Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© А.И. Булгаков, А.А. Ефремов, Е.А. Панасенко

Bulgakov A.I., Yefremov A.A., Panassenko Y.A. Differential Inclusions With Internal And External Disturbances. The conditions are formulated, under which the intersection of closures in the space of continuous functions of 6-solutions of differential inclusion, the right part of which satisfies Karateodory’ conditions, coincides with the set of ’convex’ differential inclusion solutions.

Данная заметка продолжает исследования, опубликованные в работах [1 - 4]. Здесь приводятся асимптотические представления множеств приближенных решений дифференциального включения, когда оно ”подвергается” внутренним и внешним возмущениям. Такие задачи возникают в приложениях, например, когда значения многозначного отображения известны с некоторой степенью точности, которая определяется б -окрестностью значений этого отображения.

Пусть Яп - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | • | ]сотр[Яп] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Яп\В[и,г] - замкнутый шар пространства Яп с центром в точке и и радиусом г > 0;В[и,0] = {и}. Пусть

V С Яп ■ Обозначим V замыкание множества V, соУ выпуклую оболочку множества

V ; Vе = У В[и, е], если е > 0 , и V0 = V;

||VII = 51ф{|и| : и Е V} ■

Пусть /г+[^ь^2] = 5ир{р[у;-Р2] : у Е , где р[ ;-] расстояние между точкой и множеством в пространстве Лп, =

= тах{Л+[^1; ^2]; ^+[^2\ ^1]} ~ хаусдорфово расстояние между множествами и 7*2 , содержащимися в пространстве Яп .

Обозначим Сп[а,6] пространство непрерывных функций х : [а, 6] —► Яп с нормой ||*||с = тах{|х(*)| : I Е [а, 6]}; X,1 [а, 6] - пространство суммируемых по Лебегу функций

ь

х:[а, 6] —► Я1 с нормой ЦгсЦх, = /|ж($)|с/5.

а

Непрерывность многозначных отображений понимается по Хаусдорфу. Измеримость многозначных отображений понимаем в смысле

[5]. Пусть отображение F : [а, 6] х Яп —► сотр[Яп] . Будем говорить, что ^ удовлетворяет условиям Каратеодори, если выполняются следующие условия: а) при каждом х Е Яп отображение измеримо; б) при почти всех

2 Е [а, 6] отображение F(t,■) непрерывно; в) для каждого ограниченного множества V С Яп найдется функция (Зу Е Ь1[а>Ь\} что при почти всех 2 6 [а, 6] и всех х £ V выполняется неравенство ||/г’(<>а:)|| < /?^(^) -

Обозначим через К([а,Ь] х (0, оо)) множество всех функций т) : [а, 6] х (0,оо) —► [0,оо), обладающих следующими свойствами: при каждом <5 Е (0,оо) функция т](-,6) измерима; для каждого 6 Е (0,оо) существует такая суммируемая функция тпб : [а, 6] —+ [0, оо), что при почти всех < Е [а, 6] и всех г 6 (0,6] выполняется неравенство г)(1,т) < /тг^ (^); при почти всех t Е [а, 6] справедливо равенство

Пт ■п(1) 6) = 0 . й—о+о 4 '

Будем говорить, что функция т] Е К([а,Ь] х (0,оо)) ограничена при каждом ограниченном изменении 6, если для каждого 6 > 0 существует такое число /?а > 0 , что при всех < Е [а, 6] и т Е (0,6) выполняется неравенство

< Рб-

Далее, пусть Р([а,Ь] х (0,оо)) С /<"([а, 6] х (О, оо)) - множество функций 77 : [а, 6] х (0, оо) -» (0,оо), обладающих следующими свойствами: при каждом 8 Е (0,оо) функция т?(-,6) полунепрерывна снизу на [а, 6] и ограничена.

Рассмотрим дифференциальное включение

^)Е^,х(0). <е[а,6], (1)

где отображение ^ : [а, 6] х Яп —* сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори.

Под решением включения (1) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : [а, 6] —► Яп , удовлетворяющую включению (1) при почти всех I Е [а, 6].

Рассмотрим дифференциальное включение

х(*)е со^(*,х(<)), <6 [а, 6]. (2)

Пусть 77,770 Е К ([а, 6] х (0, оо)). По аналогии с [6] дифференциальное включение

*(() € Г(/, В[х(1), т(1, «)])’<*•*>, I 6 [а, Ь] (3)

будем называть дифференциальным включением с внутренними и внешними возмущениями.

Будем считать, что 770(■, -) - радиус внутренних возмущений, - радиус внеш-

них возмущений. Каждое решение включения (3) при фиксированном 6 > 0 будем называть 6-решением включения (1).

1. Возмущенное включение с измеримым радиусом внутренних возмущений.

Здесь рассмотрим дифференциальное включение (1), когда оно ’’подвергается” внутренним и внешним возмущениям, причем радиус внутренних возмущений Т]о(-,6) при каждом фиксированном 6 > 0 - суммируемая функция.

Л е м м а 1. Пусть отображение F : —у сотр[Яп] непрерывно. Тогда для

каждого V Е сотр[Яп] справедливо включение Е(У) Е сотр[Яп] .

Пусть 77о(-, •) Е К([а, Ь] х (0, оо)). Определим отображение ^ : [а, Ь] х Яп х (0, оо) —*• сотр[11п] равенством

*о(*,М) = F(^, £[х,?7о(<,<5)]). (4)

Пусть 771 (-, -) Е /\'([а,6] х (0,оо)). Определим функцию ф : [а, Ь] хЯлх (0,оо) —► [0,оо) равенством

^,х,6) =

вир /1[^о(*,х,<5);^(*,у,6)], (5)

у€В[*,»п(М)]

где отображение -Р0 : [а, 6] х Яп х (0,оо)

-+ сотр[Яп] задано соотношением (4).

Л е м м а 2. Пусть т/о(-, •)> •) Е ЛГ([а, Ь] х

(0,оо)) и 77о(*, ), 771(*> ) ограничены при каждом ограниченном измене>1ии 6 . Далее, пусть отображение Е : [а, 6] х Лп —► сотр[Я.п] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда при почти всех I Е [а, 6] и каждом 6 > 0 отображение ^(£,-,<5), определенное равенством (4), непрерывно; при всех х Е Яп и 6 > О

функция ф(-,х,6) измерима; для каждого ограниченного V С Яп и 6 > 0 найдется такая суммируемая функция ■ [а,&] —► [0,оо),

что при почти всех < Е [а, 6] и всех х Е V и т Е (0,6] выполняется оценка

Ф(г,х,г) < /?^г(0;

при почти всех I Е [а, 6] и всех хЕЯ" выполняется соотношение

Нгп фи, г, (5) = 0,

г—х

г—о+о

где функция ф : [а,Ь] х Яп х (0,оо) —*• [0,оо) задана равенством (5).

Пусть V Е сотр[Яп]. Определим отображение Ху : [а, 6] х (0,оо) —► [0,оо) соотношением

Ху(г,6)=8ирф(г,х,6), (б)

где функция ф : [а, 6] х Яп х (0,оо) —*• [0,оо) задана равенством (5).

Следствие 1. Пусть V Е сотр[Яп] . Далее, пусть функции 7;0(-, ■), 771 (•, •) Е К([а, 6] х (0,оо)) ограничены при каждом ограниченном изменении 6 и пусть отображение F : [а, 6] х Яп —*■ сотр[Пп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда функция Ху : [а, 6] х (0,оо)—► [0,оо), определенная равенством (6), принадлежит множеству К([а,Ь] х (0,оо)).

Пусть функции т7о(-, •), 771 (-, •) Е К([а,Ь\ х (0,оо)). Будем говорить, что отображение : [а, 6] х Яп X (0, оо) —► сотр[Яп], определенное соотношением (4), равномерно непрерывно на множестве V С Я" , относительно функции т](-, •) Е К([а, 6] х (0, оо)), если для любого е > 0 существует такое <5(е) > 0 , что при почти всех / Е [а, &] и всех х Е V и г Е (0,<5(е)] выполняется оценка

Ф(1,х,т) <

где функция ф : [а, 6] х Яп х (0,оо) —► [0,оо) определена равенством (5).

Замечание 1. Если для любых t Е [а, Ь] и 6 > 0 справедливы равенства 77о(2, <5) = Т}\(1,6) = 77(/, <5) = 6, а отображение Е : [а, 6] х Яп —► сотр[Яп] непрерывно по (<, х), то отображение Ео : [а, 6] х Я" х (0,оо) —► сотр[Яп], определенное соотношением (4), для данной функции •) равномерно непрерывно на любом множестве V Е сотр[11п], относительно заданной функции

Будем говорить, что отображение Е : [а, 6] х Яп —► сотр[Яп) обладает свойством А, если найдется такая функция сг(-, ) Е К([а,Ь\ х

(0,оо)), что при почти всех I Е [а, Ь] отображение сг(<, •) непрерывно и не убывает и для любых (<, х), (*, у) Е [а, 6] х 11п имеет место неравенство

*); Р^,у)] < <гЦ, |х - у|).

Следствие 2. Пусть .Р : [а, 6] х Яп —♦ сотр[Яп] обладает свойством Л и пусть функции з?о(-, ), Т71(-, ) Е К([а,Ь] х (0,оо)) ограничены при каждом ограниченном изменении 8 . Тогда отображение : [а, 6] х Яп х (0,оо) —► сотр[Яп], определенное равенством (4), равномерно непрерывно на всем пространстве Яп относительно функции <т(-, 771 (*, •)).

Пусть V С Сп[а,Ь] и пусть »7о(-, •)> *?(•, •) € К([а,Ь] х (0, оо)). Обозначим Н^б^б^У) (НС0(У)) множество всех 8 -решений включения (1), с заданными радиусами внутренних и внешних возмущений, соответственно (множество всех решений включения (2)), принадлежащих множеству V . Пусть далее

и(У) = {х Е Лп : 3(1, у) Е [а, Ь] х V х = у(1)}.

Т е о р е м а 1. Пусть V ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть функция 770(*> ■) £ ^([<2)&] х (0,оо)) и ограничена при каждом ограниченном изменении 8 , а функция € Р([а,Ь] х (0,оо)).

Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —♦ сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратео-дори, а отображение : [а, 6] х Яп х (0,оо) —► сотр[Яп], определенное равенством (4), равномерно непрерывно на множестве и(У) относительно функции г](-} •) Е К([а,Ь] х (0,оо)). Тогда справедливо равенство

Я~РО = П я->.<«м <)('/‘)' (?)

<5>0,е>0

где ^г}о(б)г?(<5)(^£) ‘ замыкание множества

нг)0 (й)г?(й)(^£) 6 пространстве Сп[а,Ь],Ус-

замкнутая с -окрестность в пространстве Сп[а,Ь].

Пусть 2/"Ча’6] (2сЧа’^) - множество всех

непустых подмножеств пространства Ьп[а,Ь] (Сп[а,6]). Напомним, что многозначный оператор Немыцкого N : Сп[а,Ь] —у 2Ь , порожденный отображением Р : [а, 6] х Яп —► сотр[11п] , определяется равенством

Л^х = {у Е Ьп[а, 6] :

у(1) Е Р(2, х(*)) при п.в. I Е [а, 6]}.

Пусть линейный интегральный оператор С? : £п[а,&] —*• Сп[а,Ь] задан равенством 1

= J ^(в)^, <е[а,6].

Теорема 2. Пусть V - такое ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], для которого справедливо включение М{у) С V, где оператор М : Сп[а,Ь] —> 2е [а'61 задан равенством

Мх = х(а) 4- СА^х. (8)

Далее, пусть г)0(-, ) Е К([а,Ь\ х (0,оо)) и ограничена при каждом ограниченном изменении 8, а функция 771(-, -) Е Р([а,Ь) х (0,оо)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —* сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратео-дори, а отображение Ро : [а, 6] хЛпх (0,оо) —*■ сотр[Яп], определенное равенством Ц), равномерно непрерывно на множестве и (У) относительно функции Е К([а,Ь] х (0,оо)).

Тогда справедливо равенство

Н<о(У) = П Я,„М,«)(П (9)

6>0

где ^7}0(б)т1(б)(У)~ замыкание множества НМ6Ы6)(У) в пространстве Сп[а,Ь\.

С л е д с т в и е 3. Пусть множество У С Сп[а,Ь] удовлетворяет условию теоремы 2. Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Лп —> сотр[Яп] непрерывно по совокупности аргументов. Пусть 77о(<, <5) = О , а г]{1,8) = 8 при всех (<,<5) Е [а, 6] х (0,оо). Тогда справедливо равенство (9).

Замечание 2. Следствие 3 уточняет теорему 2.2 из [7].

Замечание 3. Отметим, что условие равномерной непрерывности отображения : [а, 6] х Яп х (0, со) —► сотр[Яп] относительно функции г](-, •) Е К([а,Ь] х (0,оо)) является существенным условием в теоремах 1, 2.

На это показывает следующий пример. Пусть отображение Ё : В? —> сотр[11п] определено равенством

г(*) ={(1;х2 + ч/Ы);(-1;х2+УЫ)}, (10)

где (х) — координаты вектора х. Рассмотрим (см. [б, с. 63]) задачи Коши для дифференциальных включений

<п|

6>)6“К$)',6|М1 ■№|=о

Пусть Ноо,Нсо— решения задач (11), (12), соответственно. Пусть функции Т7о(/,<5) =

(13)

(О, сю) —*■ г.пгщ)\Яп] ^жЬгКное равенством (^в).

Гёрно непрерывно на множестве £У(У(и;)) относительно функции г](-,) Е Л'([0,и;]х(0, оо)). Тогда справедливо равенство

- г){1,6) = 0,771 (/, 6) = 8 при всех (*, 8) Е [0, 1] х (0,оо). Тогда

П ^о(й)г7(5)(ЯсД^^£в4-£Аг1г)-*г-^0Го-

«>о -—~

Далее, пусть отображение ф : [0, 1] х Я2 х (0,оо) —*• [0,оо) определено равенством (5) для функции Ё , заданной соотношением (10). Тогда для любых (2, х, 6) Е [0,1] х У(Нсо) х (0, оо) выполняется неравенство ф(1,х,8) > 0. Поэтому отображение Ё не является равномерно непрерывным относительно функции Т](-} •) = 0. С другой стороны, согласно [6, с. 63; 8], Нс0 ф Ноо , то есть равенство (9) (см. (13)) в этом случае не имеет места.

Рассмотрим дифференциальное включение

*(<)еЗД, *(*)), (14)

где Рш : (—оо,оо) х Яп —*• сотпр[Яп] —

ш -периодическое по первому аргументу отображение. Пусть

Со [о,Сс>] = {х£ Сп[0, и;] : х(0) = х(и;)}

и пусть У(и) - ограниченное, замкнутое множество подпространства Со[0,и;].

Рассмотрим дифференциальное включение

х(() Е соРы(*, х(*)). (15)

Пусть Нсо(У(и>)) - множество всех решений включения (15), принадлежащих множеству У(и).

Пусть /4Г([0,а;] х (0, оо))(Р([0,ы] х (0,оо)))

- множество всех функций т) : (—оо,оо) х

(0,оо) —► [0, оо), и»-периодических по первому аргументу и на [0,ы] обладающих свойствами из класса функций К([а,Ь] х (0, оо))(Р([0,и;] х (О, со))).

Пусть 770,77 Е Л'([0,и;] х (0,оо)). Обозначим через НП0(6)П(6)(У{Ш)) множество всех Ь-решений включения (14), принадлежащих множеству У(и>). Далее, пусть отображение : (-00,00) х йп х (0,оо) —► сотр[Яп) определено равенством

^(1,1,6) = Ры(*;В[х, 770(2,6)]). (16)

Из теоремы 1 для о;-периодических решений включения (14) вытекает

Следствие 4. Пусть У( и) - ограниченное замкнутое множество пространства Со[0,о;]. Пусть функция ) Е Л'([0,и-»] х

(0,оо)) и ограничена при каждом ограниченном изменении 8 , а функция 771 (•, •) Е Р([0,и;] х (0,оо)). Пусть отображение

Рш : (-00,00) х Яп —► сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори на [0,и>] х Яп . Далее, пусть отображение Ры : (—00,00) х Йп х

Нсо{У(ш))= П я„оС{)„(в)(к<Н),

б > 0, с > О

где Ягго(г)^(,5)(К£(ы)) - замыкание множества НЧо{б)т,(б)(Уе{и)) в пространстве С£[0,и>] > Vе (и;) - замкнутая е-окрестность множе-

ства У[ш) в пространстве Со[0,и;].

Пусть отображение Z : Со[0,о»] —+ 2со[°>ы1 задано равенством

^х = {уЕМх:уЕС0п[0,ш]}, (17)

где оператор М определен равенством (8), в котором оператор Немыцкого N порожден отображением Ры : [0,ы] х Яп —► сотр[Пп] . Отметим, что значения оператора Z , определенного равенством (17), могут быть и пустыми множествами.

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 5. Пусть У{и) - такое ограниченное замкнутое множество подпространства Сд [0,и], для которого справедливо включение Z(У(uJ)) С У(со) , где отображение Z : Со [0, а;] —► 2со[°-а'] определено равенством (17). Далее, пусть ) Е А'([0,а-»] х

(0,оо)) и ограничена при каждом ограниченном изменении 8 , а функция 771 (-, •) Е Р([0,и;] х (0,оо)). Далее, пусть отображение Ры : (—оо, оо) хЯпх (0, оо) —»• сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори на [0, и;] х Яп , а отображение : (—00,00) х Яп х (0,оо) —► сотр[Яп] , заданное равенством (16), равномерно непрерывно на множестве и(У(и)) относительно функции г}(•,•) Е /С([0,а;] х (0,оо)). Тогда справедливо равенство

я«,(1"М) = П

6> О

где Я^0(й)т?((5)(К(и;))— замыка>1ие множества НПо(б)г)(б){У{и)) в пространстве Сп[0,и;].

Замечание4“. Следствия 3, 4 дополняют результат работы [9].

Рассмотрим задачу х(<) Е Р(*,х(<)),< Е [а, 6], (18)

х(а) Е А, х(6) Е Л,

где Р : [а, 6] х Яп —> сотр[Яп], А, Л Е сотр[Лп]

- заданные множества.

Под решением задачи (18) будем понимать абсолютно непрерывную функцию

—► Яп , удовлетворяющую при почти всех £ Е [а, 6] дифференциальному включению в задаче (18) и включениям х(а) Е А,х(Ь) Е А -Пусть 770,77 Е А'([а,6] х (0,оо)). Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х : [а, 6] —► Яп — <5-решение задачи (18), если при почти всех I Е [а, Ь] выполняется включение (3) и соотношения х(а) Е А,х(Ь) Е Л . Обозначим

Е = {х Е Сп[а, 6] : х(а) Е А, х(6) Е А}.

Пусть НПо^(б)(У П Е) - множество всех <5 -решений задачи (18), принадлежащих множеству V С Сп[а, Ь].

Рассмотрим задачу

х(<) Е соР(<, х(<)),* Е [а, 6], (19)

х(а) Е ^4, х(6) Е Л.

Пусть Ясо(КП£')- множество решений задачи (19), принадлежащих множеству

V С Сп[а,Ь].

Из теоремы 1 для задачи (19) вытекает

Следствие 6. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[о,6] и пусть функция 7/о(-, ) Е Л"([а,6] х (0,оо)) и ограничена при каждом ограниченном изменении 6 , а функция Е Р([а,6] х (0,ос)).

Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —» сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратео-дори, а отображение Ро : [а, 6] х Я" х (0, оо) —» соттгр[Яп] , определенное равенством (4), равномерно непрерывно на множестве II(V П Е) относительно функции ) Е Я([а,6] х

(О, сю)). Тогда справедливо равенство

Н„(V ПЕ) = П НМ,Ы>){У’ ПЕ),

<5>0,£>0

где Н,)0(б)т)(б){Уе П Е) - замыкание множества нМ*)ч{6)(УСПЕ) в пространстве Сп[а, Ь], V1-замкнутая € -окрестность множества V в пространстве Сп[а,Ь].

Пусть отображение Ф : Е —* 2е задано равенством

Ф(х) = {у Е Мх ; у Е Е), (20)

где оператор М задан равенством (8).

Отметим, что значения оператора Ф , определенного равенством (20), могут быть и пустыми множествами.

Следствие?. Пусть V - такое ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь], для которого справедливо включение Ф(У П Е) С Е, где отображение Ф : Е —►

2е определено равенством (20). Далее,

пугть ) Е К([а}Ь] х (0,оо)) и ограниче-

на при киждом ограниченном изменении 6, а функция 77х(-, -) Е Р([а,6] х (0,со)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —♦ С07тгр[Яп] удовлетворяет условиям Каратео-дори, а отображение Ро : [а, 6] х Яп х (0, оо) —► сотр[Кп] , заданное равенством (4), равномерно непрерывно на множестве [/(V П Е) относительно функции ) Е К([а,Ь] х (0,оо)). Тогда справедливо равенство

НС0(У П Е) = р| НМ1Ы1)(УПЕ),

6> 0

где //Т7о(й)^(<5)(V П Е) - замыкание множества Я,,о(г)ч(6)(У Г) Е) в пространстве Сп[а,Ь].

Замечание 5. Следствия 6, 7 дополняют результаты работы [10].

2. Возмущенное включение с полунепрерывным снизу радиусом внутренних возмущений. Здесь рассматривается дифференциальное включение (1), когда оно ’’подвергается” внутренним и внешним возмущениям, при этом радиус внутренних возмуше-яий п0(., •) при каждом 6 > 0 является полунепрерывной снизу функцией. В этом случае, как оказывается, можно уточнить результаты пункта 1.

Определим отображение Ф : [а, 6] х Яп —► со7лр[Яп] равенством

Ф(1, х) = ех^(соР(/, х)), (21)

где ех£() - замыкание множества крайних точек соответствующего множества.

Пусть 770(-, •) Е Р([а,6] х (0, оо)) и Е

К([а.Ь] х (0,оо)) . Рассмотрим дифференциальное включение

1(0еФ(<,ВИ<).’?оМ)]),С‘'‘), (22)

где отображение Ф : [а,Ь] х Яп —► сотр[11п] задано равенством (21).

Пусть Яг,0(й)^(,5)(К) - множество всех решений включения (22), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ь], при фиксированном 6 > 0.

Отметим, что поскольку для любого (*,х) Е [а, Ь] х Яп выполняется включение Ф(2,х) С Р(*,х), то справедливо соотношение

(6)Г7(6)СV") С #г,0(«Мб)(Ю-

ТеоремаЗ. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а,Ь] и пусть г)о(-, ) £ -Р([а) 6] х (0, оо)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп — со7тгр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции Т)(-, •) Е Я([а, Ь] х (0, оо)) справедливо

равенство

Н"(У)= Р| Нм,)чт{У‘), (23)

<5>0,£>0

где - замыкание множества

Нп0(б)т1(б){Уе) в пространстве Сп[а,Ь],Уе-замкнутая е-окрестность множества V в пространстве Сп[а,Ь].

Следствие 8. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а,Ь\ и пусть т?о(-, •) Е /э([а, 6] х(0, оо)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —♦ сотр[Лп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции ??(•, •) Е Л'([а, 6] х (0, оо)) справедливо равенство (7).

Пусть отображение N : Сп[а,Ь] —►

- оператор Немыцкого, порожденный отображением Ф : [а, 6] х Яп —> сотр[Лп], заданным равенством (21).

Пусть V С Сп[а,Ь\ и пусть Я„0(5)„(«)(У) -множество всех решений включения (22), принадлежащих множеству V , при фиксированном

Ь > 0.

Теорема 4. Пусть множество V С Сп[а,6] удовлетворяет условию теоремы 2, в котором N = N и пусть г]о(-,) Е Р([а,Ь] х (0,оо)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Яп —» сотр[Лп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции ^(-,-) Е А’([а,6] х (0,оо)) справедливо равенство

««(V) = П (24)

6>0

где ВПо^)ч(б)(У) ~ замыкание множества Нчо(б)п(.б)(У) 6 пространстве Сп[а,Ь].

Следствие 9. Пусть множество 1 С Сп[а,Ь] удовлетворяет условию теоремы

2, в которой N = N , и пусть 770(*, *) Е Р([а,Ь] х(0,оо)). Далее, пусть отображение Р:[а,6] х Я" —► сотр[Лп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции г]( г) Е /\'([а,6] х (0,оо)) справедливо равенство (9).

Замечаниеб. Отметим, что в теоремах 3, 4 и следствиях 5, 7, в отличие от теорем I, 2, предполагается, что значения радиуса внутренних возмущений 77о(‘, ) для каждых (1,6) Е [а, Ь] х (0,оо) строго больше нуля.

Замечание?. Отметим, что в отличие от работ [6, 9, 11 - 17], в теоремах 1-4 и их следствиях не предполагается, что отображение Р : [а, 6] х Лп —* сотр[Яп] удовлетворяет условию Липшица [6, 11, 15] или более

общему условию, когда расстояние по Хаусдор-фу между значениями отображения Р не оцениваются функцией Камке [12 - Ц, 16, 17].

Определим отображение Фш : (—00,00) х Яп —* сотр[Я”] равенством (21) для а;-периодической по первому аргументу функции Ри, : (—оо, оо) х Я" -+ сотр[Лп] .

Пусть 77о(-, ) Е Р([а,Ь] х (0,оо)) и г/(-, ) Е /\([0,и>] х (0,оо)). Рассмотрим дифференциальное включение

х(<)€Ф„(«,В[*((),ЧоМ)]),'1м), (25)

где отображение Фы : (—оо, оо) х Яп —► сотр[Яп] определено выше. Пусть Яг?0(г)^((5)(1/(и;)) множество всех решений включения (25), принадлежащих множеству У(и) С Со [0,и»].

Очевидно, что НМ6)1)(<6)(У(и)) С Нтю(б)т1(б)(У(и)) • Из теорем 3, 4 вытекают следующие утверждения о представлении и> -периодических 6 -решений дифференциального включения (25).

Следствие 10. Пусть V (и;) - ограниченное замкнутое множество подпространства Со [0,и;] и пусть т?о(-, •) Е Р([0,и>] х (0, оо)). Далее, пусть отображение : (—00,00) х Яп —►

сотр[Лп] удовлетворяет условиям Каратеодори на [0,а;] х Яп . Тогда для любой функции 7?( ) ) £ /^([0,а>] х (0,оо)) справедливо равенство

я.о(^М)= П я,о(4),(„(К‘(И)),

6>0,е>0

где Я^0(й)^(й)(К£(и;)) - замыкание множества

Н т]о(6)т}(6)(УС (и)) 6 пространстве Сп[0,и],

Ус(и>) - замкнутая е -окрестность множества У(и>) в пространстве Со[0,и;].

Следствие 11. Пусть множество У И с с0"[о ,ш] удовлетворяет условию следствия 4 и пусть 77о(•, •) Е Я([0, и;] х (0, оо)). Далее, пусть отображение : (—00,00) хЯп->

сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори на [0,х Яп . Тогда для любой функции т?(-,-) Е /\'([0,и;] х (0,оо)) справедливо равенство

Нс,(У(ы)) = П Я„о№„<{)(УМ),

Й>0

где ПТ}0^)т1(б)(У(ш)) - замыкание множества НПо(б)т,(б)(У(и)) в пространстве Сп[0,и>].

Пусть 77о(-, -) Е Р([а,Ь] х (0,оо)) и 77(-, -) Е К([а,Ь] х (0,оо)). Рассмотрим задачу

х(1)<=Ф(г,в[х(1),т(г,б)]у^‘\ (26)

х(а) Е А, х(Ь) Е Л,

где отображение Ф : [а, 6] х Яп —* сотр[Яп] задано равенством (21). Пусть ^(«^(^(^ПЕ)-множество всех решений задачи (26), принадлежащих множеству V С Сп[а,Ь\.

Следствие 12. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,6] и пусть 77о(-, •) Е Р([а, Ь] х(0, оо)). Далее, пусть отображение Р : [а, 6] х Лп —► сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции ) Е /С([а, 6] х (0,оо)) справедливо равенство

Нс,(У)= П ЙМ,Ы1)(У‘ПЕ),

<5>0,с>0

где НТ]0^^Т1^(Уе П Е) - замыкание множества

ЯЧо(г)т?(«)(^£ П Е) в пространстве Сп[а,Ь],Уе

- замкнутая е -окрестность множества V в пространстве Сп[а,Ь].

Следствие 13. Пусть множество

V С Сп [а, 6] удовлетворяет условию следствия 7 и пусть /70(*»•) Е 6] х (0,оо)).

Далее, пусть отображение Р : [а,Ь] х Яп —► сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции Е

К([а,Ь] х (0,оо)) справедливо равенство

НС,(У П Е) = Р] Я,о((),(4)(К П £),

6>0

где Я,0(^Ч({)(1^П£)- замыкание множества Нпо(б)г)(б){У П Е) в пространстве Сп[а,Ь]. ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. N10. С. 63-86.

2. Булгаков А.И., Гка\ Л.И. Возмущение выпукло-значного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб. 1998. Т. 189. N6. С. 3-32.

3. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 6 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 3. С. 294-298.

4. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 2. С. 111-120.

5. Иоффе А.Л. Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 338.

6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. С. 59.

7. Hermes Н. The generalised differential equation x £ R(t,x) // Advances Math. 1970. V. 4. N2. P. 149-169.

8. Pits A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci, ser. math., astr., phys. 1963. V. 11. N6. P. 369-370.

9. Ирисов A.E.,Тонкое Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // Дифференцильные и интегральные уравнения: Сб. Горький: ГГУ, 1983. С. 32-38.

10. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuos differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85M (June 1990), 13 c.

11. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. N3. С. 16-26.

12. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations //I. Different. Equations, 1977. V. 25. N1. P. 30-38.

13. Чугунов Л.И. Свойства решений дифференци-

альных включений и управляемые системы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭНСО АН СССР, 1980.

С. 155-179.

14. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems // Boll. Unione Math. Italiana, suppl., 1980. V. 1. P. 53-59.

15. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

16. Толстоногое А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. N6. С. 144-159.

17. Толстоногое А.А., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве // Матем. сб. 1984. Т. 125(167). С. 199-230.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа отмечена Правительством Российской Федерации в рамках поддержки ведущих научных школ, грант N 96-15-96195.

Поступила в редакцию 18 июля 1998 г.