О модуле непрерывности многозначного отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ В Е3 ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ СРЕДНЕЙ И ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗН © О.П. Беляева, Ю.Г. Фомичева

В [3] доказано, что если на (и, у) -плоскости заданы функции а(и,у), Ь(и,у), /(и, у), удовлетворяющие условиям:

/(и, у) = а(и,у)К(и,у) + 2Ь(и,у)Н(и,у),

где а(и,у) > 0, /(и,у)еС\ (1)

1 +

1 + и2 + У2 \ 2 т )

< а/ < -Ь2,

где т = const > 0, (2)

\grad\n(-af)\ ограничен, (3)

то в Е3 существует регулярная поверхность Ф , имеющая своим сферическим изображением открытую полусферу, гауссова К (и, у) и средняя Н(и,у) кривизны которой связаны условием (1). При этом ее опорная функция h = h(u, у) £ С2 и является решением уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа:

f{huuhvv — h2uv) + —— — 77з"Х

(1 + и1 4- у2) 2 х ((1 + u2)huu + 2uvhuv + (1 + y2)hvv) -

~ (1+U2+U2)2 = °- (4) Если дополнительно потребовать, чтобы К (и, у) удовлетворяла условию

1

с2( 1 + и2 + У2)2

< К (и, у) < 0,

то на Ф существуют два семейства асимптотических линий, задаваемых уравнением

h.uudu2 + 2huvdudy + hvvdv2 = 0.

(6)

с = const > 0, (5)

Из (3), (5) следует выполнимость, сформулированных в [2], достаточных условий глобальной правильности сети асимптотических поверхности Ф .

Методом, предложенным Б.Е. Кантором в [1], доказывается

Теорема. Поверхность Ф С Е3 , определяемая опорной функцией И = И(и,у) € С2 , удовлетворяющей уравнению (4), при выполнении условий (1)-(3), (5) единственна с точностью до положения в Е3 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Кантор Б.Е. О неизгибаемости поверхностей // Сибирский матем. ж. 1976. Т. XVII. №5. С. 1052-1057.

2. Кантор Б.Е. К вопросу о глобальной правильности сети кривых на плоскости // Вопросы глобальной геометрии: Сб. Л., 1979. С. 36-39.

3. Фомичева Ю.Г. О возможности восстановления поверхности по заданной линейной комбинации полной и средней кривизн // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 2. С. 121-130.

О МОДУЛЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ © А.И. Булгаков

При исследовании устойчивости множеств решений возмущенных включений (см. [1, 2]) возникает задача об изучении свойств модуля непрерывности многозначных отображений. Приведем

здесь основные свойства модуля непрерывности.

Пусть сотр[Я,г] - множество всех непустых компактов пространства Яп с нормой | • |; /г[-, ■] расстояние по Хаусдорфу между множества-

ми; Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] -» Rn с равномерной топологией сходимости; В[х,6] - замкнутый шар пространства Сп[а,Ь] с центром в точке х и радиусом <5.

Обозначим через Р(Сп[а,Ь\ х [0,оо)) множество всех непрерывных функций uj : Сп[а,6] х х [0, оо) —> [0,оо), для которых выполняются следующие условия : для любых х € Cn[a, 6] и любого S > 0 выполняется неравенство uj(x,ö) > 0; для любого х € Сп[а,Ь] справедливо соотношение и>(х, 0) = 0.

Рассмотрим отображение А : [а, Ь] хСп[а,Ь] -> -> сотр[Яп]. Будем говорить, что отображение Д(•, •) при почти всех t € [a, 6] непрерывно в точке £ € Сп[а, Ь], если для любой последовательности х,- G Сп[а, 6], г = 1,2,... сходящейся к а; в пространстве Сп[а,Ь] при г -> оо, при почти всех t G [a, b] выполняется равенство

lim h[A(t,,x)-, A(t,Xi)] = 0.

i—¥ OO

Если отображение Д(-,-) при почти всех t G [a, b] непрерывно в каждой точке х € Сп[а,Ь], то будем говорить, что оно при почти всех t € [a, 6] непрерывно на Сп[а, 6].

Пусть U С Сп[а,Ь\ и € Р(Сп[а, Ь] х

х [0, оо)). Определим отображение ipu(u) : [a, b]x х U х [0, оо) [0, оо) соотношением

pu{u){t,x,ö) = sup h[A{t,x)-,A(t,y)].

у£Вс[х,ш(х,6)]Г\и

Значение функции <ри(и>)(•, •, ■) в точке (i,x,$) Е Е [a,b\ х U х [0, оо) назовем модулем непрерывности отображения Д : [а, Ь] х Сп[а,Ь] -> сотр[Яп] в точке (t,x,S) по переменной х на множестве U, функцию и>(', •) - радиусом непрерывности, а саму функцию срц(си)(-, ■, ■) - модулем непрерывности отображения Д : [а, Ь] х Сп[а, Ь] —> сотр[Лп] на множестве U относительно радиуса непрерывности w(-,-).

Теорема. Пусть U - непустое, выпуклое компактное множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ы(-,-) Е Р(Сп[а,Ь] х [0,оо)). Далее, пусть отображение Д : [a,i] х C1l[a,b] -» comp[/?n] при почти всех t Е [а, Ь] непрерывно на Сп[а,Ь] и пусть существует такая суммируемая функция ßu : [a,&] -> [0,оо), что при почти всех t Е Е [а, Ь] и любых х Е U справедливо неравенство Д[А(£,а:); 0] ^ 0u{t)- Тогда отображение ipu(uj) :[a,b\xU х [0,оо) -> [0,оо) обладает свойствами : для любых (х, 6) Е U х [0, оо) функция ipir(uj)(-,x,6) измерима; для почти всех t Е Е [а, Ь] отображение ipu(uj)(t, •, •) непрерывно на U х [0,оо); для любого х Е U при почти всех t Е [а, Ь] выполняется соотношение

lim <pu(u)(t, z, ö) = 0;

¿-♦0+0

существует такая суммируемая функция рц : [a,b] —> [0, оо), что при почти всех t Е [а, 6] для любого х € U и для любого 6 Е [0, оо) справедлива оценка ipu(uj)(t,x,S) ^ pu(t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функциональнодифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. №6. С.3-32.

2. Булгаков А.И., Ткач Л. И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. №3. С.3-16.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140).