Научная статья на тему 'Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи'

Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
70
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВОЗМУЩЕННОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ / ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ / ВОЗМУЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА / PERTURBED INCLUSION / ESTIMATION OF SOLUTIONS / PERTURBED LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Григоренко Анна Александровна

В статье рассматривается утверждение об оценке близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрено приложение этого утверждения для изучения возмущения линейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

APPLICATION OF THE EXISTENCE THEOREM AND ESTIMATE OF SOLUTIONS OF THE PERTURBED INCLUSION TO THE STUDY OF THE PERTURBED LINEAR PROBLEM

In the article, a statement about estimation of the closeness of solutions of the perturbed inclusion to a given continuous function is formulated. An application of this statement to the study of perturbation of a linear boundary value problem for functional-differential equations is considered.

Текст научной работы на тему «Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи»

УДК 517.911, 517.968

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ

© А. А. Григоренко

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: g.anya@mail.ru

В статье рассматривается утверждение об оценке близости решения возмущенного включения к наперед заданной непрерывной функции. Рассмотрено приложение этого утверждения для изучения возмущения линейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: возмущенное включение; оценка решений; возмущенная линейная краевая задача

Пусть X - банахово пространство с нормой || • ||х • Обозначим еошр[Х ] - множество всех непустых компактов пространства X ; рх[•, •] - расстояние от точки до множества; Нх[•, •] -расстояние по Хаусдорфу в между множествами. Пусть Мга - арифметическое пространство с нормой |-| , если А С Мга , то ||А|| = 8ир{|а| : а € А} .Пусть Ы С [а,Ь] - измеримое по Лебегу множество. Ьга(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы ^ Мга с нормой

ЦхЦЬп(и) = ^ |х(в)| йв; и

П[Ъга[а, Ь]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьга[а, Ь]; Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ^ Мга с нормой ||х||с«[а,ь] = шах{|х(£)| : £ € [а, Ь]} ; С+[а, Ь] - конус неотрицательных функций пространства С1 [а, Ь]

Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение

х € Ф(х) + VФ(х), (1)

где Ф : Сп[а, Ь] ^ еошр[Сп[а, Ь]], Ф : Сп[а, Ь] ^ П[Ьга[а, Ь]] - многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьга[а, Ь] ^ Сп[а, Ь] определен равенством

ь

(уг)(г) = ! V(£,в)г(в)йв, £ € [а,Ь]. (2)

а

Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент х € Сп[а,Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а,Ь] — Мп является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы V € Ф(х) и г € Ф(х) , что справедливо равенство х = V + Уг .

Пусть до € Сп[а,Ь], го € Ф(до) и шо € Ъп[а,Ь] . Представим функцию до в виде

до = го + Ушо + е, (3)

где е = до — го — Ушо . Предположим, что функция к € Ь1[а,Ь] для каждого измеримого и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Ръп(ы)[шо;Ф(до)] ^ к^&в, (4)

и

а непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, то) определена соотношением

ь

V(*) = У |У(г,8)\к(з)ёз + \е(г)\, (5)

а

где \У(£, з)| - согласованная с пространством Мп норма п х п матрицы У(Ь,в) в представлении (2), е € Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (3).

Будем говорить, что отображения У : Ъп[а,Ь] — Сп[а,Ь], Ф: Сп[а,Ь] — сотр[Сп[а, Ь]], Ф: Сп[а,Ь] — П[Ъп[а, Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотон-ные операторы Г : С+ [а, Ь] — Ъ1+[а, Ь] и Р : С+[а, Ь] — М1 , удовлетворяющие условиям: для любых х,у € Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняются неравенства

hLn(и)[Ф(х), Ф(у)] < ||Гг(х — у)УЬ1(^), (6)

hcn[aM[Ф(x), Ф(у)] < Р (г (х — у)); (7)

для функции V € С+[а,Ь] , определенной соотношением (5), сходится в пространстве С1[а,Ь] ряд

те

АV Ао V = V, Aiv = А (.А) = 1,2,..., (8)

г=о

где непрерывный оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] определен равенством

ь

(Аг)(г) = I'\У (г,в)\(Гг)Ш8 + Р (г), (9)

а отображение г: Сп[а, Ь] — С+[а, Ь] определено соотношением

(гх)(г) = \х(г)\. (10)

Пусть {(V) - сумма ряда (8), т. е.

те

{(V ) = £ А^. (11)

Теорема 1. Пусть до € Сп [а, Ъ], го € Ф(до), ^о € Ьп[а, Ъ] и пусть функция до пред-ставима равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ьп[а, Ъ] ^ Сп[а, Ъ], Ф: Сп[а, Ъ] ^ ^ сотр[Сп[а, Ъ]], Ф : Сп[а, Ъ] ^ П[Ьп[а, Ъ]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х (х = V + Vz, V € Ф(х), г € Ф(х)) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом г € [а, Ъ]

|х(г) - 9о(*)| < £М(г); (12)

(IV - ГоУс»[а,Ч < Р(13)

при почти всех г € [а, Ъ]

|г(£) - и,о(1)1 < к(г) + (Г&))(1), (14)

где ),Р, Г, к удовлетворяют соотношениям (5), (11), (7), (6), (4), соответственно.

Далее, для общего вида линейной краевой задачи функционально-дифференциальной системы уравнений определим общую возмущенную краевую задачу, которая состоит из функционально-дифференциального включения, определяемого возмущениями линейной функционально-дифференциальной системы уравнений, и из включения для краевых условий, связанных возмущениями линейного вектор-функционала.

Пусть оператор Л: Ьп[а, Ъ] ^ Юп[а, Ъ] определен равенством

ь

(Лг)(Ь) = J г(в) йв.

Оператор Л будем называть оператором интегрирования. Рассмотрим линейный непрерывный оператор С : Юп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ]. Запишем отображение С в виде

Сх = дх + Л(-)х(а), (15)

где оператор Q: Ьп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ] (главная часть оператора С в представлении (15)) Q = СЛ, каждый столбец п х п матрицы Л(£) представляет собой результат применения оператора С к соответствующему столбцу единичной матрицы: Л(г) = (СЕ)(г). Будем предполагать, что оператор Q имеет обратный и обратный оператор Q-1 : Ьп[а, Ъ] ^ Ьп[а, Ъ] непрерывен.

Рассмотрим линейную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения

Сх = 0, 1х = 0, (16)

где I: Юп[а, Ъ] ^ Мп - линейный непрерывный вектор-функционал.

Будем предполагать, что краевая задача (16) имеет только нулевое решение. В этом случае согласно [1, стр. 34] существует непрерывный оператор Грина С : Ьп[а, Ъ] ^ Юп[а, Ъ], определенный равенством

ь

(Сг)(г) = У С(г, в) г (в) йв, г € [а, Ъ], (17)

а

который для произвольного г € Ьп[а, Ъ] решение х € Юп[а, Ъ] краевой задачи

Сх = г, 1х = 0 (18)

представляет в виде х = Сг и, наоборот, каждое значение Сг- решение задачи (18).

Пусть X : [а,Ь] — Мпхп фундаментальная матрица решений первого уравнения (16), удовлетворяющая условию

1(Х) = Е (19)

(Е - единичная матрица, матрица 1(Х) представляет собой результат применения вектор-функционала I к соответствующему столбцу матрицы X). В этом случае краевую задачу

Сх = г, 1х = с, (20)

где г € Ьп[а,Ь], с € Мп, можно представить в виде

х = Хс + Ог. (21)

Отметим, что равенства (20) в реальных математических моделях выполняются с какой-то степенью точности. Кроме того, сами линейные операторы С : Юп[а,Ь] — Ьп[а,Ь], I: Юп[а,Ь] — Мп определяются для различных процессов с теми или иными допущениями и предположениями, которые определяются либо неполнотой информации об реальном исследуемом процессе, либо «простотой» описания самой математической модели этого процесса. В связи с этими обстоятельствами целесообразно рассмотреть включения

Сх € Ф(х), 1х € ф(х), (22)

в которых многозначные отображения Ф : Сп[а, Ь] — 2г'п][а'Ь], ф : Сп[а, Ь] — 2М" могут описать неточность информации об процессе, различного рода предположения и допущения, а также степень аппроксимации математической модели этого процесса.

Будем говорить, что функция х € Юп[а,Ь] - решение задачи (22), если х удовлетворяет и первому и второму включениям в (22).

Краевую задачу (22) будем называть возмущенной линейной краевой задачей или просто возмущенной краевой задачей. Рассмотрим интегральное включение

х € Хф(х) + ОФ(х), (23)

где X -фундаментальная матрица первого уравнения (16), удовлетворяющая равенству (19), отображение О : Ьп[а, Ь] — Юп[а, Ь] - оператор Грина, определенный соотношением (17).

Лемма 1. Возмущенная краевая задача (22) эквивалентна интегральному включению (23). Любое решение х включения (23) однозначно представимо в виде (21), где с € ф(х), г € Ф(х).

Таким образом, согласно лемме 1 частным случаем возмущенного включения (1) является возмущенная краевая задача (22).

Рассмотрим возмущенную линейную задачу (22):

Сх € Ф(х), 1х € ф(х), (24)

где Ф : Сп[а, Ь] — П[Ъп[а, Ь]], ф : Сп[а, Ь] — сотрМп- многозначные отображения. Пусть д € Сп[а,Ь], г € ф(д) и ш € Ъп[а,Ь]. Представим функцию д равенством

д = Хг + Ош + е, (25)

где е = д — Хг — Ош. Предположим, что функция к € Ь1 [а, Ь] для каждого измеримого и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Рьп(и) [ш; Ф(д)] <1 к(з) йз, (26)

и

а непрерывная функция V : [а, Ь] — [0, то) определена соотношением

ь

V(ь) = I \с(г,8)\к(з) ¿8 + \е(ь)\, (27)

а

где \С(Ь, 8)\ - согласованная с пространством Мп норма п х п матрицы С(Ь,8) в представлении (17), е € Сп[а, Ь] - функция в правой части равенства (25).

Будем говорить, что оператор Грина С : Ьп[а,Ь] — Сп[а,Ь] и многозначные отображения ф : Сп[а,Ь] — еошр[Мп], Ф: Сп[а,Ь] — П[Ьп[а, Ь]] обладают свойством А, если найдутся непрерывные изотонные операторы Г: С+[а,Ь] — 1+\а,Ь] и Р: С+[а,Ь] — М1, удовлетворяющие условиям : для любых х,у € Сп[а,Ь] и любого измеримого множества и С [а,Ь] выполняются неравенства

hьn{u) [Ф(х);Ф(у)] < \\Гг(х - у)\\ьЧи), (28)

Н[ф(х); ф(у)] < Р{2(х - у)); (29)

для функции V € С+[а,Ь], определенной соотношением (27), сходится в пространстве С1[а,Ь] ряд

те

ли, ----- Л^ = Л(

г=0

где непрерывный оператор А: С+[а, Ь] — С+[а, Ь] определен равенством

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

S^Aiv, A0v = V, Aiv = А(Аг-^), % = 1,2,..., (30)

ь

(Аг)(Ь) = ! \С(г,8)\(Гг)(8) й8 + ХР(г), (31)

а

где

Х = шах{\Х(Ь)\ : Ь € [а,Ь]}, (32)

а отображение 2: Сп[а, Ь] — С+[а, Ь] определено соотношением

(гх)(г) = \х(ь)\.

Пусть {(V) - сумма ряда (30), т. е.

те

{(V) = £ А^. (33)

г=о

п[

^ п\

п

Теорема 2. Пусть д € Сп[а, Ь], г € ф(д) и и> € Ъп[а, Ь] и пусть функция д предста-вима равенством (25). Далее, пусть оператор Грина С : Ьп[а,Ь] — Сп[а,Ь] и многозначные отображения ф : Сп[а, Ь] — еошр[Мп], Ф : Сп[а, Ь] — П\Ьп[а, Ь]] обладают свойством А. Тогда найдется такое решение х задачи (24), для которого выполняются следующие оценки: при любом Ь € [а, Ь]

\х(Ь) - д(Ь)\< {(V)(Ь), (34)

\ \X(г - 1х) \ \ оп[а,ь] < ХР({(V)) (35)

при почти всех Ь € [а, Ь]

\(Сх)(1) - ш(Ь)\ < к(1)+Г({^))(Ь),

где функции V, {(V), число Х определены соотношениями (27), (33), (32), функция к удовлетворяет неравенству (26), отображения Г и Р удовлетворяют оценкам (28), (29).

Действительно, т. к. задача (24) эквивалентна включению (23), при этом отображения G: Ln[a,b] — Cn[a,b], ^Ф: Cn[a,b] — comp[Cn[a, b]], Ф: Cn[a,b] — n[Ln [a,b]] обладают свойством A, где отображение Ф задано равенством

Ф у = Хф(у),

которое для любых x,y € Cn[a, b] удовлетворяет неравенству

hcn[a,b] [ф(x), Ф(у)] < XP(Z(x - у)),

здесь число X определено равенством (32). Поэтому теорема 2 является следствием теоремы 1.

Будем говорить, что оператор Грина G : Ln[a, b] — Cn[a, b] и многозначные отображения ф : Cn[a, b] — comp[Rn], Ф: Cn[a, b] — n[Ln[a, b]] обладают свойством B, если выполняются следующие условия: найдется неотрицательная функция в € L1[a, b], что для любых x,y € Cn[a, b] и любого измеримого множества U С [a, b] выполняется неравенство

hLn(u) [Ф^);Ф(у)] <J в (s)ds\\x - y\\cn[a,b]; (36)

u

найдется число а > 0, что для любых x,y € Cn[a, b] функционал ф удовлетворяет неравенству

%(x); ф(у)] < a\\x - y\\ Cn [a,b]

(37)

для функции в € L1[a,b] и числа а > 0 справедливо соотношение

b

max / \G(t,s)\e(s)ds + аХ < 1, (38)

t€[a,b] J a

где число X определено равенством (32).

Далее, непрерывный оператор A: C+[a, b] — C+[a, b] определим равенством

b

(Az)(t) = (J \G(t,s)\e(s)ds + aX)\\z\\ciM- (39)

a

Пусть непрерывная функция v : [a, b] — [0, то) определена соотношением (27). Обозначим

= ^ AV (A0v = v, AV = A(Ai-1v)). (40)

i=0

Так как для любого г = 0,1,... выполняется оценка

11Аг»||с1 [а,Ь] < СИ"Цо^аД, (41)

где

ь

с =та^ |С(г,в)|в(в)йв + а\, (42)

ье[а,ь] )

а

и согласно неравенству (38) (< 1, то ряд (40) сходится в пространстве С1 [а, Ъ].

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 1. Пусть q € Cn [a,b], r € <ф(д) и w € Ln[a, b] и пусть функция q пред-ставима равенством (25). Далее, пусть оператор Грина G : Ln[a, b] ^ Cn[a, b] и многозначные отображения ф : Cn[a, b] ^ comp[Rn], Ф : Cn[a, b] ^ n[Ln[a, b]] обладают свойством B. Тогда найдется такое решение x задачи (24), для которого выполняются следующие оценки: при любом t € [a, b]

|x(t) - q(t)|< f(v)(t);

||X(r - lx)||

Cn \a,b] C1 \a,b];

при почти всех t € [a, b] справедливо соотношение

|(Lx)(t) - w(t)| < k(t)+ ß(t)||f(v)||ci\a,bj,

где функции v, ((v), число X определены соотношениями (27), (40), (32), число а, функции k, ß удовлетворяют неравенствам (37), (26), (36).

Замечание 1. Если Lx = x, lx = x(a), ф^) = x0 (x0 € Rn), Ф - оператор Немыцкого, то оценки, установленные в теореме 2 и следствии 1 аналогичны оценкам опубликованных в работах [2], [3], [4]. Кроме того, эти оценки дополняют оценки [5], [6], [7] поскольку не предполагают выпуклозначности отображения ф.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

3. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы // Прикладная математика и пакеты прикладных программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. C. 155-179.

4. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве. I // Сибирский математический журнал. 1983. Т. 24. № 6. C. 144-159.

5. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 2. С. 111-120.

6. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств S -решений включения типа Гам-мерштейна // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 3. С. 294-298.

7. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 6. С. 3-32.

Поступила в редакцию 22 августа 2017 г.

Григоренко Анна Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: g.anya@mail.ru

UDC 517.911, 517.968

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284

APPLICATION OF THE EXISTENCE THEOREM AND ESTIMATE OF SOLUTIONS OF THE PERTURBED INCLUSION TO THE STUDY OF THE PERTURBED LINEAR PROBLEM

© A. A. Grigorenko

Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: g.anya@mail.ru

In the article, a statement about estimation of the closeness of solutions of the perturbed inclusion to a given continuous function is formulated. An application of this statement to the study of perturbation of a linear boundary value problem for functional-differential equations is considered.

Keywords: perturbed inclusion; estimation of solutions; perturbed linear boundary value problem

REFERENCES

1. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatulina L.F. Introduction to the theory of functional-differential equations. M.: Nauka, 1991. 280 p.

2. Blagodatskih V.I., Filippov A.F. Differential inclusions and optimal control // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1986. V. 169. P. 199-259.

3. Chugunov P.I. Properties of solutions of differential inclusions and managed systems // Applied Mathematics and Application Packages. Irkutsk: Izdatelstvo SAISO AN SSSR, 1980. P. 155-179.

4. Tolstonogov A.A., Chugunov P.I. Set of solutions of a differential inclusion in Banach space. I // Siberian Mathematical Journal. 1983. V. 24. Iss. 6. P. 941-954.

5. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Some results on the perturbation theory of multivalued operators with convex closed values of a Hammerstein-type map with nonconvex images and their applications // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 1997. V. 2. Iss. 2. P. 111-120.

6. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Asymptotic representation of sets of S -solutions of inclusions of Hammerstein type // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 1997. V. 2. Iss. 2. P. 294-298.

7. Bulgakov A.I., Tkach L.I. Perturbation of a convex-valued operator by a set-valued map of Hammerstein type with non-convex values, and boundary-value problems for functional-differential inclusions // Sbornik: Mathematics. 1998. V. 189. Iss. 6. P. 821-848.

Received 22 August 2017

Grigorenko Anna Alexandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: g.anya@mail.ru

Для цитирования: Григоренко А.А. Применение теоремы о существовании и оценке решений возмущенного включения к изучению возмущенной линейной задачи // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1277-1284. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284.

For citation: Grigorenko A.A. Primenenie teoremy o sushchestvovanii i ocenke reshenij vozmushchennogo vklyuche-niya k izucheniyu vozmushchennoj linejnoj zadachi [Application of the existence theorem and estimate of solutions of the perturbed inclusion to the study of the perturbed linear problem]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1277-1284. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1277-1284 (In Russian, Abstr. in Engl.).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.