Обобщенные квазирешения импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.965, 517.929.7

ОБОБЩЕННЫЕ КВАЗИРЕШЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С НЕВЫПУКЛОЙ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© О. В. Филиппова

Ключевые слова: фупкциотталыю-диффс'ретщттальттое включение; обобщенное решение;

()Гх ¡ñu iei II г< >е к im: íiipei i iei ii le.

Вводятся понятия обобщенного решения и обобщенного квазирешения задачи Коши дли импульсного фуикциопалыкьднфференциндыюго включения с пеиыиук. юй по переключению правой частью, с импульсными воздействиями. Сформулировано основное свойство обобщенных квазттретттеттттй, когда множество решений «овьтпуклетттюй» задачи Коши совпадает с множеством обобщенных кназнрешений.

Обозначим через R" п -мерное; пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; L"|u, ft] пространство суммируемых по . Iобегу функций х : ft] —>RW с нормой ||.т||^п|„ w

t

= I |.r(,s)|ci,s; [«-. 6] - множество неотрицательных функций пространства L[a. b\ ; Q(L"|a, ft])

a

— множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства L’*|u. 6|; S\v(L"[a, 6]) - множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L"|a,ft]; £2(Sw(L”|a. ft])) множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L"[«, b\.

Пусть i*. € |а, ft) С R. к I. т. (t. ] <...<tm) конечный набор точек. Обозначим через С |а, 6| пространство непрерывных па каждом промежутке \а. /i], (íi. íal; • ■ ■ - (/г«, ft] функции х: |а, ft] —+Rrl, имеющих пределы справа и точках /д., к I. т. с нормой 1М1с"[а. ы

= кир{|.т(/)|: íe[tt,ft]}; С| «:ft| - множество неотрицательных (функций пространства С |», ft].

Для функционально-дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости по переключению значений, рассмотрим задачу Копти следующего вида:

х е Ф(х),

A(x(íjt)) = Д.(.т(/А.)): А: = Т7т, (3.1)

х{а) х0,

где отображение Ф: С |a. ft] —>Q(L'*|fi, ft]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества (/С С |а,6] образ Ф((/) ограничен суммируемой функцией и найдется такое непрерывное и симметричное отображение Р: С \а. ft] х С |a, ft] —> |a, ft], что для любых х. у €

€ С a. ft] и ,1106010 измеримого множества U С_ а. ft] выполняется оценка Лl"(¿Y) IФ(^). Ф(у)] ^ ^||/>(;т%-¡/)||Li(u)\ отображения /¿:КМ—>R'1 непрерывны, Д(аг(**)) .r(i* I 0) — x(ífe), к l,m.

Пусть Ф непустое подмножество простран< гва L"|a,ft|. Выпуклой по переключению

I

оболочкой .даФ множества Ф называется совокупность всех элементов вида у ^ \(Д;).г»,

•i 1 _____

где Xi G Ф, I любое натуральное число, а произвольные измеримые множества U¡., i I. /,

тп

(3.2)

/

ОСуЩССТВ 1ЯЮТ рНЗОПСППе ОТреЗКа X. e. Ux nUj = 0 при ijtj U U ^* = la»^l : x(') “

i- I

характеристическая функция. Пусть далее, жФ - жышшс множества жФ и пространстве L"|a, 6|.

О п р е д е л е м и е 1.11од обобщенным решением задачи (3.1) понимается функция х€ G С fa, 6], для которой существует такое qemn$(x). что при всех £е |н,6] имеет место представление t

Ф) -A) I f q{s)ds I lk(:r{tk))X(ik.b\(+)-{ *-i „

Данное определение отличается от определения сообщенного решения, введенною Л.Ф. Филипповым для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью (см. [1|). Здесь обобщенное решение определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества значений отображения Ф:Cn|a,6| —►Q(I/l|a;Ь]) (которое, вообще говоря, не обладает свойством выпуклости по переключению значений). 11ри этом, если Ф(.т) является выпуклым по переключению, то ЖФ(,г) Ф(х). и тогда обобтпеппое решение совпадает с «классическим».

Для задачи (3.1) в |2] получены условия существования обобщенного решения, доказано, что локальное обобщенное решение продолжаемо до "максимального"1. Эти результаты удовлетворяют одному из требований к обобщенным решениям дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, сформулированных в монографии Л. Ф. Филиппова 11): ''решение не должно прерываться’1.

Применительно к задаче (3.1) определение квазирешения можно сформулировать следующим образом.

О и редел е н и е 2. Вудем говорить, что функция у € С \а.Ь\, имеющая предстанле-

у{1) XQ+ q(s)ds +^2 ¡к{у{1к))х<м д(1^ i€|o.6|, (З.з)

! *--1

яв ляется обобщенным квааирешеписм задачи. (3.1), если найдется такая последовательность Xi€C |я,Ь|. i 1.2,.... что для каждой функции я?*, г 1,2,... найдется функиня ^€МФ(у), для которой при любом (. 6 |а, 6| имеет м(;сто равенство

г гп

Zi(t)=x0 I I 4i(s)ils I ^h(Xi(Lk))XHk.b](l)-, (3.1)

.. 1

где х^ —> у в пространстве С |«: Ь].

Отмегим, что понятие квазирешепия впервые было иведеио Важенскнм ( Г. \¥а/.е\№>к1)(см. |1]) ДЛЯ обыкпоненпого дифференциального включения И играет фундаментальную роль 1! изучении свойств решений функционально-дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Отметим также, ч то если множество Ф(.г) в определении обобщенного квазиретттенття выпукло по переключению, то обобщенное квазпрошешю совпадает с квазирсшенисм. введенным в работах [2|, [3], [1].

Пус ть 'Н(хо)— множество всех обобщенных квази решении задачи (3.1).

Определим отображение Фт:С’*|о, Ь\ —*• £2(В\¥(1/г|а, Ь\)) равенством

Ф«д.г) = <ю{жФ(х)). (3.5)

Оператор Ф«,: С"|о, 6| —* П(й\\’(Ь"[а, 6|)) будем называть обобщенно оеыпукленпым операто-

Рассмотрим «овыпукпеппую» задачу

х є і>«>(•''■). д(х(1к)) = х(а) = ¿1'о• (3.6)

Пусть Пт(хо;Ь) - множество всех решений задачи (3.6) на отрезке \а. Ь].

Теорема. Справедливо равенство 7і(хц) = Пт(хц, Ь).

Д о к а з а т е л і> с г в о. Вначале докажем вложение

Н(хо) С Пт{хо.й). (3.7)

Пусть у є 'Н(хо) и пусть у є С [о., Ь\ имент представление (3.3). в котором у(а)=.ха. Тогда, согласно определению обобщенного квазирешения задачи (3.1). найдется такая носдедоиа-телыюсть .т* є С [а, 6], * = 1,2..... что для каждой функции х-і, * = 1,2.... найдется функция

(¿і Є Ф(у), для которой црн любом І Є [а. 6] имеет место равенство (3.1). Так как а:* —> у в про-

~ ?ї.

етранстве С [я,6| при і—► ос, а отображения //,.:Е"' —>М", к 1,2...., т непрерывны, то при любом І, є [а, 6] справедливо равенство

Ы^г{к))Х{1.к.Ь]{1) = ’У'.ЫуО'<к))Х(1кд(1) • (3.8)

г—к-1 I

Из равенства (3.8) следует, что при любом * € [а, 6] имеет место соотношение

I I.

1пп У (ц{-$)({8 J (3.9)

а а

ГД1! для каждого г = 1,2.... функция (/¿еФ(■//) удовлетворяет представ..тению (3.1), а функция (] удов.ютворяет равенству (3,3), в котором //(«)=.гц.

Далее покажем, что (7;—►<? слабо 1} пространстве Ь”[о.Ь\ при г—>эс. Так как множество Ф(у) ограничено суммируемой функцией, то для доказательства слабой сходимости достаточно показать, что для каждого измеримого по Лебегу множества Ы С [а, 6) имеет место равенство

Иш j Цг(н)<и = I <](н)<и. (3.10)

и и

Докажем равенство (3.10). Из аддитивности интеграла н равенства (3.9) следует, что для любых /, т е [и, 6] справедливо соотношение

І I-

ІІП1 ./ (Н($)((в I <](8)<І8.

(злі;

11уеть - > 0 и пусть функция /?€Ь"[я,, 6] такова, что при любых ¿еФ(у) и при почти всех

I € [я, &] справедлива опенка

(3.12)

Пе уменьшай общности, далее будем считать, ч то и функция г/ из представления (3.3) удовлетворж'т неравенству (3.12). Далее, пусть Л > 0 таково, что при всех измеримых множествах £ С [а, 6], удовлетворяющих неравенству /*(£) < А, выполняется неравенство

./

в(.н)(1ч<£. (3.13)

Далее пусть Ы С (с/, Ь) измеримое множество и Ы С (й, Ь) такое открытое множество, ч то и ей и /1-{й\И)< Л. Далее пусть

¿-1

где («,. (и), г = 1,2,('оставляющие открытие интервалы множества 14 С (а. Ь),

Р ОО

й\ = и(«„6,), йг = и (<ц,1н),

г 1 ¡pH

причем р выбрано так, ч то ц(йг)<д. Н силу равенства (3.11) выберем .V 1,2,... таким, что при всех г ^ Л выполняется неравенство

!&{*№- I Ф)(1ч

<

(3.1

и I /V,

Так как для любого г 1,2.... справедливо равенство

У(»(») - «(»))<*» = IЫ») - «(»»¿я - I Ы») - «(»))<*»,

и гу

то для любого * 1,2,... справедлива опенка

I /(ф(в) -ф))4в| < | /(«{(в) -<7(з))^| + | /(<?*■(«) -9(в))йв| +

^ Й| Й2 11 / Ы»)-«(»)№» |. й\и

Гак как для функции ^€Ьп|в,6| выполняется неравенство (3.12), то получаем оценку J{qi(s)-^7(.»))Й5 ^ I((Н{х) - ч(-ч)Нч I 2 Ц ${я)(!.ч I 2 ^ ,%<>)<!.<>.

и

и I

М2 М\м

Отсюда к силу неравенств (3.13), (3.14) для любого N намучаем оценку

/

М*) - ?(*))<*»

< 5е.

Таким образом, для любого измеримого множества С [а, 6| справедливо равенство (ЗЛО). Следовательно. </* —» </ слабо в пространстве Ь'*[а,&] при ¿—юс. Гак как выпуклое замкнутое множество пространства замкнуто и в слабой топологии этого пространства, то из включения ф е соФ(у) вытекает включение (/ е соФ(у). Л это означает, что функция уе С [а. й|, представимая 1! виде (3.3), является решением задачи (3.6), т. е. у€П(М(хо,Ь). Следовательно, включение (3.7) справедливо. гГеперь докажем вложение

Па*»:Ь) сЩхо). (3.15)

Пусть у <е Пси(хо. Ь). 'Гогда функция у е С |«,6| представима в виде равенств (3.3), причем функция <7 € СоФ(у), У (а) .Го- Гак как множество Ф(у) € Н\у(Ь"|«, 6|). го для функции г/ найдется такая последовательность </* € Ф {у), г 1.2,..., что (/¿—»у слабо в пространстве

L"|«,6| мри t—»ac . Далее, определим последовательность лч € С \а.Ь\, г 1,2.... равенством (3.1). Так как iц—х} слабо в пространство при г—>эс, то

;. I.

lim >/ Qi(s)ds I q(s)d$

a a

равномерен относительно 16 [a, ft|. 1Io»tomv в силу непрерывности отображений /*.: Rn —* R’*, к 1,2...., т, полупим равенство

Дгп ||:гг - y||c'-Mi 0.

А эю означает, что у €'Н{хо). 'Гаким образом спраиедливо вложение (3.15). Из соотношений (3.7), (3.15) следует равенство Н(хо) Hco(:t\), т). 'Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппоо Л.Ф. Диффсрешпталъпые уравпепист с ралрывпой правой частью. М.: Наука. 1985. 221 с.

2. Нулжти Л.И.. Фчлитиша О.IS. Функциональжьдифференциальные включения с импульсными воздействиями и оператором, не обладающим свойством выпуклости но переключению значений // Вестник Тамбовского государствешюго университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 6. С. 1017-1020.

3. Л. Sur line generalisation do la notion dcs solutions dune equation an contingent Bull. Acad. I’nlnn. Sci.. s<;r. niatli.. aulr.. pliys. 1962. V. 10. ,V"1. I*. 11-15.

•1. Нулгаков А.И.. Urjuuma O.lI., Мачипа A.11. Функционально-дифференциальные включения с многочнач-пьш отображением, по обладаю! ним свойством выпуклости по переключению гшачепий / . Веетпк Удмуртского университета. Математика, механика. 2005. .V« 1. С. 3-20.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена и рамках госзадамин Министерства образования и науки РФ № 2011,. 285 (проект К“ 2-476).

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Filippova O.V.

GENERALIZED QUASI-SOLUTIOX OF IMPULSIVE FUXCTIOXAL-DIFFEREXTIAL IXCLTSION WITH DHL AY AND WITH NOX-DKCOMPOSABLK RICH T-HAND SIDK

Concepts of (he generalized solution and l.lie generalized quasi-solution of the Caucliv problem for a functional differential inclusion with impulses and with the right-hand side part not necessarily convexvalued with respect, to switching are presented. The main property of generalized quasi-solution is formulated, namely, t he sol. of solut ions t о t he «convexit cd» Cauchy problem is equal t о set. of generalized quasi-solut ions. Key words’, functional-differential inclusion; generalized solution; generalized quasi solution.

Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имели Г. Р. Державина, I'- 'Тамбов, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии, e-mail: phil ippova.olgaiiramblei.ru

Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after O.K. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Senior Lecturer of Algebra and Geometry Department, e-mail: philippova.olgaftrambler.ru