О приводимости задачи Коши функционально-дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

О ПРИВОДИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© А.И. Булгаков, J.P. Munembe, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальные включения нейтрального типа; приводимость.

В работе рассмотрен вопрос разрешимости функционально-дифференциальных включений нейтрального типа с помощью идеи приводимости, сформулированной Н.В. Аз-белевым, для функционально-дифференциальных уравнений, правая часть которых определена на пространстве абсолютно непрерывных функций.

Пусть U € [a, b] — измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ln(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U ^ Rn с нормой ||x||Ln(U) = / |x(s)|ds, L^(U) —

и

пространство измеримых по Лебегу функций x : U ^ Rn, ограниченных в существенном, 2Ln(U) — множество всех подмножеств пространства Ln(U).

Пусть Rn — n -мерное пространство вектор-столбцов с нормой | ■ |.

Обозначим Cn[a, b] (Dn[a, b]) пространство непрерывных (абсолютно непрерывных)

функций x : [a,b] ^ Rn с нормой ||x||cn[a,b] = max{|x(t)| : t € [a,b]} ( ||x||D"[a,b] = b

|x(a)|+J |;x(s)| ds), C+[a, b] — множество неотрицательных функций пространства C^a, b].

а

Пусть X — нормированное пространство с нормой || ||х- Обозначим px[x; U] — расстояние от точки x € X до множества U в пространстве X; hX[Ui; U] = sup pX[x,U] —

x£Ui

полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U в пространстве X; hX[U1; U] = max{h+ [U1; U]; h+[U; U1]} — расстояние по Хаусдорфу между множествами U1 и U в пространстве X.

Далее, пусть Ф С Ln[a, b]. Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если для любых x,y € Ф и любого измеримого множества e С [a, b] выполняется включение X(e)x + Х([а,ь]\е)У € Ф, где %(•) — характеристическая функция соответствующего множества. Обозначим через n(Ln[a, b]) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a,b]. Рассмотрим задачу Коши

x € Ф^), x(a) = x0, (1)

где многозначный оператор Ф : Dn[a, b] ^ n(Ln[a, b]).

Исследование задачи (1) в общем виде вызывает непреодолимые трудности в связи с

тем, что многозначный оператор Ф : Dn[a, b] ^ n(Ln[a, b]), определенный на пространстве

абсолютно непрерывных функций, компактен только в исключительных случаях.

Отметим, что изучением вопроса разрешимости таких включений занимались И.А. Фи-ногенко, А.А. Толстоногов, М. Kisielewicz и др. В работах этих авторов одним из условий предполагалась непрерывность по Хаусдорфу по третьему аргументу (по производной) многозначного отображения в слабой топологии пространства суммируемых функций

1648

(см. [1-3]). На наш взгляд, это требование чрезвычайно жесткое, поскольку оно может не выполняться даже для однозначного оператора Немыцкого линейного относительно производной.

Здесь исследование задачи (1) существенно опирается на идею приводимости (см. [4]), которую в многозначном случае сформулируем в следующем виде.

Будем говорить, что задача (1) приводима, если найдется многозначное слабо компактное отображение Ф1 : Сга[а, b] ^ n(Ln[a, b]), что множество решений задачи

ж € Ф1(ж), ж(а) = Жо, (2)

совпадает с множеством решений задачи (1).

Идею приводимости функционально-дифференциальных включений рассмотрим на примере.

Рассмотрим задачу

X(t) € F(t, x[p(t)], X[g(i)]), ж(а) = ж0 (x(t) € Rn)

- (3)

ж(0 = <p(£), ж(£) = ф(£), если £ € [a, b],

где F : [a, b] x Rn x Rn ^ comp[Rn] удовлетворяет следующим условиям: при почти всех t € [a, b] отображение F(t, ■, ■) непрерывно на Rn x Rn; при каждых (ж, у) € Rn x Rn отображение F(-,ж,у) измеримо (см. [5]); для каждого ограниченного множества U С Rn

существует неотрицательная функция vu € L1[a, b] и число Си, что при почти всех t € [a, b]

для всех ж € U и у € Rn справедливо неравенство

l|F (^ж,у)||кп < vu (t)+ Си |y|. (4)

Функции <р : R1 \ [a, b] ^ Rn, ф : (-то, a) ^ Rn ограничены и измеримы по Борелю, а функция p : [a, b] ^ R1 измерима по Лебегу. Функция g : [a, b] ^ Rn монотонно возрастает и удовлетворяет условиям: существует число т € (0, b — a), что для любого t € [a, b]

, . Mg-1(e)]

выполняется неравенство g(t) ^ t — т; справедливо соотношение sup ------------------— < то,

eC[a,b],^e=0 ^(e)

(g-1(e) — прообраз измеримого множества e); ^[g-1(e)] = 0, если ^(e) = 0.

Под решением задачи (3) будем понимать абсолютно непрерывную функцию ж : [a, b] ^ Rn, удовлетворяющую при почти всех t € [a, b] включению (3) и равенству ж^) = жо-Определим операторы P : Cn[a, b] ^ L^[a, b], G : Ln[a, b] ^ Ln[a, b] равенствами

{ж[p(t)], если p(t) € [a, b],

- (5)

^>[p(t)], если p(t) € [a, b],

f ¡ффЬ если g(t) € [a,b],

(G ж)С0 = < ,^-r ы (6)

[ ф^)], если g(t) € [a, b].

Пусть оператор Немыцкого N : L^0[a, b] x Ln[a, b] ^ n(Ln[a, b]) определен равенством N[ж,у] = {z € Ln[a, b] : z(t) € F(t, ж^), y(t)) при п.в. t € [a, b]}.

Тогда задача (3) эквивалентна задаче

ж € N[P(ж), £(ж)], ж(a) = ж0. (7)

1649

В связи с тем, что правая часть включения (7) определена только на пространстве Юга[а, Ь], слабая компактность оператора N в пространстве Ь”[а, Ь] уже недостаточна для компактности соответствующего интегрального включения. Установить компактность произведения N[Р, Я] в пространстве Юга[а, Ь] невозможно, т. к. оператор Я, определенный равенством (6), не может быть вполне непрерывным, если он отличен от нулевого (см. [4, с. 27]). И, таким образом, непосредственный путь исследования задачи (3) невозможен. Один из возможных путей исследования задачи (3) рассмотрен ниже и основан на идее приводимости.

Будем говорить, что отображение 2 : Ога[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]) слабо компактное в Ьга[а, Ь], если для каждого ограниченного множества V С Ога[а, Ь] образ 2(и) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.

Будем говорить, что задача (3) приводима, если найдется непрерывное (или полунепрерывное снизу), слабо компактное в Ъга[а, Ь] многозначное отображение 2 : Ога[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]), что множество решений задачи

ж € 2(ж), ж(а) = Жо (8)

совпадает с множеством решений задачи (3).

Отметим, что само многозначное отображение 2 в определении приводимости, вообще говоря, знать необязательно, главное знать факт существования такого отображения. Вопрос о разрешимости задачи (8), а следовательно, и (3), как правило, удается исследовать на основе априорных неравенств для исходной задачи (3). Таким образом, установление приводимости задачи (3) позволяет исследовать задачу (3) без условия компактности произведения N[Р, Я]. Ниже реализуем предложенную схему исследования.

Лемма 1. Если множество V С Ьга[а, Ь] выпукло по переключению, то образ N[Р(ж), Я(V)] выпукл по переключению в Ьга[а, Ь] для любого ж € Сп[а, Ь].

Пусть для целого к = 2, 3,... выполняется неравенство к — 1 ^ Ь--“ ^ к. Определим многозначные отображения 2-7' : Ога[а, Ь] ^ 2ЬП[“’Ь], ^ =0,1,..., к — 1 равенствами:

20(ж)= N[Р(ж), Я(0)], (9)

21(ж) = N[Р(ж), Я^[Р(ж), Я(0)])], (10)

2-7'(ж) = N[Р(ж), Я(2^-1(ж))]. (11)

Определим также многозначное отображение 21 : Ога[а, Ь] ^ 2Ь"[“’Ь соотношением

21(ж) = (я € Ьга[а, Ь] : г €N [Р (ж), Я (я)]}. (12)

Лемма 2. Оператор 21 : Сп[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]) непрерывен, слабо компактен в

Ьга[а, Ь], и для любого ж € Сп[а, Ь] выполняется равенство

21(ж) = 2й-1(ж). (13)

Из леммы 2 вытекает

Теорема 1. Задача (1) приводима.

Действительно, так как отображение 21 : Ога[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]) слабо компактно и непрерывно, а множество решений задачи

ж € 21(ж), ж(а) = ж0 (14)

в силу равенства (12) совпадает с множеством решений задачи (8) и, следовательно, совпадает с множеством решений задачи (3), то задача (3) приводима.

1650

Замечание 1. Задача (14) гораздо проще для изучения (см. ниже теоремы 2, 3), чем задача (3) в силу слабой компактности оператора 21. Также отметим, что факт существования отображения 21 устанавливается благодаря понятию выпуклости по переключению множества в пространстве Ь”[а, Ь] (см. леммы 1, 2). В связи с этим понятие выпуклости по переключению является фундаментальным понятием в теории дифференциальных включений, т. к. с помощью этого понятия можно изучать такие дифференциальные включения, которые ранее не поддавались изучению (см. замечание 3).

Замечание 2. Если при всех Ь € [а, Ь] справедливо неравенство р(Ь) ^ Ь, то в этом случае оператор Р : 0”[а, Ь] ^ Ь^0[а, Ь], определенный равенством (5), вольтерров по А.Н. Тихонову. И, следовательно, 21 : Ога[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]) - вольтерров оператор. Поэтому естественно говорить в этом случае, что задача (3) вольтеррово приводима. Таким образом, если задача (3) вольтеррово приводима, то для задачи (3) справедливы утверждения о локальной разрешимости, продолжаемости решений (см. [6]).

Будем говорить, что многозначное отображение ^ : [а, Ь] хКп хКп ^ сошр[Кп] обладает свойством А, если найдутся неотрицательная функция п € Ь1[а, Ь] и число с ^ 0, что при почти всех Ь € [а, Ь] и всех ж1,ж2 , У1,У2 € К” выполняется неравенство

Нщ- [^(Ь, ж1, У1); ^(Ь,ж2,У2)] ^ п(ь)|ж1 — ж21 + с|у 1 — У21 • (15)

Лемма 3. Если отображение ^ обладает свойством А, то для любых ж, у € Сп[а, Ь] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] для отображения 2й-1 : Сп[а, Ь] ^ П(Ьга[а, Ь]), заданного равенством (11) при ] = к — 1, выполняется неравенство

=ь-1(у)] ^ ||Я?-10Р(2(ж — у)))Иь1 (и), (16)

где непрерывный оператор Z : Сп[а, Ь] ^ С+[а, Ь] определен равенством (2ж)(Ь) = |ж(Ь)| , линейный непрерывный оператор Р : С1[а,Ь] ^ Ь^[а, Ь] задан соотношением

{ж[р(Ь)1, если р(Ь) € [а, Ь],

+ - \ (17)

0, если р(Ь) € [а,о],

отображение Я\ : Ь^[а,Ь] ^ Ь1[а, Ь] определяется рекуррентно следующим образом:

(Я?ж)(і) = п(і)х(і), (Я^)^) = п(^)х(і) + сЯ^Пж)^), (18)

для і = 1, 2,..., к — 1

(Я І ж)(і) = п(£)ж(і) + сЯі (Я І- 1 ж)(і), (19)

где функция п Є Ь 1 [а,Ь] удовлетворяет неравенству (15), а линейный непрерывный оператор Я 1 : Ь 1 [а, Ь] ^ Ь 1 [а, Ь] задан равенством

{ж[д(і)], если д(і) Є [а, Ь],

*- ы (20)

0, если д(і) Є [а, о].

Следствие 1. Пусть отображение ^ обладает свойством А. Тогда для отображения Нй-1 : Сп[а, Ь] ^ П(Ьп[а, Ь]), заданного 'равенством (11), для любых ж, у Є Сп[а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство

^"(и)^-1^ 5Й-1(у)] Я{г-1(П)(8)^5Уж — у||сп[а,ф (21)

и

1651

где функция п € Ь1[а, Ь] удовлетворяет неравенству (15), а функция Я?-1(п) € ^1[а, Ь] определяется рекуррентно равенствами (18) -(20), в которых ж = 1.

Действительно, так как операторы Я1, Я1, * = 0,1,..., к — 1 линейны, то при почти всех Ь € [а, Ь] выполняется неравенство

Я?-1 (Р^(ж — у)))(г) « е?-1(пЖ)||ж — уВс-[“’Ц.

Поэтому из неравенства (16) следует неравенство (21).

Следствие 2. Пусть отображение ^ обладает свойством А, а измеримая функция р : [а, Ь] ^ К1 для любого Ь € [а, Ь] удовлетворяет неравенству р(Ь) ^ Ь. Тогда для отображения 2?-1, заданного равенством (11) при ] = к — 1, для любых ж, у € Юга[а, Ь] и произвольного измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство

Ль.(и)[2‘-1(ж),2?-1(у)] < »Я?-1(ч)в(ж — у)|Ь(и), (22)

где функция п € Ь1[а, Ь] удовлетворяет неравенству (15), функция Я?-1 (п) € Ь1 [а, Ь]

определяется рекуррентно равенствами (18) -(20), в которых ж = 1, а 0 определен

t

соотношением (0ж)(Ь) = |ж(а)| + / |ж(з)|^з, Ь € [а, Ь].

а

Будем предполагать, что функции С € Юга[а, Ь] и к € Ь1[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] удовлетворяют неравенству

0Ь"(И)[У, 21(у)] ф)^, (23)

и

где оператор 21 задан равенством (12).

Теорема 2. Пусть функции у € Юга[а, Ь] и к € Ь1[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] удовлетворяют неравенству (23). Далее, пусть отображение ^ обладает свойством А и пусть выполняется неравенство

ь

I Я?-1(п)(^ < 1, (24)

а

где функция п € Ь1[а, Ь] удовлетворяет неравенству (15), а функция Я?-1(п) € Ь1 [а, Ь] определяется рекуррентно равенствами (18) - (20), в которых ж = 1. Тогда для любого е > 0 существует такое решение ж задачи (3), что при любом Ь € [а, Ь] справедлива оценка |ж(Ь) — у(Ь)| ^ Фе(Ь) и при почти всех Ь € [а, Ь] выполняется соотношение |ж(Ь) — у(Ь)| ^ е + к(Ь) + Я?-1(п)(Ь)|Фе1с1[аь], где Ф£ — решение уравнения

t

Ф£(Ь) = ^(е + к(5) + Я?-1(п)(5)|Фе |С1[“’Ь])^« + |ж0 — у(а)|.

а

Далее, рассмотрим вопрос об оценке нормы разности решения задачи (3) и заданной абсолютно непрерывной функции с вольтерровым оператором Р (см. (5)).

Теорема 3. Пусть функции у € Юга[а, Ь] и к € Ь1[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] удовлетворяют неравенству (23). Далее, пусть отображение ^ обладает свойством А и пусть измеримая функция р : [а, Ь] ^ К1 при всех Ь € [а, Ь] удовлетворяет неравенству р(Ь) ^ Ь. Тогда для любого е > 0 существует такое решение ж задачи (3), что при любом Ь € [а, Ь] справедлива оценка |ж(Ь) — у(Ь)| ^ Ф£(Ь) и при

1652

почти всех t € [a, b] выполняется соотношение |X(t) — y(t)| ^ е + K(t) + 1(n)(i)^e(i),

где функция Ф£ при любом t € [a, b] задана равенством

t

Феф = |xo — y(a)|ev(t) + J ev(t)-v(s)(e + K(s))ds,

a

t

v(t) ^ y Gk-1(n)(s)ds,

a

функция n € L1[a, b] удовлетворяет неравенству (15), а функция Gf-1 (n) € L1[a, b] определяется рекуррентно равенствами (18) - (20), в которых x = 1.

Действительно, так как задача (3) приводима, то, согласно равенству (13), неравенству (22) и следствию 2, найдется решение x задачи (3), удовлетворяющее утверждению теоремы.

Замечание 3. Отметим, что в работах [1 — 3], посвященных исследованию вопроса существования решений включений нейтрального типа, предполагалось одним из условий непрерывность по третьему аргументу многозначного отображения в слабой топологии пространства Ln[a, b]. Как уже отмечалось, это условие может не выполняться даже для однозначного линейного оператора Немыцкого. Поэтому результаты, приведенные здесь, не являются следствиями работ [1 - 3]. В связи с этим приводимость функциональнодифференциальных включений играет принципиальную роль при изучении вопросов существования решений включений нейтрального типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фипогепко И. А. Функционально-дифференциальные включения в банаховом пространстве: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1982.

2. Kisielewicz M. Existence theorem for generalized functional-differential equations of neutral type // Journal of Mathematical Analysis and Applied. 1980. V. 78. № 1. P. 173-189.

3. Kisielewicz M. On the trajectories of generalized functional-differential system of neutral type // Journal of Optimization Theory and Applied. 1981. V. 33. № 2. P. 255-266.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллипа Л. Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

6. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1, 2 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1289.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.

Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.

Bulgakov A. I., Munembe J. P., Filippova O. V. On reducibility of the Cauchy problem for functional-differential inclusions.

In the work there is considered the question of solvability of neutral type functional-differential inclusions by means of reducibility idea formulated by N.V. Azbelev for functional-differential equations, the right-hand sides of which are defined on the space of absolutely continuous functions.

Key words: functional-differential inclusions of neutral type; reducibility.

1653