Некоторые свойства решений обобщенно овыпукленного возмущенного включения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

© А. И. Булгаков, А. И. Полянский

[email protected], [email protected]

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННО ОВЫПУКЛЕННОГО ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ1

Ключевые слова: выпуклое по переключению множество, выпуклая по переключению оболочка множества, возмущенное включение, обобщенное решение, обобщенное квазирешение.

Abstract. The concepts of the generalized solution, generalized quasisolution, and generally convexified solution for the «disturbed» inclusion are represented. The connection between the sets of generalized quasisolutions and generally convexified solutions is derived.

§ 1. Обозначения и некоторые определения

В работе [1] изучалось функциональное включение, правая часть которого состояла из алгебраической суммы значений «хорошего» (имеющего замкнутые образы) многозначного отображения и «плохого» (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначного отображения, представляющего собой композицию линейного интегрального оператора и многозначного отображения, обладающего свойством выпуклости по переключению значений. Здесь не предполагается, что такое многозначное отображение обладает свойством выпуклости по переключению значений. В этом случае все известные методы исследования таких включений не применимы. Оказывается выход из

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00324).

данной ситуации можно найти с помощью введения понятия обобщенного решения.

Пусть и С [а, Ь] — измеримое множество, ^(и) > 0 (^ — мера Лебега), обозначим Ьп(и) — пространство суммируемых функций х : и ^ Мп с нормой ||ж||£"(и) = |х(з)|^з .

Пусть Ф С Ьп[а, Ь] . Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если для любых х,у € Ф и любого измеримого множества и С [а, Ь] выполнено включение Х(и)х+х([а, Ь]\и)у € Ф , где %(•) —характеристическая функция соответствующего множества. Далее, будем говорить, что множество Ф С Ьп[а, Ь] ограничено суммируемой функцией, если существует такая функция ^>ф € Ь1[а, Ь] , что для всех х € Ф и при почти всех Ь € [а, Ь] выполнено неравенство |х(Ь)| ^ ^ф (£) . Обозначим S(Ьп) — множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а, Ь] и С£(Ьп) — множество непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ьп[а, Ь] .

Для произвольного Ф С Ьп[а, Ь] обозначим через 8*№Ф совокупность всевозможных линейных комбинаций

У = Х(и )х1 + х(и )х2 + ... + х(ит)хт элементов х^ € Ф, в которых и — непересекающиеся измеримые

т

множества отрезка [а, Ь] такие, что [а, Ь] = и и^. Пусть далее,

1=1

^Ф —замыкание множества swФ в пространстве Ьп[а,Ь\ .

§ 2.Обобщенные квазирешения и решения обобщенно овыпукленного возмущенного включения

Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение

х € Ф(х) + VФ(х), (2.1)

где многозначный оператор Ф : Сп[а, Ь] ^ сотр(Сп[а, Ь]) , отображение Ф : Сп[а, Ь] ^ С1(Ьп) удовлетворяет условию: для каждого

ограниченного множества В С Сп[а, Ь] образ Ф(В) ограничен суммируемой функцией и линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь] , определеный равенством

(^)(Ь) = / V(Ь, 5)г(«)^5, Ь € [а, Ь],

</ а

переводит каждое слабо предкомпактное в Ьп[а, Ь] множество в предкомпактное множество пространства Сп[а, Ь].

По заданному многозначному отображению

Ф : Сп [а, Ь] ^С1(£п)

определим многозначный оператор ф : Сп[а, Ь] ^ Б(Ьп) равенством

Ф(ж) = ^Ф(ж). (2.2)

Определение 2.1. Под обобщенным решением включения (2.1) будем понимать такую функцию х € Сп[а,Ь] , для которой найдутся такие элементы V € Ф(х) и г € ф(х) , что справедливо равенство х = V + Vz .

Отметим, что согласно [2], если множество Ф(х) в (2.1) выпукло по переключению, то обобщенное решение включения (2.1) совпадает с классическим.

Определение 2.2. Функция х € Сп[а, Ь] называется обобщенным квазирешением включения (2.1) если существует такой элемент V € Ф(х) и такая последовательность г^ € ф (х), г = 1, 2,... , что последовательность х^ = V + Vz^ ^ х в пространстве Сп [а, Ь] при г ^ то .

Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение

х € Ф(х) + Vсоф(х), (2.3)

где со — выпуклая замкнутая оболочка множества в пространстве Ьп[а, Ь] , а отображение ф определено равенством (2.2).

Включение (2.3) будем называть обобщенно овыпукленным возмущенным включением (2.1).

Определение 2.3. Под обобщенно овыпукленным решением включения (2.1) будем понимать функцию х € Сп[а, Ь] такую, что существуют V € Ф(х) и г € соф(х), для которых справедливо равенство х = V + Vz .

Далее, обозначим через Н — множество всех обобщенных квазирешений включения (2.1); Нсо — множество всех обобщенно овыпукленных решений включения (2.1).

Связь между множеством обобщенных квазирешений включения (2.1) и множеством обобщенно овыпукленных решений включения (2.1) устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.1. Справедливо следующее равенство Н = Нсо .

Замечание2.1. Отметим, что теорема 2.1 верна без предположения какой-либо непрерывности отображений Ф и .

* * *

1. Булгаков А. И., Беляева О. П., Григоренко А. А. К теории возмущенных включений и о ее приложениях // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 10. С. 21-78.

2. Булгаков А. И., Беляева О. П., Мачина А. Н. Функциональнодифференциальное включение с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. 2005. № 1. С. 3-20.