Характеристические свойства множеств, вьшуклых по переключению Текст научной статьи по специальности «Математика»

^с/(^)(^5<5), функцию cj(-, •) - функцией радиуса интегрального модуля непрерывности или про-сто интегральным радиусом непрерывности, а саму функцию ipu(uj)(-, •) - интегральной функцией модуля непрерывности или просто интегральным модулем непрерывности отображения А : [а, 6] х Сп[а, Ь] —> сотр[Дп].

В теории аппроксимаций многозначных отображений важную роль играют топологические свойства различных модулей непрерывности многозначных отображений (см.[2, 3]). Для введённого интегрального модуля непрерывности справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ш(-,-) е Р(Сп[а,Ь\ х [0, оо]). Тогда отображение ipu{u) : U х [0, оо) —» [0, оо), заданное равенством (2), непрерывно на U х [0, оо) и для любого х 6 U выполняется соотношение

lim tpu(z,6) = 0. (3)

z—>x

5-+ 0+0

Пусть U - непустое замкнутое множество пространства Сп[а,Ь\. Будем говорить, что функция ??(•, •) € Р(Сп[а, 6] х [0, оо)) равномерно на множестве U С Сп[а, Ь] оценивает сверху относительно интегрального радиуса непрерывности uj(-, ■) 6 Р(Сп[а, Ъ] х [0, оо)) интегральный модуль непрерывности отображения А : [а, 6] х Сп[а,Ъ\ —» сошр[Дп], если для любого е > 0 существует такое (5(е) > 0, что при все х £ U и <5 6 [0,<5(е)) выполняется оценка

Vu(u)(x,ö) < г](х,е),

где отображение <pc/(w) : U х [0,оо) —> П({7) определено соотношением (2).

Теорема 2. Пусть U - непустое выпуклое компактное множество пространства Сп[а,Ь] и пусть lj(-, •) S Р{Сп[а, b] х [0, оо)). Тогда найдется функция Т](-, ■) £ Р(Сп[а, Ъ\ х [0, оо)), которая равномерно на множестве U С Сп[а,Ь] оценивает сверху относительно интегрального радиуса непрерывности cj(-, ■) 6 Р(Сп[а,Ь] х [0, оо)), интегральный модуль непрерывности отображения А : [а, Ь] х Сп[а, Ъ) -> сошр[Дп].

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

2. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Диф. уравнения. 2000. Т. 36. № 12. С. 1587-1598.

3. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений //Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант № Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ,

ВЫПУКЛЫХ ПО ПЕРЕКЛЮЧЕНИЮ

© А.И. Булгаков, А.И. Полянский

Здесь формулируются свойства выпуклых по переключению множеств, принадлежащих пространству суммируемых функций. Отметим высказанное профессором В.М. Тихомировым предложение, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих

разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений и т.д. Приведенные здесь свойства выпуклых по переключению множеств важны для изучения включений, которые используются в описании управляемых процессов.

Пусть А С К". Обозначим А - замыкание множества А в пространстве К". Пусть F : [а, 6] —> —> comp[Rn] измеримое отображение, где comp [К" ] - множество всех непустых компактов пространства К". Измеримое отображение соF : [a, b] —> comp[!.ri] определим равенством (coF)(t) = co(F(t)), со(-) - выпуклая замкнутая оболочка множества в соответствующем пространстве. Далее, обозначим

S{F) = {у € Ьп[а, Ъ\ : y(t) £ F(t) при п.в. t £ [а, 6]}.

Будем говорить, что отображение F : [а, b] —> comp[R”] ограничено суммируемой функцией, если найдется такая функция /3 £ V [а, Ь], что при почти всех t £ [а, Ь] выполняется неравенство \\F(t)\\ = sup{|y| : у £ F(i)} sC /?(*).

Пусть Ф С Ln[a, 6] и пусть U С [а, Ь\ - измеримое множество. Обозначим f Ф = < f x(t)dt : х £ Ф >

и Ш J

и Ф* замыкание множества Ф в слабой топологии пространства Ln[a, Ь]. Обозначим через П[Х"[а, 6]] множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a, Ь].

Теорема 1. Пусть Ф £ n[L"[a,6]]. Тогда существует такая функция и € Ьг[а, Ъ\,что для любой функции ф £ Ф и для почти всех t £ [a, b] выполняется оценка \ф(Ь)\ < u(t).

Теорема 2. Пусть Ф £ П[£"[а,Ь]]. И пусть фг Е Ф, г = 1,2... - последовательность плотная в Ф. Далее, пусть измеримое отображение F : [а,Ь] —> сотр[М"] определено равенством

F(t) = {Mt), г = 1,2,...}.

Тогда спараведливо равенство S(F) = Ф.

Теорема 3. Пусть измеримые отображения Fi : [a, 6] —» comp[M"], г = 1,2... ограничены суммируемыми функциями. Тогда S{F\) С тогда и только тогда, когда F\ (£) С F2(i) при

почти всех t £ [a, b].

Следствие 1. Пусть Ф £ n[L"[a,£>]]. И пусть Fi : [a,6] —» comp[R”], г = 1,2 - такие измеримые отображения, что выполняются равенства Ф = S{F\) = 5(^2)• Тогда Fi(t) = ^(i) при почти всех t £ [а, 6].

Теорема 4. Пусть для множеств Фх £ П [L"[a,b]] и Фг С Ln[a,b\ для любого измеримого множества U С [a, Ъ] выполняется равенство

J*i= J Фа- (1)

и и

Тогда справедливо вложение Ф2 С Ф*.

Следствие 2. Пусть для множеств Ф ^, Фг £ Il[Ln[a, 6]] для любого измеримого множества U С [а, Ь] выполняется равенство (1). Тогда справедливо соотношение Ф^ = Ф^.

Теорема 5. Пусть Ф £ П [Ln[a,b]]. Тогда соФ £ П[Х"[а, 6]] и справедливо равенство

Ф* = соФ. (2)

Пусть Ф £ П[Ь"[а,6]]. Пусть Fq< : [а, Ь] —> comp[En] - такое измеримое отображение, для которой

выполняется равенство Ф = S(F^). Отображение extFy : [а, Ь\ —» comp[Mn] определим соотношением

(extF\a)(t) = ext(coFvt(t)), где ext(-) - множество крайних точек.

Теорема 6. Пусть Ф £ П[£"[а,6]]. Тогда справедливы равенства соФ = S(coFy) — = co(5(extFф)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1972.

2. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00324, Министерства образования и науки РФ, грант № Е02-1.0-212, НИР темплана 01.002.2.

Пусть Сп[а,Ь\(Оп[а,Ь\, Ьп[а,Ь}) - пространства непрерывных (абсолютно непрерывных, суммируемых) функций х : [а, Ь] -> Е" с нормой

n[Ln[a, Ь]] - множество всех непустых замкнутых, ограниченных выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln[a, b], Ае - замкнутая е- окрестность множества А С Ж", соВ - выпуклая замкнутая оболочка множества В С Ln[a,b], corrip[En] - множество всех непустых компактов пространства Е".

Обозначим через К ([а, Ъ\ х [0, оо)) множество всех функций г] : [а. Ь] х [0, оо) -» [0, оо), обладающих свойствами: при каждом <5^0 функция г](-,6) £ Lx[a,b\, для каждого 6^0 найдется такая функция ßs(-) £ Z/1 [о, 6], что при почти всех t £ [а, Ь] и всех г £ [0,5] выполняется неравенство

V(t>т) ^ ßö(t), при почти всех t £ [а,Ъ] справедливы равенства lim rj(t,6) = r](t, 0) = 0.

ö—>0+0

Обозначим через Р(Сп[а, 6] х [0, оо)) множество всех непрерывных функций ш : Сп[а, Ь] х [0, оо) —»

[0, оо), для которых для любого х £ Сп[а,Ь\ справедливо соотношение ш(х,0) = 0 и любых (х,6) £ Сп[а,Ь] х (0,оо) выполняется неравенство ш(ж,5) > 0.

Рассмотрим линейную краевую задачу для функционально-дифференциального уравнения

где С : -О"[а, Ъ\ —> Ьп[а,Ъ\, I : Г>п[а,Ь] —> 1" линейные непрерывные отображения. Будем предполо-гать, что задача (1) имеет только нулевое решение.

Рассмотрим квазилинейные задачи

где многозначные отображения Ф : Сп[а, Ь] —> П[/У'1[а, Ь}] и 1р : Сп[а,Ь] —> сотр[Кп] непрерывны по Хаусдорфу.

Пусть многозначное отображение Д : [о, Ъ] хСп[а, Ь] —> сотр[Еп] обладает свойством: при каждом фиксированном х £ Сп[а,Ь] отображение А(-,х) измеримо и удовлетворяет равенству

КВАЗИЛИНЕИНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

© A.A. Григоренко

Их = 0, 1х = 0,

(1)

Их £ Ф(ж), Ix £ if(x), Их £ соФ(ж), 1х £ <р(х)

(2)

(3)

Ф(ж) = {у £ Ln[a,b] : y{t) £ А(t,x) при почти всех t £ [а, Ь]}.