЛПВ".

Литература

1. Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2007. 516 с.

2. Власов В.З. Избранные труды. М.: АН СССР, 1962. Т.1. 528 с.

3. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

4. Михайловский Е.И., Тулубенская Е.В. Алгоритм локального перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины на границе винклеровских сред// Механика и процессы управления: Тр. XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С. П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. академика В.П. Макеева". Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 109-116.

5. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

Summary

Mikhailovskii E.I., Tulubenskaya E.V. The account of the transverse strain in the problem about stability of the cylindrical cover in the conditions constructive nonlinearity.

In work is considered the problem about stability of longitudinal compressed simply supported the cylindrical cover located at the border of two Winkler’s ambiences. The specified theory of Margera-Timoshenko type is used. The problem is solved by the means of the combined algorithm variant search.

Сыктывкарский университет

Поступила 16.02.09