Задача о продольной устойчивости подкреплённой стрингерами оболочки в разномодульной упругой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 17.2013

УДК 539.3

ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПОДКРЕПЛЁННОЙ СТРИНГЕРАМИ ОБОЛОЧКИ В РАЗНОМОДУЛЬНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Е.И. Михайловский. А.Ю. Кораблев

В работе рассматривается задача об устойчивости продольно сжимаемой шарнирис опёртой цилиндрической оболочки, подкреплённой стрингерами и расположенной на границе двух раз-номодульных упругих сред. Решение задачи ищется с помощью комбинированного алгоритма перебора вариантов. Ключевые слова: устойчивость, шар нирно-опёртая цилиндрическая оболочка, комбинированный алгоритм перебора вариантов.

1. Введение

В докторской диссертации [1] (форм. (25)} построена так называемая деформационная теория ребристых оболочек, главная особенность которой заключается в том. что в ней впервые наряду с реактивной силой учтён реактивный момент от ребра жёсткости. Названная теория подробно изложена в монографии [2]. В частности, уравнения статики конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки, получаемые путём "размазывания" регулярной системы стрингеров имеют вид:

с0Ги = —R2q + -

V

Куд^ Кг В? <Э£4

¿Иги

В? д^дф2 Кп д4и2

Кг д3и2 В? д£2д(р

(1.1)

Д2 <Э£4

Здесь первая часть уравнения представляет собой матричную запись уравнений статики цилиндрической оболочки в смещениях; Ки, Кп -

© Михайловский Е.И., Ксрабяев А.Ю., 2013.

жёсткости стрингера при изгибе соответственно в нормальной плоскости и из этой плоскости. - жёсткость при кручении. - жёсткость стрингера при ратяжении (сжатии); I - расстояние между соседними стрингерами по дуге поперечного сечения; £ = х/Я. (р = у/Я.

Примем следующие допущения:

для расчёта оболочек без рёбер допустимо использовать упрощённую теорию Доннела-Власова ([3 , табл. 13.2. форм. (13.18с));

конструктивно ортотропная оболочка испытывает осесимметрич-ную деформацию, т.е. df/d^p = О V/;

ni

стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни. т.е.:

(fui Кп dAU2

ct

de в? de

— 0;

¡у) на оболочку действует лишь нормальная нагрузка, т.е. ql = q^2 = 0. Тогда уравнению (1.1) можно придать вид

щ _ R2 "0"

U2 0

Со

_Qn_

, с0 =

Eh

где

(1.2)

А =

«зз =

• 0

д?

о 1^-Ц о ¿Ю

-р-^ 0 а33

У 1 ь? (1 - S)J\ э4()

\ 12 i?2 IhR2 ) д?^1'-

I - тождественный оператор, J - момент инерции поперечного сечения стержня. И - толщина неподкреплённой оболочки. Е - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона материала ребристой оболочки.

Для получения из системы (1.2) соответствующего уравнения относительно функции прогиба воспользуемся операторным методом [4].

"Детерминант" матрицы А имеет вид

Задача об устойчивости подкреплённой стрингерами оболочки... 29 I . * 1 -ЧУ (1-у*)Лс1\) 1-у ?<1\)

Заменяя в матрице А последний столбец правой частью уравнения (1,2} и вычисляя "детерминант" так составленной матрицы, получим

аеъАт - 2 ^ Применяя теперь формально правило Крамера, можно записать

/ Т А \ 1 А

ии — ——— или (ае£А)ги — ае£Ат аеЬ А

Последнее равенство после элементарных преобразований представляет искомое уравнение в виде

где

4Ь4 = 12(1 — ¿о— Ек3

к2' _ 12(1-1/2) ■

Представим удельную нормальную нагрузку в виде суммы

Цп = дп + Яп (1-4)

В условиях наличия внутри и вне оболочки винклеровых сред различной жёсткости (с^сг). можно записать [5]

(¡п = -С1-Ш+ - с2гу_ (1.5)

Кроме этого при рассмотрении продольной устойчивости цилиндрической оболочки от действия сжимаюших усилий Т0. следует положить

[3]

Подставив соотношения (1.4) в уравнение (1.3) и выполнив замену

= (1-6)

~ 7Г.К ^ 7Г-Й X ТГХ Гп ,

< = ^ = тгте.м

(Ь - длина оболочки)

и. сохранив за новой переменной £ прежнее обозначение окончательно получим

(1 + a)— + A^w + A— + klW+ + k2w_ = 0 (1.7)

di

Здесь

. ттх rn n EJ Л T0L2

4 _ 12(1 - _ k - — P ~ ' ° " 12(1 - i/2)' ** ~ 7r4d0

(1.8)

где L - длина оболочки, TQ - сжимающие усилия. Обратим внимание, что от сжимаюших усилий Т0 зависит параметр Л.

2. Постановка задачи

Рассматриваем дифференциальное уравнение (1.7):

(1 + a)wIV + A/34w + kxw+ + k2w_ = -Xw" (2.9)

и найдём такое Л, при котором имеет нетривиальное решение краевая задача с граничными условиями шарнирного опирания:

w( 0) = ги(тг) = 0; w"{0) = w"(ir) = 0

Проинтегрируем по частям функционал, образованный уравнением (2,9). умноженный на w(£). Имеем

/*7Г Л7Г /*7Г /*7Г Л7Г

(1+а) / и/" d£+4/34 / / w+2d£+A;2 / = Л / го'

JO JO JO JO J 0

(2.10)

Заменим формулу (2.10) приближённой с использованием дискретного представления функции w. задаваемой её значениями на равномерной сетке, т.е. Wi = w(xi),i = 0..п

Далее аппроксимируем производные конечно-разностными схемами:

wi+1 - 1 „ - 2wi + tUj-i —^—-^--(2.П)

Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле трапеций

/

J о

Г /(Ode = ^ + /(6) + /(6) + - + Д£п-1) + Щ^) (2.12)

Значения срезок функции в узлах сетки представляем формулами

«>+(&) = Ъг^и ю-(6) = С1 ~ = { о ^ < О (2ЛЗ)

Граничные условия шарнирного опирания аппроксимируем формулами

мо = иоп = 0, и;_1 = — гУ1, го„+1 = -ги„_1 (2.14)

После преобразования уравнение (2,9) примет вид

Ли/ + Сиз = \Q-ib (2.15)

Матрицы А. <5 - пятидиагональные:

5 -4 1

-4 6 -4 1

1 -4 6 -4 1

1 -4 6 -4

1 -4 6 -

1 -4

3 0 -1

0 2 0 -1

-1 0 2 0 -1

-1 0 2 0 -1

-1 0 2 0

-10 3

С = (Над [кф{ + к2{1 - Ь) + 4/З4] к Необходимое условие минимума функционала имеет вид

Аш + Сю - \<Эгю = 0

3. Комбинированный алгоритм

Для решения задачи будем использовать комбинированный алгоритм. который включает в себя применение на первой стадии алгоритма полного перебора вариантов (ППВ). а на последующих - локального перебора вариантов ЛПВ [6].

Для построения части собственного спектра уравнения применяется алгоритм ППВ форм изгиба, который заключается в следующем:

[) перебираются все 2т~1 возможных представления вектора формы

6 = [61,62, ...,6Ш_1]Т:

и) для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения;

ш) запоминается собственная пара (число и форма) для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы.

В процессе применения алгоритма ППВ получаем качественно-адекватную форму, то есть собственную форму, имеющую устойчивый с ростом т вид графика.

После этого будем применять алгоритм ЛПВ. используя в качестве приближения полученную качественно-адекватную форму:

,]) последовательно удваиваем число узлов сетки путём деления интервалов пополам;

|]) осуществляем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме;

Д]) процесс продолжается до тех пор. пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой точностью.

4. Численное решение

Применим комбинированный алгоритм "ППВ+ЛПВ" (ППВ при п = 6. ЛПВ при п = 24) при следующих значениях параметров: к\ = 16, = 18. Значения параметра а будем изменять в пределах от 0 до 90.

Из таблицы 1 можно заметить, что при прочих равных параметрах если увеличивается а(а — 0 - оболочка не подкреплённая стрингерами), то оболочка укрепляется, т.к. увеличивается значение А, а значит и значение первой критической силы,

Таблица 1

а 4/34 Л

0 43.68 17.54060017038568

10 43.68 61.73360008456593

30 43.68 91.95393728433567

50 43.68 112.1229929869527

70 43.68 132.2920486895459

90 43.68 152.4611043921551

Таблица 2

а 1/200 1/100 к/Я 1/50 1/30 1/20

10 573 254 125 77 62

30 885 433 208 150 93

50 1079 515 291 170 113

70 1274 598 373 190 133

90 1468 681 393 211 153

Зафиксируем значения Ь=200см и г/—0.3 и получим зависимость Л от И/Я при различных а.

Построим соответствующий график при а = 10.

Литература

1. Михайловский Е.И. Деформационная теория ребристых оболочек и её приложения: автореф. дисс.... докт, физ.-мат. наукр. Спеп. 01.02.04 - Мех, деф. тв. тела, Л.: Ленинградский гос. ун-т. 1989. 31с.

2. Новожилов В.В.. Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991, 656 с.

3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1969. 984 с.

4. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат. 1987. 384 с.

5. Михайловский Е.И. Элементы конструктивно-нелинейной механики, Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та. 2011. 212 с,

6. Михайловский Е.И.. Тулубенская Е.В. Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче // ПММ. 2010. Т. 71 Вып. 2. С. 299-S10.

Summary

Mikhailovskii E.I., Korablev A.J. The longitudinal stability of a cylindrical cover supported by stringers in a multimodulus elastic surroundings

In the work the stability of a longitudinal compressed hinge-sup ported cylindrical cover stiffened by stringers and located on the border of two Winkler's ambiences is considered. The problem is solved using a combined exhaustive search algorithm.

Keywords: stability, hinge-supported cylindrical cover, combined exhaustive search algorithm.

Сыктывкарский университет

Поступила 09.06.2013