Аппроксимация возмущенного включения вложением в среднем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ВЛОЖЕНИЕМ В СРЕДНЕМ

© А.И. Булгаков, О.П. Беляева, А.И. Коробко

Bulgakov A.I., Belyayeva O.P., Korobko A.I. Approximation of a disturbed inclusion by the mean embedding. In The article looks in retrospect at the previously published material [1-4] which studied a disturbed inclusion with external disturbances such as map Д : [a, b] x C[a, b] —> сотр[Д"] generating a map with switching convex images satisfies the Kara-theodory conditions. Similar disturbances occur in applications since they characterise the error of value computation for corresponding maps. This article studies disturbed inclusions where map Д is integrally continuous.

В работах [1-4] исследованы возмущенные включения с внешними возмущениями, у которых многозначное отображение А : [а, Ь] х х Сп[а,Ь] —»• comp[i?n], порождающее многозначное отображение с выпуклыми по переключению образами (определение см. ниже), удовлетворяет условиям Каратеодори. Такие возмущения в приложениях имеют место, поскольку они характеризуют погрешность вычислений значений сооветствующих многозначных отображений. Как доказано в [1—4], этими возмущениями нельзя пренебрегать, так как они могут вызвать значительные изменения множества решения возмущенного включения. В данной работе исследуется возмущенное включение в случае, когда отображение А : [а, Ь] х х С” [а, Ь] -» comp[i?n], интегрально непрерывно (определение см. ниже).

Пусть X - линейное нормированное пространство с нормой || • ||х • Обозначим Bx[x,t]

- открытый шар пространства X с центром в точке х € X и радиусом е > 0 , если е = = 0, то Вх[х, 0] = х. Пусть U С X . Тогда U - замыкание множества U\ coU - выпуклая оболочка множества U ; coU = соU ; ||С/||х = = sup ||м||х ; Щи) - множество всех непустых

x€U

замкнутых выпуклых подмножеств множества U ; U( = U В[и,е], если е > 0 , и U° = U ;

u£U

рх [х, U] - расстояние от точки х 6 X до множества U в пространстве X ; hx[•;•] - расстояние по Хаусдорфу в пространстве X соответствующих множеств; comp[X] (cl[XJ) -множество всех непустых компактов (всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств) пространства X .

Пусть Rn - n-мерное пространство вектор-

столбцов с нормой | ■ | . Обозначим Сп[а,Ь], (Ьп[а,Ъ\) пространство непрерывных (суммируемых по Лебегу) функций х : [а, Ь] —> Лп с нормой ||х||с"[а,ь] = тах{|а:(4)| : t £ [а,Ь]} ь

СМк’Ча.Ь] = /1Ф)И«) • а

Пусть Ф С Ьп[а,Ь]. Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению, если для любых х, у £ Ф и любого измеримого множества Ы С [а, 6] выполняется включение х(У)х + х(.[а,Ь]\Ы)у £ Ф , где *(■) - характеристическая функция соответствующего множества. Обозначим через П[/^?г[а., 6]] множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножетв пространства Ьп[а, Ь].

Измеримость однозначных функций везде понимается здесь по Лебегу, измеримость многозначных функций понимается в смысле [5].

Если X — Д" , то в этом случае для сокращения записи индекс Д" в обозначении расстояний опускаем.

Рассмотрим в пространстве Сп[а,Ъ\ включение

х е Ф(®) + УФ(ж), (1)

где Ф : Сп[а,Ь\ —> сотр[С"[а, Ь]],

Ф : С"[а, Ь] —> П[1/"[а, Ь}} - многозначные отображения, линейный непрерывный интегральный оператор

V : Ьп[а,Ь\ -> Сп[а,Ь\

определен равенством ь

(Vг)(Ь) = J з)г(з)с1з^ € [а,Ь]. (2)

Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент х £ Сп[а, Ь], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция х : [а, Ь] —> Нп является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы « £ Ф(1) и г £ Ф(х), что справедливо равенство х = V + V г .

Аналогично [3] будем говорить, что функция х € Сп[а,Ь] является квазирешением включения (1), если найдется такой элемент V € Ф(а;) и такая последовательность

2; £ Ф(ж), г = 1,2,..., (3)

что последовательность хг = V + V гг х в Сп[а,Ь] при г —> оо . Обозначим 'К множество всех квазирешений включения (1).

Далее будем считать, что если х - квазирешение включения (1) и х £ и С Сп[а,Ь\, то найдется такой элемент V € Ф (х) и такая последовательность £ Ьп[а,Ь], г = 1,2,..., удовлетворяющая включению (3), что для любого г — 1,2,... выполняется включение Х{ = = V -\-Vzi £ и и Х{ х в Сп[а, Ь] при г -> оо .

Рассмотрим в пространстве Сп[а,Ъ\ включение

х £ Ф(х) + КсоФ(а;). (4)

Включение (4) по аналогии с [3] будем называть "овыпукленным " возмущенным включением. Пусть Нсо - множество решений включения

(4). '

Аналогично [3] доказывается следующая

Теорема 1. Пусть линейный непрерывный оператор V : Ьп[а,Ь] —> Сп[а,Ь\, определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ьп[а, 6] множество в предкомпакт-ное множество пространства Сп[а,Ь] . Тогда справедливо равенство Нсо = Н .

Пусть многозначное отображение Д : [а, Ь] х Сп[а,Ь\ -> сотр[Дп], обладает свойством: при каждом фиксированном х £ £ Сп[а, 6] отображение А(-,х) измеримо и удовлетворяет при почти всех £ £ [а, 6]

равенству

Ф(х) = {у £ Ьп[а,Ь] : уЦ) £ Д(*,х)}. (5)

Такое отображение существует и для любого а; £ Сп[а,Ь] многозначное отображение Д(-,а:) : [а, 6] -» сошр[Дп] ограничено суммируемой функцией (см. [6]). По аналогии с оператором Немыцкого отображение Д : [а, Ь] х х Сп[а,Ь] —> сотр[Яп], определенное ра-

венством (5), будем называть отображением, порождающим оператор Ф : Сп[а,Ь] -» -> П[Ln[a,b]}.

Будем говорить, что многозначное отображение Д : [о, Ь] х Сп[а,Ъ\ -> comp[i?n] является интегрально непрерывным (непрерывным в среднем) в точке х £ Сп[а,Ъ\, если для любой последовательности Xi £ Сп[а, 6], i = 1,2,..., сходящейся к а; в пространстве Сп[а,Ъ\ при г -> оо выполняется равенство 6

lim / h[A(t,Xi); A(t,x)]dt = 0.

г—>00 J а

Отображение Д : [а, Ь] х Сп[а,Ь\ сотр[Дп] назовем интегрально непрерывным (непрерывным в среднем) на пространстве Сп[а,Ь], если оно интегрально непрерывно (непрерывно в среднем)в каждой точке х £ Сп[а,Ь].

Отметим, что отображение Д : [а, 6] х

х Сп[а, Ь] —> сотр[Дп] интегрально непрерывно в том и только в том случае, когда отображение Ф : Cn[a,b\ —> U[Ln[a, 6]] непрерывно (см. (4]).

Обозначим через Р(Сп[а, Ь] х [0, оо)) множество всех непрерывных функций uj : Сп[а,Ь\ х х [0, оо) —> [0, оо), для которых для любого х £ £ Сп[а,Ъ] справедливо соотношение и(х, 0) = О и любых (х, 6) £ Сп[а,Ь] х (0, оо) выполняется неравенство и>(х,6) > 0.

Рассмотрим оператор Ф : Сп[а,Ь] —>

—» Tl[Ln[a, /;]] и порождающее его отображение Д : [а, 6] х Cn[a,b] —> сотр[Дп]. Значения отображения Ф(-)1 а, следовательно, и образы оператора Д : [а, 6] х Сп[а, Ь] —)• сотр[Дп] могут вычисляться с некоторой степенью точности. Пусть точность вычисления значения оператора Ф(-) определяется функцией £

£ Р(Сп[а, Ь] х [0, оо)). В связи с этим рассмотрим отображение Ф,, : Сп[а,Ъ\ —> c\{Ln[a, &]], заданное равенством

Ф,(х,<5) = (Ф(х))^, (6)

где функция г](-, •) £ Р(Сп[а, Ъ] х [0, оо)) в каждой точке х £ Сп[а,Ь] при каждом фиксированном <5 £ [0, оо) определяет погрешность вычисления значения отображения Ф(-). Далее, т?(-, •) будем называть радиусом внешних возмущений отображения Ф(-) или просто радиусом внешних возмущений. Из равенства (6) вытекает, что

/1Ь"[а,б][Ф(я);Ф7)(я)] = v(x> <5)- (7)

Поэтому из равенства (7) следует соотношение

lim [а>6][Ф(ж); Фч(а;)] = 0.

Ö—»0-|-0

Таким образом, все отображения : Сп[а, 6] —> с1[Хп[а, £>]], имеющие вид

(6) и зависящие от радиуса внешних возмущений £ Р(Сп[а,Ь\ х [0,оо)), близки

в смысле равенства (7) к отображению Ф : Сп[а,Ь] —> П[¿"[а, &]]. Это приближение оператора Ф(-) будем называть аппроксимацией вложением в среднем или просто аппроксимацией в среднем. Само отображение Ф,, : Сп[а,Ь] —> с1 [Ьп[а,Ъ\\ будем называть аппроксимирующим оператор Ф(-) вложением в среднем или просто аппроксимирующим.

Пусть II непустое выпуклое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть ш(-,-) £ Р(Сп[а,Ь] х [0,оо)).

Рассмотрим многозначное отображение М[/(ы)(х,(5) : I/ х [0,оо) —> Г2(С/), определенное равенством

Ми{ы)(х,6) = ВСп[а<Ь][х,и}(х,6)] П и. (8)

Лемма 1. Пусть С/ - непустое выпуклое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть £ Р[Сп[а,Ь] х [0, оо]). Тогда

многозначное отображение Мц(ш)(х,6) : и х х [0,оо) —» П(£У), заданное соотношением (8), непрерывно по Хаусдорфу.

Определим отображение ч>и{и) '■ и х

х [0, оо) —> С1(и) соотношением

<Ри(и)(х,6) =

эир ЬЬп[а^[Ф(х);Ф{у)], (9)

уеМи(ш)(х,6)

где отображение

Ми(и)(х,6) : и х [0, оо) -> П(1/)

задано равенством (8).

Значение функции в точке

(х, 6) £ и х [0, оо) назовем модулем непрерывности отображения

Ф : Сп[а,Ь} П[1/1[а,6]]

в точке х € Сп[а,Ь] на множестве и С С Сп[а,Ь], функцию - функцией ради-

уса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию ц>и (ш)(-, •)

- функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения Ф : Сп[а,Ь] —> П[Ь"[а, Ь]] на множестве II относительно радиуса непрерывности

Лемма 2. Пусть С/ - непустое выпуклое компактное множество пространства С”[а, Ь] и пусть и(-, •) £ Р(Сп[а,Ь] х

х [0, оо]). Далее, пусть отображение

Ф : Сп[а,Ь] —» П[1/П[а, &]] непрерывно. Тогда отображение ípu(,<¿) : U х [0,оо) —>■ Q(С/), заданное равенством (9), непрерывно на U х х [0, оо) и для любого х £ U выполняется соотношение

lim <pu(z, <5) = 0.

Z—+X

¿-►0+0

Замечание 1. Если известно отображение А : [а, 6] х Сп[а,Ь\ —^ сотр[Лп], порождающее оператор Ф : Сп[а,Ъ\ -» П|Х”[а, &]], то аналогично можно определить средний (интегральный) модуль непрерывности фи (и>) : U х х [0, оо) —> [0, оо) этого отображения с помощью равенства

ь

(pu{w){x,ö) = sup h[A(t,x);A{t,y)]dt.

y£Mu(u)(x,ó) J а

При этом модуль непрерывности оператора Ф : Сп[а,Ь] —» П[Ьп[а, Ь]] и средний мо-

дуль непрерывности отображения Д : [а, 6] х х Cn[a,b] —> comp[i?n] для любого (х,6) £ U х х [0,оо) удовлетворяет соотношениям (см.[4])

<ри(и)(х,6) < фи(и>)(х,6) < 2tpc/(uj)(x,ó).

Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь\. Будем говорить, что функция € Р(Сп[а,Ь] х [0,оо)) равно-

мерно на множестве U С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно радиуса непрерывности lj{-, ■) £ Р(Сп[а, Ъ] х [0, оо)) модуль непрерывности отображения Ф : Сп[а,Ь] -> ПLn[a,b], если для любого е > 0 существует такое ¿(е) > 0, что при все х £ U и S £ [0,á(е)) выполняется оценка

<ри(и)(х,0) < r¡(x,e),

где отображение <¿>c/(w) : U х [0,оо) -> fl(U) определено соотношением (9).

Лемма 3. Пусть U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ш(-,-) £ Р(Сп[а,Ь] х

х [0, оо)). Далее, пусть отображение Ф : Сп[а,Ь] —>• П[L"[a, 6]] непрерывно. Тогда найдется функция £ Р(Сп[а, Ь] х [0, оо)),

которая равномерно на множестве U С С Сп[а,Ь} оценивает сверху относительно радиуса непрерывности £ Р(Сп[а,Ь] х

х [0, оо)), модуль непрерывности отображения Ф : Сп[а,Ь\ -> П[Ьп[а,Ь]].

Пусть 7?(-, •)>£(■>•) € Р(Сп[а,6]х[0,оо)). Рассмотрим в пространстве Сп[а,Ь] для каждого S > 0 включение

хе (Ф(х))«^ +УФ„(х,6), (10)

где отображение Ф,( : Сп [а, Ь] х [0,оо) -»

-* с1[Х"[а, &]] задано соотношением (6).

Далее, будем предполагать, что отображения Ф : Сп[а, Ь] -> сотр[Сп[а, 6]],

Ф : Сп[а,Ъ\ —»• ЩЬп[а, 6]] непрерывны по Хау-сдорфу, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьп[а,Ь\ —> Сп[а,Ь], заданный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ьп[а, 6] множество в предкомпактное множество пространства Сп[а:Ь].

Каждое решение включения (10) при фиксированном 6 > 0 будем называть <5— решением включения (1). Обозначим через Н^),ц(б){и)

- множество всех 6— решений включения (1), принадлежащих множеству II С Сп[а,Ь]. Обозначим множества решений включений (1) и (4), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ъ\, через Н(и) и Нсо(и), соответственно.

Теорема 2. Пусть С/ - непустое замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и £(■,.), «(.,.) € Р{Сп[а,Ъ} х [0, оо)). Тогда для любой функции 6 Р(Сп[а,Ь] х

х [0, оо)), равномерно на множестве V С С Сп[а,Ь] оценивающей сверху относительно радиуса непрерывности и(-, •), £ Р(Сп[а, 6] х х [0, оо)) модуль непрерывности отображения Ф : Сп[а,Ь\ —> ЩЬп[а, 6]], справедливо равенство

Нсо(и) = Р) НШ)М6)(и), б> о

где - замыкание множества

в пространстве Сп[а,Ъ\.

Замечание 2. Отметим, что дифферен-цильные включения являются частным случаем возмущенных включений. А так как для дифференциальных включений равенство Н(11) = НС0(и) ( Н(и)— замыкание множества Н(и) в пространстве Сп[а, 6]) может не выполняться (см. пример [7, 8]), то из теоремы 2 следует, что соотношение

ПЯ€№.Ч(«)(^)= ПЯШ>.^>(^)

(5>0 ¿>0

может при некоторых г/(-, •)>£(■> •) € Р(Сп[а,Ь]х х [0,оо)) не иметь места.

Пусть 11 С Сп[а,Ь]. По аналогии с [11], будем говорить, что для включения (1) выполняется принцип плотности (условие плотности), если справедливо равенство

нЩ = нсо(у). (11)

Замечание 3. Как было отмечено выше, принцип плотности не всегда выполняется. Это

доказывает пример Плиса (A. Plis) (см. [7,8]). Первые достаточные условия, когда выполняется равенство (11) для задачи Коши диффферен-циального включения получены А.Ф. Филипповым (см. [8,12,13]), а для периодических решений и для краевых задач эти условия получены в работах [14,1-4,6,15].

Теорема 3. Пусть £(•,•) S Р(Сп[а,Ь\ х X [0,оо)). Если U - непустое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], то для выполнения равенства

НЩ = П Has)Ms)(U) (12) í>0

для любого радиуса внешних возмущений îj(v) € P(Cn[a,b] X [0, оо)) достаточно, а если U— непустое выпуклое компактное множество, то и необходимо выполнение принципа плотности на множестве U С Сп[а,Ь].

Замечание 4. Отметим, что выполнение равенства (12) для любых внешних возмущений vi't •)>£('> ') € Р(Сп[а, Ь] X [0, оо)) является свойством устойчивости множества решений H(U) включения (1) относительно этих возмущений (см. [16]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения //Вестн.Тамб.ГУ. Сер.: естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.2. С.111-120.

2. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств <5— решений включения типа Гаммерштейна //Вестн. Тамб.ГУ "Сер.: естеств. и технич. науки."Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

3. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краен-вые задачи для функционально-дифференциальных включений //Матем. сб. 1998. Т.189, №6. С.3-32.

4. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами //Изв. вузов. Мат. 1999, №3. С.3-16.

5. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

6. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183, №10. С.63-86.

7. Plis A. Traejectories and quasitraejectories of an orientor field //Bull. Acad. Polon. Sei, Ser. math., astron., phis. 1963. V.ll. №6. P.369-370.

8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

9. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: "Факториал", 1997. 254с.

10. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Влагодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями //Матем. сб., 1993. Т.184, №6. С.3-32.

11. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем сб. 2002. Т. 193. №2. С.35-52.

12. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью //Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1967. №3. С.16-26.

13. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление //Тр. МИАН СССР, 1985. Т.169. С.194-252.

14. Ирисов A.E., Тонкое Е.П. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения //В сб. "Дифференц. и интеграл, уравне-ния"Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

15. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. 1,11,III //Дифференц. уравнения, 1992. Т.28, №3. С.371-379; Дифференц уравнения, 1992. Т.28, №4. С.566-571; Дифференц. уравнения, 1992. Т.28, №5. С.739-746.

16. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений //Вестн. Тамб.ГУ. Сер.: естеств. и техн. науки. 1999. Т.4, вып.4 С.461-470.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 01-01-00140; № 04-01-00324), Министерства Образования РФ (грант JY? Е02-1.0-212)

Поступила в редакцию 11 февраля 2004 г.