Estimations of generalized solutions to differential inclusions with impulses and with operator not necessarily convex-valued with respect to switching. Part i Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ

УДК 517.911, 517.968

ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ И

ОПЕРАТОРОМ, НЕ ОБЛАДАЮЩИМ СВОЙСТВОМ ВЫПУКЛОСТИ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ. Часть I

© А.И. Булгаков, Е.В. Малютина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: дифференциальное включение; импульсные воздействия; обобщенное решение; выпуклость по переключению значений.

Для множества обобщенных решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, получены оценки, аналогичные оценкам А.Ф. Филиппова.

Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями были исследованы в монографиях [1-4]. Здесь рассматривается задача Коши функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений. Сформулировано понятие обобщенного решения для такой задачи и найдены оценки обобщенных решений, аналогичные оценкам В.И. Благодатских и А.Ф. Филиппова.

Пусть U € [a, b] — измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ln(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U ^ Rn с нормой ||x||Ln(U) = / |x(s)|ds, L+(U) —

и

множество неотрицательных функций x : U ^ R пространства L1(U) .

Mnxra(R) - пространство матриц размерностью ихи с действительными компонентами.

Далее, пусть Ф С Ln[a, b] . Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если для любых x,y € Ф и любого измеримого множества e С [a, b] выполняется включение Х(е)Х + Х(\а,ъ]\е)У € Ф, где %(•) — характеристическая функция соответствующего множества.

Обозначим через n(Ln[a, b]) ( Q(Ln[a, b])) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства Ln[a,b] .

Пусть X — нормированное пространство с нормой || ■ ||х . Обозначим px[x; U] — расстояние от точки x € X до множества U в пространстве X; hX[U1; U] = sup pX[x,U] —

x£Ui

полуотклонение по Хаусдорфу множества Ui С X от множества U в пространстве X; hX[U1; U] = max{h+ [U1; U]; h+[U; U1]} — расстояние по Хаусдорфу между множествами U1 и U в пространстве X.

Пусть tk € [a, b] (a < t1 < ... < tm < b) - конечный набор точек. Обозначим че-

рез C [a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t1], (t1,t2], ..., (tm, b] ограниченных функций x : [a, b] ^ Rn, имеющих пределы справа в точках tk,

1631

к = 1, 2,...,т, с нормой ||ж|1с"[а6] = 8ир{|ж(£)| : £ € [а, Ь]}, 0+[а, Ь] - множество неотрицательных функций пространства С [а, Ь].

Пусть Ф - непустое подмножество пространства Ьп[а, Ь]. Обозначим через з-шФ совокупность всевозможных конечных комбинаций

у = х(^1)ж1 + х(^2)ж2 + ... + х(ит)жт, элементов Жг € Ф, г = 1, 2,..., т, где непересекающиеся измеримые подмножества и, г =

т

1, 2,..., т отрезка [а, Ь], удовлетворяют условие У = [а, Ь]. Пусть далее ЗшФ замыка-

г=1

ние множества §шФ в пространстве Ь”[а, Ь].

Рассмотрим задачу

ж € Ф(ж), (1)

А(ж(4)) = 4(ж(^)), к = 1,... ,т, (2)

ж(а) = ж0, (3)

где отображение Ф : С [а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией и найдется такое симметричное отображение Р : С [а, Ь] х С [а, Ь] ^ Ъ+[а, Ь], принимающее нулевое значение на диагонали произведения С [а, Ь] х С [а, Ь], непрерывное на ней, что для любых ж, у € С [а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется оценка

^ьп(м)[ф(ж), Ф(у)] < ||р(ж,у)|ь1(м). (4)

Отметим, что правая часть включения (1) может не обладать свойством выпуклости по переключению значений. Отображения /& : Мга ^ Мга, к = 1, 2, ...,т , непрерывны, Аж(^) = ж(£к + 0) — ж(£к), к = 1,2,...,т. ^

Под обобщенным решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию ж € Сп[а, Ь], для

которой существует такое д € ЗшФ(ж), что при всех í € [а, Ь] имеет место представление

К т

Ж^) = Жо + д(з)^ + ^2х(гк,ь]^)А(ж^к)), (5)

а к=1

где А(ж(£&)), к = 1,...т удовлетворяют равенствам (2).

Следует отметить, что если множество Ф(ж) в (1) выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (1)-(3) совпадает с классическим решением (см. [5, 6]).

Отметим также, что к задаче (1)-(3) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления с импульсными воздействиями, в которых в связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит

с одного закона управления на другой (регулируется разными правыми частями). Так как

отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения задачи (1)-(3) и составляют множество всех таких траекторий.

По заданному отображению Ф : Сп[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) определим многозначный оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ъга[а,Ь]) равенством

Ф (ж) = ЗшФ(ж). (6)

1632

Отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]) будем называть «овыпукленным по переключению» отображением.

Будем говорить (см. [7]), что оператор Ф вольтерров по А.Н. Тихонову (или вольтерров ), если из условия ж|т = у|т, т € (а, Ь), следует равенство ( Ф(ж))|т = ( Ф(у))|т, где г|т— сужение функции г € Сп[а, Ь] на отрезок [а, т], ( Ф(г))|т — множество сужений функций из множества Ф(г) на отрезок [а, т].

Далее предположим, что оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) (правая часть включения (1)) вольтерров. Из этого условия вытекает, что овыпукленный по переключению оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ъга[а, Ь]), определенный равенством (6), также вольтерров. Кроме того, в силу оценки (4) оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ П(Ьга[а, Ь]) непрерывен по Хаусдорфу (см. [6]).

Определение 1. Будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (1)-(3) почти реализует в пространстве суммируемых функций расстояние от любой

суммируемой функции до значений обобщенных решений, если для любого V € Ьга[а, Ь]

и любого е > 0 существует такое обобщенное решение ж € Сп[а, Ь] задачи (1)-(3), что для любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство

||д — V||ьп(м) < РЬ"(М)К Ф(ж)] + е^(и), (7)

где функция д € Ф(ж) удовлетворяет равенству (5).

Определение 2. Будем говорить, что импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1, 2,..., т, обладают свойством А, если для каждого к = 1, 2,..., т найдется непрерывная неубывающая функция С : К+ ^ К+, удовлетворяющая равенству С (0) = 0, что для любых ж, у € К” выполняется оценка

!4(ж) — 4(у)! < С(|ж — у|). (8)

Определение 3. Будем говорить, что импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1, 2,...,т, и отображение Ф : Сга[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) обладают свойством (Ги,£,р,к = 1, 2, ...,т), если импульсные воздействия /к : К” ^ К”, к = 1, 2, ...,т, обладают свойством А, и если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : С+[а,Ь] ^ Ь+[а, Ь], удовлетворяющий условиям: Г(0) = 0, для любых функций ж,у € Сга[а, Ь] и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется неравенство

^ь-(м)[ ф(ж);ф(у)] < ИГ(^(ж — у))|ь1(м);

множество всех локальных решений задачи

у = и + е + Г(у), А(у(£к)) = Фк(у(^к)), к = 1, ...т, у(а) = р (9)

априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение Z : Сга[а, Ь] ^ С +[а, Ь] определено равенством

^ж)С0 = (10)

отображения /к : Кга ^ Кга, к = 1, 2, ...,т, удовлетворяют неравенству (7), и € Ь+[а, Ь], числа е,р > 0.

Пусть для функции у € Сга[а, Ь] существует функция Ф € Ьга[а, Ь], что для любого £ € [а, Ь] имеет место представление

т

Ф(з)^« + ^ Х[*^,б](£)А(у(£к)), (11)

у(£) = у(а) +

С

1633

где А(у(£к)), к = 1, 2,..., т, удовлетворяет равенству (2). Пусть для функции к € [а, Ь]

для каждого измеримого множества и справедливо соотношение

Рь"(м)[Ф;ф(у)] <У (12)

и

где функции Ф € Ьга[а, Ь] и у € Сга[а, Ь] удовлетворяют равенству (11).

Теорема 1. Пусть для функции у € Сга[а, Ь] имеет место представление (11),

а функция к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству (12). Далее, пусть импульсные воздействия /к : Кга ^ Кга, к = 1, 2,...,т, и отображение Ф : Сга[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) обладают свойством (Ги,£,р,к = 1, 2, ...,т), где е > 0, р = |жо — у (а) |, Ж0— начальное условие задачи (1)-(3). Тогда для любого решения ж € Сга[а,6] задачи (1)-(3), удовлетворяющего для любого измеримого множества и С [а, Ь] неравенству (7), в котором функция д € Ь”[а, Ь] из представления (5), а функция

V = Ф из соотношения (11), при любом £ € [а, Ь] имеет место оценка

|ж(£) — у(£)| < С(к,е,р)(£)

и при почти всех £ € [а, Ь] справедливо соотношение

|д(£) — Ф(£)| < к(£) + е +

где {(к, е,р)— верхнее решение задачи (9) при и = к и р = |ж0 — у (а) | .

Лемма 1. Пусть В - Банахово пространство и пусть ограниченные множества А1, А2, В1, В2 С В . Обозначим К1 = В1 , К2 = А2 и В2 . Тогда

Лв [К1, К2] ^ шах{Лв [А, А2], Лв [В1, В2]}.

Лемма 2. Пусть множества Ф г € П(Ъга[а, Ь]), г = 1, 2 и измеримые отображения ^ : [а, Ь] ^ сотр[Кга], г = 1, 2 связаны между собой соотношениями Фг = Б№(•)), г = 1, 2. Тогда для любого измеримого множества и С [а, Ь] выполняется равенство

Льп(и)[Ф 1; Ф2] = У ВД(£); ^з(£)]^£. и

Пр и м е р. Пусть многозначное отображение Р : Сга[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) задано равенством

Р (ж) = Ж1(ж) и Ж2(ж) и ... и N (ж), (13)

где N : Сга[а, Ь] ^ П(Ьга[а, Ь]) , г = 1,2,..., г — многозначные операторы Немыцкого,

порожденные отображениями ^ : [а, Ь] х Кга ^ еошр[Кга] , г = 1, 2,..., г, и заданные равенствами

Жгж = {г € Ьга[а, Ь] : г(£) € ^(¿, ж(£)) при почти всех £ € [а, Ь]}, (14)

здесь отображения ^ : [а, Ь] х Кга ^ еошр[Кга] , г = 1, 2,..., г, удовлетворяют условиям:

1) при всех ж € Кга отображения ^(-,ж) измеримы (см. [8]);

2) существуют суммируемые функции : [а, Ь] ^ [0, то) такие, что для любых ж, у € К” и при почти всех £ € [а, Ь] выполняются неравенства

Л[^(£,ж); ^(¿,у)] ^ 1г(£) |ж — у |, г = 1, 2 ...г; (15)

3) функции ||^(£, 0)|| : [а, Ь] ^ [0, то), определенные равенствами

||^(£, 0)|| = вир |у|, г = 1, 2,..., г,

у€^;(*,0)

1634

суммируемы.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения с правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями

x € Px (16)

A(x(tfc)) = 4(x(ifc)), k = 1,2,..., m, (17)

x(a) = x0, (18)

где для любого k = 1, 2,..., m операторы 4 : Rn ^ Rn имеют вид

Ik x = Afc x + gfc,

здесь Ak € Mnxn(R), gk € Rn; отображение P : Cn[a, b] ^ Q(Ln[a, b]) задано равенством (13).

В этом случае «овыпукленное по переключению» отображение P : Cn[a, b] ^ n(Ln[a, b]) порождается отображением F : [a, b] х Rn ^ comp[Rn], которое имеет вид

F(t, x) = Fi(i, x) U F2(t, x) U ... U Fr(t, x).

Под обобщенным решением задачи (16)-(18) понимается функция x € Cn[a, b] , для

которой существует такая суммируемая q : [a, b] ^ Rn , удовлетворяющая включению q €

Px , что при всех t € [a, b] имеет место равенство

t m

x(t) = xo + q(s)ds + X(ife,b](t)A(x(tfc)), (19)

a k=i

где A(x(tk)) , k = 1, 2,..., m удовлетворяют равенству (17).

Так как для любого k = 1, 2,..., m, выполняется неравенство

|4x - Iky| ^ |||||x - y|,

то отображение Ik : R+ R+, k = 1, 2, ...,m, удовлетворяющее оценке (8), имеет вид

4x = ||Afc ||x. (20)

Таким образом, импульсные воздействия /к : Rn ^ Rn, k = 1, 2,..., m, обладают свойством A (см. определение 2).

Пусть отображение Г : C+ [a, b] ^ L+[a, b], задано равенством

(rx)(t) = l (t)x(t), (21)

где суммируемая функция l : [a, b] ^ [0, то) определена соотношением

l(t) = max{l1 (t), l2(t),..., lr(t)}, (22)

где функции 1^ : [a, b] ^ [0, то) удовлетворяют оценкам (15). При этом Г : C+ [a,b] ^ L+[a, b] удовлетворяет условию: Г(0) = 0.

Пусть множество U С [a, b] измеримо и функции x,y € Cn[a, b] . Из лемм 1, 2 и неравенств (15) следует

hb"(M)[Px, Py] ^ . max )[Njx,Njy] =

*=1,2’"',г (23)

= max JhLn(u)[Fi(t,x(t)), Fi(t,y(t))]dt ^ max Jlj(t)|x(t) - y(t)|dt. ( )

г=1,2,''',г и г=1,2,''',г и

1635

Из определения функции I : [а, Ь] ^ [0, ж) (см. (22) для любого г = 1, 2,..., г вытекает оценка

У ¿¿(¿)|ж(*) - у(^)|^ ¿(¿)|ж(£) - у(£)|^- (24)

и и

Поэтому из неравенств (23), (24) следует, что для любого измеримого Ы С [а, Ь] и любых ж, у € Сп[а, Ь] выполняется соотношение

Ьь"(и) [Рж, Ру] /(¿)|ж(£) - у(^)|^^ = ||Г(^(ж - у)) | !ь!(и), (25)

и

где суммируемая функция I : [а, Ь] ^ [0, ж) определена равенством (22), отображение Г : С +[а,Ь] ^ Ь+[а, Ь] задано равенством (21), непрерывное отображение Z : Сп[а, Ь] ^ С+[а, Ь] задано формулой (10).

Таким образом, отображение Р : Сп[а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) с импульсными воздействиями 1к : Мга ^ Мга, к = 1,2,...,т, обладает свойством (Ги,£,р,/к , к = 1,2,...,т) при Г : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь], заданном равенством (21).

Рассмотрим решение задачи

у = и + е + Г(у), Ду(^) = 4(у(4)), к = 1,2,...т, у(а) = р, (27)

где числа е,р > 0, функция и € Ь+[а, Ь] , отображение Г : С+[а, Ь] ^ Ь+[а, Ь] определено равенством (21). Решение задачи (27) на промежутке [а,¿1] имеет вид

¿г г

А/ ч / ч // / ч ч $1(т)Лт 1 11(з)аз

4(и,е,р)(£) = / (и(з) + е)ез аз + ре» .

Рассмотрим продолжение решения задачи (27) на промежуток (¿1, ¿2] . Из условия задачи получаем

4 (и, е, р) (¿1 + 0) = 4(и,е,р)(^) + ||А1П4(и, е, р) (¿1).

Поэтому решение задачи (27) на отрезке [а, ¿2] записывается в виде

£

/ 1(т )<1т } ¿(з)^

4 (и, е, р) (¿) = /(и(з) + е)ев аз + (у (^ 1) + ||А1 |у(^1))е’

или

¿г г

Г / 1(т)д,т f l(s)ds

4(и, е,р)(£) = / (и(з) + е)е8 аз + ре» +

С1 г1

/ Г / ¿(т^т f l(s)ds\ /

+ 11^1^ /(и(з) + е)е* аз + ре» ^ Х(*1,Ь](*)-

Так как

4(и, е, р) (¿2 + 0) = 4(и, е, р) (¿2) + || А-2 114(и, е, р) (¿2),

1636

то продолжение решения задачи (27) на полуинтервал (¿2 , ¿3] имеет вид

¿4 ‘

Г / 1(т ^т / 1(з^з

4(и,е,р)(£)= / (и(з) + е)е8 аз + ре» +

¿1 41 41 4 и

/ Г Г 1 (т)dт Г 1 Чз)^

+ ||А1^у (и(з) + е)е* аз + ре» )е41 Х(*1,Ь](^) +

а

¿2 ^2 ¿2 4

/ Г Г 1(т )dт Г 1(з^з\ / 1(з)^

+ ||А2||(у (и(з)+ е)е* аз + ре» )е‘2 Х(*2,Ь](*) +

а

‘ 41 <

/ 1(т)dт / I 1(з)^

/ Г 1 (т)dт 1 (s)ds\ J Ч«)^

+ ||А1||А2^у (и(з)+ е)е* аз + ре» )е41 Х(*2,Ь](*)-

На полуинтервал (¿3, ¿4]

¿4 4

Г / 1(т )dт f 1(з^з

4(и,е,р)(£)= / (и(з) + е)е8 аз + ре» +

¿1 (1 (1 4

/ /" Г 1(т ^т Г I 1(з)^

+ ЦА1||(у (и(з)+ е)е* аз + ре» )е41 Х(*1,Ь]С^)+

а

¿2 ^2 ^2 4

/ /* Г 1(т )dт Г 1(з^з\ I 1(з)^

+ ||А2^У (и(з)+ е)е* аз + ре» )е‘2 Х(*2,6](£) +

а

¿3 ^3 ^3 4

/ Г Г 1(т )dт Г 1(з^з\ / 1(з)^

+ ЦАз||(у (и(з)+ е)е* аз + ре» )е‘3 Х(*з,ь](^) +

а

¿1 ‘1 ‘1 4 ,/ Чл

/ Г Г 1(т)dт Г г(зЫз\ 1 Чз)^

+ ИА1||А2^У (и(з)+ е)ез аз + ре» )е41 Х(*2,6](^) +

а

¿1 ‘1 41 4 ,/ Чл

/ Г Г 1(т)dт Г г(зЫз\ 1 Чз)^

+ ИА1||А3^У (и(з)+ е)ез аз + ре» )е41 Х(*3,6](^) +

¿2 ‘2 ^2 4

/ /* Г l(т)dт Г 1(зЫз \ / 1(з)^

+ ||А2||Аз^у (и(з) + е)е* аз + ре» )е42 Х(*3,Ь](*) +

‘1 ‘1

/ С Г 1(т)dт Г 1(зЫз\ / 1(з)^

+ |А1||А2||А3^У (и(з)+ е)ез аз + ре» )е1 Х(*3,Ь](Ж

1637

Окончательно получаем формулу

* / 1(т ^т / ¿(з^з

4(и, е,р)(£) = /(и(з) + е)е8 аз + ре» +

а

ш /¿к Г ¿(т)dт Г ‘ ¿(з)^

+ Ё НА || И (и(з) + е)е - аз + ре» I е4к Х(йг,6] (¿) +

Й=1 \ а /

(‘1 ‘1 \ ‘

¿1 Г 1(т )dт Г ¿(«Ыз \ I 1(зМз

Ли(з) +е)е8 аз + ре» Iе41 Х(^+ьь]С0+

а

/ ‘2 ‘2 \ ‘

т-2 / ¿2 Г ¿(т)dт Г ¿(«Ыз \ / 1(з)^

+ Е ||А2ННА*+1И N (и(з)+ е)е 8 аз + ре» I е42 Х(4к+1,Ь](^) +

Й=2 \ а I

4т- 1 4т-1 \ г

¿т-1 Г !(тЫт Г 1(«^3 \ ] Чз)^

+ |Ат-1 ||||Аш||1 / (и(з)+ е)е 8 аз + ре » 1е4т-1 Х(<т,Ь] (¿) +

(‘1 ‘1 \ 4

¿1 Г 1(т )dт Г /(зЫз \ / 1(з)^

/(и(з)+ е)е 8 аз + ре» I в*1 Х^^.Ь] (¿) +

а

^‘2 ‘2 \ 4

¿2 Г ¿(т)dт Г ¿(«Ыз \ I 1(з)^

/(и(з)+ е)е8 аз + ре» I е*2 Х(^+3,Ь]№ +

а

4т-2 4т-2 \ ‘

(28)

//4-2 III 2 \ г- , .

¿и1-2 Г !(тЫт Г J Чз)^

+ |Ат-21||| Ат-11||| Ат||1 / (и(з) + е)е 8 аз+ ре » (е^-2 Х^Ь]^

а

‘1 ‘1

¿1 Г ¿(т)dт Г /(зЫз \ / ¿(з)^

+ 11А1||||А2|| ••• Ц^шУ | / (и(з)+ е)е8 аз + ре» I е41 Х(4т ,6](^)-

а

Пусть для функции у € С”[а, Ь] существует такая функция д € Ь”[а, Ь] , что при любом Ь € [а, Ь] имеет место представление

ш

у(^ = у(а) + д(з)аз + X) Х^ьЧ^^у^)), (29)

й=1

где Д(у(4)) , к = 1,2,...,т удовлетворяют равенству (17). Далее, пусть функция к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] удовлетворяет соотношению

Рь"(и)[д, Р(у)] к(з)аз. (30)

и

Тогда из теоремы 1 вытекает, что для любой функции у € С”[а, Ь] , удовлетворяющей представлению (29) и оценке (30), и любого е > 0 существует такое обобщенное решение ж задачи (16)—(18), удовлетворяющее для любого измеримого множества Ы С [а, Ь] неравенству

||9 - 311ь"(и) < Рь™(и) [V, ф(ж)] + е^(Ы),

с

1638

в котором функция q € q(ж) из представления (5), а функция q € Ln[a, b] из соотношения (29), что для любого t € [a, b] выполняется

|x(t) - y(t)| < £(K,e,P)(t) (31)

и при почти всех t € [a, b] справедливо соотношение

|q(t) - q(t)| < K(t)+ e + l(t){(K,e,p)(t), (32)

где функция к € L+[a, b] удовлетворяет оценке (30); функция l : [a, b] ^ [0, ж) задана равенством (22); £(к, e,p) € C +[a, b] определена равенством (28) при u = к и p = |жо — y(a)| . Отметим, что если импульсные воздействия отсутствуют, то приведенные оценки (31), (32) совпадают с оценками В.И. Благодатских и А.Ф. Филиппова с точностью до произвольного e > 0 (см. [1], [9]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Самойленко А. М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздей-

ствиями. К.: Вища шк., 1987.

3. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

5. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестник Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. № 1. С. 3-20.

6. Пучков Н.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А., Коробко А.И., Корчагина Е.В., Мачина А.Н., Филиппова О.В., Шлыкова И.В. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. № 4. С. 947-974.

7. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 480.

9. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды мат. инст. им. Стеклова, 1985. Т. 169. С. 194-252.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.

Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.

Bulgakov A.I., Filippova O.V., Malyutina E.V. Estimations of generalized solutions to differential inclusions with impulses and with operator not necessarily convex-valued with respect to switching. Part I.

For generalized solutions set to differential inclusions with impulses and an operator not necessarily convex-valued with respect to switching there are received estimations similar to those of A.F. Filippov.

Key words: differential inclusion; impulses; generalized solution; convexity with respect to switching of values.

1639