Устойчивость решения задачи о восстановлении поверхности по заданной линейной комбинации полной и средней кривизн Текст научной статьи по специальности «Математика»

~ ~ Ь

для непрерывного оператора Л : С\ —»■ С+, определенного равенством (Лг){1) — [ |<3(£, з)1^(з)г(.ч)(Ь +

а

4- аА||.г||с1 + г/(<), сходятся последовательные приближения. Здесь функция /3 € Ь1 [а,Ь] и число а удовлетворяют, соответственно, неравенствам (4) и (10); Л = тах{|Х(¿)| : £ £ [а,6]}; |С(£,з)|, |Х(£)| -

согласованные с пространством Пп нормы пхп - матриц в) (в представлении (3))и фундаментальной матрицы решений Х(-) первого уравнения (2), соответственно; V £ С\_.

Рассмотрим в пространстве С1 уравнение

ь

Фи(Ъ) = J + +!/(*)• (11)

а

Пусть функция и £ С\_ определена равенством

ь

?(*) = I т,з)\тг,т^^, (12)

а

где |С?(£, в)| определена выше.

Теорема. Пусть отображение ц> и произведение обладают свойствами Си£ и Ср, где

функция определена равенством (9), функция и определена равенством (12). Тогда для любого е > 0 существует решение х задачи (1), для которого при любом £ £ [а, 6] выполняется неравенство |ж(£) — ~ ч{1)\ £ 'Фе^), при почти всех £ € [а, 6] выполняется оценка |(£ж)(£) — гио(£)| < е + к({) + &{$)$£{$), а также справедливо соотношение ||Х(-)(го — ¿ж)||с" < + £, где матрица Х(-), число X, функции

д,и;о, вектор го, функция /3 определены выше, з/'г - решение уравнения (11) при V = ие.

Если Ир : Сп —> Г2(П[1/"[а, 6]]), то утверждение справедливо и при е = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

2.Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Матем. сб., 1998, том 189, № 6, 3-32.

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН

© Ю.Г. Фомичева

Проблема устойчивости решения задачи о построении в Е3 поверхности, имеющей своим сферическим изображением открытую полусферу по заданной линейной комбинации /г(и,у)(г = 1, 2) полной и средней кривизн, состоит в оценке близости поверхностей, у которых мало отличаются заданные функции /¿(и, у) в точках с параллельными и одинаково направленными нормалями.

Для опорных функций сравниваемых поверхностей получен следующий результат.

Пусть Ф1 и $2 регулярные поверхности в Е3, имеющие своим сферическим изображением открытую полусферу, гауссовы и средние кривизны которых связаны условиями:

/¿(и,и) = а{(и,у)К{(и,у) + Ьг(и,у))Щ(и,у), где Ог(и,и) > 0, Ми,у) € С1, (г = 1, 2) (1)

[ 1 + ( * * Ц Л | < ciifi < —Ь2, m = const > 0 (2)

ш

\grad\n(—aifi)\ ограничен; (3)

— (с(1 + и2 + v2))2 ^ Ki(u, v) < 0, с = const > 0; (4)

опорные функции которых hi(u,v) € С2 и являются решениями уравнений Монжа-Ампера гиперболичес-

кого типа

¡).iU /у\

fi(u, v)(hiuuh{vv — h^uv) + — - 3 ((1 + u

(1 + u* 4- Vs) 2

+ 2uvhiuv + (1 + v2)hivv) - = 0. (5)

(1 + uz + vzY

Как следует из [1], условия (3), (4) обеспечивают правильность в целом сети характеристик уравнения

(5), совпадающих с асимптотическими линиями поверхностей Фг(г = 1, 2).

Пусть кроме того, для всех сетевых четырехугольников длины их сторон lj(j = 1, 4) удовлетворяют условию

h + h^ih+h), где L = const > 0, зависящая от т и с, (6)

при любой циклической нумерации сторон, а функции fi(u,v) такие, что

Ifiju,v) _ х

¡2(U,V)

^ S, где (5 > 0 достаточно мало. (7)

Тогда для опорных функций /^(г = 1, 2) поверхностей РЫ1 и РЫ2 имеет место оценка

|/ц(и,и) - /12(и,г>)| ^ (8)

ЛИТЕРАТУРА

1. Кантор Б.Е. К вопросу о глобальной правильности сети кривых на плоскости // Вопросы глобальной геометрии. Л., 1979. 36-39.

2. Фомичева Ю.Г. О возможности восстановления поверхности по заданной линейной комбинации полной и средней кривизн // Вестник Тамбовского ун-та, 1997, том 2, вып. 2, 121-130.

3. Ефимов Н.В. Поверхности отрицательной кривизны // Успехи математических наук, 1966, том 21 вып. 5(131), 3-58.