Критерии устойчивостипо первому приближению нелинейных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

H. В. Кузнецов, Г. А. Леонов

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

I. Введение

Проблема обоснования устойчивости по первому приближению является одной из центральных в общей теории устойчивости движения. В некритических случаях она полностью решена для стационарных и периодических линеаризаций. Здесь устойчивость или неустойчивость решения нелинейной системы полностью определяется устойчивостью или неустойчивостью системы первого приближения [1-5].

Совсем иначе обстоит дело при рассмотрении непериодических линеаризаций. В 1930 году О. Перрон [6] обнаружил эффекты инверсии знака характеристических показателей при проведении процедуры линеаризации. Он показал, что отрицательность старшего характеристического показателя системы первого приближения не всегда влечет за собой устойчивость нулевого решения исходной системы. Более того, в сколь угодно малой окрестности нулевого решения могут существовать решения исходной системы с положительным характеристическим показателем. Аналогичные эффекты описаны и для дискретных систем [7, 8].

В [9] показано, что перроновские эффекты возможны и с инверсией в «другую сторону», т. е. построен пример экспоненциально устойчивого решения, линеаризация вдоль которого была неправильной и имела положительный ляпуновский показатель.

Таким образом, отрицательность характеристических показателей линеаризованной системы не гарантирует асимптотическую устойчивость исходной системы. Аналогично, наличие положительного характеристического показателя линеаризованной системы, не гарантирует неустойчивость по Ляпунову.

Первые достаточные условия асимптотической устойчивости по первому приближению для нестационарных линеаризаций были получены А. М. Ляпуновым [1]. Он ввел понятие правильной линейной системы и показал, что для правильных линеаризаций устойчивость определяется отрицательностью характеристических показателей линеаризованной системы. Эта теорема Ляпунова в дальнейшем была обобщена Персидским, Малкиным, Массера, Четаевым [11-14].

Равномерная по начальным данным отрицательность ляпуновских показателей систем первого приближения является достаточным условием асимптотической устойчивости [9]. Таким образом было показано, что перроновские эффекты возможны только на границе устойчивого по первому приближению потока.

В настоящей работе теорема Малкина—Массера—Четаева и результаты, представленные в [9], распространены на дискретные системы вида

x(t + 1) = A(t)x(t) + g(t, x(t)), x(t) e Rn, det A(t) = 0, t = 0,1,... , (1)

где g(-, ■) —вектор-функция, отображающая N о x Rn ^ R n.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00250A).

© Н.В.Кузнецов, Г.А.Леонов, 2005

Отметим, что задачи устойчивости по первому приближению для дискретных уравнений вида (1) актуальны при исследовании многочисленных систем управления с импульсными элементами и встроенными процессорами [5, 15-18].

2. Характеристические показатели,

правильные системы, ляпуновские экспоненты

Рассмотрим вектор-функции /(£) такие, что Ит |/(£)| ф 0.

г—

Определение 1. Величина (или —ж, или +ж), определяемая формулой

*[/(*)] =Ит т1п|/(г)|, (2)

г—ъ

называется характеристическим показателем Ляпунова вектор-функции /(Ъ).

Здесь | -| — Евклидова норма.

Характеристический показатель равен взятому с обратным знаком характеристическому числу, введенному Ляпуновым [1].

Определение 2. Характеристический показатель вектор-функции /(Ъ) называется строгим, если существует конечный предел

Х[1Ш = 1ш1 7 1П |/(*)|-

г—х> ъ

Рассмотрим линейную дискретную систему

у(Ъ +1) = А(Ъ)у(Ъ), у(Ъ) е Мп, detА(Ъ) = 0, Ъ = 0,1,...

(3)

где А(Ъ) — матрица размерности их п. Пусть У (Ъ) = (у1(Ъ), ...,уп (Ъ)) — фундаментальная матрица системы (3), и ау —сумма характеристических показателей ее столбцов уг(Ъ).

Из [7, 10] для дискретных систем известен следующий результат.

Лемма 1 (неравенство Ляпунова). Пусть все решения системы (3) обладают характеристическими показателями < +ж (или все > —ж), тогда для любой фундаментальной системы решений У(Ъ) выполнено следующее неравенство:

Ит — 1п ТТ | det А(])\ < ау

г—►оо Ъ

3=0

г-1

(4)

Лемма 2. Если для матрицы линейной системы (3) справедливы ограничения

г

1)

2)

Ит - 1п | ТТ А(Ь — ])\ < +оо,

г—►оо Ъ

3=1

I

Ит - 1п | ТТ А{Ь — з)~1\ <+оо,

3=1

-1

г—Ъ

то каждое нетривиальное решение системы (3) имеет конечный характеристический показатель.

Следствием этой леммы является результат, изложенный в [10]:

Следствие. Если существует такое число С, что выполнены условия

яир |А(Ъ)| <С < +ж,

г

яир |А(Ъ) 11<С< +ж, г

то каждое нетривиальное решение системы (3) имеет конечный характеристический показатель.

Доказательство леммы. Рассмотрим вместе с системой (3) сопряженную к ней систему

z(t +1) = A*(t)-1 z(t), z(t) e Rn t = 0,1,..., (5)

и ее фундаментальную матрицу

t

Z(t) = n A*(t - j)-1. (6)

j = 1

Для любого решения y(t) системы (3) верна оценка

t

|y(t)l<|y(0)|in A(t - j)\-

j = 1

Отсюда и из условия 1, для всех ненулевых решений системы (3) выполнено

X[y(t)] < +Ж, (7)

и, следовательно, выполнено условие леммы 1. Тогда по неравенству Ляпунова (4) для системы (3), получим

lim - In | det Y(j)\ < +00. (8)

t—— tt t

Аналогичное неравенство имеем и для сопряженной системы

lim - In I dety(j)_1| = lim - In | det Z(t)\ < +00. (9)

t—— tt t t—— tt t

Отсюда получим

lim - In I det Y(j)I > —00. (10)

t—>00 t

Следовательно по неравенству Ляпунова имеем

ay > lim - In I det Y(j)\ > lim - In | det Y(j)\ > — 00. (11)

t^OO t t—>00 t

Отсюда с учетом (7) получим

— OO < X[y(t)] < +OO. ■

Определение 3. Множество различных отличных от ±ж характеристических показателей всех решений дискретной системы называется ее спектром.

Заметим, что количество различных характеристических показателей ограничено размерностью пространства.

Определение 4. Фундаментальная матрица называется нормальной, если сумма характеристических показателей ее столбцов минимальна по сравнению с другими фундаментальными матрицами.

Хорошо известен [8, 10] следующий результат.

Лемма З (о характеристических показателях нормальной фундаментальной системы).

1. Во всех нормальных фундаментальных системах решений количество решений с одним и тем же характеристическим показателем одинаково.

2. Каждая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение 5. Множество характеристических показателей ai, ..., ап некоторой нормальной фундаментальной системы решений y1(t), ...,yn(t) называется пол-

n

ным спектром линейной системы (3), а число а = ^ ai —суммой характеристиче-

1

ских показателей линейной системы.

Определение 6. Дискретная линейная система называется правильной, если для суммы ее характеристических показателей а выполнено равенство

1 t-1 а = lim — In І Г I det A(j)|.

t^oot f-*-1 = 0

Отсюда и из неравенства Ляпунова верно следующее утверждение.

Лемма 4. Линейная система (3) — правильная тогда и только тогда, когда существует конечный предел

1 t-1

S= lim - In IT |detA(j)| tt

1=0

и выполнено равенство а = S.

Определение 7. Число

1 t-1

Г = a — lim - In IT I det A(j) \

t->oo t f

1 = 0

называется коэффициентом неправильности линейной системы (3).

Определение 8. Оингулярными числами {a1 (Y(t))}n матрицы Y(t) называются квадратные корни из собственных значений матрицы

Y(t)*Y(t).

Определение 9. Ляпуновской экспонентой называется число

-1

jj? = lim - \na°(Y{t)).

t—tt t

Лемма 5. На,ибольший характеристический пока,затель линейной системы равен наибольшей ляпуновской экспоненте.

Доказательство этого результата подробно изложено в [9].

3. Критерии устойчивости по первому приближению

Пусть Y(t) — фундаментальная матрица линейной системы

y(t +1)=A(t)y(t) t = 0,1,.... (12)

Тогда решение системы (1) можно представить в виде

t-1

^(t) = YmxW + Y; Yiт +І) 1giт,xiт)), t =І, 2....

(1З)

т=0

Теорема 1. Пусть для матрицы Л(Ь) выполнены условия 1) характеристические показатели линейной системы (12) отрицательны;

-І

2) lim - In

t——О t

З)

1

< +Ж,

Ц Ait - ЗУ

1=1

линейная система (12) является правильной.

(14)

Тогда существует к > О такое, что если

\g(t,x)\ < к^Г, где т> І,

(15)

то решение x(t) = О системы (1) асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Пусть существуют положительные числа C и к, окрестность нуля П(О) и ограниченная последовательность p(s) такие, что выполнены следующее условия:

\g(t,x)\ < ^x^, Vt > О, Vx Є П(О), (16)

t-1

\Y(t)Y(т) 1\<^p(s), Vt > т > О,

и неравенство

t-1

lim - In TT(p(s) + Ck) < 0.

t—^ + 0 t

(17)

(18)

Тогда решения х(Ъ) = 0 системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Следствие. Для систем первого порядка из отрицательности характеристического показателя системы первого приближения следует асимптотическая устойчивость нулевого решения.

Теорема 3. Если выполнены условия

\У (г)У (т)-1\<С ехр[—а.(Ь — т )+7т], Ш > т > 0, а> 0,7 > 0, (19)

\д(Ъ,х)\ < к\х\и, Шх € Н0, Ъ = 0,1,..., к> 0, и> 1 (20)

с достаточно малым к, и неравенство

(V — 1)а — 7 > 0, (21)

то решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Замечание. Оценка на норму матрицы Коши может быть получена через характеристические показатели и коэффициент неправильности.

Доказательство теоремы 1.

Из (13) с учетом оценки (15) на нелинейность получим

г-1

\х(і)\ < \У(г)\\х(0)\ + ^ \У(г)У(т + 1)-1| к\х(т)\т. (22)

т=0

В силу условия (1) теоремы существует положительное число а > 0 такое, что для полного спектра системы (12) выполнена оценка

aj < —а < 0, і = 1 ...п.

Так как по условию (3) система (12) правильная, для ее матрицы Коши при т < г известна оценка [8]

\у (г)у-1(т)\ < се-а(г-т )вєт.

Используя оценку на матрицу Коши для (22), получим

г-1

\х(г)\еаг < су \х(0)\ + ^ еокв£(т+1)еа(т+1)\х(т)\т.

т=0

Отсюда, введя обозначение \х(і)\еаг = у(і), получим

г-1

\у(г)\<су\у(0)\ + ^соке(£+а)ет(с-а(т-1))\у(т)\т. (23)

т=0

Так как (т — 1) и а — положительные числа, и (23) верно для любого є > 0, выберем є таким, чтобы выполнялось следующие неравенство

(є — а(т — 1)) < 0.

Воспользовавшись следствием из дискретного аналога леммы Гронуола [7] получим

\у(г)\ < 1 тг = 0,1,...

Следовательно, \х(г)\ —ограничена и

\х(г)\ ^ 0

при і —> +оо. ■

Замечание. Если (14) заменить на более ограничительное условие

яир \А(г)-1\ < с < +ж,

г

то получим результат, изложенный в [10]. Я Доказательство теоремы 2.

Из (13) и условия (17) вытекает оценка

г-1 г-1 /г-1 \

\х(г)\ < с + с^ і Пню) к\х(т)|.

о т=0 \т+1 )

Эту оценку можно переписать следующим образом:

г-1 г-1 т-1

Ж1 Пр(з)-1 - С \х(0)\ + Ск^2р(т)-1\х(т^ Пр(в)-1- (24)

0 т=0 о

Применяя дискретный аналог леммы Гронуола для

г-1

и(1) = \х(Ь)\ ^р(я)-1, и(0) = х(0), у(1) = Скр(1)-1, в=0

получим оценку

г-1 г-1

\х(г)\ Пр(в)-1 < с\х(0)\ ^(Скр(в)-1 +1),

в=0 в=0

или

г-1

\х(і)\ < с\х(0)\ ^(Ск + р(т)).

т=0

Тогда из условия (18) теоремы получим утверждение теоремы. ■ Доказательство теоремы 3.

Из (19) получим

\У(г)У(т + 1)-1\ < Сехр[—а(г — т)+ 7т]еа+7.

Отсюда, используя оценку (20), из (13) получим

г-1

\х(г)\ < Се-аг\х(0)\ + С^^ ехр[—а(г — т)+ 7т]еа+7 к\х(т )\и.

т=0

Эту оценку можно переписать следующим образом:

г-1

(еаг\х(г)\) < С\х(0)\ + Сеа+~'к^е(а(1-и)+7)т(еат\х(т)\)*.

т=0

Так как (а(1 — V) + 7) < 0, согласно условию (21) теоремы , то имеем

(еаг\х(г)\) < 1,

для достаточно малых \х(0)\.

■

4. Критерии устойчивости по первому приближению каскада решений

Рассмотрим дискретную систему

х(г + 1) = Г(г,х(г)), х(г) є мп, г = 0,1,2,..., (25)

где Г(■, ■) —дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Рассмотрим линеаризации системы (25) вдоль решений с начальными данными х0 из открытого ограниченного в Мп множества О

y(t), (26)

x = x(t,xo )

где х(0,хо) = хо. Пусть для наибольшего сингулярного числа системы (26) выполнена оценка

а1 (г, хо) < а(г), Ухо Є &, г = 0,1, 2,..., (27)

где а(г) —скалярная функция. Рассмотрим также фундаментальную матрицу линейной системы (26)

У (г,хо), У (0,хо)= I.

Теорема 4. Если существует ограниченная а(г) такая, что выполнена оценка

(27), то решение х(г,хо), где хо Є &, устойчиво по Ляпунову.

Если, кроме того, Ііт а(г) = 0, то решение асимптотически устойчиво по Ляпу-г—

нову.

Следствие. Эффекты Перрона возможны только на границе устойчивого по первому приближению каскада.

Доказательство теоремы 4.

Из (25) следует, что

dx(t + 1, h) dF(t, х)

dh дх

dx(0 h)

Отсюда, так как ——-■— = /, получаем dh

dx(t, h)

x=x(t,h) dh

М^ = Г((,Ч-

При сделанных предположениях о функции F(•, •) [19] для векторов у, z и числа t > 0 существует вектор w, для которого выполнены соотношения

\w - у\<\у - z\, (28)

\x(t,y) - X(t,Z)\ < \(X(t,w))'w\ \у - z\. (29)

Используя (28), (29), из (27) получим, что для любых уо таких, что

{w\ \w - хо\ < \хо - уо\} С Q и для всех t > 0 выполнена оценка

\x(t, хо) - x(t, уо)\ < \хо - уо\ supa1(t, w) < a(t)\xo - уо\, (30)

где супремум берется по всем w из шара

{w\ \w - xo\ < x - уо\}.

Из оценки (30) следует утверждение теоремы.

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov. Criteria of stability by the first approximation for discrete nonlinear systems.

The problem of instability by the first approximation for discrete systems is considered. Criteria of instability by the first approximation for flow of solution is extended to cascades. Criteria of instability by Lyapunov and Krasovskiy are obtained.

Литература

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892, 250 с.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва, 1967.

3. LaSalle J. P. The Stability and Control of Discrete Processes. Springer-Verlag, 1980.

4. Elyadi S. An introduction to difference equations. Berlin: Springer, 1996, 389 p.

5. Бромберг В. П. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. 1986. М., Наука, 321с.

6. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift, 1930. Bd 32. N 5. P. 702-728.

7. Кузнецов Н. В., Леонов Г. А. Устойчивость по первому приближению дискретных систем // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. №1. С. 28-36.

8. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. Минск, 2001. 400 с.

9. Леонов Г. А. Странные аттракторы и кассическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 142 с.

10. Демидович В. Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. №7. С. 1247-1255.

11. Персидский К. П. О характеристических числах дифференциальных уравнений // Изв. АН Казахской ССР. 1947. Сер. мат. и мех. Вып. 1.

12. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 525 с.

13. Массера Х. Л. К теории устойчивости // Математика. М.: ИЛ, 1957. С. 81-101.

14. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., Гостехиздат, 1955 207c.

15. Цыпкин Я. З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.

16. Цъткмн Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.

17. Авен О. И., Коган Д. А. Управление вычислительным процессом в ЭВМ. М.: Энергия, 1978.

18. Авен О. И., Коган Д. А. Микропроцессоры в цифровых системах. М.: Энергия, 1979.

19. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I, II. М.: Наука, 1983. 543с.; 1984. 640c.

Статья поступила в редакцию 8 октября 2004 г.