CC BY
31
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2 (35). С. 89—95
УДК 539.311
ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕБРИСТОЙ ОБОЛОЧКИ
V __ V
В РАЗНОМОДУЛЬНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский ,
Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева
Сыктывкарский государственный университет,
Россия, 167000, Сыктывкар, Октябрьский проспект, 55.
Рассматривается задача об устойчивости продольно сжимаемой шарнирно опёртой цилиндрической оболочки, подкреплённой стрингерами и расположенной на границе двух упругих сред различной жёсткости. Вывод уравнений производился при следующих допущениях: применяется упрощённая теория Доннела-Власова, деформация осесимметрична, стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, на оболочку действует лишь нормальная нагрузка. Решение задачи ищется с помощью комбинированного алгоритма перебора вариантов. Суть метода заключается в последовательном применении алгоритмов полного и локального перебора вариантов. Алгоритм полного перебора вариантов предназначен для построения качественно адекватной формы, после чего для уточнения значения критической силы применяется локальный метод перебора вблизи корней приближения к искомой собственной форме. В результате проведенного численного эксперимента выяснено, что при увеличении количества стрингеров прочность оболочки повышается. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными к настоящему времени в других работах.
Ключевые слова: устойчивость, шарнирно-опёртая цилиндрическая оболочка, комбинированный алгоритм перебора вариантов.
Введение. В работе [1] описана так называемая деформационная теория ребристых оболочек, главная особенность которой заключается в том, что в ней впервые наряду с реактивной силой учтён реактивный момент от ребра жёсткости. Названная теория подробно изложена в монографии [2]. В частности, уравнения статики конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки, получаемые путём «размазывания» регулярной системы стрингеров,
Е. И. Михайловский
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец цитирования: А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева, “Продольная устойчивость ребристой оболочки в разномодульной упругой среде” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 89-95. doi: 10.14498/vsgtu1278.
Сведения об авторах: Кораблев Анатолий Юрьевич, аспирант, каф. математического моделирования и кибернетики. Евгений Ильич Михайловский (12.07.1937-11.07.2013) (д.ф.-м.н., проф.). Елена Владимировна Тулубенская (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математического моделирования и кибернетики. Надежда Александровна Беляева (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического моделирования и кибернетики.
E-mail addresses: astroori@mail.ru (A.Yu. Korablev, Corresponding author), vetamile@rambler.ru (E.V. Tulubenskaya), belyayevana@mail.ru (N.A. Belyaeva)
89
А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева
имеют вид
c0Lu
R2q+1
Kv д4w
R2 +
-Ct
д 2u1
Ж
Kt д 4w
R2 дё2 д^2 K„ д4и2
R2 дё4
Kt д3и2 R2 дё2др
(1)
Здесь первая строка уравнения представляет собой матричную запись уравнений статики цилиндрической оболочки в смещениях; Kv, Kn — жёсткости стрингера при изгибе соответственно в нормальной плоскости и из этой плоскости; Kt — жёсткость при кручении; Ct — жёсткость стрингера при растяжении (сжатии); qi, q2, qn — нагрузка; l — расстояние между соседними стрингерами по дуге поперечного сечения; ё = x/R; p = y/R; R — радиус оболочки.
Будем рассматривать оболочку, расположенную на границе двух винкле-ровских сред различной жёсткости. Примем следующие допущения:
i) для расчёта оболочек без рёбер допустимо использовать упрощённую теорию Доннела—Власова [3, табл. 13.2, форм. (13.18с)];
ii) конструктивно ортотропная оболочка испытывает осесимметричную деформацию, т. е. ()f /др = 0 для любой функции f;
iii) стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, т. е.
C д2ui = Kn д4U2 = 0
Ct дё2 = r2 дё4 =0;
iv) на оболочку действует лишь нормальная нагрузка, т. е. q1 = q2 = 0.
Тогда уравнению (1) можно придать вид
где
A
A
ui
u2
w
R2
со
0
0
qn
со
Eh
^V2 ’
(2)
d2() йё2 0
-v-
йё
0
1 - vd2() 0
—v
d0
йё
0
a33
a33
1 h2 (1 - V2)J
12 R2 + lhR2
d40
йё4
+1,
I — тождественный оператор, J — момент инерции поперечного сечения стержня, h — толщина неподкреплённой оболочки, E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона материала ребристой оболочки.
Для получения из системы (2) соответствующего уравнения относительно функции прогиба воспользуемся операторным методом [4].
«Детерминант» матрицы A имеет вид
det A
1 - v (, (1 - v2)J \ + 2)
2 V12R2 + lhR2 ) йё8 + 2 (1 V ) йё4 '
90
Продольная устойчивость ребристой оболочки ...
Заменяя в матрице A последний столбец правой частью уравнения (2) и вычисляя «детерминант» так составленной матрицы, получим
det Aw
1 — v R2 d4qn 2 co d£4
Применяя формально правило Крамера, можно записать w = det Aw/det A или (det A)w = det Aw. Последнее равенство после элементарных преобразований представляет искомое уравнение в виде
где
1 +
EJ \ d4w
Tdo) W
+ 4b4w
R4
~rqn,
4b4
12(1 — v2)
R2 h2,
do
Eh3
12(1 - v2)
Представим нормальную нагрузку в виде суммы
(3)
qn = qn + qn.
(4)
В условиях наличия внутри и вне оболочки винклеровых сред различной жёсткости ci, c2 соответственно, следуя [5], можно записать q'n = —ciw+ — — C2w-. Кроме этого, при рассмотрении продольной устойчивости цилиндрической оболочки от действия сжимающих усилий To следует положить [3]
и T0 d2w
qn = — R2.
Выполним замену
£
nR
nR x ~L~R
nx
~L
e [0, ,
где L — длина оболочки, и подставим соотношения (4) в уравнение (3), сохранив за новой переменной £ прежнее обозначение £, окончательно получим
(1 + а)
d4w
+ 4e4w + Л
d2w
d2
+ k1w+ + k2w.
0.
(5)
Здесь
а
EJ
Jdo,
Л
ToL2 n2d0 ,
4в4
12(1 — v 2)L4 = Eh3 . = c;L4
n4R2h2 , do = 12(1 — v2), ki =
(6)
где To — сжимающие усилия. Обратим внимание, что параметр Л зависит от сжимающих усилий To.
1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5):
(1 + a)wIV + 4в 4w + k1w+ + k2w- = —Лw" (7)
91
А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева
и найдём минимальное значение Л, соответствующее минимальной нагрузке, при котором краевая задача с граничными условиями шарнирного опирания
w(0) = w(n) = 0; w"(0) = w"(n) = 0
имеет нетривиальное решение.
Проинтегрируем по частям функционал, образованный уравнением (7), умноженный на w(£). Имеем
/*П /*П /*П /*П
(1 + a) w"2d£ + I w2d£ + kW w+2d£ + k2 w-2d£ =
J 0 J 0 JO J 0
ГП
= Л w'2d£. (8)
0
Заменим формулу (8) приближённой с использованием дискретного представления функции w, задаваемой её значениями на равномерной сетке, т. е. wi = w(xi), i = 0,1,... ,n.
Аппроксимируем производные конечно-разностными схемами
, wi+1 - wi-1 „ wi+1 - 2wi + wi-1
w- = ----------; w- = -----------------
г 2 h ; г h2 .
Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле трапеций:
£ f (£)d£ = П(Щ + f (£1) + f (£2) +... + f (£n-1) + f (£n)
n 2 - 2
Значения срезок функции в узлах сетки представляем формулами
1, wi > 0,
w+(£i) = hwh w-(£i) = (1 - bi)wi, bi = j 0, wi ^ 0.
Граничные условия шарнирного опирания аппроксимируем формулами
w-1 = wn+1 = 0, wo = w1/2, wn = wn-1/2.
После преобразования уравнение (7) примет вид
Aw + Cw = ЛQW.
Таким образом, необходимое условие минимума функционала имеет вид
A =
h3
Aw + Cw \Qw = 0,
пятидиагональные:
Г 3.25 -3.5 1
-3.5 6 4 1
a 1 -4 6 -4 1
1 -4 6 -4 1
1 -4 6 -3.5
1 -3.5 3.25
92
Продольная устойчивость ребристой оболочки ...
2.75 —0.5 —1
—0.5 2 0 —1
Q = — Q 4h —1 0 2 0 —1
—1 0 2 0 —1
—1 0 2 —0.5
—1 —0.5 2.75
C = diag [kibi + k2(1 — bi) + 4в4] h.
2. Комбинированный алгоритм. Для решения задачи будем использовать комбинированный алгоритм, который включает в себя применение на первой стадии алгоритма полного перебора вариантов (ППВ), а на последующих — локального перебора вариантов (ЛПВ) [6].
Для построения части собственного спектра уравнения применяется алгоритм ППВ форм изгиба, который заключается в следующем:
i) перебираются все 2m-i возможных представления вектора формы
b = [bi,b2,...,bm-i]T;
ii) для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения;
iii) запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы.
В процессе применения алгоритма ППВ получаем качественно адекватную форму, то есть собственную форму, имеющую устойчивый с ростом m вид графика.
После этого будем применять алгоритм ЛПВ, используя в качестве приближения полученную качественно адекватную форму:
j) последовательно удваиваем число узлов сетки путём деления интервалов пополам;
jj) осуществляем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме;
jjj) процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой точностью.
Проблема нахождения собственных пар для каждого вектора формы решалась с использованием QR-алгоритма, описанного в [8].
Исходная задача
Aw + Cw — AQw = 0
приводится к виду
Q-1(A + C )w = Aw.
Введём следующее обозначение у! = Q-1(A + C). Здесь у! — симметричная положительно определённая матрица, значит, она имеет вещественные собственные числа.
В соответствии с теоремами 3.2.20 и 3.2.46 из [7] реализуется следующий итерационный процесс:
1) A0 = A; 2) Q(fc)R(fc) = A(fc-1)A(fc) = R(fc)Q(fc).
93
А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева
Все полученные матрицы Q(i) перемножаются. В результате столбцы полученной матрицы будут представлять собой собственные векторы, а на диагонали последней матрицы A(k) будут находиться собственные числа.
Таким образом с использованием QR-алгоритма на каждом шаге комбинированного алгоритма возможно эффективное отыскание собственных пар.
3. Численное решение. Применим комбинированный ««ППВ+ЛПВ»-алго-ритм (ППВ при n = 6, ЛПВ при n = 24) при ki = 16 и k2 = 18. Значения параметра а будем изменять в пределах от 0 до 90. Зафиксируем значение параметра 4в4 = 43.68 и согласно формуле (6) получим следующие значения.
а 0 10 30 50 70 90
Л 17.5 61.7 91.9 112.1 132.3 152.5
Из полученных значений видно, что при увеличении параметра а (а = 0 — оболочка, не подкреплённая стрингерами) прочность оболочки повышается, т. к. увеличивается значение Л, а значит, и значение первой критической силы.
Фиксируя значения L и v, получаем зависимость Л от h/R и а. На рисунке приведены графики зависимости Л от h/R при а = 10, 50 и 90 (L = 200 см, v = 0.3).
Заключение. В результате проведённого численного эксперимента видно, что при увеличении параметра а и при уменьшении h/R значение Л увеличивается, в результате чего повышается прочность оболочки. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в статье [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES
1. Е. И. Михайловский, Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2007. 516 с. [E. I. Mikhailovsky, Matematicheskiye modeli mekhaniki uprugikh tel [Mathematical models of elastic bodies], Syktyvkar, Syktyvkar Univ. Press, 2007, 516 pp. (In Russian)]
2. В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский, Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с. [V. V. Novozhilov, K. F. Chernykh, E. I. Mikhailovsky, Lineynaya teoriya tonkikh obolochek [Linear Theory of Thin Shells], Leningrad, Politekhnika, 1991, 656 pp. (In Russian)]
3. А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1969. 984 с. [A. S. Vol’mir, Ustoychivost’ deformiruyemykh sistem [Stability of Deformable Systems], Moscow, Nauka, 1969, 984 pp. (In Russian)]
4. А. П. Филин, Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1989. 384 с. [A. P. Filin, Elementy teorii obolochek [Elements of Shells Theory], Leningrad, Stroyizdat, 1989, 384 pp. (In Russian)]
5. Е. И. Михайловский, Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2011. 201 с. [E. I. Mikhailovsky, Elementy konstruktivno-nelineynoy mekhaniki [Elements of constructive nonlinear mechanics], Syktyvkar, Syktyvkar Univ. Press, 2011, 201 pp. (In Russian)]
94
Продольная устойчивость ребристой оболочки ...
6. Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, “Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче”// ПММ, 2010. Т. 74, №2. С. 299310; Ye. I. Mikhailovskii, Yu. V. Tulubenskaya, “An algorithm for the local exhaustive search for alternatives in an essentially non-linear eigenvalue problem”, J. Appl. Math. Mech., 2010, vol. 74, no. 2, pp. 214-222 doi: 10.1016/j.jappmathmech.2010.05.012.
7. D. S. Watkins, Fundamentals of matrix computations, New York, John Wiley & Sons, 2002, xiii+620 pp. doi: 10.1002/0471249718.
8. M. Panju, “Iterative Methods for Computing Eigenvalues and Eigenvector”, The Waterloo Mathematics Review, 2011, vol. 1, pp. 9-19, arXiv: 1105.1185 [math.NA].
Поступила в редакцию 26/XI/2013; в окончательном варианте — 24/XII/2013; принята в печать — 19/III/2014.
MSC: 74B20; 74K25, 74K05
A LONGITUDINAL STABILITY OF A RIBBED COVER IN A MULTIMODULUS ELASTIC MEDIUM
A. Yu. Korablev, E. I. Mikhailovsky ,
E. V. Tulubenskaya, N. A. Belyaeva
Syktyvkar State University,
55, Oktyabr’skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation.
The stability of a longitudinal compressed hinge-supported cylindrical cover stiffened by stringers and located on the border of two Winkler’s ambiences is considered. The derivation of the equations was carried out under the assumptions: using a simplified, theory of Donnell-Vlasov, axisymmetric deformation of a cover, only normal load acts on the shell. The problem is solved using a combined exhaustive search algorithm. This method includes full and local search of variants to search a form deflection and a critical force. Full search of variants is required to construct a form deflection of a shell. Local search of variants is necessary to clarify a critical force. As a result of numerical experiments we found out that increasing the number of stringers reinforces the shell. These results are consistent with the results obtained in the other works.
Keywords: stability, hinge-supported cylindrical cover, combined exhaustive search algorithm.
E. I. Mikhailovsky
Received 26/XI/2013;
received in revised form 24/XII/2013;
accepted 19/III/2014.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Samara State Technical University.
Citation: A. Yu. Korablev, E. I. Mikhailovsky, E. V. Tulubenskaya, N. A. Belyaeva, “A Longitudinal Stability of a Ribbed Cover in a Multimodulus Elastic Medium”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 2(35), pp. 89-95. doi: 10.14498/vsgtu1278. (In Russian)
Author Details: Anatoly Yu. Korablev, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics. Eugeny I. Mikhailovsky (12.07.1937-11.07.2013) (Dr. Phys. & Math. Sci.). Elena V. Tulubenskaya (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics. Nadezhda A. Belyaeva (Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics.
E-mail addresses: astroori@mail.ru (A.Yu. Korablev, Corresponding author), vetamile@rambler.ru (E.V. Tulubenskaya), belyayevana@mail.ru (N.A. Belyaeva)
95
