О принципе плотности для функционально-дифференциального включения нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ПРИНЦИПЕ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ВКЛЮЧЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

©А.И. Булгаков, В.В. Васильев, А.А. Ефремов

Bulgakov A.I., Vasilyev V.V. and Yefremov A.A.. On the density principle of neutral type functional-differential inclusions. There given some conditions for the right-hand side of the inclusion at which the density principle is fulfilled.

В работах [1, 2] изучалось функциональнодифференциальное включение нейтрального типа с невыпуклой правой частью. В этих работах рассмотрены вопросы существования решений и исследована структура множества решений таких включений. Под решением (траекторией) такого включения понималось продолжение заданной абсолютно непрерывной функции, определенной на отрезке, решением дифференциального включения на более "широкий" отрезок (см. [1, 2]). В работе [2] одним из основных условий, которое позволяло исследовать структуру множества решений дифференциального включения нейтрального типа, являлось предположение о существовании так называемого Ь-селектора. На наш взгляд, это предположение чрезвычайно ограничительное, поскольку даже в приведенном в работе [2] примере это условие не всегда выполняется. Здесь мы отказываемся от предположения существования Ь-селектора и заменяем это условие т-вольтерровостью. Кроме того, под решением дифференциального включения здесь понимается не продолжение заданной функции, а само решение. Точнее, рассматривается классическое решение задачи Коши, определение которого аналогично определению решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения в монографии [3]. Такое определение задачи Коши функционально-дифференциального включения нейтрального типа не отвергает традиционной постановки вопроса (см. [1, 2, 4]), а содержит в себе эту задачу, как частный случай. Для рассмотренной здесь задачи получены оценки решений функционально-дифференциальных включений нейтрального типа, аналогичные оценкам А.Ф. Филиппова (см. [5, 6]), а также доказан принцип плотности (см. [5, 6, 7]) для таких включений. Заметим, что принцип плотности является фундаментальным свойством в теории дифференциальных включений (см. ниже замечание 4, а также работу [8]). Кроме того, отметим, что при-

водимые здесь исследования опираются на метод непрерывных ветвей многозначных отображений с невыпуклыми образами, предложенный в работах [10, 11, 12, 13].

Пусть У - банахово пространство с нормой || • || и пусть и С У. Обозначим со(£/) выпуклую замкнутую оболочку множества 17, ||£/|| = = вир{||г/|| : и € 17). Пусть ФьФг С К. Обозначим Ку [Ф1; Ф2] = зир{ру'[у;Ф2] : у € Ф1}, где Ру[ш; •] ~ расстояние между точкой и множеством, /¿у [Ф1; Ф2] = тах{/г^[Фх;Ф2],/1у [Фг;Ф1]} - расстояние по Хаусдорфу между множествами Ф1 и Ф2.

Пусть Кп - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[Кп] - множество всех непустых компактов пространства Кп; Е71ХП

- пространство квадратных матриц размерности п х п с нормой | • |, согласованной с пространством . Пусть множество У/ С [а, 6] измеримо по Лебегу, ¿¿(^ > 0 (м ~ мера Лебега). Обозначим Ьп{4/) (Ь1£0(<$У)) - пространство функ-

ций х : Щ —> Еп с суммируемыми по Лебегу (измеримыми и ограниченными в существенном) компонентами и нормой ||аг||/,(<^) = /|ж(в)|с/5

<?/

(МкоЛ*) = уга18иР|*(01); сп\аМ (Рп[а,6]) -

пространство непрерывных (абсолютно непрерывных) функций х : [а,6] —> Кп с нормой ||:с||с[а,б] — = тах{|х(£)| : £ е [а, 6]} (||х||г> = |х(а)| + р||ь); С\[а, Ь] (Ь1+[а, Ь]) - конус неотрицательных функций пространства С1 [а,6] (Ьх[а,Ь\). Непрерыв-

ный оператор Z : Сп[а,Ь\ -> С\[а, 6] определен равенством ^я)(£) = |х(£)| (для суммируемых функций оператор Z определяется аналогично).

Будем говорить, что множество Ф С Ьп[а,Ь} выпукло по переключению, если для любых измеримых по Лебегу множеств ^1,^2 С [а, 6] таких, что = 0, = [а,6] и любых х,у € Ф

справедливо включение х(^Л)х + х(^2)у £ Ф> гДе х(-) - характеристическая функция соответствующего множества. Обозначим через П[Ьп[а,Ь]] -множество всех непустых, ограниченных, замкну-

тых, выпуклых по переключению множеств из Ьп[а,Ь).

Далее измеримость множеств понимаем по Лебегу, измеримость многозначных отображений понимаем в смысле [14]. Непрерывность многозначных отображений везде понимаем по Хаусдорфу. Для сокращения записи индекс пространства в обозначении расстояний по Хаусдорфу между множествами, между точкой и множеством в этом пространстве опускаем.

Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а, Ь] х х Ьп[а, 6] ->• П[1/П[а, Ь]\ обладает, свойством Л, если выполняются следующие условия: для любого 2 £ Ьп[а, Ь] и любых 1,|/ 6 Сп[а, Ь], удовлетворяющих соотношению х = у на [а, и], и € (о, 6], справедливо равенство Ф(х, г) = Ф{у, г) на [а, и] (вольтерровость по первому аргументу); существует такое те (0,6 — а], что для любого х € Сп[а, 6] и любых у, г € Ьп[а,Ь], для которых справедливо равенство у = г на [а, и], и е (а, Ь] выполняется соотношение Ф(х,у) = Ф(х,г) на [а,и + + т]П[а, 6] ( г -вольтерровость по второму аргументу); для любых (х,у) € Сп[а,Ъ\ х Ьп[а, 6] справедливо соотношение Ф(х,у) = Ф(х,0) на [а,а + т]. Не уменьшая общности, далее предполагаем, что найдется такое число т = 1,2,..., для которого справедливо равенство = т.

Рассмотрим задачу Коши

хЕФ(х,х), х(а) = хо, (хо € Мп), (1)

где непрерывное отображение Ф : Сп[а,Ь] х

х Ьп[а,Ь\ -ь П[£п[а, Ь]] обладает свойством А.

Пусть т 6 (а, 6] и пусть Ф С Ьп[а,Ь]. Обозначим Ф|[в,г] _ множество сужений на отрезок [а, г] функций из множества Ф . Определим непрерывные операторы Рт : Сп[а, г] -> Сп[а, 6], фг : Ьп[а,т] -* £п[а,Ь], Ф, : Сп[а,6] х Ьп[а,Ь\

-» П[Ьп[а,т]] равенствами

/Рт^ _1 *(*). если ^[а,г],

' т | х(г), если £ 6 (г, 6],

(П - / *(*)> если ¿ 6 Iе» т1*

I ’¿Т )( ) | 0, если t € (т, 6],

Фт{х,у) = Ф(х, 2/)|[а,т)-

Будем говорить, что абсолютно непрерывная функция х : [а, г] -> 1КП - локальное решение задачи (1), определенное на отрезке [а,г] (г € € (а, Ь]), если выполняются соотношения

X е Фг(Рг(х),дг(х)), х(а)=х0. (2)

Если т = Ь, то такое локальное решение будем называть просто решением. Задачу (2) будем называть локальной задачей (1) на отрезке [а, г] (г € € (а, Ь]).

Будем говорить, что задача

х = Т(х,х), х(а) = |хо|, хо Е Кп, (3)

где отображение Т : С\_[а, Ь] х Ь1+[а, Ь] -» Ь1+[а,Ь] непрерывно, имеет верхнее решение и € И1[а,Ь], если для любого решения у задачи (3) выполняется неравенство у ^ и и любая локальная задача (3) на отрезке [а, г] (т Е (а, Ь)) имеет верхнее решение, которое является сужением функции и на отрезок [а, г].

Будем говорить, что непрерывное отображение Т : С+[а, Ь] х Ь\_[а, Ь] Ь1+[а,Ь] обладает свойством В, если оно изотонно, обладает свойством Л и задача (3) имеет верхнее решение.

Будем говорить, что непрерывное отображение Ф : Сп[а,Ь\ х Ьп[а, Ь] —> П[1/П[а, 6]] обладает свойством С , если оно обладает свойством Л и найдется такое непрерывное отображение Т : С\[а, 6] х Ь\[а, 6] —> Ь\[а,Ь\, обладающее свойством В, что для всех (х,у) € Сп[а,Ь] х Ьп[а,Ь\ и любого измеримого множества Щ С [а, 6] выполняется неравенство

\\Ф(х,у)\\ц&) ^ \\TiZx, гу)\\ц<&). (4)

Далее, будем рассматривать задачу (3) с оператором Т : С^.[а,6] х Ь1+[а,Ь\ -> Ь\.[а, Ь], удовлетворяющим неравенству (4).

Пусть оператор Д : С|[а, Ь] х Ь\[а, 6] -4 Ь\[а, 6] непрерывен. Для любого г = 2,3,..., т определим непрерывные операторы Дг : С+[а,6] -> —> Ь\\а,Ь\ равенствами

Д*(х,0) = Д(х, Д*-1 (х, 0)), Дш(х) = Дт(х,0).

Лемма 1. Пусть оператор Д : С^а.Ь] х х Ь1+[а,Ь\ Ь\[а,Ъ] обладает свойством В и

пусть у 6 £>‘[а,6] удовлетворяет неравенствам

у^Д(у,у), у (а) ^ |х0|.

Далее, пусть и - верхнее решение задачи

г = Дт(г), г(а) = |х0|.

Тогда выполняются неравенства у и и у ^ й.

Следствие 1. Пусть отображение Ф : Сп[а, 6] х Ьп[а, Ь] -> П^п[а, 6]] обладает свойством С. Тогда для любого локального решения х задачи (1), определенного на отрезке [а, г] (г € (а,&]), имеет место оценка ||х||с[а,т] ^ ^ ||и||С[в,ь] и пРи почти всех £ € [а,г] справедливо соотношение |х(£)| ^ й(£), где и - верхнее решение задачи (3).

Теорема 1. Пусть непрерывное отображение Ф : Сп[а,Ь] х Ьп[а,Ь\ —> П[Ьп[а,&]] обладает свойством С . Тогда для любой функции Е Е Лп[о, 6] и любого е > 0 существует такое

решение х 6 Оп[а,Ь] задачи (1), что для любого измеримого множества Ч/ С [а, Ь] справедливо неравенство

\\Я - х\\ь(Ъ) ^ РЦФ)[*.7;Ф(х,х)] +£//(?/)•

Пусть для функции q € Оп[а, Ь] существует такая функция х € Ь\[а, 6], что для любого измеримого множества С [а, Ь] выполняется неравенство

/ х(£) си. (5)

■ъ

Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а, Ь] х х Ьп[а,Ь] П[£п[а, 6]] обладает свойством Vо, если оно обладает свойством А и существует такое непрерывное изотонное отображение Т1 : С|[а ,Ь] х Ь\[а, Ь] -» Ь\[а, 6], обладающее свойством А, для которого выполняются условия: Г1 (0,0) = 0; для любых Я1,х2 € Сп[а,Ь), у\,у2 € € Ьп[а,Ь] и произвольного измеримого множества & С [а, 6] справедливо неравенство

Ьц&)[Ф{хиУ1У,Ф(х2,У2)\ ^

^ \\т1(г{х1 - ж2), г(у1 - !&))1к(*); (6)

для любых е ^ 0 и в 6 Ь\[а, Ь] существует такое непрерывное изотонное вольтеррово отображение Е(£,в) : С\[а,Ь\ -> Ь\[а,Ь\, что для любого а: € С^_[а,6] выполняется оценка Е(е,0)(ж) ^ ^ ^4(бг, ^)(ж), где оператор А(£,9) : С+[а,6] —>■ -> Ь+[а,Ь] при фиксированном б)0 и фиксированной функции в Е Ьг+[а, Ь] задан равенствами

А(£,6)(х) = Лт(£,0)(х,О),

Л(е, в)(х, у) = £ + в + Т1 (х, у).

Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а, Ь] х хЬп[а,Ь] -> П[£п[а,6]], обладающее свойством Vо, обладает свойством V, если задача при £ > 0 и в = х, удовлетворяющей оценке (5),

х = Е(£,0)(х), х(а) = и (7)

имеет верхнее решение, где отображение Н(е, 0) : С+[а,Ь) -» Ь1+[а,Ь] определено в свойстве Vо. Если для непрерывного оператора Е(0,0) :

С|[а,Ь] -* Ь1[а, 6], для любого х € С|[а, Ь] имеет место соотношение

еИшо 3(е,0)(х) = Н(0,0)(х)

в-*0+0

и задача (7) при I/ = 0, £ = 0, 0 = 0 имеет единственное нулевое решение, то будем говорить, что отображение Ф : Сп[а,Ь] х Ьп[а,Ь\ -» П[£п[а, &]], обладающее свойством Vо, обладает свойством V* .

Замечание 1. Отметим, что в свойствах

V и V* при каждых е ^ 0 и в € Ll+[a,b] отображение Н(£,0) : С\[а, Ь] -* L\[a,b] естественно называть мажорантным отображением, а задачу (7) мажорантной задачей. Введение мажорантной задачи продиктовано тем, что во многих случаях (см. ниже примеры) легче построить такое мажорантное отображение Е(е,0) : С\.[а,Ь] -> Ь\[а, 6], что решение задачи (7) с таким оператором проще оценить или найти, нежели непосредственно решать задачу (7) с Е(£,в)(-) = А(£,&)(■), где отображение А(£,в)(-) задано равенствами (), ().

Теорема 2. Пусть функция q £ Dn[a, 6] и £ > 0. Далее, пусть отображение Ф : Сп[а,Ь\ х х Ln[a,b] -> n[Ln[a, b]\ обладает свойствами С и

V и пусть функция f(e,x) € Dl[a,b) - верхнее решение задачи (7) при и = |у(а) — ж0| и в = х, где функция х € L\\a,b] удовлетворяет оценке

(5). Тогда для любого решения х € Dn[a,b] задачи (1), удовлетворяющего неравенству (), для любого измеримого множества У/ С [а, Ь], выполняются неравенства

Z{x—q) ^ f(е, х), Z(x-q) ^ Н(е,х)(^(е,х)). (8)

Будем говорить, что отображение F : [а,Ь\ х х Г х Г comp[En] обладает свойством Т, если выполняются следующие условия: для любых (х,у) € К” х Е" отображение F{-,x,y) измеримо; существуют такие функции а € Ll\a, 6] и ß 6 € Ь], что для любых Х\,Х2,У1,У2 € и при

почти всех i G [а, 6] справедлива оценка

/i[F(i,zi,2/i),F(£,Z2,2/2)] <

^ a(t)|a:i-®2|+£(01У1 “У2|; (9)

существует такая функция 7 € L:[a, Ь], что при почти всех t е [а, 6] выполняется оценка

||F(t,0,0)||^7(t). (Ю)

Пусть измеримая функция / : [а, 6] -> IR1 при всех t G [а, Ь] удовлетворяет неравенству f(t) ^ ^ t, а измеримая функция г : [а, 6] -> К1 обладает свойством: существует такое число г G (0, b —

— а) , что для любого t € [а, Ь] выполняется неравенство r(t) ^ t — г; справедливо соотношение sup < 00 (г-1(е) - прообраз из-

eCfe.bl.AtiejTiO

меримого множества).

Определим непрерывные операторы 5/ :

Cn[a, 6] 1&>[а,Ь] и 5Г : Ln[a,6] ^ Ln[a,b] ра-

венствами

(s,«)w = { l[/n(i)1> е“и ТЛ\а'н dl)

v 3 v 7 [ 0, если /(¿) ^ [а,о], 4

/с - / Х[Г(*)Ь если г(0€[а,Ь],

\ 0, если г(£) ^ [а, Ь].

Аналогичными равенствами определим непрерывные операторы Sf : C\.[a,b\ L\[a,b\ и Sr :

Ll+[a, b] -► L\[a,b\.

В качестве приложения теоремы 2 рассмотрим задачу

x(t) е F(t, (Sfx)(t), (Srx)(£)), t e [a, 6], (12)

x(a) = xo.

Под решением задачи (12) понимаем функцию х € Dn[a, &], при почти всех t € [a, 6] удовлетворяющую включению (12) и равенству х(а) = хо .

Непрерывный многозначный оператор Немыц-кого N : ££э[а, 6] х Ln[a,b\ -> П[£п[а, Ь]], порожденный отображением F : [a, 6] х Mn х Мп —> —> comp[Rn], определим равенством

N(x,y) = {z е Ln[a,b\ :

z(t) G F(t,x(t),y(t))

при почти всех t G [a, 6]}.

Тогда задачу (12) можно записать в следующем эквивалентном виде

х G N(Sf(x), Sr(x)), x(a) = хо.

и поэтому задача (12) сводится к задаче (1). Здесь отображение <ï>s : Cn[a,b\ х Ln[a,&] —► П[£п[а, 6]], обладающее свойством А, задано равенством

Ф5(х,у) = ЛГ(5/(х),5г(у)). (13)

Так как отображение F : [a, b] х Rn х IRn -> comp[Rn ] обладает свойством F, то отображение $s(‘> '), определенное равенством (13), обладает свойством С. Действительно, в этом случае оператор Ts : С+[а, 6] xL+[a, 6] —> Ь\[а, 6], обладающий свойством В и удовлетворяющий неравенству (4) с отображением Ф(-,-) = ФяО,-)) определен равенством

Ts{x, у) = aSf(x) + pSr(y) + 7,

здесь и далее функции а, 7 G L1 [а, Ь], /3 G L^a, 6] удовлетворяют неравенствам (9), (10). Кроме того, отображение Ф$(-,*), удовлетворяет неравенству

(6), в котором непрерывное изотонное отображение Tg : C\.[a,b\ х L\[a, b] —у L\_[a,b\, обладающее свойством А, определено соотношением

Ts{x,y) = aSf(x) +0Sr(y).

Поэтому в данном случае для любых е ^ 0 и в G Ll+[a,b) непрерывный изотонный оператор As{£,0) : C|[a, 6] —)• L\[a, b], определяющий свойства D и D', задается равенством

As(e,9)(x) = Л£(е,0)(х,О),

где отображение Аз{е,в) : С\.[а,Ь\ х £+[а,&] ->• Ь+[а,Ь\ определено соотношением

Л5(е,0)(х,у) = е + в + а5/х + /38гу.

Следовательно, для любого х € С]_[а,Ь] имеет место равенство

тп—1 тп—1

Ая(е,0)(*) = £ (/?5г)‘(е+0)+ £ ОЗадЧаЗД),

г=0 ¿=0

(14)

здесь и далее отображение (/?5Г)°(-) означает тождественный оператор.

Пусть оператор М : С|[а,Ь] -> С+[а,Ь] задан равенством

(Мх)(£) = шах х(в). (15)

«€[а,4]

Мажорантное отображение Ез(£,0) : С|[а,6] —> -> Ь\[а, Ь] определим соотношением

=5(е,0){х)(г) = <р3{£,вщ + ф3&)М(х)(г), (16)

где

т-1

ме,т) = +«>(*), (17)

г=0

т-1

*(о = (18)

¿=о

Отметим, что в силу определения отображений >ЫМ)(-) (см.'(14)) и =5(5,#)(•) (см. (16)) для любого х € С\ [й, Ь] выполняется неравенство Аз(е,в)(х) ^ 55(е,0)(х).

Далее, найдем решение задачи (7) с оператором Н(ег,^)(•) = Е5(е,,0)(-), определенным равенством (16). Пусть ^(^5 0) - решение этой задачи. Так как ^(^>0) ^ 0, то из определения отображения М(-) (см. (15)) при всех £ 6 [а, Ь] вытекает равенство М(^(е,#))(£) = £$(£)#)(£)• Поэтому при почти всех £ 6 [о, 6] получаем соотношения

ЫМКО = ^(МХЫМЖ*) =

= <Л!?(£, 0)(О + фвМЫе* Щ*)-

Следовательно, при любом £ € [а, Ь] имеет место равенство

{вМ)(4)=«'еД'М*),"+

I

+ J е^^5^Н81рз{£,0){т) с1т, (19)

а

где функции </?5(б:,0),^5 € Ь^[а, 6] заданы равенствами (17), (18).

Пусть для q е -Оп[а, 6] существует такая функция х € Ь1+[а,Ь\, что при почти всех £ € [а,6] справедливо соотношение

РШ), ^(£, (5/9)(«), (5гд)(0)] ^ *(*)• (20)

Из теоремы 2 вытекает

Следствие 2. Пусть отображение ^ : [а, 6] х Еп хММ сотр[Еп] обладает свойством Т и пусть измеримые функции / : [а, 6] —> Е и г : [а, 6] К удовлетворяют сформулированным выше условиям. Тогда для любой функции д Е € Оп[а,Ь) и произвольного е > 0 найдется такое решение х £ £)п[а,6] задачи (12), что справедливы оценки

г(х-ч) ^ Ые, *)> ^ (рБ{е, х)+</>5£5(£Г, х),

г<9е функция х € £+[а, 6] удовлетворяет неравенству (20); функции у?5(е,х), £(е,х) заданы равенствами (17), (18), (19) при в = х и и = |д(а)—

- х0|.

Замечание 2. Если в задаче (20) положить /(£) = £, а в неравенстве (9) /3(£) = 0, то из оценок (8) вытекают оценки А.Ф. Филиппова с точностью до е > 0 (см. [5, 6]).

Рассмотрим задачу

х€соФ(х,х), х(а) = хо-

(21)

Пусть Н, Нсо - множества решений задач (1), (21), соответственно.

Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а, 6] х х Ьп[а,Ь\ -* П[Ьп[а, 6]] обладает свойством 8,

еСЛИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ Последовательностей Х{ €

€ Сп[а,Ь\ и у{ € Ьп[а, 6], г = 1,2,..., обладающих свойством Х{ -» х в Сп[а,Ь} и у* —» у слабо в Ьп[а,Ь\ при г —> оо выполняется условие

Ль[в,б][Ф(**»У<);Ф(®,У)1 0 ПРИ * -► оо.

Теорема 3. Пусть отображение Ф : Сп[а, 6] х Ьп[а, 6] -> П[Ьп[а, 6]] обладает свойствами С и £. Тогда множество Нсо замкнуто в пространстве Сп[а,Ь].

Будем говорить, что отображение К : [а, 6] х х [а, 6] -¥ Епхп обладает свойством /С, если выполнены следующие условия: отображение имеет измеримые на [а, 6] х [а, 6] элементы; функция к : [а, 6] —)■ [0, оо), определенная равенством

&(£) = уга1зир |/С(£, в)|,

«е[а,Ь]

суммируема.

Пусть г € (0,6 — а). Определим непрерывные г-вольтерровы операторы КТ : Ьп[а,Ь\ —> Ьп[а,Ь\ и Кт : Ь1+[а,Ь] -4 Ь+[а,Ь\ равенствами

Н—т

СкЛуШ)

) / К(Ь, в)у(«) с1з, если ¿е[а + т, 6],

0, если £ 6 [а, а + г),

(22)

(Кт(у))(г) = / ^ 1^(М)|у («)<&, если * 6 [а + т,6],

( 0, если £ € [а, а + т),

(23)

где отображение К : [а, 6] х [а, 6] —> Епхп обладает свойством /С.

Лемма 2. Пусть ядро К : [а, 6] х [а, 6] ->■ -* Епхп оператора КТ : £п[а, 6] -»• £п[а, 6] (т Е (0,6 — а),), определенного равенством (22), обладает свойством /С. Тогда непрерывный г -вольтерров оператор КТ : 1,п[а,6] —» Ьп[а, 6] переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся последовательность пространства Ьп[а, 6].

Пусть т 6 (0,6 — а). Рассмотрим задачу

х е А^(5/(х),^г(х)), х(а) = х0, (24)

где отображение N : Ь^[а, 6] х £п[а, 6] —►

-> П[£п[а, 6]] - многозначный оператор Немыцко-го, порожденный отображением .Р : [о,6] хГ х хЕп сотр[Еп], обладающим свойством Т, операторы 5/ : Сп[а, 6] -> ££>[а, 6], : 1/п[а, 6] -*•

Ьп[а,6] определены равенствами (11), (22), соответственно.

Как и в предыдущем примере, задача (24) является частным случаем задачи (1), в которой отображение Фк • Сп[а,Ь\ х Ьп[а, 6] —> П[Ьп[а, 6]], обладающее свойством А, задано равенством

Ф к(х,у) = ЛГ(5/(х),^г(у)). (25)

Кроме того, отображение Ф/с(-,-), определенное равенством (25), обладает свойством С. Так как для него оператор Тк '• С\\а, 6] х Ь\[а,Ь\ -¥ -> Ь+[а, 6], обладающий свойством В и удовлетворяющий неравенству (4) с отображением Ф(-, •) = Фк(-, ■), можно задать соотношением

Тк(х,у) = а5/(х) + ркт(у) + 7,

где операторы 5/ : С\_[а,Ь\ —> ^¿о[а,6], Кт : Ь\[а, 6] ->• Ь\[а,Ь] определены равенствами (11),

(23), соответственно; функции а,7 € X1 [а, 6], (3 € € Ь^[а, 6] удовлетворяют неравенствам (9), (10).

Далее, покажем, что отображение Ф/<- :

Сп[а, 6] х Ьп[а, 6] —»■ П[1/П[а,6]] обладает свойством £. Действительно, пусть Х1,Хг € 6]

и уьу2 6 Ьп[а,6] и

^(^)[^(х1,У1);АГ(х2,У2)] =

= Л+£/(^)[ЛГ(х1,У1);АГ(х2,У2)],

где ^ - измеримое множество. Тогда получаем равенство

ЬцЪ)[К{х1,у1)]М(х2,У2)\ =

= ! /г+[^(5,Х1(5),У1(5));^(5,Х2(5),у2(5))]сг5

(см. [15]). Из равенства (26) и оценки (9) вытекает соотношение

^(‘2')[Аг(х1,У1);^(ж2,У2)] ^

^ I(а(в)|х!(а) - х2(в) 1+

+ №)|У1(з) - У2{з)\)(18. (27)

Из неравенства (27) и определения отображения Ф/е • Сп[а,Ъ\ х Ьп[а,Ь] —> П[£/П[а,6]] для любых Х\,Х2 € Сп[а,6] и уьу2 € £п[а, 6] получаем оценку

Ьц<?/)[$1<(Х1,У1), Ф/<(Х2,У2)] ^

J а(в)|5/(ж!-а?2)(в)1йв+

+

У^(в)|1^г(У1-Уг)(в)|Л. (28)

•?/

Поэтому из неравенства (28) и леммы 2 вытекает, что Фк(’,') обладает свойством 8.

Рассмотрим задачу

х € са/\Г(5/(х); Кт(х)), х(а) = хо. (29)

Пусть Жео ~ множество решений задач (24), (29), соответственно.

Из теоремы 3 вытекает

Следствие 3. Пусть т € (0,6 — а), а функция / : [а, 6] -> М1 удовлетворяет условиям, сформулированным выше. Далее, пусть отображение F : [а, 6] х Мп х ИР* —^ сотр[Еп] обладает свойством Т, а ядро К : [а, 6] х [а, 6] —> Епхп, порождающее оператор КТ : Ьп[а,Ь\ —> Ьп[а,Ь], обладает свойством К,. Тогда множество \0 замкнуто в пространстве С" [а, 6].

Далее, получим оценку решений для задачи

(24), аналогичную оценке А.Ф. Филиппова. Для этого покажем, что отображение Ф/с(‘> *)> определенное равенством (25), обладает свойством V. Действительно, из неравенства (28) следует, что отображение удовлетворяет неравенству (6), в котором непрерывный изотонный оператор Т^ : С|[а,6] х Ь1+[а,Ь] ->■ Ь1+[а,Ь] задан равенством

Т}<{х,у) = а5/(х) + 0Кг(у).

Поэтому для любых е ^ 0 и 9 € Ь1+[а, 6] непрерывный изотонный оператор Ак{£,9) : С+[а, 6] —> -> Ь\_[а,Ь\, определяющий свойства V и V*, можно задать равенством

Ак{£,0){х) = Л£(е,0)(х, 0),

где т = отображение А к • (£,9) : С\[а,Ь\ х х Ь1+[а, 6] -> Ь\[а, 6] определено соотношением

Ак(е,9)(х,у) =£ + 9 + а5/(х) + 0Кт(у).

Следовательно, для любого х 6 С]_[а,Ь\

тп — 1

Ак(е,в)(*) = '52(РКгУ(е + в)+

1=0

т —1

+ Е (/3 кт)Чс£/(х)), *=0

здесь и далее отображение (/ЗКТ)° - тождественный оператор.

Мажорантное отображение =,к(е,9) :

С\_[а, 6] —»■ Ь\[а,Ь\ аналогично предыдущей

задаче, определим равенством

Ек{е,9)(х) = (рк{е,9) + гркМ(х),

где оператор М : С\_[а, 6] -» С|[а, 6] задан соотношением (15), а функции (рк(£,9), грк € Ь\[а, 6] имеют вид

ш—1

4>к(е,т)= + «№)> (30)

1=0

771 — 1

фК(1)=^^ХгПос)(1).

(31)

г=0

Таким образом, из теоремы 2 вытекает

Следствие 4. Пусть г 6 (0,6 — а), а функция / : [а, 6] —» Е1 удовлетворяет сформулированным выше условиям. Далее, пусть отображение F : [а, 6] х Еп х Еп —> сотр[Еп] обладает свойством Т, а лфо К : [а, 6] х [а, 6] -> Епхп, порождающее оператор КТ : 1/п[а, 6] —> £п[а, 6], обладает свойством К,. Тогда для любой функции д 6 £)п[а,6] и произвольного £ > 0 найдется такое решение х € /)п[а, 6] задачи (24), что справедливы оценки

г(х - я) ^ £*(е,х),

^(х - я) ^ <^лг(е, х) + Фк£к(е, х),

где функция х £ 1/+[а,6] удовлетворяет неравенству (20), в котором 5/д = КТЧ, функция €к(е,х) задана равенством (19) при 9 = я и и = |<7(а) - х0|, в котором ^(е,-*) = £*:(£, *■); ^ = 'Фк, <Рз(е,к) = 4>к{£,х) функции фк, 4>к(£,х) определены соотношением (30), (31).

Пусть отображение Г : [а, 6] х Сп[а,Ь] х

х Ьп[а, 6] -> сотр[Еп] обладает свойством: для любых х € Сп[а, 6], у 6 Ьп[а,Ь\ отображение Г(-,х,у) измеримо и удовлетворяет равенству

Ф(х,у) = {г е Ьп[а, 6] :

гЦ) 6 Г(£,х,у)

при почти всех £ € [а, 6]}.

Отметим, что такое отображение существует (см. [12, 15]).

Теорема 4. Пусть отображение Ф : Сп[а, Ь] х Ln[a, b] —> Il[Ln[a, 6]] обладает свойствами С , V* и £ . Тогда справедливо равенство Н = = Нс0, где Н - замыкание множества Н в пространстве Сп[а, 6].

Замечание 3. Отметим, что если отображение Ф : Сп[а,Ь] х Ln[a,b) -* U[Ln[a, Ь]] обладает свойством V* и задача (7) при и = 0 в некоторой окрестности точки (0,0) € [0, оо) х L\[a,b] имеет верхнее решение, то теорема 4 непосредственно вытекает из теоремы 2.

Замечание 4. Если для дифференциального включения выполняется равенство Н = Яс0, то иногда говорят (см. [9]), что для дифференциального включения выполняется принцип плотности. Этот принцип плотности является фундаментальным свойством в теории дифференциальных включений, поскольку это свойство является необходимым и достаточным условием устойчивости множеств решений относительно внутренних и внешних возмущений (см. [9, 16, 17, 18]). Таким образом, теорема 4 устанавливает достаточные условия, при которых для задачи (1) выполняется принцип плотности.

Из теоремы 4 для задачи (24) вытекает

Следствие 5. Пусть т € (0,Ъ — а) и измеримая функция / : [а, &] —> R1 удовлетворяет сформулированному выше условию. Далее, пусть отображение F : [a, b] х IRn х IRn —>• comp[IRn] обладает свойством Т, а ядро К : [а, 6] х [a, b] -> Rnxn, порождающее оператор Кт : Ln[a,b\ -> Ln[a,6], обладает свойством /С. Тогда справедливо равенство Jfcoi где ^-замыкание в пространстве Сп[а,Ь\ множества Ж.

Замечание 5. Отметим, что следствие 5 содержит в себе теорему А.Ф. Филиппова (см. [5, 6]).

Замечание 6. Теоремы 1-4 и их следствия являются распространением результатов, полученных в работах [19], на дифференциальные включения нейтрального типа. Кроме того, они уточняют и дополняют результаты работы [20].

ЛИТЕРАТУРА

1 . Kisielewicz М. Existence theorem for generalized

functional-differential inclusions of neutral type // J.

Math. Anal, and Appl. 1980. V. 78, m. P. 173-189.

2 . Kisielewicz M. On the trajectories of generalized

functional-differential systems of neutral type // J.

Optimiz. Theory and Appl. 1981. V. 33, N*2. P. 255-266.

3 . Азбелев H.B., Максимов В.П., Рахматпуллина Л.Ф.

Введение в теорию функционально-дифференциаль-

ных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

4 . Kisielewicz М., Janiak Т. Existence theorem for

functional-differential contingent equations // Ann. Pol. Math. 1977. V. 35. P. 161-166.

5 . Филиппов А.Ф. Классические решения дифференци-

альных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. 1967. №3. С. 16-26.

6 . Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциаль-

ные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.

7 . Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с раз-

рывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

8 . Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued

differential equations // Different. Equations. 1977. V. 25. №1. P. 30-38.

9 . Булгаков А.П., Ефремов А.А., Скоморохов В.В. К во-

просу об аппроксимации дифференциальных включений. // Вестн. Тамб. ГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2. С. 131-139.

10 . Antosiewicz Н.А., Cellina A. Continuous selections and

differential relations // J. Different. Equations. 1975. V. 19, JV»2. P. 386-398.

11 . Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-

differential inclusion in nonconvex case // Ann. Pol. math. 1985. V. 45. JV>2. P. 121-124.

12 . Fryszkowski A. Continuous selections for a class of

nonconvex multivalued maps // Stud. Math. (PRI). 1983. V. 76. №2. P. 163-174.

13 . Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of

maps // Stud. Math. (PRI). 1988. V. 90. №1. P. 69-86.

14 . Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных

задач. М.: Наука, 1977. 479 с.

15 . Булгаков А.И. Интегральные включения и их прило-

жения к краевым задачам дифференциальных включений. // Матем. сб. 1992. Т. 183. .№10. С. 63-86.

16 . Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К во-

просу устойчивости дифференциальных включений // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов,

1999. Т. 4. Вып. 4. С. 461-469.

17 . Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обык-

новенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1578-1598.

18 . Булгаков А.И. Асимптотическое представления мно-

жеств ¿-решений дифференциального включения // Матем. заметки. 1999. Т. 65. №5. С. 775-778

19 . Булгаков А.И., Ткан Л.И. Возмущение однозначного

оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Изв. ВУЗов. Математика. 1999. Т. 3 (442). С. 3-16.

20 . Васильев В. В. Некоторые свойства решений диффе-

ренциальных включений нейтрального типа. // Вестник ТГУ. Серия Естеств. и технич. науки. Тамбов,

2000. Т. 5. Вып. 4. С. 430-432.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана

РФФИ, грант № 01-01-00140, авторы благодарны Е.С. Жуковскому за обсуждение результатов работы и ценные советы по улучшению рукописи.

Поступила в редакцию 20 августа 2001 г.