Критерии неустойчивостипо первому приближению нелинейных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.51

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

КРИТЕРИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

Настоящая статья является продолжением работы [1]. Здесь на дискретные системы распространены результаты [2-5] о неустойчивости по первому приближению.

1. Эффекты Перрона для дискретных систем

Смену знака характеристического показателя решений системы первого приближения и исходной системы при одних и тех же начальных условиях будем называть эффектом Перрона [6]. Эффекты Перрона для непрерывных систем рассматривались в [2-4, 6].

Приведен дискретный аналог результата Перрона об инверсии знака характеристических показателей [1, 8]. В этих работах рассмотрена нелинейная система, для которой линеаризация экспоненциально устойчива, а решение исходной системы неустойчиво по Ляпунову.

В нашей статье рассматривается инверсия знаков характеристических показателей в «другую сторону». Мы покажем, что положительность характеристических показателей системы первого приближения для нелинейных систем не является достаточным условием неустойчивости.

Рассмотрим систему

*(* + 1) = + + - 2а(^+1)] _ 2

^ ' ехр[(£+ 1)8т1п(>+ 1) -2аЬ] УУ '

у(г+1) = е~ау(г), 1 < 2а < 1 + , (!)

г (I + 1) = 0(у(1),г(1)),

е-2ау2, при г = у2.

2

при г = у

С(у,г)=\ :_2а% при Л Г.2

Общее решение системы (1)

х(Ь) = х0 ехр[(£ + 1) вш1п(£ + 1) — 2аЬ], у(г)= уое~аг, х(г) = г0е~2аг,

го = уо2.

устойчиво по Ляпунову.

Рассмотрим характеристические показатели решений (2):

X[х(г)] = 1 — 2а < 0, X[у(г)] = —а < 0, X[г(г)] = —2а < 0.

(2)

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Федерального агенства по образованию (проект №7484) и РФФИ (проект №04-01-00250Л). © Н.В.Кузнецов, Г. А.Леонов, 2005

Линеаризация системы (1) вдоль нулевого решения для t = 2, 3,... имеет вид

К ' exp[(t + 1) sinln(t + 1) — 2at] y(t +1)= e-ay(t), (3)

z(t +1) = e-2az(t).

Для характеристического показателя ненулевого решения x(t) справедлива [8] оценка

X[x{t)\ > (1 -2> 0.

Следовательно, нулевое решение системы (3) неустойчиво по Ляпунову.

Таким образом, здесь наблюдается эффект Перрона для неустойчивой линеаризации.

2. Критерии неустойчивости по первому приближению каскада решений

Рассмотрим дискретную систему

x(t + 1) = F(t,x(t)), x(t) e Rn, t = 0,1, 2,..., (4)

где F(■, ■) —дважды непрерывно дифференцируемая по второму аргументу вектор-функция.

Рассмотрим линеаризации системы (4) вдоль решений с начальными данными xo из открытого ограниченного в R n множества Q

y(t), (5)

x=x(t,xo)

dx

где x(0,xo) = xo. Рассмотрим также фундаментальную матрицу линейной системы (5)

Y (t, xo), Y (0,xo)= I.

Пусть для некоторой вектор-функции £(t) и скалярной функции a(t) выполнены соотношения

|e(t)| = 1, vt = о, i, 2...,

inf |Y(t, x(0)) £(t)| > a(t). (6)

x(0) Ш

Следующая теорема является распространением критерия неустойчивости по первому приближению для потоков гладких динамических систем [5]. Теорема 1. Пусть для функции a(t) выполнено соотношение

lim a(t) = (7)

t—

тогда все решения x(t,x(0)), x(0)g0 неустойчивы по Ляпунову.

Доказательство. Зафиксируем некоторую пару x(0) G О и t G N0. Рассмотрим ¿-окрестности точки xo и выберем вектор y(0) такой, чтобы

x(0) - y(0) = S£(t).

Пусть число S настолько мало, что {w| \w—x(0)|<S}c0.

Хорошо известно [9], что для любых фиксированных чисел t, i и векторов xo, yo существует вектор wi G R n, для которого

|xo - Wi\<\xo - yo|,

xi(t, xo) - xi(t, yo) = Yi(t, Wi)(xo - yo). (8)

Здесь Yi(t, z) — i-я строка матрицы Y(t, z), а xi(t, xo) — i-я компонента вектора x(t, xo). Используя (8) и (6), получим оценку

\х\г,х0) -х\г,у0)\ = -у0)|2 >

> 6 тах {| У . ..,\У п(г,тп)ф)\} >

6 6

> 6 тахШ\¥\г,и>)ф)\ > —= Ш \У(г, т) £(£)I > —=а(г).

г П 1 1 у/и П 1 у/и

Из этой оценки и условия (7) следует, что для любых положительных чисел е и 6 существуют вектор у0 и число г, такое что

Хо - Уо| < 6, \хг(г,х0) - хг(г,уо)\ > е. Последнее неравенство и означает, что решение х(Ь, хо) —неустойчиво по Ляпунову.

3. Триангуляция Перрона—Винограда

Перейдем теперь к исследованию неустойчивости индивидуальных решений, распространив на дискретные системы результаты [3]. Рассмотрим линейную систему

z(t +l) = A(t)z(t) (9)

и ее фундаментальную матрицу

^ (г) = ^(г),...^п(г)},

состоящую из линейно независимых векторов zг(г).

Проведем процедуру ортогонализации Грамма—Шмидта [10] для векторов zг:

V1 = z1,

2 2 / 1 v V = * -(V , г )

vl «п-1

п _ _,п / п — 1 „п\

vn = zn ~(v\zn) (vn-\zn)

\vl\2 ••• V. > ^|vn-l|2'

и рассмотрим унитарную матрицу

u(t)-'vl® vn{t)

ivi(t)r"'ivn(t)i;-

Используя унитарную матрицу V (г), сделаем замену

г(г) = и (г)'ю(г)

в системе (9). Получим

где

•ш(г + 1) = в(г^(г),

в (г) = и (г + 1)-1А(г)и (г).

(10) (11)

Пусть Ш(г) —фундаментальная матрица системы (11). Тогда верно следующее утверждение [8].

Лемма 1. Матрицы Ш(г), В(г) являются верхнетреугольными:

ш (г)

( Иг)1

0

/ кЧт)!

В (г)

К(г)\

\

0

\

/

Заметим, что из ограниченности матрицы А(г) следует ограниченность матрицы

в(г).

Докажем следующие вспомогательные утверждения. Лемма 2. Для всех г справедливо соотношение

V(г)\ < г(г)\.

Доказательство. По построению V3(г) имеем:

(у'(г),у3 (г))=0, V з = г;

(г)\2 = у (г)г (г)).

Отсюда следует утверждение леммы. ■

Лемма 3. Если для некоторого числа С и всех г > 1 выполнено неравенство

п г-1

(г)\ < СП \ det А(з )\, Vг > 1, (12)

3=1 0=0

то существует число г > 0 такое, что имеет место оценка

\г3(г)\<г\у3(г)\, vг > 1, з = 1,...,п. (13)

Доказательство. Для фундаментальной матрицы имеем

£ (г) = А(г — 1) ■■■A(0)z (0).

Тогда из неравенства (12) имеем соотношения

det

г1(г)

(г)

№)'■■■' \гп(г)\

г-1

= (\г 1(г)\ ■ ... ■ \гп(г)\)-1 ■\det £(0)\■ Ц \ det А(з)\ > С-1.

3=о

V

г

Отсюда следует, что для линейного подпространства L(t), натянутого на вектора

z1(t),...,zm(t), m<n, найдется число е G (0,1) такое, что выполнена оценка

ея<1-, Vi >0, ,14)

\zm+1(t)\ - v '

для всех e(t) G L(t), удовлетворяющих равенству

\e(t)\ = 1.

Отсюда получим

vj{t) =тт(т *'(*) ПК)

\zj(t) I ¡¿\ И*)12 У 1 J

Предположим обратное: утверждение леммы не имеет места. В этом случае существует последовательность tk ^ такая, что

lim —-—- = 0.

k—+w \zj (tk)\

Тогда из равенства (15) получим, что существует число l < j такое, что

zj (tk ) vl (tk )

lim

k—^

_\zj (tk )\ \vl (tk

0. (16)

Поскольку V1 (г) € Ь(г), соотношения (14) и (16) противоречат друг другу. Полученное

противоречие доказывает оценку (13). ■

Лемма 4. При г > т > 0 имеет место оценка

Уп(г)\ ^ тгг I м • \IПпг V3(т

\vn(TyJJjJL\zj(t)\-

Доказательство. Из вида матрицы W(t) получим следующее соотношение:

n — 1

vn

\ det W(t)\ П \vj ( (t)\ _ j=i

т)

\vn(r)\ n—1

\ ( )\ \ det W(т)\ П \vj(t)\

j=i

Так как в силу унитарности матрицы U(t)

\ det B(t)\ = \ det A(t)\,

имеем

t—1

\ det W(t)\ = \ det W(0)\ det A(j)\.

j=0

Отсюда, используя оценку \V3 (г)| < (г)|, получим (17) ■

Следствие. Заметим, что при т = 0 и Z(0) = I имеет место соотношение

г—1 п—1 1

3=0 3=1 1

4. Неустойчивость по Красовскому

Рассмотрим приведенную дискретную систему в общем виде:

х(г + 1) = Г(г,х(г)), г = 0,1,2..., х(г) е мп, (18)

где Г (г,х(г)) удовлетворяет равенству Г (г, 0) = 0.

Расширяя понятие экспоненциальной устойчивости на случай нулевого экспоненциального показателя, введем следующее определение.

Определение 1. Тривиальное решение х(г) = 0 системы (18) называется устойчивым по Красовскому, если существуют числа К > 0 и 6 > 0 такие, что для всех решений х(г,хо) с начальными данными \хо\ <6 выполняется оценка

|х(г,хо)| < К|хо| (19)

для всех г.

Запишем систему (18) в следующем виде:

х(г + 1) =А(г)х(г) + / (г,х(г)), г = 0,1,..., (20)

где А(г) — (и х и)-матрица, ограниченная на [0, Предположим, что для вектор-

функции ](г, х) в некоторой окрестности П(0) точки х = 0 выполнено неравенство

Ц (г,х)\<к\х\^, V г > 0, V х е п(0), к> 0, V > 1. (21)

Пусть Z(г) = (г 1(г),..., zn(г)) —фундаментальная матрица линейной системы

z(г + 1) = A(г)z(г).

Теорема 2. Если выполнено неравенство

1 (4—1 п \ 8ир Ит — ]Г1п|с1е^(Я|- Е >1,

о<к<п \ 3=о г=1,г=к

(22)

то решение х(г) = 0 системы (20) неустойчиво по Красовскому.

Следствие. Если система (20) является правильной, ее характеристические показатели конечны и старший характеристический показатель больше нуля, то решение х(г) = 0 системы (20) неустойчиво по Красовскому.

Доказательство. Воспользуемся методом триангуляции Перрона—Винограда. Сделаем, согласно (10), замену

х(г) = и (г)у(г)

в системе (20). Получим

у(г + 1) = в(г)у(г) + д(г,у(г)), (23)

где

в(г) = и (г + 1)-1А(г)и (г), д(г,у(г)) = и (г + 1)-1/(г, и (г)у(г)).

Согласно лемме 1 матрица В (г) является верхнетреугольной матрицей с диагональными элементами Ь33 (г), удовлетворяющими условию

Далее, введя обозначение

г-1

р п(г) = ^ Ьпп(к),

к=0

по лемме 4 получим

Не умоляя общности, для (22) можно считать, что супремум достигается при к = п. Тогда из соотношений (22) и (25) следует существование числа ¡л > 1 такого, что при достаточно больших г выполнена оценка

1п рп(г) > ¡11п г, ¡> 1. (26)

Для последнего уравнения системы (23)

у(г + 1)п = Ьпп (г)уп(г)+дп(г,у(г))

получим равенство

уп(г) = Рп(г) ^Рп(з + 1)-1дп(з,у(з))+ уп(0)^ . (27)

Предполагая выполненой оценку (19), из условия (21) и унитарности и(г) получим соотношение

\д(г,у(ь)\<кЕ"\у(0)\. Из оценки (26) следует существование числа р такого, что выполнено неравенство

г-1

]Гр п(з + 1)-1 <р.

3=0

Выберем начальные данные уо так, чтобы

уп(0) = \ у (0) \ = ё, и число ё удовлетворяло соотношениям

ркЯ"ёи <ё < е.

Из неравенства v > 1 следует существование необходимого S. Отсюда получим

t-1

-yn(0) < -pRSv <Y, Pn(j + 1)-1gn(j,y(j))- (28)

j=0

Используя (27) и оценку (28), получим соотношение

Um yn(t)=+m, t—

что противоречит предположению о выполнении неравенства (19). Следовательно, решение xt = 0 неустойчиво по Красовскому. ■

5. Дискретный аналог матричного уравнения Ляпунова

Рассмотрим дискретное уравнением

P(t)*H(t + 1)P(t) - H(t) = -G(t) (29)

относительно симметричной матрицы H(t). Здесь P(t) и G(t) —ограниченные n x n-матрицы, и

G(t)* = G(t).

Обозначим через X(t) фундаментальную матрицу системы

x(t + 1)=P (t)x(t). (30)

Если для некоторых постоянных а > 0, C > 0 и y > 0 справедлива оценка

X(s)X(t)-1|<Cexp[-a(s - t)+Yt], Vs > t > 0, (31)

то решением уравнения (29) будет матрица

ж

H (t) = Y,(X (s)X (t)-1)* G(s)(X (s)X (t)-1). (32)

s=t

Этот факт проверяется подстановкой (32) в уравнение (29) с привлечением тождества

X (t +1)-1P (t)= X (t)-1.

Сходимость суммы (32) следует из оценки (31). Кроме того, из оценки (31) следует неравенство

ж

IH(t) I < C2 sup IG(t) | V e2[-a(s-t)+Yt.

t>o V

Так как G(t) —ограничена, то существует число R > 0, для которого

IH(t)I<Re2Yt, Vt > 0. (33)

Наряду с оценкой (33) важную роль играет оценка снизу квадратичной формы z *H (t)z.

Лемма 5. Если для некоторого числа S > 0 выполнено неравенство

z*G(t)z > S\z\2, Vt > 0, Vz e Rn, (34)

то имеет место оценка

z*H(t)z > S\z\2, Vt > 0, Vz e Rn. (35)

Доказательство. Введем обозначение:

y(s)= X (s)X (t)-1z. В силу условия леммы y(s)*G(s)y(s) > 0 для всех s. Тогда

оо оо

z*H(t)z = £ y(s)*G(s)y(s) = z*G(t)z + J2 y(s)*G(s)y(s) > S\z\2.

s=t s=t+1

■

Заметим, что при y = 0 норма матрицы H(t) ограничена. Следствие. Пусть скалярное уравнение

y(t + 1) = q(t)y(t) (36)

имеет конечный характеристический показатель и положительный нижний характеристический показатель

1 t-1

р = Jmi_ — In | TT q(j)\ > 0. (37)

t j=o

Тогда существует положительная функция m(t) такая, что

q(t)m(t + 1)q(t) - m(t) = q(t)2m(t + 1)m(t) > 0, Vt > 0.

Доказательство. Запишем уравнение (36) в следующем виде: x(t + 1) = p(t)x(t), x(t) = y(t)-1, p(t) = q(t)-1. Тогда из (37) получим

t-1 t-1 X(x(t)) = ТЕГ-In\T[p(t)\ = - Jim тinITTq(j)\ = -p< 0.

t^oot t^oot

3 = 0 3 = 0

Заметим что для любого а e (o, р), для ß = р и некоторого y > 0 выполнены оценки (31), т.е. для любого числа е > 0 существует C > 0 такое, что

\x(t)x(r)-1 \ < Ce-(p-e)(t-T)+(г+£)т, t > т.

Здесь а = р — е, y = Г + е. Тогда для p(t) = q(t)-1 по лемме 5 существует решение уравнения Ляпунова h(t) со свойствами (33), (35), т.е.

\h(t)\ < Re2^, z*h(t)z >e\z\2. Ш

Заметим, что если 7 = 0, то \ш(г)\ —ограничена.

6. Неустойчивость по Ляпунову

Теорема 3. Пусть для некоторых чисел С > 0, в > 0, а1, .., ап-1, где в > а3 (3 1, ..,п — 1), выполнены следующее неравенства:

1) \г3(г)\<Сexp(а3(г — т))\г3(т)\ Vг,т: г > т > 0,

1 I \ п-1

2) -—-ЬЩ^АС?)! Vt, г: t > г > 0,

\3=т / 3 = 1

п г-1

3) если п> 2, то Ц \г3 (г)\< С П \ det А(з )\, Vг > 1.

3 = 1 3=0

Тогда решение х(г) = 0 системы (20) неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Используя метод триангуляции Перрона—Винограда сделаем в системе (20) замену

г (г) = и (г)ю(г)

и отделим последние уравнение. Получим систему из п — 1 уравнений:

ю(г + 1) = в(г)й(г), ю(г) € нп-1,

с фундаментальной матрицей

Ш(г)

Здесь

( ™1Л(г)

0

/ 1^+1)1

(г)

В(г)

тп-1,п-1(г)

\

V о

Из унитарности матрицы и (г) следует, что \г3 (г)\ = \ю3 (г)\. Тогда из условия 2 теоремы получим

\ю3 (г)\ < С exp(а3' (г — т ))\ю3 (т )\, Vг > т > 0, V3 = 1,...,п — 1.

Из условий 2 и 3 по лемме 4 вытекает оценка

п1

1(г)\

\уп(т)

3=1

(38)

(39)

Отсюда из условия 1 и леммы 3 получим существование положительного числа в такого, что выполнено неравенство

\уп(г)\ > уев(г-тV(т)\.

Для п = 2 эта оценка получается из (39) без условия 1.

(40)

ю

0

-1

V

Вернемся теперь к системе (20) и сделаем следующую замену:

x(t) = edtU (t)y(t). (41)

Здесь положительное число d удовлетворяет условию

а < d < в, (42)

где а = max aj. После замены (41) получим систему j=1, •••

y(t +1) = (B(t)e-d) y(t) + g(t, y(t)), (43)

где

g(t, y(t)) = e-d(t+1)U-1(t + 1)f (t, edtU(t)y(t)).

Из условия (21) следует, что для любого числа р существует окрестность Ф(0) точки y = 0 такая, что

\g(t,y)\<p\y\, Vt > 0, Vy е Ф(0). (44)

Обозначим через yk компоненты вектора y:

у = I Цп I , y =

/

1

\ Уп-1

Тогда для системы

у (г + 1) = (В(г)е—^ у(г) (45)

в силу соотношений (38) имеем оценку

\у(г)\<Сехр((а - d)(г - т))|у(т)|, Vг > т.

Следовательно, по лемме 5 существуют матрица Н(г), ограниченная на [0, и

положительные числа р1 и р2, для которых выполняются следующие соотношения

У* (В(г)*с—1Н(г + 1)В(г)е—<1 - Н(г)) у < -р1\у\2, (46)

у*н(г)у > р2\у\2, vг > 0, Vy е мп—1.

Для скалярного уравнения

|vn(г)|

в силу соотношений (40) имеем оценку

|уп(г)| > veS|3—d)(t—т)|уп(т)|, Vг > т.

Тогда по следствию из леммы 5 существуют ограниченная на [0, последовательность к(г) и положительные числа рз и р4, для которых верны следующие соотношения:

Кь) <-ра, Vь > 0, Vуп е м1. Покажем теперь, что функция

V (ь, У) = У*Н (ь)у + шупн(ь)уп

при достаточно большом числе ш будет функцией Ляпунова для системы (43), удовлетворяющей условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости. Обозначим

к (ь) = Б(ь)в-Л,

т =

| ^+1)

^п(ь) I

Тогда систему (22) можно записать в виде

у(ь + 1) = к (ь)у(ь) + д(ь)уп(ь) + д(ь, у(ь), уп(ь)), уп(ь + 1) = к(ь)уп(ь) + дп(ь,д(ь),уп(ь)),

где д(Ь) — некоторая ограниченная последовательность, д и дп таковы, что

( д(ь,у) д(ь,у) = I

V дп(ь,у)

Введем обозначения:

V 1(ь,у) = у*Н (ь)у,

V 2(ь,уп) = шН(г)уП. Тогда из оценок (46) и (47) следуют неравенства:

(48)

1(ь,д) < -Р11уI2 + д2нIупI2 + р2( I у | +1 уп\)2н+

+ 2Н [КдШуп + Кр(у + |yn|)|У| + дрШ + |уп|)|уп|],

AV2(t,yn) < -шрзЪ^2 + ш%2(|у| + |уп|)2 + 2кр(|у| + |уп|)|уп|],

где положительные величины Н,К,д,к,Н — супремумы по Ь соответствующих норм. Их конечность следует из ограниченности А(Ь), Н(Ь), к(Ь), д(Ь). Тогда найдется положительное число в такое, что

(Ь, у, уп) <-в(|У|2 + |уп|2).

Из этого неравенства и из соотношения (47) следует, что для функции V(Ь, у) выполнены все условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. Следовательно, нулевое решение у(Ь) = 0 неустойчиво по Ляпунову.

Поскольку ¿> 0 и и(Ь) —унитарная матрица, решение х(Ь) = 0 исходной системы также неустойчиво по Ляпунову.

Summary

N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov. Criteria of stability by the first approximation for discrete nonlinear systems.

The problem of instability by the first approximation for discrete systems is considered. Criteria of instability by the first approximation for flow of solution is extended to cascades. Criteria of instability by Lyapunov and Krasovskiy are are obtained.

Литература

1. Кузнецов Н. В., Леонов Г. А. Критерии устойчивости по первому приближению нелинейных дискретных систем // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. №1.

2. Леонов Г. А. Странные аттракторы и кассическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

3. Леонов Г. А. Критерии неустойчивости по первому приближению для нестационарных линеаризаций // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. №5. С. 858-871.

4. Леонов Г. А. Проблема обоснования первого приближения в теориии устойчивости движения // Успехи механики. 2003. №3. С. 3-35.

5. Леонов Г. А. Об устойчивости по первому приближению // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 69. Вып. 4. С. 548-555.

6. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. Mathematische Zeitschrift. 1930. Bd. 32, N5. P. 702-728.

7. Леонов Г. А. Об одной модификации контрпримера Перрона // Дифференциальные уравнения, 2003. Т. 39, №11. С. 1566-1567.

8. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. Минск, 2001, 400 с.

9. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I, II. М.: Наука, 1984.

10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва, 1967.

Статья поступила в редакцию 21 сентября 2004 г.