CC BY
34
ЛИТЕРАТУРА
1. Буевич Ю.А., Колесникова Н.А., Минаев Г.А. Плоские задачи газораспределения в зернистых слоях. М., 1979 (Препринт ИПМ АН СССР: № 129).
2. Мархевка В.И., Басов В.А., Мелик-Ахназаров Г.Х., Оречко Д.И. Исследование истечения газовых струй в псевдоожиженный слой // Теоретические основы химической технологии, 1971, том 5, № 1.
3. Сазонов А.Ю. Об одной плоской задаче фильтрации газа // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 165-166.
4. Сазонов А.Ю. Некоторые задачи газораспределения в зернистом слое в аппаратах колосникового типа // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 3, 448, 449.
О ПРИМЕНЕНИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОПЕРАТОРА НЕМЫЦКОГО ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
© Л.И. Ткач
Пусть У - банахово пространство, обозначим П(У) - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств пространства У. Пусть А С У, обозначим ||А||у = вир ||о||у.
аеА
Пусть #1, Ф2 С У. Тогда /1+у[Фъ Ф2] = зир{/9у[?/, Ф2] : у € Ф1}, где ру[-, •] - расстояние между точкой и множеством, /гу [Ф1, Ф2] = тах{/),+ у [Ф1, Ф2], /г + у [Ф2, Ф1 ]} - хаусдорфово расстояние между множествами Фх и Ф2.
Пусть Д" - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[Д"] - множество всех непустых компактов пространства Дга. Пусть Ы С [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество, (ц(Ы) > 0, // - мера Лебега). Обозначим Ьп{1А) пространство функций х : Ы -* Дп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой ||а;||^(М) = /|ж(в)|йз; Сп(Бп) - пространство непрерывных (абсолютно непрерывных) функций х : [а, Ь\ ->й"с нормой ||х||с„ = тах{|ж(*)| : Ь 6 [а, Ь]} (ЦхЦв-. = |ж(а)| + ||х||ь„[а 6]). С\ - конус неотрицательных функций пространства С1.
Будем говорить, что для непрерывного оператора А : С\ —> С\ сходятся последовательные приближения, если для любой функции у о £ С\, удовлетворяющей неравенству у0 < Луо, последовательность функций У1, г = 0,1,2,..., (^,+1 = Лу1, г = 0,1,2,...) сходится в пространстве С1 при г -»• оо к функции у, независящей от функции у о.
Будем говорить, что множество Ф С Ьп[а,Ь\ выпукло по переключению, если для любых измеримых по Лебегу множеств 1А\,Ы2 С [а, Ь], таких что Ы\ П /У2 = 0, Ы^, = [а, 6] и любых х,у 6 Ф справедливо
включение \)х + хШ'2)у € Ф, где х(') ■ характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через П[Ьп[а, Ь}} (П(П[Ь”[а, 6]])) множество всех непустых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению (всех непустых, выпуклых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению) подмножеств из Ьп[а,Ь].
Измеримость множеств везде понимается по Лебегу, измеримость многозначных отображений будем понимать в смысле [1].
Рассмотрим краевую задачу
(£а;)(<) £ ^((,з:(()), te[a,b]■, 1х е <р(х), (1)
где С : О" —> Ьп[а,Ь], I : П" —> Д” - линейные непрерывные опреаторы и <р : С" —» Г2(Д") - многозначное
4
отображение. Пусть оператор А : Ьп[а,Ь] —» Оп определен равенством (Аг)(Ь) = / г(.ч)(1ч. Запишем
а
отображение С в виде Сх = + А(-)х(а), где оператор : Ьп[а,Ь\ Ьп[а,Ь\ (главная часть оператора
С в этом представлении), <2 = £А, каждый столбец п х п - матрицы А{Ь) представляет собой результат применения оператора С к соответствующему столбцу единичной матрицы: А(1) = (СЕ)(1). Будем предполагать, что оператор <3 имеет обратный и обратный оператор : Ьп[а,Ь\ —> Ьп[а, Ь] непрерывен.
Под решением задачи (1) будем понимать такую функцию х 6 £>", которая удовлетворяет и первому, и второму включениям в (1).
Далее, будем предполагать, что линейная однородная задача
Сх = 0, 1х = 0 (2)
имеет только нулевое решение. В этом случае существует непрерывный оператор Грина G : Ln[a, Ь] —> £)", определенный равенством
ь
(Gz)(t) = J G(t,s)z(s)ds, t€[a,b\. (3)
а
Многозначное отображение F : [а, Ь] х i?” —> comp[/?'*] удовлетворяет условиям: найдется
неотрицательная функция /3 £ L1 [а, Ь], что для любых х, у £ i?" и при почти всех t £ [а, &] выполняется неравенство
hRn[F(t,x),F{t,y)] < /?(£)|а; - у\- (4)
для любого х £ Rn многозначное отображение F(-,x) измеримо; функция \\F(t, 0)||л» суммируеммая. Рассмотрим также краевую задачу
Сх £ Ф(ж), 1х £ р{х), (5)
где Ф : Сп —> П[1<"[а, 6]] - многозначное отображение, £,1,<р - определены выше.
Лемма. Краевая задача (5) эквивалентна интегральному включению
х G X(-)ip(x) + G$(x), (6)
где Х(-) - фундаментальная матрица решений первого уравнения (2), удовлетворяющая условию 1(Х) = = Е (Е - единичная матрица, матрица 1(Х) представляет собой результат применения оператора I к соответствующему столбцу матрицы X).Любое решение х включения (6) однозначно представимо в виде х = Х(-)с+ Gz, где с £ <р(х), z G Ф(а;).
Напомним, что оператор Немыцкого Np : Сп —> П[Ln[a, 6]], порожденный многозначным отображением F : [а,Ь] х Rn —> сотр[Д"], определяется равенством Np(x) = {у G Ln[a,b\ : y(t) Е F(t,x(t)) при п.в. t £ € [a, b]}.
Если между многозначными отображениями Фи F можно установить взаимосвязь Ф = Np, то изучение одной из краевых задач сводится к другой краевой задаче. Используя эту взаимосвязь, можно получить (см. [2]) следующее утверждение о разрешимости задачи (1) и о "близости" решения задачи (1) к наперед заданной функции q € Сп.
Пусть q 6 С", Го € tp(q) и wq £ Ln[a. Ь]. Представим функцию q равенством
q = X (-)r0 + Gw о + е, (7)
где е = q—X(■ )/‘о — GtV(). Пусть, далее, функция к £ L1 [а, Ь] для любого измеримого U С [а, Ь] удовлетворяет неравенству
PL"(u)[wo,Np(q)} < / n(s)ds, (8)
функция V£ £ С\ для любого t £ [a,b] определена соотношением
ь
veit) — J \G(t, s)|(e + n(s))ds + e + |e(i)|, e > 0, (9)
где |С(4, в)| - согласованная с пространством 7?" норма п х п - матрицы С(1, в) в представлении (3).
Будем говорить, что многозначное отображение (р и произведение САТр обладают свойством С1', если найдется число а > 0, что для любых х,у £ Сп отображение <р удовлетворяет неравенству
йя»Мж),¥>(2/)] < (А\х-у\\с*] (10)
~ ~ Ь
для непрерывного оператора Л : С\ —»■ С+, определенного равенством (Лг){1) — [ |С(^, з)\0(.‘;)г(.ч)(1.‘< +
а
4- аА||.г||с1 + ^(4), сходятся последовательные приближения. Здесь функция /3 € Ь1 [а,Ь] и число а удовлетворяют, соответственно, неравенствам (4) и (10); Л = тах{|Х(4)| : 4 £ [а,6]}; |С?(4,з)|, |Х(4)| -
согласованные с пространством /?" нормы пхп - матриц С?(4, в) (в представлении (3))и фундаментальной матрицы решений Х(-) первого уравнения (2), соответственно; V £ С\_.
Рассмотрим в пространстве С1 уравнение
ь
Фи(Ъ) = J ^(М^Жв^Лз^ + аАЦ^Нс1 + "(*)■ (11)
а
Пусть функция и £ определена равенством
ь
?(*) = 110(4,8)1 ||.Р(4,0)||я»сЙ, (12)
а
где 16(4,8)1 определена выше.
Теорема. Пусть отображение ц> и произведение обладают свойствами Си£ и Ср, где
функция определена равенством (9), функция и определена равенством (12). Тогда для любого е > О существует решение х задачи (1), для которого при любом 4 £ [а, 6] выполняется неравенство |ж(4) — ~ <7(4)1 < ^е(4), при почти всех 4 € [а, 6] выполняется оценка |(£ж)(4) — гио(4)| < £ + к(4) + /?(4)^е(4), а также справедливо соотношение ||Х(-)(го — /ж)||с" < АЦ^еНс1 + е> г^е матрица Х(-), число А, функции <7, гио, вектор г о, функция /3 определены выше, з/'г - решение уравнения (11) при V = г/е.
Если : С" —> 0(П[Хп[а, 6]]), то утверждение справедливо и при е = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1.Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1977.
2.Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Матем. сб., 1998, том 189, № 6, 3-32.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН
© Ю.Г. Фомичева
Проблема устойчивости решения задачи о построении в Е3 поверхности, имеющей своим сферическим изображением открытую полусферу по заданной линейной комбинации /*(и,и)(г = 1, 2) полной и средней кривизн, состоит в оценке близости поверхностей, у которых мало отличаются заданные функции /Ди, у) в точках с параллельными и одинаково направленными нормалями.
Для опорных функций сравниваемых поверхностей получен следующий результат.
Пусть Ф1 и Фг регулярные поверхности в Е3, имеющие своим сферическим изображением открытую полусферу, гауссовы и средние кривизны которых связаны условиями:
Ми, у) = а{(и,и)К{(и,у) + Ьг(и,у))Н1(и,у), где сч(и,у) > 0, Ми,у) € С1, (г = 1, 2) (1)
