CC BY
29
УДК 517.911, 517.968
ВОЗМУЩЕННЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
© А.А. Григоренко
Ключевые слова: дифференциальное включение; возмущенное включение; ««овыпуклен-ное» возмущенное включение; возмущенное включение с внешними возмущениями.
В работе рассматриваются возмущенные включения с внешними возмущениями. Исследованы асимптотические свойства множеств решений этих включений.
Пусть X - нормированное пространство; 2А - множество всех подмножеств множества А С X ; А - замкнутое множество А в X ; А£ - замкнутая е -окрестность множества А; НХ [■, ■] - расстояние по Хаусдорфу в метрическом пространстве X ; Н[-, ■] = Нкп [■, ■] ; со А -выпуклая оболочка множества А С X, соА = со А ; сотр^] - множество всех непустых, компактных подмножеств пространства X ; Пусть Ы С [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Ьга(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы ^ М” с нормой
|х(«)| и
П[Ь”[а, Ь]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ь”[а, Ь]; С”[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ^ Мп с нормой ||х||Сп[а,Ь] = тах{|х(£)| : £ € [а, Ь]} ;
В пространстве Сп[а, Ь] рассмотрим возмущенное включение
х € Ф(х) + VФ(х), (1)
где Ф : Сп[а, Ь] ^ сотр[Сп[а, Ь]], Ф : Сп[а, Ь] ^ П[Ъга[а, Ь]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ь”[а, Ь] ^ С” [а, Ь] определен равенством
ь
^г)(£) = У V(£, 5)г(«)^5, £ € [а, Ь]. (2)
а
Отметим, что частные случаи возмущенных включений рассмотрены в работах [1 -6]. Под решением включения (1) будем понимать элемент х € Сп[а, Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ь] ^ М” является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V € Ф(х) и г € Ф(х), что справедливо равенство х = V + Vz .
Рассмотрим в пространстве С”[а, Ь] включение
х € Ф(х) + Vсо(Ф(х)). (3)
Включение (3) будем называть «овыпукленным», возмущенным включением или просто «овыпукленным» включением.
\ъп(и)
х
1661
Далее рассмотрим включение (1) с внешними возмущениями. Такие возмущения в практике имеют место, поскольку они характеризуют погрешность вычислений значений соответствующих многозначных отображений. Этими возмущениями нельзя пренебрегать, т. к. они могут вызвать значительные изменения множества решений возмущенного включения, если отображение Ф : С”[а, Ь] ^ П[Ъ”[а,Ь]] не обладает свойством выпуклости значений.
Обозначим через К([а,Ь] х [0, то)) множество всех функций п : [а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), обладающих свойствами: при каждом 8 > 0 функция п(',8) € Ь1[а, Ь]; для каждого 8 > 0 найдется такая функция в(') € Ь1[а, Ь], что при почти всех £ € [а, Ь] и всех т € [0,8] выполняется неравенство п(£,т) < в(£); при почти всех £ € [а, Ь] справедливо равенство
Пт п(£, 8) = 0. й^0+0
Обозначим через Р(Сга[а, Ь] х [0, то)) множество всех непрерывных функций ш : Сга[а, Ь] х [0, то) ^ [0, то), для которых для любого х € Сга[а, Ь] справедливо соотношение ш(х, 0) = 0.
Пусть многозначное отображение А : [а, Ь] х Сга[а, Ь] ^ сотр[Мга] обладает свойством: при каждом фиксированном х € Сга[а, Ь] отображение А(-,х) измеримо (см. [7 - 10]) и удовлетворяет равенству
Ф(х) = {у € Ьга[а, Ь] : у(£) € А(£, х) при п.в. £ € [а, Ь]}.
Такое отображение существует (см. [2]). Заметим, что для любого х € С”[а, Ь] многозначное отображение А(-,х) : [а, Ь] ^ сотр[Мга] ограничено суммируемой функцией.
Отметим, что если Ф есть многозначный оператор Немыцкого, порожденный функцией ^ : [а, Ь] х Мга ^ сотр[Мга], то для оператора Немыцкого отображение А : [а, Ь] х Сга[а, Ь] ^ сотр[Мга] определяется равенством
А(£, х) = ^(£, х(£)).
Поэтому в этом случае можно отождествить А(-, ■) с ^(■, ■). В связи с этим, в общем случае, естественно назвать отображение А : [а, Ь] х Сга[а,6] ^ сотр[Мга] отображением, порождающим оператор Ф : Сга[а, Ь] ^ П[Ъга[а, Ь]].
Будем говорить, что отображение А(-, ■) при почти всех £ € [а, Ь] непрерывно в точке х € Сга[а, Ь], если для любой последовательности хг € Сга[а, Ь], г = 1, 2,... сходящейся к х в пространстве С”[а, Ь] при г ^ то, при почти всех £ € [а, Ь] выполняется равенство
Пт Н[А(£, х); А(£, хг)] = 0.
Если отображение А(-, ■) при почти всех £ € [а, Ь] непрерывно в каждой точке х € С”[а, Ь], то будем говорить, что оно при почти всех £ € [а, Ь] непрерывно на С”[а, Ь].
Далее будем считать, что отображение А(-, ■), порождающее отображение Ф : Сга[а, Ь] ^ П[Ъга[а, Ь]], при почти всех £ € [а, Ь] непрерывно на Сга[а, Ь].
Рассмотрим оператор Ф : Сга[а, Ь] ^ П[Ъга[а, Ь]] и порождающее его отображение А : [а, Ь] х Сга[а, Ь] ^ сотр[Мга]. Значения отображения А(-, ■), а следовательно, и образы оператора Ф(-) могут вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать функцией п(',') € К([а,Ь] х [0, то)). В связи с этим рассмотрим отображение Ап : [а, Ь] х Сга[а, Ь] х [0, то) ^ сотр[Мга], заданное равенством
Ап (£,х,8) = (А(£,х))п(*’й), (4)
где функция п(', ■) € К ([а, Ь] х [0, то)) в каждой точке (£, х) € [а, Ь] х Сга [а, Ь] при каждом фиксированном 8 € [0, то) определяет погрешность вычисления значения порождающего отображения А(-, ■), причем эти погрешности равномерны относительно переменной
1662
x € Cn[a, b]. Далее, функцию пО, •) будем называть радиусом внешних возмущений порождающего отображения Д(-, •) или просто радиусом внешних возмущений.
Далее, определим отображение Фп : Cn[a, b] х [0, то) ^ n[Ln[a, b]], заданное соотношением
Фп(x, 5) = {У € Ln[a, b] : y(t) € Дч(t, x, 5)}. (5)
Пусть U С Cn[a, b] и пусть функция w(-, •) € P(Cn[a, b] х [0, то)). Рассмотрим многозначное отображение My(w) : U х [0, то) ^ 2U, определенное равенством
Mu(w)(x,5) = BCn[a)b][x, w(x, 5)] П U. (6)
Определим отображение (w) : [a, b] х U х [0, то) ^ [0, то) соотношением
(w)(t, x,5) = sup Л,[Д(^ x); Д(^ y)], (7)
y€Mj (ш)(ж,й)
где отображение My(w) : U х [0, то) ^ 2U задано равенством (6).
Значение функции (w)(-, •, •) в точке (t, x, 5) € [a, b] х U х [0, то) будем называть модулем непрерывности отображения Д : [a, b] х Cn[a, b] ^ comp[R] в точке (t, x) по переменной x на множестве U, функцию w(^, •) - функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом неперерывности, а саму функцию (w)(-, •, •) - функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения Д : [a, b] х Cn[a, b] ^ comp[R] на множестве U относительно радиуса непрерывности w(-, •).
Пусть U С Cn[a, b]. Будем говорить, что функция пО, •) € K([a, b] х [0, то)) 'равномер-
но на множестве U С Cn[a, b] оценивает сверху относительно радиуса непрерывности w(-, •) € P(Cn[a, b] х [0, то)) модуль непрерывности отображения Д : [a, b] х Cn[a, b] ^ comp[R], порождающее оператор Ф : Cn[a, b] ^ n[Ln[a,b]], если для любого е > 0 существует такое 5(е) > 0, что при почти всех t € [a, b] и всех x € U и 5 € (0, 5(е)] выполняется неравенство
(w)(t,x, 5) < n(t,e),
где отображение (w) : [a, b] х U х [0, то) ^ [0, то) определено соотношением (7).
Пусть п(-, •) € K([a, b] х [0, то)) и £(•, •) € P(Cn[a, b] х [0, то)). Рассмотрим в пространстве Cn[a, b] для каждого 5 > 0 включение
x € ^(x))f(x>5) + VФп(x, 5), (8)
где отображение Фп : Cn[a, b] х [0, то) ^ n[Ln[a, b]] задано соотношениями (4), (5).
Каждое решение включения (8) при фиксированном 5 > 0 будем называть 5 -решением включения (1). Обозначим, через Hn(^);,£(5)(U) - множество всех 5-решений включения (1), принадлежащих множеству U С Cn[a, b]. Обозначим множества решений включений (1), (3), принадлежащих множеству U С Cn[a, b], через H(U), Hco(U), соответственно.
Теорема 1. Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Cn[a, b] и £(•, •) € P(Cn[a, b] х [0, то)). Тогда для любой функции пО, •) € K([a, b] х [0, то)), равномерно на множестве U С Cn[a, b] оценивающей сверху относительно радиуса непрерывности w(-, •) € P(Cn[a, b] х [0, то)) модуль непрерывности отображения Д : [a, b] х Cn[a, b] ^ comp[R], порождающее оператор Ф : Cn[a, b] ^ n[Ln[a, b]], справедливо равенство
Hco(U) = f| Hn(i),f(i)(U),
<S>0
где Hn(^)^(^)(U) - замыкание множества Hn(^)^(^)(U) в пространстве Cn[a, b].
1663
З а м е ч а н и е 1. Отметим, что дифференциальные включения являются частным случаем возмущенных включений. А так как для дифференциального включения равенство Н(и) = Нсо(и) может не выполняться (см. пример в [11, 12]), то из теоремы 1 следует, что соотношение _______________
П Нп(<5Ш<5)(и) = П Нп(<5Ш<5)(и)
<5>0 <5>0
может при некоторых (п(-, •),£(•, ■)) € К ([а, Ь] х [0, то)) х Р (Сга[а,6] х [0, то)) не иметь места.
Пусть и С С”[а, Ь]. Будем говорить, что для включения (1) на множестве и С С”[а, Ь] выполняется принцип плотности ( условие плотности), если справедливо равенство
Н (и) = Нсо(и). (9)
Замечание 2. Принцип плотности не всегда выполняется. Это доказывает пример Плиса (А. РИз) (см. [10; 11, с. 63; 12]). Первые достаточные условия, когда выполняется равенство (9), для задачи Коши дифференциального включения получены А.Ф. Филипповым (см. [11, 13]), а для периодических решений и для краевых задач эти условия получены в работах [1, 6, 8].
Теорема 2. Пусть £(•, ■) € Р (Сга[а, Ь] х [0, то)). Если и - непустое замкнутое множество пространства Сга[а, Ь], то для выполнения равенства
НМ = П Н^ш^и) (10)
<5>0
для любого радиуса внешних возмущений п(', ■) € К ([а, Ь] х [0, то)) достаточно, а если и - непустое выпуклое компактное множество пространства Сга[а, Ь], то и необходимо выполнение принципа плотности на множестве и С Сга[а, Ь].
Отметим, что выполнение равенства (10) для любых внешних возмущений (п(', '),£(',')) € К ([а, Ь] х [0, то)) х Р (Сга[а, Ь] х [0, то)) является свойством устойчивости множества решений Н(и) включения (1) относительно этих возмущений.
Следствие 1. Пусть отображения V : Ьга[а, Ь] ^ Сга[а, Ь], Ф : Сга[а, Ь] ^ сотр[Сга[а, Ь]], Ф : Сга[а, Ь] ^ П[Ъга[а, Ь]] обладают свойством В. Тогда для любых (п(', '),£(',')) € К ([а, Ь] х [0, то)) х Р (Сга[а, Ь] х [0, то)) выполняется 'равенство (10) на множестве и = Сга[а, Ь].
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 3. С. 371-379; Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 4. С. 566-571; Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 5. С. 739-746.
2. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.
3. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Возмущенные включения с компактнозначным отображением // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика 2000, № 1. С. 33-40.
4. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия естественные и технические науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 4. С. 461-470.
5. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.
6. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функциональнодифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.
1664
7. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.
8. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // Дифференц. и интеграл. уравнения. Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С. 32-38.
9. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.
10. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.
11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
12. Plis A. Traejectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math. Astron. Phys. 1963. V. 11. № 6. P. 369-370.
13. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 3. C. 16-26.
14. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349); темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Grigorenko A. A. Perturbed inclusions with external perturbations.
In the article the perturbed inclusions with external perturbations are considered. The asymptotic properties of solutions sets of such inclusions are investigated.
Key words: differential inclusion; perturbed inclusion; convexified perturbed inclusion; perturbed inclusion with external perturbations.
1665
