Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ. Часть 3

©А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; выпуклость по переключению значений (разложимость).

Рассмотрены вопросы априорной ограниченности решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями и оценки их решений.

В этой части рассматривается задача Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, сформулированная в части 1

х е Ф(х), (1)

Д(ж(4)) = 4(х(гк)), к = 1,...,ш, (2)

х (а) = х0, (3)

Здесь предполагается,что правая часть включения (1) является непрерывным по Хаусдорфу многозначным отображением. В этом случае доказано, что если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то множество решений задачи (1)-(3) почти реализует (или реализует) расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений (определение см. ниже). На основе этого утверждения получены оценки решений задачи (1)-(3), аналогичные оценкам А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений.

Определение 1. Будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений, если для любого V е Ь”[а, Ь] и любого е > 0 существует такое решение х е С” [а, Ь] задачи (1)-(3), что для любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство

119 - v|ІLn(м) < Рики)[V, Ф(х)] + е^(Ы), (4)

где функция 9 е Ф(х) удовлетворяет равенству (4). Если неравенство (4) выполняется и при е = 0, то будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

Теорема 1. Пусть множество всех локальных решений задачи (1)-(3)(см. §1) априорно ограничено. И пусть отображение Ф : С”[а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]) непрерывно по Хаусдорфу. Тогда множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Если Ф : С'п[а, Ь] ^ 0[£(Ь”[а, Ь])], то множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

Определение2. Будем говорить, что импульсные воздействия 1к : К” ^ К”, к = 1, 2,..., т, обладают свойством А, если для каждого к = 1, 2,..., т найдется непрерывная

неубывающая функция С : К+ ^ К+, удовлетворяющая равенству С(0) = 0, что для любых х, у е К” выполняется оценка

14(х) - /к(у)| < 4(|х - у|). (5)

Определение 3. Будем говорить, что импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1, 2,...,т, и отображение Ф : С”[а, Ь] ^ 5 (Ь”[а, Ь]) обладают свойством (Ги,£,р,к = 1, 2,...,т), если импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1, 2, ...,т, обладают свойством А, и если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : С + [а, Ь] ^ Ь+[а, Ь], удовлетворяющий условиям Г(0) = 0, для любых функций х,у е С”[а, Ь] и любого измеримого множества Ы С [а, Ь] выполняется неравенство

К^и)[ф(х);Ф(у)] < 11Г(2(х - уМиКи); (6)

множество всех локальных решений задачи

у = и + е + Г(у), Д(у(£к)) = Ск(у(^к)), к = 1, ...т, у(а) = р (7)

априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение 2 : С”[а, Ь] ^ С +[а, Ь] определено равенством

(2х)С0 = |х(£)1, (8)

отображения /к : К” ^ К”, к = 1, 2,...,т, удовлетворяют неравенству (5), и е Ь+[а, Ь],

числа е,р > 0.

Пусть для функции у е С” [а, Ь] существует функция С е Ь”[а, Ь], что для любого £ е [а, Ь] имеет место представление

т

£ Х[*ьЬ]С0Д(у(£к)), (9)

к=1

где Д(у^к)), к = 1, 2,..., т, удовлетворяет равенству (2). Пусть для функции к е Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы справедливо соотношение

Ръ^и)[С;Ф(у)] <У к^^ (10)

и

где функции С е Ь”[а, Ь] и у е С”[а, Ь] удовлетворяют равенству (9).

Теорема 2. Пусть для функции у е С”[а, Ь] имеет место представление (9), а функция к е Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] удовлетворяет неравенству (10). Далее, пусть импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1,2,...,т,

и отображение Ф : С” [а, Ь] ^ 5 (Ь”[а, Ь]) обладают свойством (Ги,£,р,к = 1, 2,...,т), где

е > 0, р = |хо — у (а) |, хо— начальное условие задачи (1)-(3). Тогда для любого решения х е С”[а, Ь] задачи (1)-(3), удовлетворяющего для любого измеримого множества Ы С [а, Ь] неравенству (4), в котором функция 9 е Ь”[а, Ь] из представления (4), а функция V = С из соотношения (9), при любом £ е [а, Ь] имеет место оценка

I

у(£) = у(а) + [

|х(£) - у(£)| < С(к,е,р)(£) (11)

и при почти всех £ е [а, Ь] справедливо соотношение

|9(£) - С(£)| < к(£) + е + (12)

где £(х, в, р) — верхнее решение задачи (7) при и = к и р = |хо — у (а) | .

Доказательство. Пусть в > 0 и пусть х € С”[а, Ь]— решение задачи (1)-

(3), удовлетворяющее для любого измеримого множества и неравенству (4), в котором функция д € Ь”[а, Ь] из представления (4), а функция V = С из соотношения (9). Поэтому из равенств (4) и (9) для любого Ь € [а, Ь] получаем оценку

|х(Ь) — у(Ь)| < |хо — у(а)| +

* т (13)

+119(«) — + Е Х(*к,ь](Ь)|Л(х(^) — у(4))|.

а к=1

Так как импульсные воздействия /д : М” ^ М”, к = 1, 2,..., т, обладают свойством А, то из оценок (5) и (13) следует соотношение

|х(Ь) — у(Ь)| < |хо — у(а)| +

* т ~ (14)

+ / |9(«) — + Е Х(*к,б](Ь)С(|х(ЬД) — у(^)|)

а к=1

Далее, так как х € С”[а, Ь] удовлетворяет оценке (4), в которой д € Ф(х) из представления

(4), а функция V = С из соотношения (9), то из оценок (4), (10) для любого измеримого множества и имеют место соотношения

1к — С11 ьу(м) < Рь?(м)[С;ф(х)] + вМи) < Рьп(м)[С;ф(у)] + Рьп(м}[ф(у);ф(х)]+

+в^(и) </(к(«) + в)^5 + J Г(2"(х — у))(«)^5. и и

Таким образом из предыдущих оценок вытекает, что при почти всех Ь € [а, Ь] выполняется неравенство

|д(Ь) — С(Ь)| < к(Ь) + в + Г(£(х — у))(Ь). (15)

Поэтому из оценок (15) и (14) для любого Ь € [а, Ь] вытекает соотношение

t

|x(t) - y(t)| < |xo - y(a)| + /(k(s) + e)ds+

t

m

(16)

+ /r(Z(x - y))(s)ds + E X(tfc,b](t)4(|x(tfc) - y(tfc)|).

tk ,

k=1

Определим отображение 0 : С + [a, b] ^ С + [a, b] равенством

(0x)(t) = sup x(s). (17)

sG[a,t]

Очевидно, что для любого t G [a, b] справедлива оценка

|x(t) - y(t)| < (0Z(x - y))(t). (18)

Из (18), (16) и изотонности отображений Г : С + [a,b] ^ L+[a, b], С : R+ ^ R+, k =

1, 2,...,m, для любого t G [a,b] следует соотношение

t

|x(t) - y(t)| < |xo - y(a)| + /(k(s) + e)ds+

fc=i

t m (19)

+ /r(0Z(x -y))(s)ds + E X(tfc,b](t)4((0Z(x - y))(tfc)).

Так как правая часть оценки (19) не убывает по Ь € [а, Ь], то из определения функции 0 : С + [а, Ь] ^ С+ [а, Ь] (см.(17)) для любого Ь € [а, Ь] получаем оценку

(0^ (х — у))(Ь) < |хо — у (а) | + / (к(з) + в + Г(0^ (х — у))(з))^+

т (20)

+ Е Х(*к,ь](Ь)С((0^(х — У))(^)). Д=1

Поэтому согласно §2 для любого Ь € [а, Ь] справедливо соотношение

(0^(х — у))(Ь) < ^^рХ^ (21)

где £(к, в,р) — верхнее решение задачи (7). Из оценок (21), (20), (18) получаем оценку (11). Из неравенства (15) и соотношения (21) следует неравенство (12). Теорема доказана.

Из теорем 1, 2 вытекает

Теорема 3. Пусть для функции у € С” [а, Ь] имеет место представление (9)

и функция к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества и С [а, Ь] удовлетворяет

неравенству (10). Далее, пусть импульсные воздействия /д : М” ^ М”, к = 1,2,...,т, и отображение Ф : С”[а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]) обладают свойством (Ги,£,р,к = 1, 2, ...,т), где в > 0, р = |хо — у (а) |, хо— начальное условие задачи (1)-(3), и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограниченно. Тогда при в > 0 существует решение х € С”[а, Ь] задачи (1)-(3), для которого при всех Ь € [а, Ь] справедлива оценка (11), и при почти всех Ь € [а, Ь] выполняется соотношение (12).

Если Ф : С”[а, Ь] ^ 0[£(Ь”[а, Ь])], то утверждение справедливо и при в = 0.

Далее рассмотрим задачи, для которых можно получить из теоремы 3 конкретные оценки решений.

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального включения

с импульсными воздействиями

x(t) G F(t,x(t)) при почти всех t G [a, b], (22)

A(x(tfc)) = ffc(x(tfc)), k = 1,2,..., m, (23)

x(a) = x0, (24)

где для любого k = 1, 2,..., m отображение 4 : Rn ^ Rn определено равенством

ffc x = Afc x + gfc,

здесь Afc G Mnxra(Rra), gfc G Rn; отображение F : [a, b] x Rn ^ comp[Rn] удовлетворяет условиям:

1) при всех x G Rn отображение F(-,x) измеримо;

2) существует суммируемая функция l : [a, b] ^ [0, то) такая, что для любых x, y G Rn и при почти всех t G [a, b] выполняется неравенство

h[F(t, x); F(t, y)] < l(t)|x - y|; (25)

3) функция ||F(t, 0)|| : [a, b] ^ [0, то), определенная равенством

||F(t, 0)| = sup |y|,

(t,0)

суммируемая.

Под решением задачи (22)-(24) понимается функция х € С”[а, Ь] , для которой существует такая суммируемая д : [а, Ь] ^ М” , что при почти всех Ь € [а, Ь] справедливо включение д(Ь) € ^(Ь,х(Ь)) и при всех Ь € [а, Ь] имеет место равенство

т

х(Ь) = (Лд)(Ь) + ^ А(х(4)), (26)

д=1

где А(х(Ьд)), к = 1,2, ...,т удовлетворяют равенству (23), а оператор Л : Ь”[а, Ь] ^ С”[а, Ь] определен равенством (7).

Отображение ^ : [а, Ь] х М” ^ еошр[Мга] порождает оператор Немыцкого N : С”[а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]), определенный равенством

Nx = € Ь”[а, Ь] : ^(Ь) € ^(Ь, х(Ь)) при почти всех Ь € [а, Ь]}. (27)

С помощью оператора Немыцкого включение (22) можно записать в следующем эквива-

лентном функциональном виде

х € ^, (28)

где х — «производная решения» х : [а, Ь] ^ М” задачи (1)-(3) (функция д € Ь”[а, Ь] удо-

влетворяет равенству (26)).

Так как для любого к = 1, 2, ... , т, выполняется неравенство

|4х — 4у| < ||А|||х — у|, то отображение С : М+ ^ М+, к = 1, 2,..., т, удовлетворяющее оценке (5), имеет вид

4 х = ||А ||х. (29)

Импульсные воздействия / : М” ^ М”, к = 1, 2,...,т, и отображение N : С”[а, Ь] ^

5(Ь”[а, Ь]) обладают свойством (Ги,е,р,4 ,к = 1, 2,...,т) при Г : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь], заданном равенством

(Гх)(Ь) = 1(Ь)х(Ь). (30)

При этом Г : С+[а, Ь] ^ Ь+ [а, Ь] удовлетворяет условиям: Г(0) = 0, для любых функций х, у € С”[а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство

^(и)№ NУ] < ИГ(^(х — у))|ь!(и),

здесь непрерывное отображение Z : С”[а, Ь] ^ С +[а, Ь] определено равенством (8). Рассмотрим решение задачи

у = и + в + Г(у), Ау(^)= 4(у(^)), к = 1,2, ...т, у(а) = р, (31)

где числа в,р > 0, функция и € Ь+[а, Ь] , отображение Г : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] определено

равенством (30). Решение задачи (31) на промежутке [а, ^] имеет вид

* Ь Ь

Г / 1(т )^Т / 1(з)^£

{(и, в,р)(Ь) = / (и^) + в)в8 ^ + р ва

Рассмотрим продолжение решения задачи (31) на промежуток (^,£2] . Из условия задачи получаем

£(и,в,р)(*1 + 0) = {(и,в,р)(Ь1) + ||А1|{(и,в,р)(Ь1).

Поэтому решение задачи (31) на отрезке [а, Ь2] записывается в виде

Г /1(т )^т J

{(и,в,р)(Ь) = J (и(в) + в)е8 + (у(Ьх) + ||А1|у(Ь1))е‘1

или

*1

* / 1(т )^Г / 1(з)^£

{(и, в,р)(Ь) = /(и(в) + в)е8 + р в“ +

а

Ь1 Ь

/ 1(«)Й«Ч I 1(«)^«

реа ^еЬ1 Х(*1,ь](Ь).

Так как

{(и,в,р)(Ь2 + 0) = {(и,в,р)(Ь2) + ||А2|{(и,в,р)(Ь2),

то продолжение решения задачи (31) на полуинтервал (Ь2, Ьз] имеет вид

* / 1(т )йт / 1(«)й«

{(и, в,р)(Ь)=/(и(в) + в)е8 + ре» +

а

Ь1 Ь1 Ь

*1 / 1(т )^т / 1(з)^£\ / 1(^)^^

/1(т )^т + в)е8 аз +

+

Ь2

/ 1(т )^т

*1

г J ^(^)а^\ л

+ реа ^еЬ1 Х(*1,6](Ь) +

Ь2 Ь

/ 1(«)^«\ I 1(«)^« ав + ре» ^е‘2 Х(*2,6](ь) +

Ь1 Ь1 Ь

J 1(т )^т J 1(з)^£ N / 1(^)^^

+ реа ^еЬ1 Х(*2,Ь](Ь).

На полуинтервал (Ьз,^]

* / 1(т )^т / 1(з)^£

{(и, в,р)(Ь)=/(и^) + в)е8 + ре» +

*1

11(т )Йт

*2

+

+

*3

Ь2

I 1(т )Л

Ь3

I 1(т )Л

Ь1 Ь

+ реа ^еЬ1 Х(*1,6](Ь) +

Ь2 Ь

/ г(в)^8ч ЛМ^ ав + реа ]еЬ2 Х(*2,ь](ь) +

Ь3 Ь

/1(«)^«\ 11(«!№

+ реа ]еЬ3 Х(*3,Ь](Ь) +

*1

+

11(т)Йт

11(т )Йт

Ь2

11(т )Йт

Ь1

/ 1(«)^« \ 11(«)^« ав + реа ^еЬ1 Х(*2,6](ь) +

Ь1 Ь

Л(5)^ ч ЛМ^5

аз + ре» ^еЬ1 Х(*3,ь](ь) +

Ь2 Ь

Л(«)^ч ЛМ^ аз + ре» ^еЬ2 Х(*3,ь](ь) +

/ 1(т )^т

J 1(т)Й.т / 1(з)^£\ «/* 1(й)^й

8 + ре» ^еЬ1 Х(*3 ,ь](ь).

*

в

в

Окончательно получаем формулу

ь ь

^ / 1(т )dт / l(з)dз

{(и, £,р)(Ь) = /(и(в) + е)еа Йв + р е" +

а

. Г 1(тЫт Г 1(зЫз \ / 1(зМз

+ Е 11АУ |/(и(в) + Фа + реа | е‘к Х(4к,ь](Ь)+

т—1 I tl Г 1(т)dт Г 1(зЫз \ / Кз)<Зз

+ I— 11А1 ШИь+Л! |/(и(«) + Фа ав + р е“ ) еЬ1 Х(4к+1,Ь](Ь)+

к=1 \а I

^«2 42 \ 4

^2 Г 1(т)^т Г 1(зЫз \ / 1(зМз

/(и(в) + ф = ^ + р еа I е‘2 Х(4к+1,Ь](Ь)+

а

, ‘г»-1 V г(т)^т V г(з^з\ / '(з^з

+ ||Ат — 1||Ат||| / (и(в)+е)е а + ре а )е‘т-1 Х(4т,Ь](Ь) +

41

^1

(32)

т — 2 / ^ 1 Г 1(т)dт Г 1(зЫз \ / 1(зМз

+ 5— IIА11111^21111^+211 М(и(«) + Фа + ре“ ) е41 Х(*к+2,Ь](Ь) +

к=1 \а /

(«2 «2 \ 4

^2 Г 1(т )dт Г 1(зЫз \ / 1(зМз

/(и(в) + ф = + ре“ I е‘2 Х(*к+3,Ь](Ь) +

а

-2 V г(т)dт ‘V «(з^з\ I Кз^з

+ |Ат—2||||Ат— 1||||Ат||| / (и(в) + ф * ре " )еьт-2 Х(^,ь](Ф

41 41 \ 4

Г 1(т)dт Г 1(з)dз \ / 1(зМз

+ 11А1||||А2|| ... ||Ат У 1/(и(«) + Ф* + р е“ | е41 Х(4т,Ь](Ь).

Пусть для функции у € С”[а, Ь] существует такая функция С € Ь”[а, Ь] , что при любом Ь € [а, Ь] имеет место представление

у(Ь) = у(а) + С(в)ав + ^ Х(*к,ь](Ь)А(у(Ьк)), (33)

*к

к=1

где А(у(Ьд)) , к = 1,2,...,т удовлетворяют равенству (23). Далее, пусть функция к € Ь+[а, Ь] удовлетворяет при почти всех Ь € [а, Ь] оценке

р[С(Ь)ф(Ь,у(Ь))] < к(Ь). (34)

Тогда из теоремы 3 и из приведенных выше рассуждений вытекает, что для любой функции у € С”[а, Ь] , удовлетворяющей представлению (33) и оценке (34), и любого в < 0 существует такое решение х задачи (22)-(24), что для любого Ь € [а, Ь] выполняется неравенство

|х(Ь) — у(Ь)| < {(к,в,р)(Ь) (35)

и при почти всех Ь € [а, Ь] справедливо соотношение

|д(Ь) — С(Ь)| < к(Ь) + в + 1(Ь){(к,в,р)(Ь), (36)

где функция к € Ь+[а, Ь] удовлетворяет оценке (34), функция I € Ь+[а, Ь] из неравенства Липшица (25) для отображения ^ : [а, Ь] х Мга ^ еошр[Мга], {(к, в,р) € С +[а,Ь] определена

г

равенством (32) при и = к и р = |хо — у (а) | . Отметим, что если импульсные воздействия отсутствуют, то приведенные оценки (35), (36) совпадают с оценками А.Ф. Филиппова не только для обыкновенных дифференциальных включений, но и для других типов включений, например, для дифференциальных включений с запаздыванием.

П р и м е р 2. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения с запаздыванием

х(Ь) € Р(Ь,х[^(Ь)]), при почти всех Ь € [а, Ь], (37)

х({) = р({), если { < а ()

где измеримая по Лебегу функция v : [а, Ь] ^ М при всех Ь € [а, Ь] удовлетворяет неравенству ^(Ь) ^ Ь ; ограниченная функция р : (—то, а) ^ М” измерима по Борелю; отображение Р : [а, Ь] х Мп ^ сошр[Мп] и импульсные воздействия : Мп ^ Мп, к = 1, 2,..., т, удо-

влетворяют условиям, описанным в примере 1.

Определим оператор Р : О [а, Ь] ^ Ь^[а, Ь] равенством

(Рх)(о=(х[;,(/>!'если € М; (38)

\ р^(Ь)], если v(^) < а.

Под решением задачи (37), (23), (24) понимается функция х € С”[а, Ь] , для которой существует такая суммируемая д : [а, Ь] ^ М”, что при почти всех Ь € [а, Ь] справедливо включение д(Ь) € N(Рх)(Ь) и при всех Ь € [а, Ь] выполняется равенство (26), где N : Ъ^[а, Ь] ^ £(Ьга[а,Ь]) - оператор Немыцкого, порожденный отображением Р : [а, Ь] х М” ^ сошр[Мп] (см. (27)).

Определим отображение С : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] равенством

(Сх)(Ь) = 1(Ь)(0х)(Ь), (39)

где функция I € Ь+[а, Ь] удовлетворяет условию Липшица (25) для отображения Р : [а, Ь] х М” ^ сошр[М”] , отображение 0 : С+[а, Ь] ^ С +[а, Ь] задано равенством (17).

Далее, зададим отображение Р : С +[а, Ь] ^ [а, Ь] формулой

(Рх)(г) = { хМ‘)]- € [“’Ь]; (40)

\ 0, если v(^) < а,

где измеримая по Лебегу функция v : [а, Ь] ^ М описана выше.

Из условия Липшица отображения Р : [а, Ь] х М” ^ сошр[М”]

и определений отображений Р : С [а, Ь] ^ Ь^[а, Ь] (см. (38)),

Р : С +[а, Ь] ^ Ь^[а, Ь] (см. (40)), Г : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] (см. (30)), С : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь]

(см. (39)), 0 : С+[а, Ь] ^ С+[а, Ь] (см. (17)) для любых х,у € С”[а, Ь] и любого измеримого и С [а, Ь] вытекают соотношения

^(М)^Рх; ^у] < ||ГР^(х — у))||Ь1(М) < |№(х — у))||Ь1(М), (41)

здесь непрерывное отображение Z : С [а, Ь] ^ С +[а, Ь] определено равенством (8).

Пусть функция у € С”[а, Ь] , определенная при любом Ь € [а, Ь] представлением (33), при почти всех Ь € [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Р[С(Ь) Р(^, (Ру)(Ь))] < к1(Ь) (42)

где отображение Р : С [а, Ь] ^ Ь^[а, Ь] задано равенством (38), функция С € Ь”[а, Ь] из соотношения (33), к1 € Ь+[а, Ь] .

Для задачи (37), (23), (24), в силу неравенств (41), можно рассматривать два типа мажорантных оценок.

Рассмотрим первую задачу

у = к1 + е + Г(Р(у)) Ду(4 ) = 4 (у(4)), (43)

к = 1, 2,..., т, у(а) = р,

где функция к1 € Ь+[а, Ь] удовлетворяет оценке (42), отображение Р : С +[а, Ь] ^ Ь^0[а, Ь]

задано равенством (40), импульсные воздействия 4 : М+ ^ М+, к = 1,2,...,т, имеют

вид (29), числа е,р ^ 0, отображение Г : С +[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] определено равенством (39). Найти решение задачи (43) невозможно, поскольку отклонение аргумента (функция v : [а, Ь] ^ М) конкретно не задано. Однако для задачи (43) можно найти оценку, используя метод интегральных неравенств, описанный в §3. Найдем эту оценку.

Рассмотрим задачу

у(Ь) = к1(Ь) + е + ^Х^Х^ Ду(^) = 4 (у(4Ж (44)

к = 1,2,..., т, у(а) = р,

где отображение 0 : С +[а, Ь] ^ С +[а, Ь] задано формулой (17), а импульсные воздействия

4 : М+ ^ М+, к = 1, 2,..., т, имеют вид (29), функция к1 € Ь+[а, Ь] удовлетворяет оценке

(42).

Решение задачи (44) при любом Ь € [а, Ь] определяется формулой

* * т

у(Ь) = р + у(к1(«) + е)^ + У ^Х^Х^ + ^ Д(у(Ьк))Х[*к ,Ь) (Ь). (45)

а а к=1

Так как при любом к = 1, 2,...,т имеет место неравенство Д(у(4)) ^ Д((0у)(4)) , а правая часть равенства (45) не убывает, то из определения отображения 0 : С +[а, Ь] ^ С +[а, Ь] (см. (17)) при любом Ь € [а,Ь] вытекает оценка

* * т

(0у)(Ь) < р + у(к1(«) + е)^ + У ^Х^Х^ + ^ Д((0у)(Ьк))Х[*к ,Ь)(Ь). (46)

а а к=1

Из оценки (46) и теоремы 2 следует, что значение (0у)(Ь) при любом Ь € [а, Ь] не превосходит решения задачи

у = к1 + е + 1у, Д(у(Ьк)) = 4(у(4)), к = 1,2,..., т, у(а) = р. (47)

Решение задачи (47) найдено в примере 1, является функцией £(к1,е,р)(') и определено равенством (32).

Таким образом, из теоремы 3 и приведенных примере 2 рассуждений вытекает, что для любой функции у € С [а, Ь], удовлетворяющей представлению (33) и оценке (42), для любого Ь € [а, Ь] выполняется неравенство

|х(Ь) — у(Ь)| < С(к1,е,р)(Ь) (48)

и при почти всех Ь € [а, Ь] справедливо соотношение

|д(Ь) — С(Ь)| < к1(Ь) + е + 1(Ь)^(к1,е,р)(Ь), (49)

где функция Ki G L+[a, b] удовлетворяет оценке (42), функция l G L+[a, b] из неравенства Липшица (25) отображения F : [a, b] х Rn ^ comp[Rn], £(х, £,p) G С + [a, b] определена равенством (32) при и = к и p = |xo — y(a)| . Отметим также, что если v(t) = t, то приведенные оценки (48), (49) совпадают с оценками, приведенными в примере 1 и в регулярном случае (без импульсных воздействий), с точностью до произвольного £ > 0, совпадают с оценками А.Ф. Филиппова.

ЛИТЕРАТУРА

1.Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.

2. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

3. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

4.Bressan A, Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia. math. 1988. V. 90. № 1. P. 69-86.

5.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

6. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы теории функциональнодифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

7. Завалищин C. Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

9. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter. Berlin; New-York, 2001.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).

Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

Bulgakov A.I, Korchagina E.V., Filippova O.V. Functional-differential inclusions with impulses. Part 3. The questions of a-priori boundedness of solutions to the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with impulses and estimates of solutions are under discussion.

Key words: functional-differential inclusion, impulses, convex-valued with respect to switching.