CC BY
54
В.В. Абрамов
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ МАЛЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При моделировании динамических режимов обычно используется следующая схема. Выделяется так называемое программное движение, являющееся моделью конкретного режима. Определяются условия устойчивости программного движения. Эти условия обеспечивают реализуемость или наблюдаемость соответствующего режима у моделируемой реальной системы. Обычно свойство устойчивости определяется по Ляпунову [1]. Однако в ряде случаев для моделей с параметрами свойство устойчивости можно определить менее жестко, с сохранением практического смысла.
дифференциальные уравнения, периодические решения, ветвление решений, устойчивость, оператор монодромии, устойчивость малых колебаний.
1. Введение
Рассмотрим следующий пример. Допустим, дано скалярное уравнение х = 82 а^) х - х3, в котором а(У): R ^ [Ь, с], Ь > 0. Так как по линейному приближению х > 8 2 Ьх при х > 0, то решение х = 0 данного уравнения неустойчиво по Ляпунову при 8 Ф 0 . Однако область отталкивания х е (—8^[с, 8|л/с) имеет бесконечно малый диаметр при 8 ^ 0 . Следовательно, решение х = 0 можно считать «практически» устойчивым.
Подобные примеры показывают целесообразность определения устойчивости по параметру [2]. Допустим, дана система
х = /(^ х, 8), (1.1)
для которой t е I, х е Rn, 8 е - малый параметр, х(^ 8), t е I - известное
решение (программное движение), в окрестности которого решения х(^ 8) сис-
темы (1.1) существуют, продолжаемы на I, однозначно определяются начальными значениями.
Определение 1.1. Решение х (^ 8) системы вида (1.1) е-устойчиво вправо (влево), если I - неограниченный сверху (снизу) промежуток, а для любых ^ е I, л > 0 существуют такое число 8 > 0 и множество Е с Rm, 0т е Е, что из условий
||х(^, 8) - х(^, 8)|| < 8, 8 еЕ, 181 < 8 (1.2)
при всех t > to (t < to) следует оценка возмущения
x(t, s) - x(t, s) < /и . (1.3)
По поводу связи свойств устойчивости по Ляпунову и устойчивости по определению 1.1 отметим следующее.
Теорема 1.1 [3]. Если решение x(t, 0m) системы (1.1) асимптотически устойчиво (неустойчиво) по Ляпунову, то решение x(t, s) устойчиво (неустойчиво) по определению 1.1.
В условиях теоремы 1.1 имеем «некритические» случаи при исследовании устойчивости по параметру (в приведенном выше примере при s = 0 асимптотическая устойчивость решения x = 0 следует из условия d(x2)/dt = -x4). «Критические» случаи возникают, если решение x(t, 0m) устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически. При этом наличие свойства устойчивости по параметру существенно зависит от характера изменения правой части системы (1.1) при e * 0m . Если решение x (t, s) устойчиво по определению 1.1, то, вообще говоря, оно неустойчиво по Ляпунову (пример такого рода, по сути, приведен выше). Именно в этом смысле свойство устойчивости по определению 1.1 является «менее жестким» и альтернативным по отношению к определению Ляпунова.
Вопрос об устойчивости по параметру тесно связан с вопросом о ветвлении решений.
Допустим, x(t, s) = x(t) - решение системы (1.1) при всех малых s (тривиальное решение), а x (t, s) * x (t), s eS , t e I - решение, ответвляющееся от
x(t) при s = 0m, то есть обладающее свойством lim x(t, s) = x(t) (в смысле
l|s| 1^0
равномерной сходимости по норме при t e I). Следовательно, при s = 0 m имеет место бифуркация x (t, s) от x (t).
Теорема 1.2. Свойство устойчивости по параметру наследуется решениями при их бифуркации.
Доказательство. Произвольно выберем и > 0 . По определению предела
существует такое ^ > 0, что из условия ЦеЦ < 61 следует неравенство ||x (t, s) - x (t)| < и/2, t e I. Если решение x (t) е-устойчиво вправо, то по определению 1.1 найдется 82 > 0, для которого из условий ||x(t0, s) - x(t0, s)|| < 82, |s| < 82 при всех t > t0 следует оценка ||x(t, s) - x (t, s)|| < и/2. Выбрав 8 = min{<51,82/2, u/2}, в силу неравенства треугольника получим:
1) из условий si < 8 ||x(t0, s) - x(t0, s)|| < 8, ||x(t0, s) - x(t0)| < 8, следует неравенство x(t0, s) - x(t0, s) < 28;
2) при всех t > t0 справедлива оценка х(/, 8) - х(/, 8) < л, значит решение х (^ 8) е-устойчиво вправо по определению 1.1, как и порождающее его решение х ^). Теорема доказана.
Определение 1.2. Решение х(t, 8) системы вида (1.1) условно е-устойчиво относительно множества О, если выполняются условия определения 1.1 и, кроме того, в условии (1.2) требуется х(^, 8) е О .
Теорема 1.3. Если при 8 = 0т имеет место бифуркация решения, то тривиальное решение условно устойчиво по определению 1.2.
Если взять О = {х : х = х (^, 8), to е I, ге^}, то справедливость данного утверждения очевидна.
В ряде случаев для множества начальных возмущений диаметр 8 не зависит от выбора начального момента 10 .
Определение 1.3. Решение х (^ 8) системы вида (1.1) равномерно е-устой-чиво вправо (влево), если I - неограниченный сверху (снизу) промежуток, а для любого л > 0 существуют такое число 8 > 0 и множество Ес ^ , что из условий (1.2) при всех ^ е I, t > to (t < to) следует оценка (1.3).
Условие (1.3) аналогично требованию определения устойчивости по Ляпунову, то есть предполагает, что программное и возмущенные движения имеют «близкие скорости». Использование подобного требования для определения устойчивости решения позволяет получить условие равномерной (относительно выбора начального момента) устойчивости. Подобно теореме 2.14 [4], справедливо утверждение.
Теорема 1.4. Для автономных и периодических по t систем из устойчивости решения по параметру следует его равномерная устойчивость.
Для систем указанных классов обратное утверждение очевидно. Теорема 1.4, по сути, следует из группового свойства динамической системы, определяемой автономной или периодической системой дифференциальных уравнений [5]. При этом без ограничения общности рассуждений, исследуя вопрос об е-устойчивости решения, можно считать, что ^ = 0 .
В монографии [6] изложены признаки устойчивости нулевого решения по параметру и по части переменных на бесконечном и асимптотически бесконечном (при 8 ^ 0 т) промежутках. Эти признаки установлены путем применения комбинации прямого метода Ляпунова и метода усреднения. Предполагалось, что при нулевом значении параметра известна функция Ляпунова, свойства которой обеспечивают устойчивость (но не асимптотическую) нулевого решения. Трудности практического применения такого подхода могут быть, по сути, теми же, что и трудности применения прямого метода Ляпунова, поскольку общих принципов построения функций Ляпунова нет.
Для исследования характера устойчивости по параметру нулевого решения возмущенной системы, соответствующей стационарному или периодиче-
скому решению автономной или периодической системы обыкновенных дифференциальных уравнений, представляется перспективным развитие подходов, основанных на анализе свойств оператора монодромии (оператора сдвига на период). Результаты, полученные таким путем, а также примыкающие к ним результаты по ветвлению малых периодических решений, излагаются далее.
2. Сведение задачи об устойчивости к оценке нормы оператора монодромии
Допустим, правая часть системы вида (1.1) является ю -периодической по t и достаточно гладкой по фазовой переменной х и по параметру 8. Предположим, что х(^а*, 8) - ю -периодическое (в частности, нулевое) решение такой системы, причем а* = а *(8) = х(0, а*, 8), 8еЕ (0т еЕ). Зависимость начального значения от параметра характерна для случаев ветвления решений.
Лемма 2.1. Решение х(^а*, 8) е-устойчиво вправо (влево) тогда и только
тогда, когда для любого л > 0 существует 8 > 0 , для которого из неравенств ||с|| < 8, 118 < 8 следует, что при всех k е N (- k е N) определено значение х^с, а * + с, 8) и справедлива оценка ||х^ю, а * +с, 8) - а * < л .
Доказательство. Необходимость данного утверждения очевидна, если учесть равномерный характер устойчивости (по теореме 1.4) и положить t = kс в условии (1.3).
Достаточность устанавливается по аналогии с доказательством леммы 9.1 [7]. Без ограничения общности рассуждений числа л и 8, определенные условием леммы, можно считать такими, что решение х^, х^ю, а * +с, 8), 8) продолжаемо, по крайней мере, на отрезок [0, ю] [8] при всех k е N, то есть продолжаемо вправо от t = ^, значит любое решение х(^ а * +с, 8) бесконечно продолжаемо вправо.
В силу непрерывности решений рассматриваемой системы от начальных значений и параметров для любого л > 0 число 8 > 0 , фигурирующее в условии леммы, можно считать подобранным так, что 8 < л и ||х(т, а * +с, 8) - х(т,а*, 8)|| < л при любых те [0, ю), если ||с|| < 8, ЦеЦ < 8 . Следовательно, в силу группового свойства динамической системы для произвольного t = kю+т, те [0, ю), k = ^/ю] и при всех с и 8, подчиненных неравенствам ||с|| < 8, ЦеЦ < 8 , получим оценку ||х(/, а * +с, 8) - х(/, а*, 8)|| = ||х(т, х(кю, а * +с, 8), 8) - х(т, а*, 8)|| < л. Итак, по определению 1.1 решение х(^а*, 8) е-устойчиво вправо. (В случае левосторонней устойчивости доказательство аналогично.) Лемма доказана.
Лемма 2.2. Если существует такое 3^ > 0, что при любом 3:0 < 3 < 3^ для всех c : Id < 3 и s : ||е| < 3 справедлива оценка ||x(a, a * +c, s) - a * < 3 (||x(-a, a * +c, s) - a * < 3 ), то решение x(t,a*, s) е-устойчиво вправо (влево).
В справедливости леммы 2.2 нетрудно убедиться, применив лемму 2.1 и метод математической индукции. Лемма 2.2 позволяет свести задачу об устойчивости к задаче локальной оценки оператора монодромии U (s)a : a ^ x(a, a, s), соответствующего рассматриваемой системе.
Лемма 2.3 [9]. Для a-периодической системы, обладающей свойством единственности, неподвижные точки оператора монодромии - это начальные значения периодических решений рассматриваемой системы.
Положим леммы 2.1-2.3 в основу дальнейших рассуждений.
Далее будем рассматривать a -периодическую непрерывную по t систему
вида
X = A(t ) x + g (t, x, s), (2.1)
в которой x e Rn, se Rm - малый параметр, g (t, x, s) - достаточно гладкая вектор-функция от ( x, s) в окрестности точки (0n, 0m ), g (t, 0n, s) = 0n, то есть система (2.1) имеет нулевое (тривиальное) решение при всех значениях s,
g x (t, 0n, 0m ) = 0nn (0n e Rn - нулевой вектор, 0nn - нулевая n x n -матрица).
Пусть X(t) - фундаментальная матрица системы x = A(t)x, X(0) = E . Обозначим X = X (a) матрицу монодромии (матрицу линейного приближения для оператора монодромии при s = 0m ).
В силу свойств системы (2.1) можно подобрать такое число 30 > 0, что любое ее решение x(t, a, s) будет определено и притом однозначно для всех t e [0, a], если ||a|| < 30, ЦеЦ < 30 [10]. При этом свойства системы (2.1) позволяют предположить, что с помощью формулы Тейлора в окрестности точки a = 0n, s = 0m для оператора монодромии получено представление вида
x(a, a, s) = X(a + d(a, s) + p(a, s) + ^(a, s)), (2.2)
в котором d (a, s) - известная вектор-форма, d (aa, fis) = ak fisd (a, s), k e N (далее будем предполагать, что k нечетно), s > 0, k + s > 1, а вектор-функции p(a, s), y/(a, s)) определены лишь условиями: lim a~(k+s)||p(aa, as)|| = 0,
a^ 0
lim p~s \\y(a, fis)|| = 0 (в смысле равномерной сходимости).
р^0 11 11
Обсудим возможность построения представления вида (2.2).
Решение системы (2.1) в окрестности точки (0n, 0m ) можно представить в виде
x(t, a, s) = X (t )a + y(t, a, s), (2.3)
t
где y(t, a, e) = X(t)jX_1(r)g(t, x(t , a, e), e)dT - решение системы
0
y = A(t)y + g(t, X(t)a + y, e) с начальным значением y(0, a, e) = 0n . При этом справедливо равенство y'a (t, 0n,0m) = 0nn .
Действительно, в силу дифференцируемости решения по начальным значениям матрица x'a (t, a, e) непрерывна в точке (0n, 0m). Поскольку x = 0n -решение системы (2.1), то x(t, 0n, e) = 0n в силу единственности решения с заданным начальным значением. Так как g'x(t,0n, 0m) = 0nn , то из равен-
t
ства y'a (t, a, e) = X (t) j X _1(t) g X (t, x (t, a, e), e) x'a (t, a, e) dT следует, что
0
y'a (t, 0 n , 0 m ) = 0 nn . При этом lim «“1 y'a (t, aa, ae) = 0 nn .
a^ 0
Допустим, в системе (2.1) g(t, x, e) = g1(t, x, e) + g2(t, x, e) + g3(t, x, e), g1(t, x, e) - вектор-форма, g1(t, ax, ße) = akßsg1(t, x, e), k e N, s > 0,
k + s > 1, lim a~(k+s ^|g 2( t, ax, ae )|| = 0, lim ß~ s||g3( t, x, ße )|| = 0. Если
a^0 ß^0
Ö Ö
jX_1(T)g1(T, X(T)a, e)dT # 0n, то полагаем: d(a, e) = jX 1(T)g1(T, X(T)a, e)dT,
00
Ö
p(a, e) =jX_1(t)(g1 (t, x(t,a,e), e) + g2 (t, x(t,a,e), e))dT - d(a,e), i//(a, e) =
0
Ö
= jX_1(T)g2(T, x(t, a, e), e)dT - d(a, e) - p(a, e) . Тогда равенство (2.2)
0
справедливо.
В силу представления (2.2) по свойствам матрицы X можно выделить критические случаи в задачах, связанных с оценкой нормы оператора монодро-мии. В этих случаях существенно используются свойства функции d (a, e).
С точки зрения вопроса о бифуркации периодического решения от положения равновесия x = 0n критическими считаются случаи, когда det [X - E ] = 0. Это условие необходимо для бифуркации [11].
С точки зрения вопроса об устойчивости критическими считаются случаи, когда спектральный радиус матрицы монодромии р( X) = 1. Действительно, при
р( X) < 1 (Р( X) > 1) решение x = 0n системы (2.1) асимптотически устойчиво вправо (влево) независимо от конкретного вида функции g(t, x, e), удовлетворяющей лишь условию g'x (t, 0n ,0m) = 0nn [12]. Тогда решение x = 0n е-устойчиво вправо (влево) по теореме 1.1, а малое периодическое решение е-устойчиво по теореме 1.2.
Таким образом, в обоих вопросах выделяется важный частный случай X = E, когда все решения системы x = A(t)x являются ö -периодическими.
3. Существование и устойчивость малого периодического решения в случае, когда матрица монодромии является единичной
Рассмотрим систему вида (2.1)
x = A(t)x + g1(t, x, e) + g2(t, x, e), (3.1)
в которой: X=E; g1(t, x, e) - вектор-форма от x и e , g1(t, ax, ae) = asg1(t, x, e),
a > 0, s > 1; lim a~s||g2(t, ax, ae)|| = 0.
a^0
Задача 3.1. Для функции g1(t,x,e) найти условия, при которых система
(3.1) имеет малое ö -периодическое решение вида
x(t, a*, e*), a* = a(a), e* = e(a), 0 < a < Д, lim a* = 0n, lim e* = 0m, (3.2)
a^0 a^0
и это решение устойчиво.
Для того чтобы охарактеризовать свойство устойчивости, используем модификацию определения 1.1.
Определение 3.1. Решение вида (3.2) системы (3.1) a -устойчиво вправо (влево), если для сколь угодно малого числа и > 0 существуют такие числа
ö1 > 0 , 82 > 0, что при всех u : ||u|| < ö1, a:0 < a< S2 и t > 0 (t < 0) справедлива оценка ||x(t, a * +u, e*) - x(t, a*, e*)|| < и .
Достаточное условие a -устойчивости аналогично лемме 2.2.
Лемма 3.1. Если существует такое Ö1 > 0, что при любом S : 0 < ö < Ö1 для всех с : ||с|| < S и a : a< S справедлива оценка ||x(ö, a * +c, e*) - a * < ö
(||x(-0, a * +c, e*) -a * < ö), то решение x(t,a*,e*) a -устойчиво вправо (влево).
Ö
Пусть d(a,e) = jX 1(T)g1(T,X(T)a,e)dT #0n . Тогда d(aa,ae) = asd(a,e).
0
Предположим,
Qd (a e )
3 (a0, e0), a0 Ф 0n : d(a0, e0) = 0n, rang 0 0 = n . (3.3)
ö(a, e)
Пусть некоторым образом представлено d(a,0m) = D(a)a, D(ßu) = ßsD(u), D(u) = [d;y (u )]n. Предположим,
k _________________________________________________
4dll (X) + ^ |dj (X) + d ^ (X)| <-ql < 0, VX: ||X|| = 1, Vl = 1, n (3.4)
j=1
или
k _________________________________________________
- 4dll (X) + ^ \dlj (X) + dfi (X)| <-q < 0, VX: ||X|| = 1, V/ = 1, n . (3.5)
j=1
Всюду далее ||c|| = ^(c, c), ||C||2 = д/p(cTC) - евклидовы нормы вектора c и матрицы C, символом ||*||^ будем обозначать векторную максимум-
норму и согласованную с ней строчную норму матрицы, символом ||*|| - произвольно выбранную норму.
Теорема 3.1. Если выполняются условия (3.3) и (3.4) (условия (3.3) и (3.5)), то система (3.1) имеет малое ненулевое а-устойчивое вправо (влево)
о -периодическое решение вида (3.2).
Доказательство. Согласно лемме 2.3, x(t, a*, s*) - о -периодическое решение системы (3.1), если пара (a*, s*) удовлетворяет условию, следующему из разложения (2.2),
х(о, a, s) - a = d(a, s) + p(a, s) = 0n, (3.6)
в котором lim a~sp(ax, as) = 0n .
a^ 0
Qd (a s )
Обозначим B =---------0’ 0 . В силу (3.3) возьмем a e Rn , s e Rm так, что-
ö(a, s)
бы B • colon(a, s) = B1V, где B1 - n x n -матрица, составленная из линейно независимых столбцов матрицы B, v e Rn - вектор, составленный из ненулевых элементов вектора (a, s). Допустим, в условии (3.6) a=a(a0 + a), s = a(s0 + s),
а > 0. Обозначим ip(a, v) = a~s p(a(a0 + a), a(s0 + s)) + d(a0 + a, s0 + s) - B1V. Тогда в силу условий lim i~~(a,0n) = 0n , lim \p'v(a,0n) = 0nn, получим непре-
a^ 0 a^ 0
рывную функцию y/(a,v)=j^0,v),a>-0 Учитывая условие (3.3), для определения v получим уравнение
B1V + w(a, v) = 0n . (3.7)
Так как det B1 Ф 0, то из теоремы о неявной функции [13] следует существование такого Д> 0, что уравнение (3.7) определяет однозначную функцию v = v(a), 0 < a<Д, lim v(a) = 0n . Зная v = v(a), составим векторы a = a (a)
a^ 0
и s = s(a), а затем и векторы a* = a(a0 + a (a)), s* = a(s0 + s(a)), 0 < a<Д . Полученная таким образом пара (a*, s*) удовлетворяет условию (3.6). Следова-
тельно, x(t, a*, s*) - малое со -периодическое решение вида (3.2). По условию
(3.3) ||ao|| > 0 . Без ограничения общности рассуждений можно считать число А таким, что ||ao|| > ||a" (а)|| при 0 < а<А, то есть а* Ф 0n при 0 < а<А . Поэтому x(t, a*, s*) - ненулевое решение системы (3.1).
Определим характер устойчивости решения x(t, a*, s*). Будем считать, что s* еЕ, Е = {s : s = s(a), 0 < а < А}, а* = a(s).
Пусть u1 = х(о, а * +u, s*) - а *. Это значение может быть определено при условии, что а и и достаточно малы. Дифференцируя решение по начальным значениям и параметру, представим произвольное возмущенное решение в виде x(t, а * +и, s*) = x(t, a*, s*) +X(t)u+y1 (t, и, a) +y2 (t, u, а), lim y1(t, u, а) = 0n,
а^0
lim y2(t, ßu, а) = 0n. По условию (3.6) x(o, a*, s*) = а *. Определим матрицу
ß^0
Д(а,u) условием d(аа0 + u^s^ = [D(u) + D1(a,u)]u, при этом limД(а,u) = 0nn.
a^0
Таким образом, возможно представление
= [E + D(u) + Gj(a, u) + G2(a, u)]u = Q(a, u)u,
(3.8)
здесь С1(а, u), G2^, u) - n x n -матрицы, lim С1(а, u) = 0nn, lim ß1 яС2(а, ßu) = 0nn.
а^0 ß^0
Предположим, выполнено условие (3.4).
Пусть u=ßЛ ß=|u|, ||^=1. Согласно равенству (3.8) и по свойствам нормы получим оценку ||u1| <( E + ßs- 1D(X) + ||G1 (а, u)|| + ||С2(а, u)||jß. Числа А1 > 0, р > 0 определим так, что ||2(а, u)||2 < 2 при всех а:0 < а<А1 и u :0 < ||u|| 2 < р. Из условия (3.4) следует E+ßs-1[D(Л)+ДЛ)| <1-ßs-1q, где q = min^,..., qn}. Возьмем любое q0:0<q0<q, подберем р:0<р<р таким образом, чтобы оценка ||[E+ßs-1DX)Y [E+ßs -1ДЛ)| w = E+ßs-1[Dr (Л) + D(Ä)]+ß2s-2[Dr (Л)ЦЛ)| <1-ßs-1q0
была верна при всех ß:0 < ß < Р1 и Л. Так как спектральный радиус любой квадратной матрицы не больше ее нормы (при произвольном выборе нормы) [14], то E + ßs-^(Л) < 1 - ßs- 1q0 при всех ß :0 < ß < Р1. Из условия
lim ß1-!<02(а, ßЛ) = 0nn следует, что существует Р2 : 0 < р2 < Р1, при котором
ß^0
IG2 (а, ^Л)||2
< ßs 1q0/2 для всех а:0 < а<А1 и ß:0 < ß< Р1. Из условия
lim G1^, u) = 0nn следует, что существует А 2:0 <А 2 <А1, при котором
а^ 0
IG1 (а, ßX)\\
< ßs 4/2 для всех а:0 < а<А 2 и ß: р1/2 < ß < р1. Положим,
S = min {p1, A2 }. Таким образом, |мЦ2 =||х(ю, a * +u, s*) -a * < S при любых a : 0 < a < S и ß :0 < ß < S, значит по лемме 3.1 решение x(t, a*, s*) a -устойчиво вправо.
Положим, выполнено условие (3.5). Так как X- j(t)f(t,X(t)a,s) - ю -перио-
-ю
дическая по t вектор-функция, то J X~ (г)f (г, X(r)a, s)dr = -d(a, s). Поэтому,
0
рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, получим, что решение x(t, a*, s*) a -устойчиво влево. Теорема доказана.
Замечание 3.1. Пара (a0, s0), фигурирующая в условии (3.3), определяет направление ветвления периодического решения вида (3.2), так как lim a * / a = a0, lim s * / a = s0 . В силу теоремы 1.3 из факта наличия такой пары
a^0 a^0
следует, что нулевое решение системы (3.1), по крайней мере, условно устойчиво относительно множества Q = {a: a = a* = a(a), 0 < a < A} по определению 1.3.
Замечание 3.2. Условие (3.4) ((3.5)) позволяет установить, что нулевое решение системы (3.1) асимптотически устойчиво вправо (влево) и, как следствие, s -устойчиво по теореме 1.1.
Пример 3.1. Пусть дана система дифференциальных уравнений вида (3.1)
fx = x2,
1 12 3 2 2 3 (3.9)
[х2 = -X2+CT(1-C0s2t)x2-^(sint)XjX2-kjX2-k2XjX2-k3Xj x2-k4Xj ,
в которой с > 0 и г - малые параметры, L > 0, M + L > 0, где M = 3k4 + k2, L = 3k1 + k3 .
Обозначим s = (s1,s2) = (л/с,г). Для системы (3.9):
( cos t sin t Л X (t) = I I, ю = 2л,
V- sin t cos tJ
d (a, e) = —
4
л ( 2s2 a1 - 2s2 a1a 2 -La3 + Ma 2 a 2 -La 1a 2 + Ma 3 ^
2s^a2 + s2 (aj2 - a2) - Ma 3 - La 2a2 - Ma 1a2 - La 2,
Пусть a0 = (1,1), s0 = (V L + M, 2M), h = (a0, s0) e ^4. Тогда d (a0, s0) = 02
L L - 2^L + M - 2
L 2L + M -UL + M 0
B1 = - л ( L 2| rangB = rangBi = 2,
2 V L 0
то есть выполнено условие (3.3). ,D(u) = (u2 + u2)( M M]^ |. Так как L > 0
Т 2 II II 2 2
и Б (Я) + Б(Я) = -2LE при всех Яе Л : ||Я||2 = VА + А, то выполняется условие (3.4).
Итак, по теореме 3.1 система (3.9) имеет малое ненулевое а -устойчивое вправо 2л -периодическое решение вида (3.2), в котором а* = (а(1 + а1(а)),а),
е* = (а4^+Ы, а(2М + ё"2(а))), а1(а) ^ 0 и е2(а) ^ 0 при а ^ 0.
В данном случае решение х = О2 системы (3.9) неустойчиво по Ляпунову вправо. Действительно, матрица монодромии при и > 0 имеет вид
1 + ли 12 + о ,(и) 0 ^ /ч, « /ч, «
п 1 , /т , г \ \, о,(и)/и ^ 0 и о2(и)/и ^ 0
0 1 + ли /2 + о2 (и ) 14 ’ 1У ’
при и ^ 0. Следовательно, при достаточно малых значениях и оба мультипликатора, а значит и спектральный радиус матрицы монодромии больше единицы.
Однако решение х = 02 а -устойчиво так же, как и малое периодическое решение с направлением ветвления (а0), е0). Таким образом, при достаточно малых и и г) все решения с близкими к нулю начальными значениями ограничены. Это обеспечивает «практическую» устойчивость решения х = 02.
4. Устойчивость тривиального решения в общем критическом по линейной части случае
В этом пункте будем рассматривать систему (2.1), предполагая, что возможно представление (2.2), причем р( X) = 1.
В отличие от теоремы 3.1 будем исследовать случай, когда используемое приближение оператора монодромии не позволяет сделать вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения.
Допустим, в равенстве (2.2) d(a,s) = f(a,s)+f(a,s), f(a,s)=(fx(a,s),.., fn(a,s)) и
составлены представления f (a, s) = rt(a, s)at + zt(a, s), i = 1, n , f(a,s)=F(a,s)a, f (a, s) = F(a, s)a . (Очевидно, при k > 1 может быть бесконечно много способов подобных представлений, поэтому условия следующего утверждения считаются выполненными, если они имеют место хотя бы при некоторых представлениях.) Теорема 4.1. Если существует значение s = s0, при котором для всех
Я е Rn, ||Я||^ = 1 выполняются условия:
1) XF (1, so)- F (Я, so) X - 0nn ;
2) Г (Я, so) + \zi (Я, so) < -bi < 0, i = 1, n ;
3) F(Я, s0) < b/h , b < b = min {bi}, h = ||X|| , то решение x = 0n систе-
II Нот 1<i <n “
мы (2.1) s-устойчиво.
Доказательство. Оценим спектральный радиус матрицы X[Е + F(а, е)]. Из условия 1) по индукции получим, что (ХЕ(а, е))1 — Х1Е1 (а, е) = 0пп для лю-
бого I е N . Обозначим символом Сг биномиальные коэффициенты. Используя формулу бинома, произведем оценку:
(Х[Е+Е(а, е)])г = Хг [Е+Е(а, е)]г +(х[Е+Е(а, е)])г —Хг [Е+Е(а, е)]г
<
Xr[E+E(a,s)]r 11+ (x[E+E(a,s)])r-Xr[E+ F(a,s)]r • Xr[E+E(a,s)]'
<
X'
Таким образом,
(X [E + E (a, s)])r
X'
E+E(a, e)|| .
(4.1)
Так как p(X) = 1, то, переходя в неравенстве (4.1) к пределу при r ^ +<х> с помощью формулы Гельфанда [15], получим оценку
p(X[E + F(a, s)]) < ||E + F(a, s)||. (4.2)
Пусть далее a = аЛ и s = /3s 0 , где 0<a<ab ||Л||^ = 1, 0 < ¡3 < З1 , ai и З1 достаточно малы, у = ak-1 . По условию 2) данной теоремы
||Л + yf (Л so )\\и = тах|Л + у (Л, so)|}< max {l +y(r (A,so)|ЛI + |z (A,so)|)}<
1<Z<n 1<Z< n III 1
< max {l - ybt} < 1 - yb. Так как Л + yf (Л, e0) = [E +yF(Л, s0 )]Я, то
1< i< n
||E + yE (Я, Єо)| „ =. max \\Л + yf (Я, Єо)|| „ < 1 - У .
ІІЛІІ =1
(4.3)
Из оценок (4.2) и (4.3) следует справедливость неравенства
р(Х[Е + F(а, є)])< 1 - уЬ . (4.4)
Произвольно выберем q: Ь/Ь < q < 1. В силу неравенства (4.4), леммы 5.6.10 [16] и непрерывности нормы существуют матричная норма ||*| 1 и числа а2 є (0, а1], Р2 є (0, ^1] такие, что
||Х [Е + F (а, є)]| 1 < 1 -ак-1 psqb (4.5)
при всех а = аЛ : а є (0, а2), ||Я|| 1 = 1 и є = /Зє0 : /3 є (0, З2). Заметим, что для
произвольного вектора с є Rn норму, согласованную с матричной нормой ||*| 1,
можно определить равенством ||с|^ = |^(с)|| где G(c) - п х п -матрица, все
столбцы которой равны с . По теореме 5.6.26 [17] без ограничения общности рассуждений можно считать, что ||В|| 1 < ||В||^ для любой матрицы В .
r
Обозначим b* = qb - b . Тогда в силу неравенства (4.5) и условия 3) при всех a = аЯ : ае (0, а2), ||Я|| 1 = 1 и s = ßs0 : ß е (0, ß2) имеем:
IX[E + F(a, s) + F(a, s)]|| <
11 и "1 (4 6)
<1 \X[E + F(a, s)]|l +1 |X|| F(a, s) < 1 - ak-1 ßsb *. '
II II1 N Иот|| Нот
В равенстве (2.2) произвольным образом представим: p(a, s) = P(a, s)a, /(a, s) = Y(a, s)a . Так как lim a-(k+s)||p(aa, as)|| = 0, то можно подобрать
а^0
число а3 е (0, min{a2, ß2}], для которого в силу аналитической эквивалентности матричных норм [18] при любых ае (0, а3) и ße (0, а3) справедливо неравенство
\\ХР(аЯ, ßsj,)! < а1с-1 ßs b 72 . (4.7)
Поскольку lim ß~s|/(a, ßs)|| = 0, то число ß3 e (0, а3] можно подобрать
ß^0
так, чтобы для всех а е 0^/(2^, а3) и ß е (0, ß3) было справедливо неравенство
\\Х¥(аЯ, ßsj,)! < аk-1 ßs b 72. (4.8)
Без ограничения общности рассуждений можно предполагать справедливость оценки ||f (a, s) + F(a, s) + P(a, s) + ^(a, s)|| < 2 для всех ае (0, а3/(2И))
и ß е (0, ß3).
В силу неравенств (4.6)-(4.8) и равенства (2.2) при ße (0, ß3) имеем: ||x(®, a, s)||1 < а\\Я\\] < а, если ае[а3/(2^, а3), и ||x(®, a, s)^ < 2hа||Я||1 < а3,
если а е (0, а3/(2^), то есть существуют такие а3 > 0 и ß3 > 0, что
||x(®, a, s)]^ < а3 (4.9)
для всех a = аЯ : ||a| 1 = а е (0, а3) и s = ßs0 : Це]] 1 е (0, ß3).
Итак, в силу неравенства (4.9) существуют такое число S = min{03, ß3} и множество Е = je е Rm : s = ßs0, ße R+}, что ||x(а, a, s)^ < S при всех a : ||a|| < S и s : s| < S , s е Е . Поэтому справедливость данной теоремы следует из леммы 2.2 (для этого достаточно взять a* = 0n ). Теорема доказана.
Пример 4.1. Пусть дана система дифференциальных уравнений вида (2.1)
12 12 13 3 / 1^\2 11 2^ 3 4/ ч 1 5
х1 = х2+2е1 Х1+3е2Х2+"4е1Х1 + (е1+ 15е2)х1 х2+у е1Х1 Х2+4е2х2+е3 (х1—х2) — 4x2,
1 2 , 3 ч 3,3 „ ч 2 _ 27 ч 2 17
х2 ——е2х2—(е1+— е2)х^—(— е1+9е2)х^х2+ (2е1----е3)х1 х2 +----е1х2+е1х2—х1,
(4.10)
2
2
4
2
4
в которой е — е, е2) - малый параметр.
Очевидно, нулевое решение системы (4.10) по линейному приближению неустойчиво по определению Ляпунова, если е Ф 02 . При е — 02 по линейному приближению имеет место критический случай пары нулевых характеристических корней.
Допустим, по условию задачи представляющее интерес направление изменения параметра задается вектором е0 — (—1, 1/3).
Можно считать, что а> — 1 - период по ^ правой части системы (4.10). Тогда Х — ^0 - матрица монодромии. Для нее р( Х) — 1.
В равенстве вида (2.2) для системы (4.10) вычислим d (а, е0) и выберем раз-
ложение d(а, е0) — /(а,е0) +f (а,е0), в котором /(а,е0) —
— 3а1 — 4а1 а
2 У
f (а,е0) —
---а, а 2-------а 2
8 1 2 30 2
13 1 2 13
— — а 1 + — а л а 2 — — а 2
2 1 4 1 2 6 2
Положим, f(а, е0)—Е(а, е0 )а —
^— 3а^ — 4а| 0
—а2 —Ъа1— 4а^ у
. Тогда матрицы Е(а,е0)
и Х коммутируют при всех значениях а , значит условие 1) теоремы 4.1 выполнено. Положим, f (а, е0) —
{ г1(а, е0 )а1 + ^1(а, е0) ^ {(—3а12 — 4а2 )а1 + (—а2 ^
VГ2(а, е0)а2 + Z2(a, е0)
0) У
(—3а1 — 4а2 )а2 + 0
При этом г1(Х, е0) + |г1(1, е0)| <—2 — — Ь1, г2(Х, е0) + |^2(Х, е0)| < —3 — —Ь2 для всех X: ||Х||^ — 1. Следовательно, условие 2) выполнено. Произвольно выберем допустимое разложение (а, е) — Е(а, е)а и получим оценку |1~(А, е0)|| <11 < Ь,
II Нот 12 Н
ИХ) — 1, Ь — 2, Н — 2, то есть выполнено условие 3).
Таким образом, нулевое решение системы (4.10) е -устойчиво по теореме 4.1.
Далее укажем частный случай линейного приближения системы (2.1), когда при решении вопроса об устойчивости по параметру можно обойтись без предположений 2)-3) о приближенном коммутировании матриц из теоремы 4.1.
1
7
Теорема 4.2. Пусть для системы (2.1) Х 1 — Хт. Если при некотором представлении d (а, е) — Е(а, е)а, Е(а, е) — [^ (а, е)] существует такое е — е0, ||£0|| — 1,
что при всех X е Rn, ИХ)2 — 1 выполняется условие строгого отрицательного диа-
П
гонального доминирования: 4^ (X, £0) + ^/ц (X, е0)+fji (X, е0) < —qi < 0,
У—1
i — 1,П , то решение х = 0П системы (2.1) е-устойчиво.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.1, произвольным образом выберем представления р(а, е) — Р(а, е)а, у/(а, е) —^(а, е)а . Положим, d(а, е) — Е(а, е)а .
Так как Х_1 — Хт , то |1х||2 — 1. Тогда из равенства (2.2) следует, что
||х(а, a, s))|2 < |E + F(a, s)||2 + ||o(a, s)||2 + ||^(a, s)||2 j|
112Л\aW 2.
(4.11)
Без ограничения общности рассуждений можно предполагать, что при
lall 2 < s , si < s
\\E + F(a, s)+0(a, s) + ^(a, s)||2 < 2 .
(4.12)
Будем считать, что a = аЯ, а > 0 , ||Я|| 2 = 1; seЕ = {s = ßs0, ß > 0}. По условию теоремы
[E + F(a, s)]T [E + F(a, s)J <
< E + аk-1ßsFT (Я, s0 ) + F^, s0 ) +{ак~1 ßs )ft (Я, s0 )F(Я, s0 ) < (4.13)
1 от от
< 1 - (ак-1ßs )q + (ак-1ßs J FT (Я, s0 )F(Я, s0 )
q = min |q;-}. Произвольным образом выберем q0 : 0<q0 <q. В силу оценки (4.13)
1</< n
подберем число Sp 0 < S1 < S так, чтобы при а < Sb ß < S1 было справедливо неравенство
[E + F(a, s)]T[E + F(a, s)J < 1 -(ак-1 ßs)q0. (4.14)
"Нот
Так как спектральный радиус матрицы - это нижняя грань множества ее норм [19], то из неравенства (4.14) имеем
p([E + F(a, s)]T [E + F(a, s)])< [E + F(a, s)]T[E + F(a, s)J < 1 -(ак-1ßs)q0 .
"Нот
Следовательно, существует b > 0 , при котором
||E + F(a, s)2 < 1 - («k-1 ßs) b
(4.15)
-(k-1+í)||
а^0
такое ^2 : 0 < 82 ^ 81, что
для всех а < 81 и ß < 81. Поскольку lim а (к 1+^^(аа, ає)|2 = 0, то существует
а^-0 2
\\P (а, е)|2 <(ak-1 ßs )b/2 (4.16)
при ||а|| < S2 и lei < S2 . Так как lim ß s||^(a, ße)|| = 0, то можно подобрать
ß^o 112
S3 : 0 < S3 < S2 , при котором из условий S2 /2 < ||а|| < S2 и ЦеЦ < S3 следует справедливость оценки
||^(а, е)|2 <(ak~1ßs)b/2. (4.17)
Итак, при S2 /2 < a< S2 и ß < S3 в силу неравенств (4.11), (4.15)—(4.17)
имеем
||х(ю, а, е)|2 < ||а||2 < S2 ; (4.18)
при a < S2 /2 и ß < S3 в силу неравенств (4.11) и (4.12) имеем
||х(ю, а, е)||2 < 2|ai2 < S2 . (4.19)
Из оценок (4.18) и (4.19) следует, что выполняется условие леммы 2.2, значит решение х = 0И системы (2.1) при сделанных предположениях е-устойчиво. Теорема доказана.
Пример 4.2. Исследуем локальный характер движений, определяемых моделью физического маятника X + sin х + p1 cos ßt sin х + p2 X = 0 [20], предполагая дополнительно наличие демпфера - специальной нелинейной составляющей силы сопротивления.
Рассмотрим в окрестности нулевого положения равновесия соответствующую систему вида (2.1)
X1 ="XV \ 2 я • 2 ,2 / ч (4.20)
х2 = х1 + (sin х1 - х1) + е1 cos ßt sin х1 + е2 х2 - ах1 х2 + у (х1 )х2,
в которой х1 - угол отклонения маятника от положения равновесия,
i
Т
ß=V,
(j+md2 2 rV 2 S . _
-------, s1 = pj =—, s2 = p2 = , (g - ускорение свободного
mag g y mag( j + ma2)
падения, j - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через
центр масс перпендикулярно плоскости колебаний, S - коэффициент вязкого
трения среды, в которой движется маятник, m - масса маятника, a - его длина,
r - амплитуда колебаний точки подвеса, v - частота колебаний точки подвеса),
слагаемое sj2 cos f3t sin Xi - движущая сила, связанная с колебаниями точки под-
веса; слагаемое е
2 x2 - dx1 x2 + y(xj )x2 - демпфер, параметр d > 0 условно
назо-
вем коэффициентом демпфирования, lim xj
Xi —>0
7(xi) = °.
Будем предполагать, что r и S могут быть выбраны произвольно малыми, то есть е = (ei, е2 ) - малый параметр. Кроме того, рассмотрим частный случай р = V5 .
Определим локальный характер движений в модели (4.20) в зависимости
от d.
Правая часть системы (4.20) по t имеет период со = 2ж/р . Следовательно,
cos с - sin с sin с cos с
сматриваемом случае р - иррациональное число, то det [X - E ]ф 0, значит любое решение x(t, a, е) системы (4.20) при достаточно малых ||a|| Ф 0 и ЦеЦ Ф 0 не является периодическим [21].
Матрица монодромии для системы (4.20) имеет вид T (е) = XQ(e) = X [E+В(е)],
при е = 02 матрица монодромии имеет вид X =
. Так как в рас-
e12cos ptsin tcos t + е| sin21 е| sin tcos t - e12cos ptsin21 e12cos pt cos2t + е| sin t cos t е\ cos2t - e12cos pt sin t cos t
В(е) = { Хт (t)
0
Так как р(т£))> 1 при малых £ Ф 02 , то решение х = 02 системы (4.20) неустойчиво по Ляпунову в линейном приближении [22].
а
В равенстве (2.2) для системы (4.20) положим d(a,£)=jХт(^(х(г)а, £^=
= F (a )a, где Fa) =
6 I3- dI2 ja12+ Í~2 ^1- dI0+2dI2 ^2
1
^3 ri
1
—/4-dI~i a +| 2dI+— I)-dI
3
2
2
2dI1- 212-dI3 ja12+(^- 610- dI1 ^ 2dI2-~213-dI4j^+f-611-dI2 Ia2
g (x.e) =
0
—x^ — dxj2 x2 6
Is =|cosstsin4 s tdt, s = 0,4. Вычисления показывают,
4 - s
что матрица F (а) на единичной окружности удовлетворяет условию теоремы 4.2, по крайней мере, при d > 0,094. (В частности, с помощью программы Mаthcаd при ИХ)2 = 1, d = 0,094 получены оценки: 2^ (я) + |У12 (я) + f21 (я) < -0,0002,
2 f22 (я)+| /12 (Я) + f2l (Я) <-0,015.) Следовательно, решение х = 02 системы (4.20) е-устойчиво.
Таким образом, при р = 45 и d > 0,094 в малой окрестности нулевого стационарного состояния модели (4.20) наблюдаются незатухающие и негармо-
с
нические колебания, если амплитуда колебаний точки подвеса и коэффициент вязкого трения достаточно малы.
5. Двусторонняя устойчивость тривиального решения
Рассмотрим систему вида (2.1), для которой X = E .
Допустим, для правой части возможны представления:
g(t, x,s) = di (t, x,s) + pi (t, x,s) + qt (t, x,s), i = 1,2, (5.1)
где di(t,x,s) - вектор-форма от x, s, di(t,ax,ßs) = Fi(a)Gi(ß)di(t,x,s),
Fi(a) = diag {aSi1,...,aSin J и Gi (ß) = diag {ßki1,..., ßkin J - n x n -матрицы, a > 0
и ß > 0 - любые числа, sii e N, sii + kj> 1, j = 1, n; lim Gi_1 (ß)p;-(t, x, ßs) = 0n,
ß^0
lim F 1(a)Gi_1(a)qi (t, ax, as) = 0n.
a^0
с
Обозначим Di (a, s)a = jX_1(r)di (т, X(r)a, s0)dr , i = 1,2, Di(a,s) -
0
n x n -матрица (такую матрицу можно выбрать неединственным образом).
Теорема 5.1. Пусть имеют место равенства (5.1) и при некотором s = s0 матрицы Di (a,s) можно подобрать так, что справедливы оценки ||E + yD1(l,s0)| < 1 - q1y , ||E - yD2(X,s0)|| < 1 - q2y при любом X: ||X|| = 1, qt > 0,
i = 1, 2, у > 0 . Тогда решение x = 0n системы (2.1) двусторонне s -устойчиво, то есть устойчиво и влево, и вправо.
Доказательство. Положим, a = aX , s = ß(s0 + у ), где a > 0, ß > 0 - малые параметры, ||X|| = 1. Ясно, что при достаточно малых a , ß и произвольно выбранных X, у определены значения x(-c,a,s) и x(c,a,s). В силу представления (5.1)
x(c, a, s) = [E + a_1F1(a)G1(ß)D1(X,s0 + y)]a + t//1(a, s) + p^a, s), (5.2)
С
где y1(a, s) +рДa, s) =j X _1(т) {g (т, x (т, a, s), s) -d 1(т, X (т)a, s) Jd т,
0
lim G1-1(ß)^1(a,ß(s0 +y)) = 0n, lim F1-1(a)^1(aX, s) = 0n . Кроме того,
ß^0 a^0
так как фундаментальная матрица X(t) системы x = ^(t)x является ю -перио-
-ю
дической, то jX_1(т)d2(т, X(т) a, s0)dт = -D2(a, s)a . Тогда
0
x(-c, a, s) = [E - a_1F2(a)G2(ß)D2(X,s0 + y)]a + ^2(a, s) + p2(a, s), (5.3)
y/2(a,s) +^2(a,s) =|X 1(r){g(r,x(r,a,s),s) -d2(т,X(r)a,s)]dr,
0
lim G2~\ß)?2(a, ß(£o +7)) = 0„, lim F2 -1 (a )^ 2 (aÄ , s ) = 0 и .
ß^0 a^ 0
Далее, оценивая нормы операторов (5.2) и (5.3) по аналогии с тем, как это было сделано в доказательствах теорем 4.1 и 4.2, и применяя лемму 2.2, нетрудно убедиться в справедливости данного утверждения. Теорема доказана.
В качестве примера применим теорему 5.1 к исследованию устойчивости малого периодического решения системы вида (2.1), в которой g(t, x,s) =
= g1(t, x, s) + g2(t, x, s), g1(t, x, s) - вектор-форма, g1(t,ax,as) = a3g1(t,x,s) (в принципе третий порядок взят лишь для определенности, важно, что порядок выше первого и нечетный), lim a~3g2 (t, ax, as) = 0n .
a^0
ю
Обозначим d(a, s) = jX_1(r)g1(r, X(r) a, s)dr.
0
Теорема 5.2. Пусть: 1) g(a0, s0) = 0n, a0 * 0n; 2) ||E-rD\\ <1 -417,
q1 > 0, 7 > 0, D = dg (a0, s<)) ; 3) E + yD (Я) < 1 - q27 , q2 > 0 , D (a)a = d (a, 0m) da
при любом Яе Rn : ||Я|| = 1. Тогда система (2.1) имеет малое ненулевое ю-
периодическое решение вида (3.2) и это решение двусторонне a -устойчиво.
Доказательство. Так как X = E, то критерий периодичности решения системы (2.1) имеет вид
ю
x(a, a, s) - a = jX_1 (r)g(r, x(r, a, s), s)dr = 0n . (5.4)
0
Подставим выражение (2.2) в равенство (5.4). Положим, a = a(a0 + a), s = a(s0 + s(a)), где a > 0 - малый параметр, s(a) - произвольно выбранная функция, удовлетворяющая условию lim s(a) = 0m . Разделим полученное ра-
a^0
венство на a3 . Учитывая условия 1), 2), для определения Я получим уравнение
Da + a_3^(ä, a) = 0n , в котором lim p_3^(ä, a) = 0n, lim рЪу'я (a, a) = 0nn,
p^0 p^0
p = ||Я|| + a. Определим функцию ty(a, a) = a~3p(a, a): <p(0n, 0m) = 0n ,
ф'я(0n, 0m) = 0nn. Итак, в достаточно малой окрестности точки (0n, 0m) условие
(5.4) можно представить в виде
Da + <р(Я, a) = 0n . (5.5)
Из условия 2) следует, что detD Ф 0 [23]. По теореме о неявной функции [24] уравнение (5.5) определяет однозначную функцию а (а), lim а (а) = 0n .
а^0
Таким образом, значения а = а* = а(а0 + а (а)) и s = s* = а(е0 + е(а)) удовлетворяют условию (5.5), причем а* Ф 0n при достаточно малых а и а* ^ 0n при s* ^ 0т , так как условия s* ^ 0т и а* ^ 0n можно считать равносильными. Следовательно, x(t, а*, s*) - малое ненулевое со -периодическое решение системы (2.1).
Определим характер устойчивости найденного решения. В системе (2.1) сделаем замену переменной x = x(t, а*, s*) + y . Получим возмущенную систему
y = A(t)y + p(t, у, а), (5.6)
(t \
где p(t, у, а) = а2X(t)
iX l(?)g'x(т, X(т) Ob s0)dT У + W(t, У, а)-> lim ß V(t, ßy, а) = 0„.
ß^-0
Однако возможно разложение p(t, y,d) = X(t)jX“1(r)g1(r, y,0m)dr+ (/^(t, y,d)+Y2(t, y,d),
0
lim ß~3y1(t, ßy, а) = 0n, lim y/2(t, y, а) = 0n . В силу условий 2), 3) и по теоре-
ß^0 а^0
ме 5.1 решение y = 0n системы (5.6) двусторонне а -устойчиво. Следовательно, и решение x(t, а*, s*) системы (2.1) двусторонне а-устойчиво. Теорема доказана.
Замечание 5.1. Из условия 2) теоремы 5.2 и леммы 9.2 [25] следует, что решение x(t, а*, s*) системы (2.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову влево, а значит и а-устойчиво влево по теореме 1.1. Теорема 5.2 останется в силе, если ее условия 2) и 3) заменить следующими:
2) ||e + jD|| < 1 - q1y , q1 > 0, у > 0; 3) E - yD (Л) < 1 - q2y , q2 > 0 при любом Ae Rn : ||A|| = 1.
6. Ветвление положительных решений и условная устойчивость
Вновь обратимся к вопросу о существовании малого периодического решения.
В этом пункте будем предполагать, что свойства системы (2.1) позволяют получить представление вида
с
|X_1(т)g(т, X(т)а, s)dt = f (а, s) + f (а, s), (6.1)
в котором f (a, s) - вектор-форма, f (aa, as) = ak f (a, s), k > 1,
lim a~k f (t, ax, as) = 0.
a^0
Для решения задачи о существовании малого периодического решения необходимо, чтобы имело место равенство det [X - E] = 0 [26] и существовал корень (a0, s0), a0 е ker[X - E] некоторой вектор-формы, которая непосредственно связана с f (a, s) [27]. Практическое отыскание таких корней - направлений ветвления решения - в общем случае затруднительно, поэтому целесообразно найти условия существования периодического решения, проверка которых не требует установления точных равенств. Такого рода признак изложен, например, в работе [28]. Он основан на построении канонической инвариантной области, граница которой определяется векторной функцией ляпуновского типа. В отличие от этого результата здесь условия накладываются на некоторую усредненную характеристику правой части рассматриваемой системы (2.1) -функцию f(a, s) .
к
fs (a, s) = V(a, s)a, где fs (aa, ßs) = a"
s=1
V(a, s) = = \yij (a, stf , fk (a, s) = D(a)a , D(a) = [dIJ (a)J*, fi(a, s) = S(s)a ,
S(s) = [sj (s)f . (Условия следующих далее утверждений следует считать выполненными, если они имеют место хотя бы при некоторых способах таких представлений из множества возможных.)
Обозначим конус неотрицательных векторов как K = {я е Rn: a > 0n } (неравенства для векторов здесь и далее имеют покоординатный смысл), соответственно границу и внутренняя часть K как Ж и int K ; K0 = K \ {0n};
K(8Х, S2) = K П (я е Rn: S1 < ||a|| < S2 }; K1 = K П (я е Rn: \\a\\ = l}.
Пусть f (a, s) = J fs (a, є) = V (a, s)a, где fs (aa, ßs) = as ßk s f (a, s),
В этом пункте будем предполагать, что ||х|| = ^|хг| - симплектическая
n
X,-
i=1
норма вектора х є Rn , а ||Х|| = тах V\хи\ - согласованная с ней (столбцевая)
1< і < п*=\
норма матрицы X = [х^- ]П .
Теорема 6.1. Пусть: 1) X = Е ; 2) viі (Я,е0) > с^ > 0 при некотором
£0 Ф 0т для всех і, і = 1, п , і Ф і и всех (Я,£0): Я є К 0,||(Я,£0)|| = 1;
п ____
3) 2dа (Я) + ^ ^у (Я)| <-d * < 0 при любых Я є К1 и і = 1, п ;
і = 1
4) 2к, <с0) + Х к, (е0 ) > к * > 0 , г = 1, п . Тогда система (2.1) имеет малое
г = 1
о -периодическое решение в конусе К.
Доказательство. 1. Из равенства (6.1) и условия 1) следует, что
х(о, а, е) = а + /(а, е) + <р(а, г), (6.2)
p(a, s)=fX !(т)^(г, х(т,a, s), s)dz-f (a, s), lima k||p(ax,as)|| = 0. Произвольно
J a^-0
0
выберем a e E0 и вектор s*, коллинеарный s0 . Допустим, a=||(a,s*) = |lall + Ils*,
(Л, s0) = a l(a, s*). Тогда х(ю, a, s*) = a\ß + ak V(Л, £0)]я + p(a, s*) =
n
= a • colon (Äj + a k 1 ^ Vj (Ä, s0 )Xj) +^(a, £*) . При достаточно малом a , оче-
j=1
видно, 1 + ak~1Vj (Ä, £0) > 1 для всех i = 1, n и (X,£0): ||(X,£0)|| = 1. Поэтому
2
1 n
х(ю, a, £*) > a • colon(— X + ak~1 ^c;jÄj) +<p(a, £*) в силу условия 2). Следова-
2 j=1 (i^ j)
тельно, существует c* e int K, для которого x(ю, a, s*) > 2akc * +^(a, £*). Так как lima _k|\y(aÄ, a£0)|| = 0, то можно подобрать число р > 0 , при котором
a^0
х(ю, a, £*) > akc* > 0n для всех a : 0 < a < р , то есть х(ю, a, £*) e int K .
2. Из условия 3) следует оценка
и и и iik-1
||£ + D(a)|| < 1- p\\a\\k 1, (6.3)
в которой p > 0, a e K00 и ||a|| достаточно мала. Действительно,
n k-1
¡E + D(a)|| = max {|1 + da (a)| + ^ dj (a) } = max {1 + ||a|| (2du (A) +
j=1
1 * j
1< j< n j=j 1< j<n
П \\k-1^
lia
+ "V \dij (A))} < max {1 -d*||a|| }, где Яе K1. Отсюда при p = min d * сле-
“l 1< j < И K j < «
дует оценка (6.3).
Равенство (6.2) запишем в виде
x(œ, a, s) = [E + D(a) + Ф1(а, s) + Ф2(a, s)]a , (6.4)
œ
где [Ф i(a, s) + Ф 2 (a, s) ]a =j X _1(t) g (t, x (t, a, s), s) dx-fk (a, s), причем
о
lim ||a|| 1-k|^(a, s)|| = 0, lim ||Ф2(a, s)|| = 0. Отсюда и из оценки (6.3) следует,
liai I—>0 si I—>0
что ||х(о, a, 0m)|| < (1 - p\\af 1 + ||Ф 1 (a,0 m )||)||a||. Подберем p1 : 0 <p1< p, при котором ||Ф i(a,s)|| < — ¡air 1 для всех a, s : ||a|| <p1, ||e|| < P1 . Тогда
||x(®, a, 0m )|| < (1-3 pair 1)|ai, значит x(w, a, 0m ) Ф a для любого a e K0,
||a| < P1, то есть решения x(t, a, 0m ) не являются о -периодическими.
il il P 11 nk_1
Подберем y1 : 0 < y1 < p1 так, чтобы неравенство ||Ф2(a, s)|| < — ||a|| выполнялось при всех a : 1 p1 < ||a| < p1, a e K0 и при всех s : 0 < |S| < у1. Тогда
||х(о, a, s)|| < (1_1 Piaf 1)|ai. (6.5)
Представим x(-о, a, s) в виде
x(-о, a, s) = [E - F (s) + ô1(a, s) + Q2 (a, s)]a , (6.6)
-о
где [<21(a, s) + g 2 (a, s) ]a = | X _1(t) g (t, x (t, a, s), s)Jr+f1(a, s), причем
0
lim к!1-k||ô1(a, s)| = 0, lim |Q2(a, s)| = 0 . С помощью условия 4) аналогично
su ^0 lau ^0
неравенству (6.3) можно получить оценку
\\E-S(s*)|| < 1- bßk-1, (6.7)
в которой b > 0 , s* = ßs0 , ß > 0 - достаточно мало. Найдем у2 : 0 < у2 < у1 так, чтобы Q 1( a , s*) || < b ß k 1 при всех ß :0 < ß < у2 и при всех a : 0 < |a ! < p1 . Тогда из неравенства (6.7) и условия (6.6) следует:
3
||х(-о, a, s*)|| < (1 - —bßk-1 + \Q2(a, s*))a||. Произвольным образом зафиксируем ß : 0 < ß < у2 . Найдем p2 : 0 < p2 < 1 p1, при котором Q2(a, s)|| < b ßk-1 для s = ßs00 и для всех a : 0 < ||a| < p2 . Отсюда следует, что
1 • Tk-ь
||x(-о, a, s)|| < (1-~bß 1)a||. (6.8)
Тогда в силу группового свойства решений периодической динамической системы и неравенства (6.8) для выбранного s найдется такое
S1 (s): 0 < S1 (s) < , что
||х(ю, a, ё)|| > 81(s), ||a|| = 81(s) . (6.9)
Из оценки (6.5) следует, что
||х(ю, a, ё)|| < S2(s), ||a|| = S2(s), a e K0 (6.10)
для некоторого S2(s): 1 р1 < S2(s) < р1.
3. Объединив оценки (6.9) и (6.10), а также выводы, полученные в первой части доказательства, приходим к следующему итогу. При каждом s = ßs0), 0 < ß < у 2 множество K0) имеет выпуклое замкнутое ограниченное подмножество Ks = K(S^s), S2(s)) *0 , на котором оператор монодромии U(s)a = х(ю, a, s) удовлетворяет условиям: а) U(s) eC(Ks), б) U(s):Ks —>intKS. Тогда по теореме Брауэра о неподвижной точке [29] существует значение a e int Ks , при котором U(s )a = a . Следовательно, система (2.1) имеет
о -периодическое решение х (t, a, s) , причем х (t, a, s) * 0 n , так как a > S1(s) > 0. Кроме того, это решение является малым. Действительно, зафиксируем некоторую последовательность (ss) векторов, коллинеарных вектору s0, lim ss = 0m , ||es|| < у2 для всех s e N. Согласно доказанному выше,
S ——+ОТ
каждому sS соответствует хотя бы одно со -периодическое решение х(^ as, sS) системы (2.1), причем as e int K, ||ä“s|| < S2(es) . Из оценки (6.5) следует, что возможен лишь случай lim ||S2 (ss )|| = 0 , то есть найденное выше периодиче-
S —— +ОТ
ское решение является малым. Теорема доказана.
Для проверки условий теоремы 6.1 введем определение.
Определение 6.1. Будем говорить, что матрица B = [by ]n получена из матрицы
A = [ai;- ]n ослаблением главной диагонали, и применять обозначение A У B ,
dd
если: 1) aubu > 0 , i = 1, n, 2) \aü | > \bü |, i = 1, n, 3) |aj | < |bj |, i, j = 1, n, i * j. Пример 6.1. Рассмотрим систему вида (2.1)
Гх = -хsint + s1 х + s2y-0,2e~cos{х2 -0,2e_sint%y-0,01e_sinty2, (6 11)
[y = y cos t + s3х + s4y - 0,01e_cos 1х2 - 0,2e_cos 1ху - 0,2e_sin ty2,
в которой s = (s1; s2; s3; s4) - малый параметр.
С одной стороны, простой подстановкой можно проверить, что система (6.11) имеет периодическое решение х = аесо% 1, у = аеап 1 (а > 0 - малый параметр) с направлением ветвления е0 = (0,4; 0,01; 0,4; 0,01) в пространстве параметров.
С другой стороны, для системы (6.11) выполняются условия теоремы 6.1. Действительно, в предыдущих обозначениях имеем:
( ес08 і—1
X (і )= f (а,є) = 2п
0 е
(
0
БІП І
л
Xі )=
(е1—С0Б г 0
Л
0е
— БІП І
, X(2ж)= Е, а =| у0 ,,
є1 х0 + є2 ек1 у0 -0,2е 1 х02 -0,2х0у0 -0,01е^1 у0
—1 —2 2 —1 2
є3е к2х0 + є4у0 — 0,01е к2х0 — 0,2е х0у0 — 0,2у0
Л
1 2п
где к,,к2 < 1,5661, к, =— Ге
2ж І
1 2п
к2 = — Г еС08 І—8ІП^ 2ж
= V (а, є)а, матрица выбрана
0
в виде V (а, е) = 2 ж
\
( є1 — 0,2 е 1 х 0 — 0,2 у 0 ек 1 (є 2 — 0,01 у 0)
к 2 (є з е _1 — 0,01 е ~2 х 0) є 4 — 0,2 е _1 х 0 — 0,2 у 0 у При такой форме представления для є = є0 и ||(Я, £0) = х0 + у0 + 0,82 = 1 получим:
у0 = 0,18 — х0, х0 є [0; 0,18], V(Я,є0) = 2ж
^0,2(2 — е хх0 —у0) 0,01ек1 (1 — у0) ^
0,01к2е_ 2 (е — х0) 0,2(2 — е~ хх0 — у0)
>
( 0,364 0,0082 ек 1 ^
>2п\ 002к е~2 0 364 I, то есть условие 2) теоремы 6.1 выполняется. При х0 > 0 , у0 > 0 , |Х| = х0+у0 = 1 имеем оценку: D (А) =
= 2ж
^0,2( е 1 х 0 + у 0) 0,01 ек 1 у 0 ^
0,01к 2 е ~2 х0 0,2(е _1 х0 + у 0)
^ D = —2ж
dd
0,2е 1
0,01ек
Л
0,01к 2 е ~2 0,2е _1
. Здесь
D - матрица с отрицательно доминирующей по столбцам главной диагональю. Следовательно, имеет место условие 3). И, наконец, для матрицы
о/ \ (0,4 0,01ек ^ .. . ,
Л(е0) = 2ж\ ^-1 п /| | выполняется условие 4) теоремы 6.1.
ч 0,01к2е _1 0,4
Таким образом, и по теореме 6.1 приходим к выводу, что система (6.11) имеет малое 2п-периодическое решение с положительными компонентами.
Теорема 6.2. Пусть: 1) X = Е ; 2) — viJ■ (Я,є0) > с^ > 0 при некотором є0 Ф 0т для всех і,і = 1, п , і Ф і и всех (Я,є0): Я є К0,||(Я,є0)|| = 1;
3) —2dа (Я) + ^ кіі (Я)| < — d * < 0 при любых Я є К1 и і = 1, п ;
і = 1
БІП І— СОБ І
4) -2sjj (eo) + X |sj Ы ^ s* > 0, i = 1, n. Тогда система (2.1) имеет малое по-
i = 1
ложительное о -периодическое решение.
Доказательство теоремы 6.2, по сути, аналогично доказательству теоремы 6.1. Разница лишь в том, что в данном случае в ходе доказательства устанавливается существование неподвижной точки оператора W(e)a = x(-о, a, e), причем этот оператор в силу условия 1) теоремы 6.2 и в силу периодичности системы (2.1) допускает представление W(e)a = a-f (a,e) + <~(a, e), где вектор-форма f (a, e) определяется равен-
-о
ством (6.1), а ~(a, e)= íX_1(r)g(T, x(r,a, e), e)dr + f (a, e), lima ~k\\~(ax, ae)| = 0 .
0 a^0
При установленных выше условиях существования периодического решения оказывается, что нулевое решение исследуемой системы устойчиво в смысле следующего определения.
Определение 6.2. Решение x = 0n системы вида (2.1) называется условно e-устойчивым вправо (влево), если для любого решения x(t, a, e) и любого числа и > 0 существуют такие число 8 > 0 и множество M х Е , (0n ,0m) е M х Е, что при всех (a, e) еM хЕ , ||(a, e)|| < 8 и при всех t > 0 (t < 0) справедлива оценка ||x(t, a, e)|| < и .
Лемма 6.1. Пусть для любого и > 0 существуют такие 8 > 0 и множество M хЕ ((0 n ,0 m) е M хЕ ), что при всех (a, e) е M х Е , ||(a, e)|| < 8 и s е Z определено значение x(so, a, e) и верна оценка ||x(so, a, e)|| < и . Тогда решение x = 0n системы (2.1) двусторонне условно e-устойчиво.
Это утверждение по способу доказательства аналогично лемме 2.1.
Следствие 6.1. Если выполняются условия 1) и 4) теоремы 6.1 (теоремы
6.2), то решение x = 0n системы (2.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову влево (вправо).
Доказательство. Допустим, выполняются условия 1) и 4) теоремы 6.1 (второй случай рассматривается аналогично). Произвольным образом выберем e = (3e0), 0 < 3 < у2 (число у2 было выбрано во второй части доказательства теоремы 6.1). Тогда для матрицы монодромии E - S(e) = x'a (-о, 0n, e ) справедлива оценка (6.7). Следовательно, по лемме 9.2 [30] решение x = 0n системы
(2.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову влево. Что требовалось установить.
Следствие 6.2. Если выполняются условия 1), 2), 3) теоремы 6.1 (теоремы
6.2), то решение x = 0n системы (2.1) условно e-устойчиво вправо (влево).
Доказательство. Допустим, выполняются условия 1), 2), 3) теоремы 6.1 (второй случай рассматривается аналогично). В первой части доказательства
теоремы 6.1 установлено, что x(c, a, s*) е int K для всех значений a е К0 и всех s*, коллинеарных So, если ||(а, s*)|| < р, то есть конус K локально положительно инвариантен для оператора монодромии. Рассуждая, как и во второй части доказательства теоремы 6.1, произвольным образом выберем /и : 0 < /и < рх
и найдем для него у1 : 0 < у1 < р1 так, чтобы при всех а : и/2 < ||а|| < и , а е К0 и при всех s = s* : 0 < ||s * < Y\ выполнялось неравенство (6.5). Без ограничения общности рассуждений можно считать, что ||x(®, а, s*)|| < 2||а|| при ||а|| < и/2. Тогда для любых а : ||а|| < и, а е К0 и s* : 0 < ||s * < у1 верно неравенство ||x(®, а, s*)|| < ц. Положив 8 = min{u, у1], M = K, Е = {s е Rm: s = s*} (впрочем, в качестве Е можно рассматривать и конус с вершиной в точке 0m, с осью, направленной вдоль s0 и с достаточно малым телесным углом), по индукции получим, что выполняются условия леммы 6.1. Таким образом, следствие 6.2 верно.
Объединив следствия 6.1 и 6.2, получим утверждение.
Следствие 6.3. Если выполняются условия теоремы 6.1 или теоремы 6.2, то решение x = 0n системы (2.1) двусторонне условно е-устойчиво.
Очевидно следующее утверждение.
Лемма 6.2. Если решение x = 0n системы (2.1) условно е-устойчиво, то и любое малое периодическое решение x(t, а, s) системы (2.1), то есть ненулевое периодическое решение, обладающее свойством lim x(t, а, s) = 0, условно
11*11 ^0
е-устойчиво.
Аналогичное лемме 6.1 утверждение можно сформулировать и для свойства двусторонней устойчивости по параметру. Таким образом, с помощью следствия 6.3 и леммы 6.3 получим утверждение.
Теорема 6.3. Если выполняются условия теоремы 6.1 или теоремы 6.2, то система (2.1) имеет малое положительное с -периодическое решение, которое двусторонне условно е-устойчиво.
1. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М. : Мир, 1980.
2. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. М. : Наука, 1986.
3. Там же.
4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.
5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949 ; Зубов В.И. Теория колебаний. М. : Высшая школа, 1979.
6. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости.
7. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1966.
8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Высшая школа, 1991.
9. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.
10. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. С. 131.
11. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.
12. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости ; Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений ; Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966.
13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977.
14. Хорн Р.А., Джонсон Ч.Р. Матричный анализ. М. : Мир, 1989.
15. Там же. С. 362.
16. Там же. С. 359.
17. Там же. С. 369.
18. Там же. С. 365-366.
19. Там же.
20. Морозов А.Д. К задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59. Вып. 4.
21. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.
22. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.
23. Хорн Р.А., Джонсон Ч.Р. Матричный анализ.
24. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.
25. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.
26. Там же. С. 175.
27. Там же. С. 263-264.
28. Там же. С. 45, 47.
29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.
30. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. : Высшая школа, 1991.
2. Зубов, В.И. Теория колебаний. - М. : Высшая школа, 1979.
3. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М. : Наука, 1977.
4. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений. - М. : Наука, 1966.
5. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения. - М. : Наука, 1966.
6. Морозов, А.Д. К задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59. - Вып. 4. - С. 590-598.
7. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыц-кий, В.В. Степанов. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949.
8. Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. - М. : Мир, 1980.
9. Хапаев, М.М. Усреднение в теории устойчивости. - М. : Наука, 1986.
10. Хорн, Р.А. Матричный анализ / Р.А. Хорн, Ч.Р. Джонсон. - М. : Мир, 1989.
