О возможности восстановления поверхности по заданной линейной комбинации полной и средней кривизн Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.772

О ВОЗМОЖНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОЙ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН

© Ю.Г. Фомичева

Fomicheva Y.G. On The Reconstruction Of The Surface With The Given Linear Combination Of The Gaussian And Mean Curvatures. For a regular surface in £3, the sphereical image of which is an open hemisphere, the problem of its reconstruction is solved when the linear combination of the Gaussian and mean curvatures is given.

1. В работе рассматривается вопрос о возможности восстановления в Е3 по заданной линейной комбинации гауссовой и средней кривизн регулярной поверхности, имеющей своим сферическим изображением открытую полусферу.

Пусть Б2 - единичная сфера в Е3 с центром в начале О прямоугольной декартовой системы координат; Е - поверхность в Е3, сферическим изображением которой служит верхняя открытая полусфера сферы Б2. Пусть М(х, у, г) -произвольная точка поверхности Е, г = ОМ = (х,у,г) ; Я = (п1,п2,п3) - единичный

вектор внешней нормали к поверхности Т7 в

П]

точке М. Допустив пз ф 0 и обозначив и = —, п2

V = — , получим, что и3

п = (1 + и2 + V2 У1/2 (и, V, 1) .

При помощи центрального проектирования из центра сферы ее верхняя полусфера биективно отображается на плоскость переменных и, V, касающуюся сферы в полюсе.

Введем в рассмотрение опорную функцию

(г,п)

И(п) поверхности Е к(п) = к(и, V) = —-—, где

(к,п)

к - единичный вектор оси 01- Известно [1], что гауссова и средняя кривизны поверхности в точке с внешней нормалью п(и,\) выражаются через опорную функцию к(и, V) следующими формулами:

К(и,V) = (1 + и2 + У2Г2(>1иикуу - /¿Г7 (1)

2Н(и, V) = -(1 + и2 + у2Г3/2(Ниикп -Н^Г1 х ((1 + и2 )Ьии + 2тНт +(1 + у2)кп). (2)

Допустим, что на плоскости переменных и,

V заданы функции а(и, у), Ь(и, V), /(и, у), удовлетворяющие условиям:

/{и, у) = а(и, у)К(и, у) + 2Ь(и, у)Я(ы, у),

/[и, у) е С1, (3)

где К(и, у) - гауссова, Н(и, у) - средняя кривизны поверхности;

1) -((1 + -^-(1 + и2 + V2)2\ь2 < а/ < -Ъ2 ,

v т J

т = const > 0, (4)

2) а(и, у) > 0, (5)

3) \grad 1п(-о/)| ограничен. (6)

Подставив в (3) формулы (1) и (2), после несложных выкладок получим следующее уравнение:

¡(и,у)(Ииикт -И2У) + (1 + и2 + V2Г3/2Ь(и,у) х

((7 + и2)Иии + 2тИш + (1 + у2)Иу^ - (7)

-(1 +и2 + V2 Г2 а(и,у) = 0.

Рассматриваемая задача сводится к доказательству существования решения уравнения (7) на плоскости переменных и, у при выполнении условий (4)-(6).

Введем следующие обозначения:

А](и,у) = -а(и,у)(1 + и2 + V2 Г2 ;

А2(и,у) = (1 + и2)(1 + и2 + V2у3//2Ъ(и,у) ;

А3(и,у) = 2т( 1 + и2 + у2)~3//2Ь(и,у) ; (8)

А4(и,у) = (1 + у)2(1 + и2 + V2 )~3/,2Ь(и,у)

Аз(и, V) = /(и,у) .

Тогда уравнение (7) примет вид: А](и, у) + А2(и, v)huu +А3(и, v)huv +

+А4 (и, v)hvv + А5 (и, v)(huuhvv -huV) = 0.

(9)

Уравнение (9) есть уравнение Монжа-Ампера гиперболического типа, так как из условия (4) следует, что

А2 = А2 + 4(AjAj - А2А4) ■■

4(af + b2) (1 + и2 + v2 )2

> о. (Ю)

Получен следующий результат.

Теорема. Пусть на плоскости переменных и, V заданы функции а(и, v), b(u, v),j{u, v), удовлетворяющие условиям (3)-(6). Тогда в Е3 существует регулярная поверхность, определяемая опорной функцией и имеющая своим нормальным изображением плоскость Е2, причем гауссова и средняя кривизны поверхности связаны условием (3).

2. Прежде чем приступить к доказательству теоремы, проведем некоторые вспомогательные рассуждения и докажем три леммы.

На плоскости переменных и, у рассмотрим полосу

Щ = {0 < U < Uо, -00 < V < +СС , Ug = const > 0}. Зададим начальные условия

h\u=o=9(v), hu\u=0=P\u=0=v(v);

А определяется формулой (10), т.е.

А = 2(1 + и2 + V2Г1 [-(af + b2)^/2 .

(14)

Выразив из (12) ра, Pp, qa, qp и затем продифференцировав первое и третье уравнения по ß, а второе и четвертое - по а и, учитывая (13), а также равенства рар = рра, q«.р = #р<х, иар = ща, уар = Vpa, получим систему, эквивалентную системе (12):

“aß = al(u>v)uauß + a2(u>v)ußva +

+a3(u,v)uav?,

vap = a4(u, v)vavp + а5(и, v>pva +

+a3(u,v)uavp,

Axß = a7(u,v)uavp + a8(u,v)uavp + (15)

+a9(u,v)upva+aio(u,v)vavp,

?aß = ajj(u,v)uaiip + a]2(u,v)uavp +

+a13(u,v)u?va + a14(u,v)vavp,

Axß = £«ß +

где коэффициенты at(u, v), i = 1, 2, ..., 14, этой системы определяются формулами:

fu Аи ч /V Av

ai(u,v) = a4(u’v) = -f~~K'

аіз(и>v)

8 f A2s] Xj A2

— — +0? ——+ 05 ——

du\A5) Aj э AS

a2(u, v) = (1 + u2 + v2 ) 3^2~£x

<p(v) є С3, ці(v) є С2,

(р"( v)*-

h( o,v)

f(o,v)(l + v2 )3/2

(11)

Чт-тН^т-тН»-

a3(u,v) = (1 + u2 + v2Г3//2 x

и решим в полосе Щ задачу Коши для уравнения (9) с начальными данными (11).

Известно [2], что задачу Коши ддя уравнения (9) можно свести к задаче Коши для системы пяти квазилинейных уравнений первого порядка относительно переменных и, V, р = ки, ц = й„, /г с характеристическими координатами а, р в качестве независимых переменных:

X]ua+A2va+A5ga = 0 ~^2ир + А 2 Ур + ^4j?ß = 0 А4иа + X2va + А$ра = 0 А4ир + XjVp + A^pß = 0 pup + qvp -hp=0,

(12)

где p = hu, q = hv; A( определяется формулами (8), i = 1, 2, 3, 4, 5,

X; = - —(A3 + А); X2 = - (A3 - A),

K?-7

as(u,v) = (1 + u2 + v2Г3/2 x

ag(u,v) = (1 + u2 + v2Г3/2 x

(13)

07(11,v) ■■

ag(u,v) ■■

— f 4-П

du{As) 1 A5

d rx2 } X2

*Ш + а4лї

ay (и, v) --

8 ( А,2 I Ла %2

а 10 (u,v) = -

8 ( %2 5v[^j J 4 А5

между линиями / :а + р = 0и4:а + р =5, существует решение «(а, р), у(а, р) е С* задачи Коши (17)-(19). При этом первые производные решения имеют вид:

Un =8 + 8 X

1, «р = va = ^z3, Vp = Е + е2х4 , (21)

ап (u,v)-

an(u>v) = -

а и (и, V) = -

8 ( X] ) %i

д ( Xi Л Xi Ai

4^J+a^+ö6^

(16)

svUj; 4 а5

Первые два уравнения системы (15) содержат только неизвестные функции и(а, р), г(сс, Р) и их можно рассмотреть отдельно:

“aß = а?“а“р + ö2“ßVa + a3uaVp ^ар = a4vavp + asUßVa + aguavp '

(17)

Найденные функции и(а, p), v(a, p) подставим в третье и четвертое уравнения системы (15):

Paß ~ ^7“а“р +üpUßVa + üjqVaVp (18)

9ар = allu а"р + a12u avp + a13u pva + a14vav$

Решив систему (18), найдем функции р(а, р), q(а, р). Подставив их в последнее уравнение системы (15) и решив это уравнение, найдем функцию А(а, р).

3. Пусть полоса П; плоскости переменных и, V изображается на плоскости переменных а, Р полосой п?, заключенной между линиями /:а + р= 0и/?:а + р = d, где = const > 0.

Лемма 1. Пусть на линии / : а + р = 0 плоскости переменных а, р заданы следующие начальные данные:

u\t = 0; v|; = v(а); иа\; = в + e2t1(a); = в2t2(a);

(19)

,|I = e2t3(a); vp| = s + к t4(a),

где функции ^(а), / = 1, 2, 3, 4, равномерно непрерывны и ограничены, е - числовой параметр, е > 0; начальные данные (19) согласованы вдоль /, т.е.

(“!,) ’ = «а|/% + “р!^; = ',а|;а!г + • (20)

Тогда можно указать такое 5 > 0, что при достаточно малом б в полосе, заключенной

где функции т,(а, р), I = 1, 2, 3, 4 ограничены и равномерно непрерывны.

Доказательство. Для доказательства леммы 1 используем технику, указанную в работах Е.В. Шикина [3 - 5]. Предварительно запишем систему (17) в равносильной ей интегральной форме. Для этого проинтегрируем каждое из уравнений (17) от точки М(а, р^е/ до точки N(«,1з; :

ua(a,fi) = иа(а,Р) + j L( а, ß^rfß;

Р

_ _ Р _ ~ ~

va(a,ß) = va(a,ß^ +jA/Ya,ßM3,

Р

где функции щ, i = 1, ..., 6 определяются формулами (16),

L(a,$) = а2иаир + a2upva + a3uavр M(ct,ß) = a4vavp + asupva + aguavp.

(22)

Затем проинтегрируем каждое из полученных уравнений от точки Е(щ, р) е / до точки

Да, Р):

а _ а Р

и(о.,$) = и(а0,р) + | иа(а, р)с!а + § 1Ь(а,р)(1рс1а,

а о а0 Ро

а _ а Р __

у(а,р) = у(а0,Р) + | Уа(а, $)с!а + | | М(а,$)с1рс1а.

ао аоРо

Каждое из двух последних уравнений продифференцируем по р, получим:

а

и$(а,Р) = ир(а0,Р)+ ¡1(а,р>)сШ,

п+1 - а п “ Р _ ~ ~

v = v + J vada +|| М(а, р )dр ¡йх;

“о “о Р°

п+;

■ J Mdp;

(25)

Таким образом, система (17) в равносильной ей интегральной форме имеет вид (23), где точки Е(а0,р), М(а,$), L(a,p>0)el, а Да, Р) И

М(а, Р) определяются формулами (22).

a _ a Р __

и(а, \5) = и(а.0,Р) + J ыа(a, p^i/a + J Ji(a, pjfiE,

а0 Рр

v(a,pj = v(a0,p,) + | va(a, p^fiia + j | M(a, p,wpi/a, a0 v*o Po

(23)

ua(a>$) = ua(a, V) + J L(a> P/WP/

va(a,P) = va(a,p; + J M(a, p;rf(!;

ufi(a>P) = Up(a0,fi) + j" L(a, fi)da;

vp(a,p; = vp(a0,p;+ jM(a,f,)da.

Доказательство леммы 1 проведем методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем начальные данные (19), т.е.

° о о 2 ° 2

и - 0; v=v(a); иа = е + е -tj; иr = e -t2;

Va =f'2 -¡3, ^р =S + R2 -t4.

(24)

Считая я-е приближение известным, (и + 1)-е приближение зададим формулами:

п+1 " п , . .. _ ~ ~

и = и0 + I uada + j I L(a, p)dpda;

a о a0 p0

п+1 о a n «+/ о a n

Mp = Mp+ f Zrfa; Vp = Vp + f Mda,

«о ao

где

n n n n n n n

L=ajua ыр+ a2 up va+ aj i/a vp;

п ля ли л л

М = а4га Ур+ а5 Ир уа+ а6 иа ур.

Докажем равномерную ограниченность последовательностей производных по индукции. Для этого нужно знать вид каждого приближения производных. Для первого приближения имеем:

Р

+¡(01 Ua Up+a2 Up va+ aj иа vp)dp = е + s ■ xj,

P

где

7 ? 4=fl+[

p

a]-s-t2(l + ztj) + a2 ■ r -t2-t3 +

+aj (1 + e ■ t; )(1 + E ■ t4 ) Аналогично можно показать, что

с/p .

7 2 J _„2 1 1

1

up=s -х2; va = е -ху; vp=s + s -x4, где

1

*2

f2 + ]

da;

1 ? x3 = t3 + J

P

a jet 2( 1 + г ■ tj ) + a2 ■ e ■ t2 ■ tj +

+a3(l + e ■ tj)(l + e ■ t4)

a4 ■ e • t3 (1 + s • t4 ) +

+aj ■ e2 ■ t2 ■ tj + ag(l + e ■ t] )(1 + e ■ t4 )

dp;

x4

- t4 + j

a4Etj(l + s ■ t4) + aj • s ■ t2 ■ tj + +ag( I + e ■ tj )(1 + s ■ t4 )

da

п+1 о P n ~

“a = ua+ J-^P;

P

Точно так же показывается, что для любого п производные л-го приближения имеют вид:

п 2 п п 2 п

иа = є + є -xj; wp=s ’^2>

п 2 п п 2 п

Va =F- 'x3¿ v(3 = е + є -х4

(26)

где

ч

■ и + j

п-1 п-1

п—1 п-1

aj -е - х2(1 + в- xj ) + а2-е. ■ х2 ' XJ +

п-1 п-1

+а3( 1 + s • xj )(1 + s • Х4 )

dp;

п “

'2= <2+ J

п-1 п-1

п-1 п-1

а1 ' Е ' х2 (1 + 8 ' Х1 ) + а2 ' Е ' ' т5 +

и-/ и-7

7 + є ■ -с; )(1 + Е ■ xj )

п-1 п-1

da:

2 п-1 п-1 04 ■ s • х3 (1 + £ • Х4 ) + a¡ ■ £ • %2 ■ х3 +

п-1 п-1

+ag(l + к • xj )(1 + 8 ■ х4 )

dp;

х4

- и + J

п-1 п-1

п-1 п-1

04 ■ Е ■ х3 (1 + Ё • Х4 ) + а5 ■ Е ■ х2 ■ х3 +

п-1 п-1

+ag(l + е • X] )(1 + Е- Х4 )

da.

\a2(u,v)\ < —(С + 1) + 6Cm + -jCm

1 Зо

\a3(u,v)\ < — (С + 1) + 6Ст + —Ст ;

3 Cm2-Cm

Cm

1 .. З

\o4(u,v)\ < С + 1 + —Cm2;

3 ~п2

Ia¡(u,v)\ < ^(C + 1) + 6Cm +^Ст^;

\a6(u,v)\ <x-(C+ /) + 6Cm + jCm2.

Обозначив A = max\C, 1, m, ^Cm2J, получим следующие оценки | a,- j , i = 1,..., 6:

|щ{и, v)| < 8Л2, i = 1, 2, 6.

Оценим xj , положив 0 < e < 1 ,

| tj | < В = const > 0, s5 < 1/2 и 4CL425< 1,

(27)

(28) (29)

Для доказательства равномерной ограниченности последовательностей производных

п п п п

иа, ур достаточно показать, что после-

п п п п

довательности функций хх2, х3, Х4 равномерно ограничены. Для этого найдем оценки | щ |, г = 1, 2, 6, определяемых формулами

(16). Из (6) следует, что

учитывая, ЧТО р-р<5, а-а<5.

еММ1^ + Rh\ + Н*2ММ ■

1 р

х1 + VI

р

•г\аз\1 + ^i\l + eU\

dp

< В + \\4A2eB(1 + eB) + 8A2e2B2 + 8A2(1 + eB)2^P <

fu < С; fv

/ /

bu bv

~Ъ ¿ с, Т

аи av

< С; < С; —

а а

si C;

<C, С = const > 0.

Поскольку имеет место неравенство (4), то

S2

■г \ f 1 + 2 -

ти Л и tu

\aj(u,v)\ =

fu А и < fu

/ А /

af

+ 2

1 + и2 +v2

аи bu 2Ь а + b af

<С + 1 + ~^Ст2.

Аналогичными рассуждениями получаем, что

181 ,7 ЗВ <В + —А Ь<—.

Аналогично можно показать, что

<~2В> ' = 3> 4■

Для вторых приближений будем иметь:

<^В, ¿=1,2, 3,4.

Покажем теперь, что из неравенства

3

<Т5’

/ = 1, 2, 3, 4, вытекает неравенство / = 1, 2, 3, 4. Точно так же как это делалось ддя

п+1

Т

3

<~2В’

7

\1 , находим оценку

п+1

, учитывая, что

<—Б, і = 1, 2, 3, 4. Получим

п+1

3

К2В>

/ = 1, 2, 3, 4. Тем самым доказана равномер-

п

ная ограниченность последовательностей х;- , / = 1, 2, 3, 4. Отсюда вытекает, что для любого п:

2

є + к Ху

7 J 3 1

<е + е _в<г, + Т<-

“a(al>Pl) ~иа/а2>^2)

Ua(al>Pl)-ua(a2>P2)

(31)

Р/ «-7 _ _ Р^я-7 _ _

j ¿(сх^РМЗ- J L(a2,p)dp PlO Р20

Оценим модуль каждой разности в правой части неравенства (31).

Ua(al,f'l)-Ua(a2,\i2)

2

в

3 у 1 КТ B<JB

Так как функция ?;(а) равномерно непрерывна по условию леммы, то существует функция у/у) такая, что

п 2 " 1

Vp S X J + 8 < в

sup\tj(a]) -t](a2)\ < v j (у) И v? (у) -> 0 при у -> 0. Поэтому

п 2 п

п х4

2В '

“a(ahPl)-ua(a2>P2)

< vrfy).

Из равномерной ограниченности последовательностей производных и формул (25) следует равномерная ограниченность и равностепенная

п п

непрерывность последовательностей и, V .

Докажем равностепенную непрерывность последовательностей производных. Пусть М2(а.2,$2) такие точки полосы 115,

что

|а7 -а2| + |Р7 “Pi) < У .

(30)

Найдем теперь оценку

Р/ п-1 - _ Р2„-7 _ _

J L(ai,p)dfi- J L(a2,p)dp

Р10 Р20

^2 п-1 — —

< | L (a],p)dp

Р7

Р20 п-1 - -

J L(a2,PW

$10

Р^ п-1 - п-1 — —

J L (о.] ) — L (a2,P)d$

PIO

(32)

Для доказательства равностепенной непрерывности последовательностей производных

п п п п

иа, up, va, vp достаточно показать, что для

любого п сумма модулей непрерывности этих функций стремится к нулю при у —> 0.

Модулем непрерывности функции fix) называется функция

to f(y)= sup \/(хг )- f(x2)\ .

\х1-Х2\<У

Обозначим через W(y) сумму модулей непре-

п п п п

рывности функций Ua, Up, Va, vp , т.е.

W(y) = ш „ (у) + <а п(у) + ® п (у) + ® п (у)-иа «р va Vp

Найдем оценку

иа(al>$l)~ иа(а2’$2)

Оценим каждое слагаемое отдельно, учитывая равномерную ограниченность последовательно-

п п п п

стей производных иа, ир, va, и ограниченность | а, |, I = 1, 2, ..., 6. Получим:

Р^ п-1 — —

J L (aj,fi)dp Р7

Pj? п-1 п-1 п-1 п-1 п-1 п-1 — -

j (ai ■ иа ■ Up +а2 ■ Up ■ va + а3 ■ иа ■ vp (ay,f,)dp

Р7

і 49 і

<SA2 ■1^-3\p2-p1\<64AJy.

Л , т.к.

Аналогично J L (0i2,p) < 64А у Р7 О

|Р20 — f>lo\ < У •

Оценим теперь последнее слагаемое в (32):

Р2

J

Руо

Р2

* 1 Р10

п-1 _ п-1 — —

L (o.,,V)- L (a2,p)dp

п-1 _ п-1

L (о.],$)~ L (а2,Р)

d р <

где %(y) = e2j^Vi(y) + 512А2у , причем, очевидно, 1=1

х(У) 0 при у —> 0. Так как

я 3 п-1 3 (3Y

W(y) < х(у) - J • W (у) = %(у) + у у/у; + |д I у/у) +

: 8AZ

Р10

п-1п-1 — п-1п-1 - п-1п-1 —

«а Mp(a;,p;+ Up Уа Га; , р; + «а Vpfay.p;-

dp :

п-1п-1 — п-1п-1 _ п-1п~1

■ «а Up fa2,p;- «р Vafa2,p;-«a Vpfa2,p;

< 2<?Л ran_}(y) + <лп_1(у) + m„_1(y) + <a„_i(y)\(y + S) -

“а “р

1-

3)п

V

У}

со 0 (у) + 00 0 + 00 о (у) + 00 о (у)

"Р

43

=. 28А2 nW(у)(у +Ь)< 56А2& V(у).

г(1)-1 Mil +liJ e2Pi(y)-xh)-5~2 7-(y)

Из полученных неравенств и (31) будем иметь:

П — П •

ча(а.1,Р)-иа(а.2,Р)

?2vl(l) + 128А2у + 56А2Ъ W (у).

(33)

Аналогично:

“р(«7,?) ~ ир(а2,Р)

< s v2(у)+

+128А2у + 56А2дП1¥ (у),

п — п —

va(al>$) - va(a2>V)

< е \'з(у) +

+128 А2 у + 56A2bnW(y),

v$(ai,$)-vp(a2,$)

+56А25 nW(y),

< r.2v4(y) + 128А2у +

(34)

где v,(y) -> 0 при у -> 0, i = 1, 2, 3, 4. Тогда из (33) и (34)

W(y) = to п (у) + со „ (у) + со п (у) +СО „ (у) < иа Ир va Vp

7 1 7

^ V1 .. /..1 I C7T I ООЛ Л ■¿Й

< e^2]vi<"y^ + 5;2yl y + 224j4 5 ^(y^ = i=l

■ %(y) + 224А2Ъ W (y) < i(y) + -j W (y),

(3\n 1 (3\n

Ht) tXy)=2^)5-3\l)

< -jxfyA

to w(y )^>0 при у -> 0. Тем самым доказана равностепенная непрерывность последовательностей производных. Воспользовавшись затем теоремой Арцела, получаем утверждение леммы 1.

Единственность полученного решения следует из утверждения Illbis, доказанного в [6].

Лемма 2. Пусть П; - полоса, заключенная между линиями /у : a + р = 0 и /^: a + р = = d, d = const. Пусть вдоль линии /у заданы начальные условия (19), где функции ?,{а), i — 1,2, 3, 4 равномерно ограничены и непрерывны, v(a) е С*, s > 0, е - числовой параметр.

Тогда при достаточно малом s в полосе Пу существует решение и(a, р), v(a, р), класса С* системы (17), удовлетворяющее начальным данным (19). При этом первые производные решения имеют вид (21), где функции т,(а, Р), i = 1, 2, 3, 4 ограничены и равномерно непрерывны.

Доказательство. По лемме 1 существует единственное решение и(a, р), v(a, р) класса С* задачи (17)-(19) в полосе Пу, заключенной между линиями / :а+р = 0иту:а+р=6, где 8 - достаточно мало. При этом первые про-

2 1

изводные решения имеют вид Ua = s + e -Q],

? 1 2 1 Wp — е ■ С12 , va — ё ■ Qj

■р = Е +е2 ■ С14 , где

7

< —В , В = const, В > 1, i = 1, 2, 3, 4.

Линию mj : а + р = 5 примем за начальную, а значения функции и(а,р)\ , v(a,p)\mi ,

“a(a,Mm7, vP^Mm; ' За

новые начальные данные. Положив —еВ<1,

вновь применим лемму 1. Получим, что в полосе П^, заключенной между линиями Ш] : а + (3 = 5 и т2 '■ а + (3 = 28 существует решение и(а, р), у(а, р) е С задачи (17)-(19), причем первые производные решения имеют

вид:

VP

иа = е + е.

о 2

■Q, ,

< 2В , і = 1, 2, 3, 4. Пола-

гая 2Бе < 1, рассуждения повторим для полосы П ?, заключенной между линиями т2 : а + р = 28 и т3 : а + р = 38 и т.д.

Повторив эти рассуждения N-2 раза, где

N =

+ 1 .

- целая часть числа —, полу-

О

чим, что в П/ существует решение класса С* задачи (17)-(19), причем первые производные решения имеют вид:

иа = є + F.2 -Q; , Ир = я2 -П2

va = є2 ■ Qj , Vp - в + s2 ■ 0.4

(35)

где |n(-| < I i + , i1 + -j\B 'E < 1 > 1 = 1. 2, 3, 4.

Лемма 2 доказана.

По лемме 2 в полосе Й;, заключенной между линиями: / :а + р= 0и/;:а + р = £/, где с1 - некоторая положительная постоянная, существует решение системы (17) класса С* с заданными начальными данными (19), согласованными вдоль I, причем первые производные решения имеют вид (35). Из (35) следует, что якобиан решения системы (17)

J = uavр -Upva = Е2 +f:0(е.2)*0 .

Кроме того,

du Uada + Uad,

Р“Р

dv vada + vprfp

(36)

Неравенство (36) показывает, что при рас-смотриваемом отображении котангенсы углов наклона образов линий a + р = const к оси Ои на плоскости переменных и, у равномерно ограничены. Следовательно, отображение полосы П; плоскости а, Р в полосу Пу плоскости и, v, осуществляемое функциями и(а, Р), у(а, р), однолистно. При этом из (19) следует, что линия / : а + р =0 переходит в линию и = 0. Положительную постоянную d всегда

можно выбрать так, чтобы и\{ > щ , т.е. образ

полосы П; на плоскость переменных и, v перекрывал полосу П1.

4. Рассмотрим теперь систему (18). Функции и(а, р), y(a, Р) уже найдены в полосе П;, заключенной между линиями / : a + р = 0 и /;:а + р = d (d > 0 - наперед заданное число). Следовательно, в правых частях уравнений системы (18) стоят известные функции переменных а, р. Поэтому функции р(а, р), q{а, р) можно найти из (18) непосредственным интегрированием уравнений этой системы с учетом начальных данных (11). При этом

р\и=0 = p[°>v(a> PJ|/) = iu=o^hu\u--o = (*Xv(a3)\i)

Так как и{а, р), v(a, Р) е С*, то легко показать, что и функции р(а, р), q(а, р) е С*.

Подставив найденные функции и(а, р), v(a, Р), р(а, р), q(а, р) в последнее уравнение системы (15), непосредственным интегрированием находим функцию h(а, р) е С2. В силу того, что отображение функциями и(а, р), v(a, р) е С*, ПОЛОСЫ П; плоскости а, Р на полосу II; плоскости и, v однолистно, и якобиан отображения J * 0, то существуют функции а = а (и, у), р = р (и, у), обратные к функциям и = и(а, Р), у = y(a, Р). Тогда h(а, р) = = h(a(u, у), р = (и, у)) е С2.

Таким образом, справедлива

Лемма 3. Пусть в полосе

П; = j 0 <U <UQ, -00 < V < +00, U( = const > oj плоскости E2 с декартовыми координатами и, у заданы функции а(и, у), Ь(и, у), Дм, у), удовлетворяющие условиям (3)-(6).

Тогда в Е3 существует регулярная поверхность, имеющая своим сферическим изображением полосу П;, задаваемая опорной функцией h(u, у) е С2, удовлетворяющей начальным данным (11).

5. Докажем теперь сформулированную на стр. 122 теорему. По лемме 3 в Е3 существует регулярная поверхность Fj с краем, задаваемая опорной функцией hj(u, у) е С2, имеющая своим сферическим изображением полосу П; , причем hj при и = 0 удовлетворяет условиям (11), а гауссова и средняя кривизны поверхности связаны условием (3), где Ди, у), а(и, у), Ь(и, у) - заданные функции, удовлетворяющие условиям (4), (5), (6).

Повторив предыдущие рассуждения, можно доказать существование в Е3 регулярной поверхности F2 с краем, задаваемой опорной функцией h^u, у) е С2, имеющей своим сферическим изображением полосу

П2 = | -uq < и < О, -оо < v < +оо, ид = const > oj, причем h2 при и = 0 удовлетворяет условиям (11), а гауссова и средняя кривизны поверхности Р2 связаны условием (3), где а(и, v), b(u, v), f[u, v) - заданные функции, удовлетворяющие условиям (4)-(6).

Рассмотрим функцию

h(u,v) ■■

где

hj(u,v), 0 < и < ugt

- СО < V < +00,

h2(U,v), -Uq < U <0,

- ос < V < +сс, Uq = const > О

(37)

h(0,v) = h](0,v) = h2(0,v) = <p(v); K(0,v) = hju(0,v) = h2(0,v) = y(v).

(38)

Очевидно, что к(и,у) &С2 . Действительно, при 0 < и < ид и -Щ < и < 0 А;(и, V) е С2,

к^и, у) 6 С2. Покажем, что существуют вторые производные функции Ь(и,у) вдоль линии и — 0.

Из (38) имеем:

Ку/(°,у) = Ь1иу(о,у) = Н2иу(0,у) = н/'(V),

К( О, у) = И1у( о, у) = Н2( О, V) = ч/( у), (39)

ЛууС°> V) = ь1уу(°> = к2уу(°> V) = Ч'7V),

причем

Ф"(у)/(0,у)(1 + у2)3/2 * -Ъ(0, у) . (40)

Во внутренних областях ПОЛОС П; и п2 функции А;(к, у), к^и, V) принадлежат классу С2 и удовлетворяют уравнению (9) с начальными данными (11), т.е.

А1 + + АЗн1иу + А4к1\'V +

+А5(к1ии,г1п - Н1иу ) = 0 А] + А2И2ии + А3И2иу + А4к2ух +

+А3 (Ь2иик2-[1у ~ ^2иу) = ^

(41)

Поскольку вдоль линии и = 0 выполняется неравенство (40), то при и = О

А2 + Д5Ф (v) Ф 0 ,

(42)

По непрерывности неравенство (42) имеет место и в некоторой окрестности линии и = 0.

Пусть Мо(0,уд) е _0, -оо < у < +оо| ; К- не-

которая окрестность точки М0 : V = Г1/ и П2 ■ Из множества КПП/ выберем произвольную последовательность точек, сходящуюся К Мд . Поскольку А;(и, V) 6 С2В П; И КПП; с П; , ТО В каждой точке выбранной последовательности существуют вторые производные функции к ¡(и, у), причем имеет место неравенство (42). Поэтому из (41) будем иметь:

Ä5hluv ~ A4hlw - A3hluv - А1 а2 + A5hlvv

Тогда

li™ hiuu = ч™

и^0+ и^0-

v->v0 v^v(

а5 (0,vo)w12(vo)- a4(0,vo)4’"(vo)-A1(0, у„ )

Л5к1иу ~ Ä4hlvv ~ A3hluv - А1 ^2 + A5hlvv

Л2(0,уо) + А5(0,уо)<р"(уо)

Аналогично

Пт h2uu

и->0-

= а5(0,Уо)ч112(Уо)~а4 (0, vo)4>"(Vp)-Al(0, Vq) Ä2(0,vo) +А5(0, y0h"(v0)

Отсюда следует существование huu в точке Mq . Так как точка М0 выбрана произвольно на прямой и = 0, то huu существует в каждой точке линии и — 0.

Итак, существование вторых производных функции h(u,v) вдоль линии и = 0 доказано,

т.е. h(u,v)eC2 всюду в полосе

П = |-И0 <и < ид, -00 < V < +СС, ио = const > .

Функция h(u,v) определяет поверхность F = Fj U F2 , где Fj - поверхность, определяемая опорной функцией А/и, v), F2 - поверхность, определяемая опорной функцией h£u, v), причем вдоль линии и = 0 поверхности F; и F2 совпадают.

Полоса П плоскости переменных и, v го-меоморфно отображается на двуугольник R

верхней полусферы сферы S2. При Uq +00

R является открытой полусферой сферы S2. Действительно: допустим, что М - точка верхней полусферы, близкая к экватору сферы. Обозначим через 50 расстояние от точки М до экватора. Выберем двуугольник R так, чтобы

расстояние от его границы до экватора сферы было 50/. В силу единственности решения

/2

задачи Коши (9)-(11) поверхности ? и ¥ , имеющие своими сферическими образами двуугольники Л и Л соответственно, совпадают на общей части этих двуугольников. Поэтому, если точка М неограниченно приближается к экватору, то 80 ^ 0, а двуугольник К совпадает с открытой полусферой.

Приведем примеры поверхностей, для которых выполняются условия теоремы:

1. Гиперболический параболоид

Г (и,у) = [и,У, и2 - у2)^

с заданными функциями

а(и,у) = (1 + и2 )(1 + и2 +у2),

Ъ(и,\) = (1 + и2 + V2 2

¡(и,у) = -(1 + и2 + у2 (2и2 +у2 + 3).

2. Параболоид вращения

г (и, V) = [и, V, -^(и2 + V2

при заданных функциях a(u,v) = (1 + и2 )(1 + и2 + V2);

b(u,v) = -(1 + и2 + V2 J1/2;

f(u,v) = -(1 + v2T1(l + и2 + V2)-1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Погорелое A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М., 1969.

2. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.. 1964.

3. Шикин Е.В. //ДАН СССР. 1969. Т. 188. № 5. С. 1014-1016.

4. Шикин Е.В. Тезисы докладов IV Всесоюзной межвузовской конференции по геометрии. Тбилиси, 1969. С. 284-285.

5. Шикин Е.В. О регулярной реализации в целом двумерных метрик отрицательной кривизны: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.. 1970.

6. Hartman P., Wintner F. On hyperbolic partial differential equations // American J. of Mathematics. 1952. V. 74. № 4. P. 834-864.

Поступила в редакцию 4 декабря 1996 г.