CC BY
45
УДК 517.925.51
Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№ 1)
УСТОЙЧИВОСТЬ по первому приближению ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
В настоящей статье доказаны дискретные аналоги результатов А.М.Ляпунова и О. Перрона об устойчивости по первому приближению.
1. Характеристические показатели функций
Рассмотрим функцию /(£), определенную на значениях £ = 0,1, 2 ..., и введем, следуя [1], следующие определения:
Определение 1. Число или символ определяемое формулой
*[/]=й5Г^1п|/(*)| (1)
будем называть характеристическим показателем Ляпунова.
Характеристический показатель а равен взятому с обратным знаком характеристическому числу /(£), введенному Ляпуновым [3].
Отметим следующие очевидные свойства конечных характеристических показателей:
1) X[/(£)]= X[|/(£)|];
2) X[с/(£)]= X[/(£)], (с = 0);
3) /(£) < ¥(£) £ > Т ^ X[/(£)] < X[¥(£)];
4) X
5) X
£ /к (£)
к=1
т
П /к (£)
к=1
< тах X[/к(£)];
< £ X[/к(£)].
к= 1
Определение 2. Назовем характеристический показатель /(£) строгим, если существует конечный предел
*[/(*)] = Ит ±1п|/(*)|.
г^ж £
Тогда, очевидно, /(£) = 0 при £ > Т. Если существует строгий характеристический показатель /(£), то
6) X [1] = -*[/].
Определение 3. Назовем характеристическим показателем матрицы ¥(£) = [/¿к (£)] число или символ —то (+то)
X [¥ (£)] = тах X [/¿к (£)].
3,к
Очевидно, что для конечных характеристических показателей матрицы выполнены аналогичные свойства:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №01-01-00317, №00-15-96028). © Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов, 2003
7) X
8) X
£ Fk (t) k=1 m
П Fk (t)
k=i
< max X[Fk (t)];
k
< £ X[Fk (t)].
k=l
2. Спектр линейной однородной системы
Рассмотрим дискретную систему
c(t + 1) = A(t)x(t), det A(t) = 0, t = 0,1,...
(2)
и ее фундаментальную матрицу (под фундаментальной матрицей будем понимать матрицу, столбцы которой являются базисом пространства решений).
X (t) = П - j ) = A(t - 1) * • •• * A(0).
j=i
Лемма 1 (неравенство Ляпунова). Пусть все 'решения системы (2) обладают характеристическими показателями либо < либо > —œ, тогда для любой фундаментальной системы решений Y (t) выполнено неравенство
1
lim - In
i^œ t
i-1
ndet A(j )
j=0
< a Y,
(3)
где <rY — сумма характеристических показателей 'решений фундаментальной системы Y (t).
Доказательство. Рассмотрим определитель Вронского
W (t) = det Y (t) = £ (-1)й ypi i(t) ...yp„ „(t).
Используя теоремы о характеристических показателях суммы и произведения, получим
X[W(t)] < max {X[ypi i(t)] + ••• + Xn(t)]} < aY.
(4)
С другой стороны, фундаментальную матрицу решений системы (2) можно представить в виде
X (*)С,
i-1
где С — постояная неособая матрица. Тогда Ш(£) = det С ^ det ). В силу свойства
3 = 0
(2) характеристических показателей получим
1
1
X[W{t)} = lim - In\W(t)\ = lim - In
i^œ t i^œ t
i-l
ndet A(j )
j=0
(5)
Из (4) и (5) получим неравенство (3) для любой фундаментальной системы У (£). Далее под нормой матрицы А будем понимать ^ |а3й |.
(3,к)
Теорема 1 (о характеристических показателях решений дискретной линейной системы). Если для матрицы линейной системы (2) справедливы ограничения:
||А(£)|| < С< +то,
Ь-1
Пdet )
¿=0
—оо < Ит - 1п
Ь^ж £
то каждое нетривиальное 'решение системы (2) имеет конечный характеристический показатель.
Доказательство. Любое нетривиальное решение системы (2) можно записать в виде
х(£) = X (£)х(£о), |х(£о)| = 0.
Отсюда, учитывая неравенства
|х(£)| < |х(£о
Ь-1
П^)
¿=о
< |х(£о)|СЬ,
получим
X[х(£)] < +то. (6)
Из неравенства (6) и из условий теоремы по лемме (1) для любой фундаментальной системы У(£) имеем
—то < ау.
Отсюда, учитывая (6), получим
—то < X[х(£)] < +то. ■ (7)
Лемма 2 (о линейной независимости векторов с различными характеристическими показателями). Векторы х(к)(£) (к = 1,...,т), обладающие различными характеристическими показателями, линейно независимы. Доказательство этого факта изложено в [1].
Определение 4. Множество всех конечных характеристических показателей всех решений дискретной системы будем называть ее спектром.
Лемма 3 (о числе характеристических показателей). Если матрица А(£) удовлетворяет условиям
||А(г)|| < С < +00, -то < Игп - 1п
t
Ь-1
Пdet ¿(¿)
¿=о
то спектр линейной дискретной системы (3) состоит из конечного числа элементов —то < а1 < а1 < • • • < ат < +то (т < п).
Доказательство. Линейной дискретная система имеет не больше п независимых решений. Так как выполнены условия теоремы 1, то —то < а^ < +то, и по лемме 2 получим (т < п) . ■
3. Правильные системы
Далее будем рассматривать системы с ограниченным спектром.
x(t +1) = A(t)x(t), t = 0,1..., x(t) G Rn (8)
Будем предполагать, что det A(t) =0, t = 0,1... и
—œ < ai < a2 < • • • < am < +œ (m < n). (9)
Пусть фундаментальная матрица X(t) содержит ns решений с характеристическим показателем as. Величину
m m
aj> = ^2 nsas, где ^ ns = n
s = i s = i
будем называть суммой характеристических показателей системы решений X.
Поскольку выполнено (9), существует фундаментальная матрица X такая, что
ах = min aх.
Определение 5. Фундаментальная матрица называется нормальной, если сумма ее характеристических показателей минимальна по сравнению с другими фундаментальными матрицами.
Теорема 2 (о характеристических показателях нормальной фундаментальной системы) .
1) Во всех нормальных фундаментальных системах количество 'решений с одинаковым характеристическим показателем одно и то же.
2) Каждая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Доказательство этих фактов изложено в [1] для случая t G R и полностью переносится на дискретный случай.
Определение 6. Совокупность всех характеристических показателей ai,...,an нетривиальных решений линейной однородной системы (8), где каждый повторяется столько раз, сколько линейно независимых решений с характеристическим показателем as содержится в некоторой ее нормальной фундаментальной системе, будем называть полным спектром системы (8), а сумму
Е
k=7
суммой характеристических показателей системы. Замечание. Корректность определения следует из теоремы 2. Определение 7. Будем называть дискретную линейную систему правильной если
1 t_1 сг = lim - In TT | det A(j) |.
t-f OO t
Лемма 4. Система (8) —правильная когда и только тогда, когда существует предел
t-i
S = lim т In П | det A(j)\ и выполнено равенство а = S.
j = 0
а
s ^s
Доказательство. Достаточность очевидна, а необходимость следует из леммы 1. ■
4. Дискретный аналог теоремы Ляпунова
Рассмотрим матрицу Коши при т <
К (¿,т) = X (¿)Х-3(т).
Для К(4, т) хорошо известна оценка [2]
|К(¿,т)| < ееа(г-т}е£Т.
Докажем вспомогательное утверждение — аналог леммы Гронуолла в дискретном случае.
Лемма 5. Если определены последовательность {«(¿)}о° > 0, и последова-
тельность {«(¿)}§°, «(£) > 0 и можно указать такое неотрицательное число С, что выполнено соотношение
4-1
м(г) < С + ^ «(п)и(п), и(0) < С, (10)
п=0
то имеет место неравенство
4-1
«(*) < ^ («(п) + 1). (11)
Доказательство. Так как и(0) < С, то и(1) < С(1 + «(0)). Оценим теперь + 1) в предположении, что для оценка верна. Из условия леммы получим
г-1
+ 1) < С + ^«(п)и(п) < С + ^«(п)и(п) + «(¿)и(4).
п=0 п=0
Отсюда и из (11) получим
и(4 + 1) < (С + ^»(п)и(пП («(¡) + 1). ■
V п=0 )
Следствие 1. Если последовательности {м(£)}§°> {«(¿)}§° удовлетворяют условиям леммы 5, то
Ь-1
Е С«(п})
и(4) < Се»=° . (12)
Следствие 2. Если выполнено неравенство
г-1
и(4) < Си(0) + ^ Сггпи(п)т, С > 1, 0 < г < 1, т> 1, (13)
п=0
то существует и(0)' такое, что
и(4) < 1 4 = 0,1... Ум(0) 0 <и(0) < и(0)'. (14)
Доказательство. Пусть
4-1
((¿)/ = Си(0)' + 6Гг"и(п)'.
п=0
По условию г < 1 следовательно, ^"="0 6Г (г") < то. Тогда, используя следствие 1, можно выбрать и(0)' такое, что и(£)/ < 1 для всех Теперь докажем неравенство (14) по индукции. Пусть и(0) < и(0)', тогда из (13) получим
и(1) < Си(0) + 6Ги(0)т < Си(0)' + 6Ги(0)' = и(1)' < 1.
Если м(£)/ < 1, то
+1) < 6м(4) + 6Гг4«(¿)т < 6м(4)/ + 6Гг4м(4)/ = и(4 + 1)' < 1. ■
Рассмотрим полную систему уравнений
ж(г + 1) = А(ф(г) + х(4)), det А(4) = 0, 4 = 0,1,... (15)
1
—оо < Ит - 1п
4-1
Пdet А(з)
5=0
||А(*)|| < с< +то, (16)
и ее линейную часть
+ 1)= А(4)у(4). (17)
Пусть система (17)—правильная. Фундаментальную матрицу системы (17) можно записать так:
4
У(*) = П -3), У(0)= А(0).
5 = 1
В силу ограничений (16) на матрицу ) характеристические числа системы можно представить следующим образом:
—то < а" < • • • < ап < +то.
Перепишем систему в виде
4-1
ж(г) = У(ф(0) + У(¿) ^ У(п + 1)-1#(п, X"). (18)
"=0
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 3 (об асимптотической устойчивости). Пусть система (17) правильная, выполнено условие (16), и ее характеристические показатели отрицательны
ап < —а < 0,
тогда существует к > 0 такое, что если
|0(г,ж)|< к|ж|т, т > 1, (19)
то 'решение ж(£) = 0 системы (15) асимптотически устойчиво. Доказательство. Из (18), (19) следует
г-1
Ж| < |У(*)||*(0)| + |У(*)| £ |У(п + 1)-1 |к|ж(п)|т.
п=0
Так как по условию ап < —а < 0, существует число ву такое, что
(¿)|< вуе-°г. (20)
Воспользовавшись оценкой матрицы Коши для правильной системы, получим
г-1
|ж(4)|е°г < ву|х(0)| + ^ в0ке£(п+1}еа(п+1}|х(п)|т.
п=0
Введем обозначение |ж(4)|е°г = у(4), тогда
г-1
Ш < ву|у(0)| + ^ в0ке(е+а)еп(е-а(т-1))|у(п)|т. (21)
п=0
Так как (21) верно для любого е > 0, (т — 1) и а положительные, выберем е таким, чтобы выполнялось неравенство
(е — а(т — 1)) < 0.
Тогда, воспользовавшись соотношением (14) для (21) при г = е(е-а(т-1)), Сг = в0ке(е+а), получим |у(4)| < 1. Следовательно |х(4)| ^ 0, при т ^ ■
Замечание. Если (16) заменить на более ограничительные условия
||А(4)-1 II < С< ||Л(*)|| < С<
то получим результат, изложенный в [2].
5. Дискретный аналог контрпримера Перрона
Здесь показано, что если уравнения первого приближения зависят явно от то отрицательность ляпуновских экспонент не является достаточным условием для устойчивости решения исходной системы. Для непрерывного случая такой контрпример построен
в [4].
Рассмотрим дискретную систему
х(г + 1) = е~ах(г) 3<2а<1 + ^е~*,
ехр((* + 2)8ш1п(* + 2)-2а(*+1)) 2 (22)
У{1 + 1)= ехр(^ + 1)8т1п^ + 1)-2^) У® + х® '
и рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения этой системы. Покажем, что у линеаризованой дискретной системы ляпуновские экспоненты меньше нуля и нулевое решение асимптотически устойчиво, а решение исходной системы неустойчиво.
Линеаризованная дискретная система имеет вид x(t + 1) = e-ax(t),
, exp((t + 2)sinln(t + 2)-2a(t+l)) (23)
У[ j exp((t + 1) sin In(i + 1) — 2at) V[ >'
Очевидно, что решение системы (23)
x(t) = cie-ai,
y(t) = c2 exp((t + 1) sinln(t +1) - 2at)
(24)
асимптотически устойчиво по Ляпунову, так как 1<2а<1 + ^е7Ги ляпуновские экспоненты системы (23) —а, 1 —2а меньше нуля. Теперь покажем, что решение системы (22)
x(t) = cie
't-i
I ^ \ (25)
y(t) = c3 exp((t + 1) sin ln(t + 1) - 2at) 2^exp( —(k + 2)sinln(k + 2) + 2a)
\fc=o J
неустойчиво по Ляпунову.
Для этого оценим снизу exp((t + 1) sinln(t + 1) — 2at). Ясно, что для любых N > 0, J > 0 существует t0 > N, такое что 1 — sinln(t0 + 1) < J.
Теперь оценим снизу второй сомножитель в выражении для y(t). Так как exp( — (k + 2)sinln(k + 2) + 2a)) > 0 для всех k и так как для достаточно больших t существует 0 < т <t, такое что ехр( —(т + 2) sinln(m + 2) + 2a) > exp ((t + ,
^exp(-(Ä; + 2)sinln(Ä; + 2) + 2a) > exp + , (26)
fc=o ^ '
и мы получим, что
y(t) > exp ... (27)
Так как (27) верно для всех ¿>0и1<2а<1+ ^е_7Г, y(t) неограничена на оо и, следовательно, невозмущенное решение системы (27) неустойчиво.
Summary
Kuznetsov N. V., Leonov G.A. Stability by the first approximation for discrete systems. The problem of stability by the first approximation for discrete systems is considered. The stability theorem for the discrete systems, possessing a regular linearization with negative Lyapunov exponents, is proved. Analog of the counterexample of Perron for the discrete case is constructed which shows that the regularity condition is essential.
Литература
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
2. Демидович В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 5, №7.
3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950.
4. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 32, N5. S. 703-728.
Статья поступила в редакцию 6 июня 2002 г.
