CC BY
45
f3(t) = max f (b(r) — a(r)^\ dr.
^pjT V )
Эти формулы были использованы в работе [6] при рассмотрении игры
Z = —a(t)u + b(t)v, ||u|| ^ 1, ||v|| ^ 1,
z(p) e Z
с интегральной платой
ГР
/ g(r, ||u(r)||) dr ^ min,
Jto
где g(t, ф) при каждом t ^ p выпукла по ф e [0,1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т. 112. № 3. С. 307-330.
3. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 195-252.
4. Ухоботов В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 5. С. 196-204.
5. Ухоботов В.И. Однотипные дифференциальные игры // Вестник ТГУ. Серия Естественные и тех-ничекие науки. 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 540-541.
6. Ухоботов В.И., Гущин Д.В. Однотипная задача управления с выпуклой целью при наличии помехи // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2012. Вып. 6. № 11 (270). С. 24-28.
Ukhobotov V.I. ALTERNATING INTEGRAL FOR A DIFFERENTIAL GAMES The differential game with simple movement where each player vektogram determined by homothetic stretching of the image of the given convex-valued functions is considered. The problem of constructing a Pontryagin alternating integral in the case of a convex terminal set is researched.
Key words: differential game; control.
УДК 517.911, 517.968
ПРИНЦИП ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И НЕВЫПУКЛОЙ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
© О.В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; обобщенное решение; обобщенное квазирешение; априорная ограниченность.
В работе вводятся понятия обобщенного решения и обобщенного квазирешения задачи Коши для импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью, с импульсными воздействиями и запаздыванием. Сформулировано свойство, когда множество обобщенных решений задачи Коши плотно во множестве решений «овыпукленного» включения, которое называют принципом плотности.
2721
Обозначим через М” п -мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; сошр[М”] — множество всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств пространства М”; Ьга[а, Ь] — пространство суммируемых по Лебегу функций х :[а,Ь] М” с нормой
Нж1к"[а,ь] = / |х(з)|^з; Ц^[а, Ь] — пространство измеримых по Лебегу ограниченных в суще-
ственном функций х :[а,Ь] М” с нормой ||х||^ [а,ь] = vraisup{|x(t)| : Ь € [а, Ь]}; Q(L”[a,Ь])
— множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ъ”[а, Ь]; Sw(L”[а, Ь]) - множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L”[a, Ь]; Q(Sw(L”[a, Ь]))
- множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L” [а, Ь].
Пусть отображения Fi: [а, Ь] х М” сошр[М”], г = 1, 2,... ,г, удовлетворяют условиям:
1) при всех х € М” отображения Fi(^,х) измеримы;
2) существуют суммируемые функции и : [а, Ь] ^ [0, то) такие, что для любых х,у € М” и при почти всех Ь € [а, Ь] выполняются неравенства
суммируемы.
И пусть N : L^э[a, Ь] ^ Sw(L”[a, Ь]) — многозначные операторы Немыцкого, порожденные отображениями Fi: [а, Ь] х М” сошр[М” ], г = 1, 2,... ,г, и заданные равенствами
Рассмотрим задачу Коши для импульсного функционально-дифференциального включения с запаздыванием и правой частью, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений
где измеримые по Лебегу функции ^ : [а, Ь] ^ М, г = 1, 2,... ,г, при всех Ь € [а, Ь] удовлетворяют неравенству ш^Ь) ^ Ь, ограниченные функции :(-<Х),а) ^ М” измеримы по Борелю; для любого к = 1, 2,...,т импульсные воздействия Iк : М” ^ М”, определены равенствами
а
Н[Еі(і,х); Fi(t,y)} ^ їг(і)Іх - уі, і = 1, 2 ...г;
(5)
3) функции |^(^ 0)|| : [а, Ь] ^ [0, то), определеные равенствами
№(Ъ 0)|| = йир ІуІ, і = 1, 2,...,г,
у€Рі(і,0)
Міх = {г Є Ьга[а, Ь] : г(і) Є Fi(t, x(t)) при почти всех t Є [а, Ь}}.
(6)
X Є М\(Р\х) и Щ(Р2х) и ... и N(Ргх), A(x(tfc)) = їк(x(tfc)), к = 1,2,...,т, х(а) = х0,
(7)
(8)
(9)
здесь операторы Рі :ЄП[а, Ь] ^ Ь^[а, Ь], і = 1, 2,...,г, имеют вид
х(ші^)), если ші(і) Є [а, Ь]; Фі(ші(і)), если ші(і) <а,
(10)
їк х = Лк х + дк,
здесь Лк Є Мгахга(Мга), дк Є Мга.
Определим отображение Ф: С [а, Ь] ^ ^(Ьга[а, Ь]) равенством
Ф(х) = М\(Р\х) и Щ(Р2х) и ... и N(Ргх).
(11)
2722
Тогда включение (7) можно переписать в эквивалентном виде
х € Ф(ж). (12)
«Овыпукленное по переключению» отображение Ф :0 [а,Ь] ^ Sw(Ln[a, Ь]) задано равенством
ф(ж) = {г € Ln[a, Ь] : г(Ь) € ^1(^, (Ргх)(Ь)) и Г2(Ь, (Р2ж)(Ь)) и ... и Г(Ь, (Ргж)(Ь)) (13)
при почти всех Ь € [а, Ь]}.
Определение 1. Под обобщенным решением задачи (7) —(9) понимается функция ж € ф [а, Ь], для которой существует такая суммируемая д : [а, Ь] ^ Мп, удовлетворяющая включению д € ф(ж), что при всех Ь € [а,Ь] имеет место равенство
Р т
ж(Ь) = жо + I q(s)ds + ^4 (ж(Ьк ))Х{1к,ъ\(Ь). (14)
к=1
Применительно к задаче (7) —(9) определение квазирешения можно сформулировать следующим образом.
Определение 2. Будем говорить, что функция у € ф [а, Ь], имеющая представление
Р т
У(Ь) = ж0 + ф(s)ds + ^ Тк(У(Ьк))X(tk,Ъ](t), (15)
а к=1
является обобщенным квазирешением задачи (7)—(9), если найдется такая последовательность жг € ф [а, Ь], г = 1, 2,..., что для каждой функции жг, г = 1, 2,... найдется функция дг € ф(у), для которой при любом Ь € [а, Ь] имеет место равенство
I (Ь) = жо + дг (s)ds + ^4(жг(Ьк))Х(Рк,Ъ] (Ь), (16)
а к=1
где жг ^ у в пространстве фП[а,Ь].
Отметим, что понятие квазирешения впервые было введено Важевским (Т. ^^е"№8к1)(см. [1]) для обыкновенного дифференциального включения и играет фундаментальную роль в изучении свойств решений функционально-дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Отметим также, что если множество Ф(ж) в определении обобщенного квазирешения выпукло по переключению, то обобщенное квазирешение совпадает с квазирешением, введенным в работах [2], [3]. Пусть Н(жо)— множество всех обобщенных квазирешений задачи (7)—(9).
Определим отображение фсо : Сп[а, Ь] ^ Q(Sw(Ln[a, Ь])) равенством
фсо (ж) = од(шФ(ж)). (17)
Оператор фсо : Сп[а, Ь] ^ Q(Sw(Ln[a, Ь])) будем называть обобщенно овыпукленным оператором.
Рассмотрим задачу
ж € ф со (ж), А(ж(Ьк)) = 1к (ж(Ьк)), ж(а) = жо. (18)
Пусть Нсо(ж0,Ь) - множество всех решений задачи (18) на отрезке [а, Ь].
ж
2723
Теорема 1. Справедливо равенство H(x0) = Hco (x0,b).
Теорема 1 является аналогом теоремы Важевского для обыкновенных дифференциальных включений.
Определение 3. Будем говорить, что множество обобщенных решений задачи (7)—(9) априорно ограничено на [a,b], если найдется такое число r> 0, что не существует обобщенного решения у € Cn[a,b], для которого выполняется неравенство ||y||gп^щ >r-
Теорема 2. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (18) априорно ограничено. Тогда H(x0,b) = 0 и справедливо равенство
H (xo,b) = Hco(xo,b), (19)
где H (x0,b) — замыкание множества H (x0,b) в пространстве С [a, b].
Свойство, когда множество обобщенных решений включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости значений и импульсными воздействиями, плотно во множестве решений «овыпукленного», включения, назовем, по аналогии с обыкновенными дифференциальными включениями, принципом плотности. Таким образом, теорема 2 дает достаточные условия выполнения принципа плотности (см. [3], [4]) для задачи (7)—(9).
Принцип плотности является фундаментальным свойством в теории включений, так как он широко используется в теории оптимального управления, например, для доказательства существования скользящих режимов (см. [5]). Впервые принцип плотности был установлен А.Ф. Филипповым для обыкновенных дифференциальных включений (см. [2]). Впоследствии, обобщению этого результата были посвящены работы многих авторов (см., например, [4], [6], [7]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d’une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, V. 10, № 1. P. 11-15.
2. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
3. Булгаков А.И., Беляева О.П., Манима А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестнк Удмуртского университета. Математика, механика. 2005. № 1. С. 3-20.
4. Булгаков А.И., Григоренко А.А., Жуковский Е.С. Принцип плотности - фундаментальное свойство возмущенных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2003. Т. 8. № 3. С. 351-352.
5. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.
6. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Ведение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. КомКнига, 2005. С. 216.
7. Булгаков А.И., Васильев В.В., Ефремов А.А О принципе плотности для функционально-дифференциального включения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2001. Т. 6. Вып. 3. С. 308-315.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00626).
Filippova O.V. THE PRINCIPLE OF DENSITY FOR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL INCLUSION WITH IMPULSES, WITH DELAY AND WITH THE RIGHT PART NOT NECESSARILY CONVEX-VALUED WITH RESPECT TO SWITCHING
Concepts of a generalized solution and a generalized quasi solution of a Cauchy problem for functional-differential inclusion with impulses, with delay and with the right part not necessarily convex-valued with respect to switching are presented. Property, when a set of the generalized solutions of the Cauchy problem is dense in a set of solutions of the "convex" inclusion which is called "the principle" of density, is formulated.
Key words: functional-differential inclusion; generalized solution; generalized quasi solution; a-priori boundedness.
2724
