К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911

К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ВКЛЮЧЕНИЙ

© А.И. Булгаков, А.А. Ефремов, В.В. Скоморохов

Bulgakov A.I., yefremov A.A, Skomorokhov V.V. The article looks at methods of approximation of a differential inclusion, its right-hand side satisfying the Carath6odory conditions. The necessary and sufficient conditions are obtained when the approximation of the differential inclusion is stable with respect to internal and external disturbance, i.e. when ’’little” changes (in the sence of the Hausdorff distance) in the right-hand side of the inclusion results in a ’’little” change of the set of solutions.

Понятие приближенного решения ( 5-решения) дифференциального включения введено А.Ф. Филипповым [1]. Это определение имеет важное значение для изучения дифференциальных включений с выпуклозначной и полунепрерывной сверху правой частью, поскольку пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются решениями [1]. Здесь для изучения аппроксимаций дифференциальных включений рассматривается несколько другое определение понятия приближенного решения. Отличие от сформулированного здесь и приближенного решения по А.Ф. Филиппову заключается в том, что значения многозначных отображений, определяющие ’’приближен-ные дифференциальные включения”, не ”овы-пукляются”. Как оказалось, такое определение приближенного решения полезно для исследования аппроксимаций дифференциальных включений с невыпуклой правой частью, так как оно, прежде всего, позволяет доказать, что аппроксимация включений с невыпуклой правой частью может быть неустойчивой операцией, поскольку ’’небольшие” изменения правой части могут привести к существенному изменению множеств приближенных решений. Кроме того, получить необходимое и достаточное условие, когда аппроксимация дифференциальных включений является устойчивой. В работе это условие носит название принципа плотности. Отметим также, что здесь исследование проводится на основе свойств квазирешений дифферен-

циальных включений. Понятие квазирешения (квазитраектории) включения дано Важевским [2; 1, с. 63].

Пусть Кп - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сошр[1й7г] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Кп; В[и,г] - замкнутый шар пространства Кп с центром в точке и и радиусом г > 0; В[и, 0] = {и} . Пусть V С Еп . Обозначим V замыкание множества К, со V выпуклую оболочку множества V; Vе = и В[и,е],

иб V

если е > 0, и V0 = V ; ||У|| = эир{|гл| : и е V} .

Пусть /г+ ; ^2] = Бир{р[г/, ^2] : у € ,

где р[', •] расстояние между точкой и множеством в пространстве Мп, Л^ь-Рг] = = тах{/г+[^1; ^], /1+[^; ^]} - хаусдорфово расстояние между множествами ^ и ^2, содержащимися в пространстве Еп .

Обозначим Сп[а,Ь] пространство непрерывных функций х : [а,&] -> Мп с нормой ||ж||с = = тах{|х(£)| : t € [а, 6]}; Ьп[а, Ь] - пространство

суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] -> Еп ь

с нормой ||х||/, = Лх(«)|^.

а

Непрерывность многозначных отображений понимается по Хаусдорфу. Измеримость однозначных функций понимаем по Лебегу [3], измеримость многозначных отображений понимаем в смысле [4].

Будем говорить, что отображение .Р : [а, 6] х х Кп -> сотр[1Кп] удовлетворяет условиям Ка-ратеодори, если выполняются следующие усло-

вин: а) при каждом г€1п отображение F(-,x) измеримо; б) при почти всех t G [а, Ь) отображение F(t, •) непрерывно; в) для каждого ограниченного множества V С К'1 найдется такая функция 0v(-) G Lx[a,b\, что при почти всех t 6 £ [а, Ь] и всех х € V выполняется неравенство ||F(*,x)|| ^ Pv(t) .

Обозначим через S(F(-)) - множество всех измеримых селекторов (ветвей) отображения F : [а, 6] -» comp[Rn] . Отображение со F : [а, Ь] -> —> compfIR"] определим равенством (со F)(t) = = со F(t).

Обозначим через К ([а, Ь] х Еп х [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, 6] х R" х [0, оо) -»• [0, оо), обладающих следующими свойствами: при каждых (х,6) € Кп х [0,оо) функция г](-,х,6) измерима; при почти всех t 6 [а, Ъ] и всех S Е [0, оо) функция r)(t,-,6) непрерывна; для каждых U G € comp[Rn] и 6 € [0,оо) существует такая суммируемая функция ти,б • [а,Ь] [0, оо), что при

почти всех t 6 [а, 6] и всех х Е U и т € [0,5] выполняется неравенство rj(t,x,r) ^ Tnu,s(t); при почти всех t Е [а, 6] и каждого х Е Кп выполняются равенства lim r/(t,z,d) = 0, y(t,x,0) =

6—O—f—O

= 0. Если для каждого U Е comp[IRn] и 6 Е Е [0,оо) найдется такая функция ти,д{•) > определяющая множество К([a, b] х Кп х [0, оо)), что она представляет собой константу, то множество таких функций 77(-,-,-) Е K([a,b] х lRn х [0,оо)) обозначим через К([а, 6] хГ х [0, оо)).

Обозначим через Р([а,Ь] xln х [0, оо)) множество всех функций т] : [о, b] х IRn х [0, оо) —» -> [0,оо), обладающих свойствами из класса функций К([а,Ь] х Г х [0,оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U Е сотр[К71] и 5 6 (0,оо) найдутся такие числа r(U,6) > 0 и 0(и,д) ^ 0, что при почти всех t Е [а, Ь] и всех х Е U число г(U, 6) удовлетворяет неравенству r(U,6) ^ r)(t,x,6), а для числа /3(U,6) при почти всех t Е [а, 6] и всех х Е U и г € [0,5] имеет место оценка r/(£,x,r) ^ (3(U,5).

§1. Аппроксимация с внешними возмущениями

Рассмотрим дифференциальное включение

x(t) е F(t,x{t)), t Е [а, 6], (1)

где отображение F : [a, b] х IRn -> comp[Kn] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [о, Ь] -* -> #п, удовлетворяющую этому включению при почти всех £ Е [а, 6].

Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х : [а, 6] -¥ Кп является квазирешением включения (1), если найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций Х£ : [а,Ь] -> Еп,г = 1,2..., обладающая свойством: х*(-) —» х(-) в Сп[а,Ь\ при г -4 оо; для любого г = 1,2... и при почти всех £ Е [а, 6] выполняется включение

£<(*) € ^(г,х(*)). (2)

Далее, будем считать, что, если квазирешение х(-) Е V С Сп[а,Ь\, то для х(-) найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций Хг(-),г = 1,2..., обладающая свойством из определения квазирешения включения (1), что для любого г = 1,2... выполняется включение Хг(-) Е V.

Замечание1. Отметим, что квази-решение включения (1), сформулированное выше, несколько отличается от определения квазитраектории по Важевскому [2; 5; 1, с. 63] наличием условия (2). Данное определение квазирешения включения (1) и квазитраектории по Важевскому эквивалентны, если отображение Р : [а, Ь] х Кп -4 сотр[Мп] непрерывно по второму аргументу. В то же время для квазирешений можно доказать основное свойство квазитраекторий [2; 5; 1, с. 63] при более общих предпо-лоэ/сениях, не предполагая непрерывность Р(-, •) по второму аргументу. Для этого достаточно предположить суперпозицион'нхую измеримость отображения Р(-,-) [6,7].

Будем говорить, что многозначное отображение Р : [а, Ь] хГх [0, оо) —> сотр[]йп] аппроксимирует отображение Р : [а, Ь] х 1КП -> сотр[Еп], если найдется такая функция £(-,-,•) Е /С([а,6] х х Г х [0, оо)), что при почти всех £ € [а, 6] и всех (х, (5) £ Мп х [0, оо) выполняется оценка

я)> х»<*)] ^ £(*>х, д). (3)

Отображение Р(-, •, •) будем называть аппроксимирующим отображение Р(-,-) или просто аппроксимирующим. Функция £(-,-,•) € К([а,Ь] х

х!п х [0, оо)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения Р(£,х,й) в точке (£,х) € € [а, 6] х 1КП к значению Р(Ь,х) для каждого фиксированного 6 € [0,оо). Эту функцию £(•, •, •) будем называть степенью аппроксимации отображения .Г : [а, Ь] х 1йп —> сошр[1йп] отображением Р : [а, 6] х Кп х [0,оо) -> сотр[Кп] или просто степенью аппроксимации.

Отметим, что если для отображения Р : [а, 6] х Кп х [0, оо) -» сошр[1Кп] функция £ : [а, 6] х х Кп х [0, оо) -> [0, оо) определена равенством

£(*, х, 5) = х), Р(г, х, 6)] (4)

и эта функция принадлежит множеству К {[а, Ь] х Кп х [0, оо)), то отображение Р : [а, Ь) х х Г х [0, оо) —> сошр[Мп] аппроксимирует отображение Р : [а, 6] х Кп —> сотр[Кп]. При этом функция ^(-,•), определенная равенством (4), является точной нижней гранью всех функций £(-,-,•) € К ([а, 6] х х [0, оо)), удовлетворяющих при почти всех £ € [а, 6] и всех (х, й) Е 1" х [0, оо) неравенству (3). Поэтому функцию £(-,-,•) 6 € К ([а, 6] х Кп х [0, оо)) для отображения /г(-, •, •) можно считать ’’идеальной” степенью аппроксимации, поскольку в каждой точке (£,х) 6 [а, 6] х х Кп для каждого фиксированного 6 € (0, оо) значение £(£,х,5) равно расстоянию по Хаусдор-фу между значениями Р(£,х) и Р(£,х,<5). Отметим, что иногда установить ’’идеальную” степень аппроксимации £(•,•,•) £ К([а,Ь\ х 1" х [О, оо)) для аппроксимирующего отображения Р : [а, Ь] х х 1КП х [0,оо) -¥ сошр[1Кп] сложно. Гораздо проще найти ’’какую-нибудь” степень аппроксимации £(•, •, •) 6 К ([а, Ь] х Мп х [0, оо)), тем более, что во многих случаях этого достаточно, чтобы установить те или иные свойства множества решений дифференциального включения (см. ниже теоремы 1-6).

Отметим, что из определения аппроксимирующего отображения ,Р(-,-,-) при почти всех £ £ £ [а, 6] и всех (х,5) 6 Кпх[0, оо) вытекает оценка

|Й4,х,4)|| 1)11 + «*,»,г).

Поэтому для каждого и £ сотр[Е,г] и <5 6 [0, оо) для отображения Р(-, •, •) существует такая суммируемая функция ти,б ' [а, Ь] -»• [0,оо), что при почти всех £ £ [а, 6] и всех х € С/ и т £ [0,5] имеет место неравенство ||.Р(£,х, г)|| ^ ти,б(1).

Пару (F(-, •, •),£(“> •, •)) будем называть аппроксимацией отображения или просто

аппроксимацией. Если £(•, •, •) = 0, то в этом случае для любых (£, х, S) £ [а, Ь] х К71 х [0, оо) справедливо равенство F(£,x,<5) = F(t,x) и поэтому (F(-, •, •), 0) будем называть ’’идеальной аппроксимацией”. Пару (F(-, •, •)>€(*> •, •)) будем называть аппроксимацией вложением, если при почти всех £ £ [а, 6] и всех (х, (5) 6 1п х [0, оо) выполняется включение F(t, х) С F(t, х, S).

Для заданной степени аппроксимации £(•,■,•) £ Щ[а,Ь] х К" х [0,оо)) отображение F : [а, 6] х 1Г х [0, оо) -* comp[Rn], аппроксимирующее отображение F : [а, 6] х IRn —> -> сотр[1Кп], можно построить, например, взяв для каждых (£, х) € [а, 6] х IRn конечное множество всех центров шаров, принадлежащих значению F(£,x), шары которых с этими центрами, имеющие равные радиусы, покрывают множество F(£,x). При этом значение £(£,х,<5) является радиусами этих шаров или оценкой этих радиусов. Данный пример показывает, что каждое значение многозначного отображения F : [о, Ь] х х Еп х [0, оо) —> comp[Kn], аппроксимирующее отображение F : [а, 6]хКп -» comp[Rn], при каждом 6 £ [0, оо) может иметь достаточно ’’простую структуру”. Будем считать, что F(-,-,-) определяет способ или метод аппроксимации отображения F(-,-).

Отметим, что сами значения аппроксимирующего отображения F(-,-,-) могут вычисляться с некоторой степенью точности (например, в рассмотренном выше примере центры шаров, покрывающие значения F(t,x) (£,х) € [а, 6] х х Г), которую можно задать некоторой функцией г]{-,-,•) £ К{[а,Ь] хГ х [0, оо)). В связи с этим рассмотрим отображение Qv : [a, b] х I" х х [0,оо) —> comp[IRn], определенное равенством

Q„(t,x,S) = (5)

где функция Г7(-,*) £ К([а,Ь] хГ х [0,оо)) в каждой точке (£,х) £ [а, 6] х Rn при каждом фиксированном S £ [0, оо) определяет погрешность вычисления значений аппроксимирующего отображения F(-,v), причем эти погрешности могут быть неравномерны относительно фазовой переменной х £ Шп. Далее, функцию т/(-,-,-) будем называть радиусом внешних возмущений

аппроксимирующего отображения Р(-,-,-) или просто радиусом внешних возмущений.

Заметим, что значения отображения •>•)> заданного равенством (5), могут быть и невыпуклыми множествами даже в том случае, когда значения отображения Р(-, •) - выпуклые множества. Кроме того, из определения отображения •, •) и неравенства (3) при почти всех t € [а, Ь] и всех (я, 6) € К71 х [0, оо) следует оценка

/1[Р(£, х), х, 5)] ^ £(*, х, 6) + 77(£, х, 5). (6)

Таким образом, из оценки (6) вытекает, что для каждой функции 77(-,-,-) £ К([а,Ь] х М71 х х [0,оо)) при почти всех £ £ [а, 6] и всех х € К71 справедливо равенство

Ит /1[Р(£,х),(5^(£,х,5)] = 0. (7)

6—>0+0

Поэтому для заданной аппроксимации (^(•> •, •),£(', •, *)) все отображения : [а, 6] х х К71 х [0,оо) -» сотр[К71], определенные равенством (5) и зависящие от функции ^(-,-,-) Е € К([а, Ь] х 1К71 х [0,оо)), близки (в смысле равенства (7)) к отображению Р : [а, 6] х Е71 —> сотр[Кп], определяющему дифференциальное включение (1).

Пусть г/(-,-,-) £ А"([а,, 6] х!71 х [0, оо)). Рассмотрим при каждом фиксированном 6 € [0, оо) дифференциальное включение

х(£) е д^(£,х(£),5), t е [а, 6], (8)

где отображение ф,, : [а, 6] х Е71 х [0, оо) -> -> сотр[Мп] задано равенством (5). Отметим, что правая часть дифференциального включения (8) может быть и невыпуклозначной. Дифференциальное включение (8) будем называть

Пусть V С Сп[а,Ь]. Обозначим через Н(У) {Нф5) (V")) множество решений (5-решений) включения (1), а также через НС0(У) множество решений включения (9), принадлежащие заданному множеству V.

Будем говорить, что для дифференциального включения (1) на множестве V С Сп[а,Ь\ выполняется принцип плотности, если имеет место равенство

ту) = ЯеоОО, (10)

где Н(У) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества Н(У).

3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что принцип плотности выполняется не всегда. Это показывает пример Плиса [8; 1, с. 63]. Первые достаточные условия, когда выполняется равенство (10), для задачи Коши были получены Л.Ф. Филипповым [9, 10], а для периодических решений и для краевых задач эти условия получены в работах [7, 11, 12]. Принцип плотности, как отмечено Пианиэ/сиани, является фундаментальным свойством для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью [13]. В работе доказывается, что и в аппроксимации дифференциальных включений с невыпуклой правой частью он играет важную роль.

Пусть ^(уг) € К([а,Ь\ х!" х [0,оо)). Определим функцию 1р(гр) : [а, Ь] х Япх [0, оо) -> [0,оо) равенством

<р{‘ф){г,х,6) = эир /г[Р(£,х),Р(£,у)].

1/бВ[х,т/»(4,х,<5)]

(11)

Значения функции *, •) [14] в точке

(£,х,5) будем называть модулем непрерывности

Л е м м а 1. Пусть £ К([а,Ь] хКп х

х [0, оо)) . Тогда функция <^(т/>)(-, •, •), определенная равенством (11), принадлежит множеству К{[а,Ь\ хГх [0,оо)).

Пусть У С Сп[а,Ь]. Обозначим

ЩУ) = {хбГ: Эу(-) еУ,Ье[а,Ь]х = у(*)}.

(12)

Теорема 1. Пусть У С Сп[а, Ь] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и пусть */>(-, •, •) Е 6] х х [0, оо)). Далее, пусть пара (Р(-, •, •)>£(’> •, •)) аппроксимирует отобраэ/сение Р(-,-)- Тогда для любой функции г](-, •, •) Е К ([а, 6] х 1КП х [0, оо)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех £ Е [а, 6], всех х Е (и(У))е (см. (12)) и 8 £ [0, оо) имеет место неравенство

£(£,х,<5) + <р('ф)(Ъх,6) ^ ф,х,6),

где •, *) - модуль непрерывности, а

£(-,-,•) - степень аппроксимации отобраэ/сения Р(-,-)> выполняется соотношение

Нсо(У) = П нт(У‘), (13)

<5>0

где Нпщ(У6) - замыкание в пространстве Сп[а, Ь] мноэ/сества Н^^У*), У6 ~ замкнутая в пространстве Сп[а,Ь] 6-окрестность мноэюества У

Замечание 3. Из теоремы 1 и леммы 1 вытекает, что для любой степени аппроксимации £(*,•>•) и заданного модуля непрерывности <Р(Ф){‘ч •»') отображения .Р(•,•) найдется такой радиус внешних возмущений Е К([а,Ь) х

хРх [0,оо)) аппроксимирующего отобраэ/сение Р(-,-,-), для которого выполняется равенство (13). Для этого достаточно положить = £(•, •, •)+ <£>(?/>)(•, •, •). Отметим такэ/се, что модуль непрерывности •, •) отображения зависит от радиуса непрерывно-

сти т/К‘> '>') и поэтому, подбирая радиус можно величину </?(?/>)(•, •, •) сделать достаточно малой. Таким образом, другими словами, теорема 1 утверждает, что если внешние возмущения г](■, •, •) Е К {[а, Ь] х Мп х [0, оо)) сравнимы со степенью аппроксимации £(■,•,■) Е К([а,Ь] х х 1Г х[0,оо)) отображения Р(-,-)> то справедливо равенство (13).

Т е о р е м а 2. Пусть V - ограниченное замкнутое мноэ/сество пространства Сп[а,Ь]. Пусть пара (Р(-, •,•)>£(’>">')) аппроксимирует отобраэ/сение Р(-,-). Тогда для того, чтобы для любой функции ??(•, •, •) € К([а,Ь\ х 1КП х [0,оо)) при почти всех £ Е [а, 6] и всех (х,6) Е и (У) х х [0, оо) (см. (12)), удовлетворяющей соотношению £(£,х,5) ^77(£,х,<5), имело место равенство

Тцу) = Г) Нт(У*), (14)

<5>0

где Н(У) - замыкание миоэ/сества Н(У) в пространстве Сп[а,Ь], необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на мноэ/сестве У выполнялся принцип плотности.

Замечание4. Отметим, что из теоремы 2 и примера Плиса [8; 1, с. 63] следует, что если внешние возмущения Е К([а,Ь\ х К” х

х [0, оо)) больше или равны степени аппроксимации £(•, •, •) € К {[а, 6] х 1&п х [0, оо)) отобраэ/се-ния Р1 : [а, Ь] х -»• сотр[1йп], необладающего свойством выпуклости значений, то аппроксимация дифференциального включения (1), вообще говоря, моэ/сет и не быть устойчивой, т. е. ’’небольшие” изменения правой части могут существенно изменить мноэ/сество решений.

Будем говорить, что отображение ^ : [а, 6] х х Кп —> сотр[Еп] удовлетворяет условию Липшица, если существует такая суммируемая функция I : [а, Ь] [0, оо), что при почти всех £ € € [а, Ь] и всех х,у Е Кп справедливо неравенство

/г[Р(£,ж),Р(£,у)] ^ /(£) \х-у\.

Будем говорить, что функция д : [а, Ь] х х [0, оо) -» [0, оо) обладает свойством А, если для любого 6 Е [0, оо) функция д(-,<5) измерима, и для любого 6 Е [0, оо) найдется такая суммируемая функция : [а, Ь] -» [0,оо), что при почти всех £ Е [а, 6] и всех г Е [0,5] выполняется неравенство д(£,т) ^ т<5(£).

Будем говорить, что отображение Ё : [а, 6] х х1Г х [0, оо) -» сотр[1Кп] обладает свойством В, если при всех (х,6) еГх [0,оо) отображение Р(-,ж,5) измеримо и существует такая функция q : [а, Ь] х [0, оо) —> [0, оо), обладающая свойством А, что при почти всех £ € [а, 6] и всех х,у Е К” и 6 Е [0, оо) выполняется неравенство

/г[Р(£, х, 5), Р(£, у, 5)] ^ q{t, 6) \х-у\. (15)

Пусть М Е сотр[1Кп] и пусть Е

€ К {[а, Ь] х К" х [0, оо)). Обозначим через Я(М) и #,,(£) (М) множество решений задачи Коши включений (1) и (8), начальные значения которых принадлежат множеству М, соответственно.

Теорема 3. Пусть М Е сотр[Кп] и пусть пара (Р(‘, •,•),€(",-, •)) аппроксимирует отображение Р(-, •). Далее, пусть отображение Р(-, •) удовлетворяет условию Липшица, а отобраоюе-ние обладает свойством В. Тогда для

любой функции Е К([а,Ь] х 1" х [0,оо))

имеют место равенства

ЩМ) = р| я„(4)(М) = П

<5>0 <5>0

где Н(М), НГ]^)(М6) - замыкания в

пространстве Сп[а,Ь\ соответствующих мно-э/сеств.

Если пара (Р(-, •,•)>£(■>■>')) аппроксимирует отображение Р : [а, 6] х Кп -> сотр[Кп] вложением, теоремы 1, 2 можно уточнить.

Т е о р е м а 4. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть гр(-,-,•) Е Р([а,Ь] х 1КП х [0,оо)). Далее, пусть пара (Р(-,•,•)>£('>■>')) аппроксимирует отобраэюение Р(-, •) вложением. Тогда для любой функции Е К([а,Ь] хЕ" х [0, оо)),

для которой существует такое число е > О, что при почти всех t Е [а, Ь] и всех х Е и(V) (см. (12)) и 6 Е [0,оо) выполняется оценка

1р{-ф)(г,х,6) ^ г/(£,х,5),

справедливо равенство (13).

Теорем а 5. Пусть V - ограниченное замкнутое мноэюество пространства Сп[а,Ь\. Далее, пусть пара (Р(-, •, •)>£('> •, •)) аппроксимирует отображение Р(-,-) влоэ/сением. Тогда для того, чтобы для любой функции //(•,•,•) Е Е К([а,Ь] х Кп х [0,оо)) имело место равенство (14), необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на мноэюестве V выпол71ялся принцип плотности.

§2. Аппроксимация с внутренними и внешними возмущениями

2.1. Общий случай. Пусть г)0(-,-,-) Е Е К([а,Ь] хШп х [0,оо)). Определим функцию £(770) : [а, Ь] х Rn х [0, оо) —> [0, оо) равенством

ZiVo )(*»М)= sup £{t,z,6). (16)

z£B[x,Tio(t,x,6)]

JI е м м а 2. Пусть 77о(*» *» *) € К([а,Ь] х х Rn х [0, оо)) . Тогда функция £{т]о)(-, •, •) , заданная равенством (16), принадлежит множеству К([а,Ь] х 1Г х [0,оо)).

Отметим, что аппроксимирующее дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями (включение (8)), определяется погрешностями вычисления значений отображения F : [а, Ь] х х Rn -* comp[IRri] (правой части включения (1)), которые задаются парой, (F(-, •, •), •, •)), и по-

грешностями вычисления значений самого аппроксимирующего отображения F : [a, i] х 1п х х [0,оо) —» comp[Rn]. В то же время каждое решение х : [а, 6] ->■ Rn включения (8) может также вычисляться с некоторой степенью точности, которую можно задать некоторой функцией 77o(*,v) Е Щ[а, Ь] х Rn х [0,оо)). В связи с этим рассмотрим отображение F0 : [a, b] х Rn х х [0,00) -» comp[Rn], определенное равенством

F0(t,x,6) = F(t,B[x,r]o(t,x,6)],S), (17)

где функция 770(* 1 ■} ■) € K([a,b\ х Rn х [0, оо)) в каждой точке (t,x(t)) Е [a, b] х Rn при каждом фиксированном 5 Е [0,оо) задает погрешность вычисления значения решения х : [а, 6] -» -* R" в точке t Е [а, Ь] дифференциального включения (8), причем эти погрешности могут быть неравномерны относительно фазовой переменной х Е Rn. Далее, функцию бу-

дем называть радиусом внутренних возмущений аппроксимирующего отображения F(-,-,-) или просто радиусом внутренних возмущений.

Л е м м а 3. Пусть 770(*, •, •) Е К([а,Ь] х!" х х [0,оо)) и пара (F(-, •, •)»£(•> *, •)) аппроксимирует отобраэюение F(-, ■) . Тогда для отпобрао/се-ния F0 : [a, b]xRn х[0,оо) -> comp[Rn], заданного равенством (17), при почти всех t Е [а, 6] и всех (х, S) Е Rn х [0, оо) справедливы соотношения

||F0(f,M)|| < SUP \\F(t,z)\\ + Z(rio)(t,x,d)

z£B[x,rio(t,x,6)]

h[F{t,x),F0(t,x,6)] ^ £(r)0)(t,x,6) +<p{r]o)(t,x,6),

(18)

где функция £(т7о)(‘> •> •) определена равенством (16), а р(г]о)(-,-,*) - модуль непрерывности отбражения Р(-,-) относительно радиуса непрерывности г/о(-,-,•)•

Замечаниеб. Отметим, что из оценки (18) и лемм 1 и 2 следует, что отображение Ро : [а, 6] хМ" х [0, оо) -> сошр[Еп], заданное равенством (17), аппроксимирует отображение Р : [а, 6] х Кп -» сошр[Еа] со степенью аппроксимации £(•, •, •) = £(т7о)(*, •, •) + у{т)0)(-, •, •)•

Л е м м а 4. Пусть отобраэюения Р : [а, Ь] х х К” х [0, оо) -¥ сошр[Кп] и г/о : [а, 6] х 1" х х[0,оо) —>• обладают свойством В, которые удовлетворяют неравенству (15) с функциями ц : [а, 6] х [0,оо) -» [0,оо) ид: [а, 6] х [0, оо) -> —> [0,оо), обладающими свойством А, соответственно, причем функция д(-, •) ограничена при каждом ограниченном изменении второго аргумента. Тогда для отображения Ро : [а5 &] х х I71 х [0, оо) —> сотр[Кп], определенного равенством (17), при почти всех Ь £ [а,6] и всех х, у £ Мп и 8 £ [0, оо) имеет место оценка

/г[Р0(г,х,8), Р0(г, у, <5)] ^ д(4,6){1 + £(*, <5)) |х - у|.

(19)

Пусть г]€ /1Г([а,Ь] х Мп х [0, оо)) и

7?(-, •, •) € /^([а, Ь] х 1Й71 х [0, оо)). Рассмотрим отображение <2„о,г/ : [а, Ь] х К71 х [0, оо) сотр[К7г], определенное равенством

*,<5) = (ЗД,М))’’(‘1*'{)- (20)

Согласно замечанию 5, для отображения (5^^ : [а, 6] х К" х [0, оо) сотр[11&п] из неравенства (6) при почти всех £ £ [а, Ь] и всех (х, 8) £ € К'1 х [0, оо) вытекает оценка

Л[Р(*,х), х,<5)] ^ £(т7о)(г,х,5)+

+ Ц>Ы)(*>х,8) + ф,х,8).

Поэтому для каждых функций г)о(*, -) £

£ К([а,Ь] хРх [0,оо)) и //(*,-,•) £ К([а,Ь] х

х К" х [0, оо)) при почти всех £ € [а, Ь] и всех

х £ К'1 справедливо равенство

. Пш /г[Р(£,х), ЯЛ0,г,(г,х,5)] = 0. д—*0-+-0

Рассмотрим при каждом фиксированном 5 € € [0, оо) дифференциальное включение

*(0 ^ 4 е [а>61> (21)

где отображение С?т/0,т> : [о>&] х К" х [0, оо) -» -4 сотррК71] определено равенством (20). Дифференциальное включение (21) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с внутренними и внешними возмущениями.

Пусть V С С"[а, 6]. Обозначим ЯЧо(Л)>1,{Л)(^) множество решений включения (21), принадлежащие заданному множеству V.

Из теорем 1 - 5 и лемм 2-4 вытекают следствия:

Следствие 1. Пусть V С Сп[а,Ь] -ограниченное замкнутое мпоэюество пространства Сп[а, 6] и пусть ^(-,-,-) € Р([а, 6] х

х Кп х [0, оо)),т/о(-> *> •) £ К([а,Ь] х К71 х [0,оо)). Далее, пусть (Р(-,•,•)>£(■>■>')) аппроксимирует отобраэ/сение Р(-, •) . Тогда для любой функции 77(-, •, •) € К([а,Ь] х Еп х [0, оо)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех £ £ [а, 6] всех х £ (и(У))£ (см. (12)) и 8 £ £ [0, оо) имеет место неравенство

£(770 )(*,х,<5) +¥>(т/0)(*,ж,<5) +

+ ^(г/>)(£,х,8) ^ 77(*, х, <5), (22)

где функция £(г] о)(-,-,-) определена равенством (16), <£>(•)(•>•>■) ~ модуль непрерывности отобраэюения Р(-, •) относительно радиусов непрерывности т/о(•, •, •) и 1ф(выполняется соотношение

Нсо(У) = П Я,(23) 6>0

где Яг?0(й) г?((5)(У(5) - замыкание в простран-

стве Сп[а,Ь] мноэюества НП0(6)^&){У&), V5 - замкнутая в пространстве Сп[а,Ь\ 8-окрестность множества V.

Следствие 2. Пусть V С Сп[а, Ь] - огра-ниченное замкнутое мноэюество пространства Сп[а,Ь] и 7/0(-,-,-) £ К([а,Ъ] хКп х [0,оо)). Далее, пусть пара (Р(-,•>•)>£(’>■>’)) аппроксимирует отобраэюение Р(-, •) . Тогда для того, чтобы для любой функции ту(-,-,-) £ К([а,Ь] х К7г х х[0,оо)), при почти всех I £ [а, 6] и всех (х,8) £ £ и{V) х [0,оо) (см. (12)), удовлетворяющей соотношению

£{г}0){г,х,8) +¥>(%)(«,х,б) ^ гу(г,х,5),

где функция £(77о)(’> •> •) определена равенством (16), ¥?(77о)(-> •, •) _ модуль непрерывности отображения ^(-, •) относительно радиуса непрерывности Г]•)» имело место равенство

Ш)=п <24>

<5>0

необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на множестве V выполнялся принцип плотности.

Пусть М € сошр[Мп] и пусть 7/о(-,-,-)> Т)(•, •, •) € К([а,Ь] х Кп х [0, со)). Обозначим через НЫ8Ы6){М) множество решений задачи Коши включения (21), начальные значения которых принадлежат множеству М.

Следствие 3. Пусть М € сотр[Кп] и пусть пара (-Р(', •,•)>£(’,’,’)) аппроксимирует отображение ^(-,-). Далее, пусть отображение ^(-,-) удовлетворяет условию Липшица, а отобралсения ^(-,-,-) и 7|о(*> *э *) удовлетворяют лемме Тогда для любой функции е

€ К {[а, 6] х 1" х [0, оо)) имеют место равенства

нЩ = р| НтЮ,т(М) = Л НЩ{6Ш5)(М‘),

6> 0 <5>0

где НЫ6)М6)(М), НЫ6)М6)(М6) -замыкания в пространстве Сп[а,Ь\ соответствующих множеств.

Следствие 4. Пусть V С Сп[а, 6] - ограниченное замкнутое мноэюество пространства Сп[а,Ь\, т/>(-,-,-) € Р{[а, Ь] х П&п х [0,оо)). Далее, пусть пара (^(-, •, •), £(•, •, •)) аппроксимирует отображение ^(-, •) вложением. Тогда для любой ф\)нкции 77о(-,-,-) € К([а,Ь\ х К71 х [0, оо)) и любой функции г)(-, •, •) € К ([а, 6] х К71 х [0, оо)), для которой существует такое число е > О, что при почти всех £ € [а, 6] и всех (х,&) € € (и(У))£ х [0, со) (см. (12)) выполгтется оценка

Ч>{гр)Ц,х,6) ^ Т7(£,ж,5), справедливо равенство (23).

Следствие 5. Пусть V С Сп[а, 6] - ограниченное замкнутое мноэюество пространства Сп[а,Ь]. Далее, пусть пара (^(-, •, •)>£("> •, •)) аппроксимирует отображение ^(-,-) влоэюени-ем. Тогда для того, чтобы для любой функции

77о(-,-,-) 6 К([а,Ь] х Е71 х [0,оо)) и т?(-,-,-) € G К ([а, Ь] х Rn х [0,оо)) имело место равенство (24), необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) па множестве V выполнялся принцип плотности.

2.2. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений. Здесь предполагается, что радиус внутренних возмущений 770 (*> ■, ■) G е Р([а,Ь] х Rn х [0, оо)), пара (F(-, •, •),£(•, •, •)) аппроксимирует отображение F(-,-) вложением, а аппроксимирующее отображение F : [а, Ь] х хГх [0,оо) -> сошр[Кп] обладает свойством: для любых (х,<5) е I71 х [0, оо) F(-,x,6) измеримо; при почти всех t € [а, 6] и всех 6 Е Е [0, oo) F(t, •, 5) непрерывно (это свойство ниже для отображения F(-,-,-) будем называть условия Каратеодори). В этом случае, как оказалось, следствие 4 можно уточнить.

Пусть 77о(-,-,-) € F([a,6] х К71 х [0, оо)) и 7](-, •, •) € К([а,Ь] х Г х [0,оо)). Определим отображения Ф : [а, 6] х R71 х [0, оо) ->■ comp[IRn], ФЛоТ} : [а, Ь] х К71 х [0, оо) -* сотр[П£п] равенствами

Ф(£, х, <5) = ext(co F(t, х, 6)), (25)

= (Ф(Я, B[x,jjo(t, х, (5)], ё))^1,х'6^,

(26)

где в (25) ext(-) - замыкание множества крайних точек соответствующего множества. Для каждого фиксированного S > 0 рассмотрим дифференциальное включение

*{t) € Ф,,0„(£,x(f),6), t 6 [а,Ь], (27)

где отображение Ф^,, : [а, 6] х х [0,оо) -» -> comp[Mn] определено равенствами (25), (26). Дифференциальное включение (27) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1), определенное по крайним точкам значений аппроксимирующего отображения F(>, •, •), с внутренними и внешними возмущениями.

Пусть HVo^s)T](S){y) - множество решений включения (27), принадлежащих множеству

V С Сп[а,Ь], при фиксированном 6 > 0.

Отметим, что поскольку для любых (t, х, 6) € £ [а, Ь] х К71 х [0, оо) выполняется включение Фт/от^я,^) с QrjonityX^), где отображения

®nov('i ’»') и Qvovi'■>'■>') определены равенствами (26) и (20), соответственно, то Нт^ш6)(У) С С Ны6)щ(б)(У)-

Рассмотрим также при каждом 6 > 0 дифференциальные включения

x(t) € со F(t,x(t),6), £ G [а, 6], (28)

x(t) € Ф(£,х(£),<5), t € [а, 6]. (29)

Пусть 7ico(V,S) - множество решений включения (28), a liextiy^) ~ множество квазирешений включения (29), принадлежащих множеству

V С Сп[а,Ь\.

Теорема 6. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] ^7о(*> *> *) £ € Р([а,Ь] х 1Г х [0, оо)). Далее, пусть па-

ра (F(-, •, •)>£(*» •, •)) аппроксимирует отобраэюе-ние F(-,-) вложением и F(*, •,•) удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции rj{*,-,•) G K([a,b] хЕпх [0, оо)) справедливы равенства

Hco(V) = f| = П HmWnW(V‘),

6>0 6>О

где Ят70((5)т7((5)(1/й) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь\ мноэ/сества H1l0(s)v(6)(Vs).

Замечаниеб. Отметим, что теоремы 1 - 6 и следствия 1-5 обобщают и уточняют результаты работ [14 - 20].

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. С. 60.

2. Wazewski Т. Sur une generalisation de la notion des solutions d’une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astr., phys. 1962. V. 10. JV*1. P. 11-15.

3. Натансон И.Т. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 338.

5. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d’un system de commande nonlineaire // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astr., phys. 1963. V. 11. №6. P. 367-368.

6. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. .N>10. С. 63-86.

7. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпукло-

значного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. JNf*6. С. 3-32.

8. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astr., phys. 1963. V. 11. №6. P. 369-370.

9. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. №3. С. 16-26.

10. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

11. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // Дифференц. и интеграл, уравнения. Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С. 32-38.

12. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения. I, II, III // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. JY‘3. С. 371-379; JV*4. С. 566-571; JV*5. С. 739-746.

13. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // Different. Equations. 1977. V. 25. №1. P. 30-38.

14. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко E.A. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. .N*12. С. 1587-1598.

15. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств 5-решений дифференциального включения // Матем. заметки. 1999. Т. 65. JV»5. С. 775-778.

16. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вест. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 4. С. 461-469.

17. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Матетатика. 1999. Т. 3. (442). С. 3-16.

18. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Дифференциальные включения с внешними возмущениями, радиус которых зависит от фазовой переменной // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 429-430.

19. Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Устойчивость периодических и двухточечных краевых задач относительно внешних возмущений // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 446-447.

20. Hermes Н. The generalised differential equation x(t) 6 € R(t,x) // Advances Math. 1970. V. 4.JV*2. P. 149-169.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140)

Поступила в редакцию 25 января 2001 г.