УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНЫХ РЕЖИМОВ ИДЕАЛЬНОГО ДИЭЛЕКТРИКА В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО КОНДЕНСАТОРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Серия: Физика Вып. 1 (26)

УДК 532.5

Устойчивость электроконвективных режимов идеального диэлектрика в высокочастотном электрическом поле горизонтального конденсатора

В. А. Ильин, Е. В. Трофимова

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: ilin1@psu.ru

Изучено поведение диэлектрической жидкости в высокочастотном переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Получена трёхмодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика для граничных условий, соответствующих условию прилипания на твердых границах. Проведён линейный анализ устойчивости равновесия и стационарной конвекции жидкости. Построены границы монотонной неустойчивости равновесия и колебательной неустойчивости стационарного течения.

Ключевые слова: электроконвекция; идеальный диэлектрик

1. Введение

Движения диэлектрических жидкостей в электрическом поле вызывают интерес, поскольку представляют собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкой среды [1-5]. Переменные электрические поля в зависимости от амплитуды и частоты могут сильно изменить пороги конвективной неустойчивости, повлиять на нелинейные течения и обеспечить эффективный способ управления конвекцией в различных технологических ситуациях [6-8].

Электрическое поле может оказывать влияние на движение жидкости благодаря действию специфических электроконвективных механизмов заря-дообразования, связанных с различными способами возникновения заряда в жидкости [1, 2]. В данной работе рассматривается диэлектрофоретиче-ский механизм, вызванный зависимостью диэлектрической проницаемости жидкости от температуры.

В идеальных диэлектриках проводимость среды ст считается равной нулю, свободные объёмные заряды отсутствуют. Предполагается, что образование объёмного заряда происходит благодаря неоднородности поляризации среды. Известно, что в линейной задаче об устойчивости идеального диэлектрика колебательные возмущения отсутствуют

- порог конвекции связан с монотонной модой [2]. Характер ветвления слабонелинейных режимов идеального жидкого диэлектрика в постоянном электрическом поле мягкий [9]. В переменном поле неустойчивость связана с параметрическим возбуждением конвекции [10].

Нелинейные режимы электроконвекции слабо-проводящей жидкости исследованы в работе [11] на основе восьмимодовой модели в случае конечного времени релаксации заряда в постоянном электрическом поле горизонтального слоя со свободными границами. Аналогичная задача в переменном электрическом поле исследована в работе [12].

Электрическое поле можно рассматривать как высокочастотное, когда период его колебаний меньше всех характерных времен, возникающих при описании жидкости. Задачу в высокочастотном поле интересно рассматривать, потому что быстропеременные воздействия на физические системы приводят к новым физическим явлениям. Например, маятник с нижней точкой подвеса становится устойчивым при высокочастотных вибрациях [13].

Влияние высокочастотных вибраций на режимы тепловой конвекции исследованы в работе [14]. В ней получена и исследована трёхмодовая модель тепловой конвекции жидкости при высокочастотных вибрациях.

© Ильин В. А., Трофимова Е. В., 2014

В работе [15] исследована электроконвекция слабопроводящей жидкости в высокочастотном переменном электрическом поле на основе пяти-модовой модели, полученной из модели, описанной в [11], для случая мгновенной релаксации заряда.

В работе [7] на основе трёхмодовой модели исследованы нелинейные режимы электроконвекции идеального диэлектрика, находящегося в переменном электрическом поле горизонтального слоя со свободными границами.

В работе [16] для граничных условий, соответствующих условию прилипания на твердых границах, получена и частично исследована модель электроконвекции идеального диэлектрика в переменном электрическом поле горизонтального слоя с произвольными значениями амплитуды и частоты. В настоящей работе на её основе получена трёхмодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика в высокочастотном переменном электрическом поле и проведено исследование линейной устойчивости её решений.

2. Постановка задачи

Рассмотрим плоский горизонтальный слой (рис. 1) вязкой идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости, находящейся в переменном вертикальном электрическом поле Е , и поле силы тяжести g. Ось х располагается в середине слоя и направлена вдоль границ, ось г перпендикулярна границам.

T = 0 h/2

g

T= & —h/2

p = 0

t A = -VT0

\ E = —V p

p = Ucos(at)

p(h /2) = 0, потенциал нижней - изменяется со временем по гармоническому закону: p(—h /2) = U cos (at). Здесь U — амплитуда напряжения, a = 2ж/tf — частота, ty — период модуляции.

В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде [17]

fe = р. E — 2 * > * + 2 V[p| *'

(1)

где ре - свободный заряд единицы объема, е, р

- диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Первая (кулоновская) часть силы (1) в идеальных диэлектриках отсутствует, так как её наличие обусловлено свободным электрическим зарядом, которого нет. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье-Стокса. Движение может вызвать только вторая (диэлектрофо-ретическая) часть силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим поведение идеального диэлектрика в переменном электрическом поле, используя электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты считаются пренебрежимо малыми по сравнению с электрическими [1]. Кроме того, предположим, что максимальная разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения и*, начиная с которого существенно влияние инжекции на движение жидкости. В уравнении теплопроводности пренебрежем вязкой диссипацией и джоулевым разогревом. Тогда система уравнений электроконвекции жидкого диэлектрика запишется в виде

' ду \ 1 2

р| — + (уУ) V = -Ур + ]Ду + рg - — Е Уе ,

дТ

-+ (vV)T = %AT , divv = 0,

dt

div(eE) = 0, E = —Vp , P = Po (1 — PT) , е = ^0 (1 — PET),

(2)

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора расположены при г = - И/2, И/2 (И -толщина слоя) и нагреты до разной температуры Т(-ИИ) = ©, Т(ИИ) = 0. Здесь Т - температура, отсчитываемая от некоторого среднего значения, © -характерная разность температур, А = -УТ0 - градиент температуры в состоянии равновесия. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. Потенциал поля верхней границы равен нулю:

где у , р, Т - поля скорости, давления и температуры соответственно, т - динамическая вязкость, X, Р, Ре - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости. Как правило, Р, Ре ~ 10-2 ^ 10-4 град1.

Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - [/] = р0Н2 / т, расстояния - [г] = И, скорости - [ у ] = %/И, температуры -[Т] = ©, потенциала - [ф] = иРе© , давления -[Р] = ТХ/И2, частоты - [а] = т/р0 И2 .

z

0

x

Представим поля скорости, температуры, давления, потенциала и напряженности в виде V,

Т = То + 3, р = ро + р', Р = Ро + р', Е = Ео + Е . Здесь стационарные решения обозначены нулевым индексом (они нас особо не интересуют); штрихи означают отклонения величин от равновесных значений (затем штрихи опускаем). Запишем систему уравнений электроконвекции идеальных жидких диэлектриков в безразмерном виде:

+ ^ (W) v = —Vp + (

dv dt Pr

Ra+Rac cos2

(at ))9y -

„ , -.dy +RaS cos (at) — y + Av , S v ' dzr

dS

д&

Ay +— cos (at) = 0, divv = 0. (3)

dz

Здесь y - единичный вектор, направленный по вертикали вверх. Введены безразмерные параметры - число Прандтля Pr, тепловое число Рэлея Ra, электрическое число Рэлея Rae :

Pr =

Ш

Ra =

Ро gP®h3

хро ш

T2¡ „

Rae =

SpU2 (д.©)2 ш

(4)

z = +1/2: w = w' = S = y = 0.

(5)

Задача (3), (5) изотропна в плоскости слоя, поэтому ограничимся рассмотрением плоских возмущений V = {и ,0, w) и д/ду = 0.

3. Трёхмодовая модель

электротермической конвекции идеального диэлектрика

Введём функцию тока для скорости

w =

dy dx

u = —

dy ~dz

(6)

В терминах функции тока уравнения, описывающие электротермическую конвекцию идеального жидкого диэлектрика, примут вид:

d , 1 (dy d , dy d , j „ dS

— Ду + — I —--Ay—---Ay = Ra — +

dt Pr I dx dz dz dx J dx

+Rac

fd3 2 d2m Л

—cos at ---— cos at

dx dzdx

+ A2y,

dS dy dS dy dS „ dy Pr — +—---—— = AS+ T

dt dx dz dz dx dS

Ay---cosat = 0 .

dz

—, (7)

dx

Граничные условия перепишутся:

z = +1/2: y = y = S = y = 0 .

(8)

Для решения системы уравнений (7) используем метод Галеркина и следующие аппроксимации полей, удовлетворяющие граничным условиям:

(9)

Число Прандтля характеризует отношение времен затухания тепловых и вязких возмущений. Из определения (4) следует, что электрическое число Рэлея не зависит от направления градиента температуры.

Рассмотрим случай, когда на недеформируе-мых твёрдых, изотермических границах слоя потенциал обращается в нуль (штрихом обозначена производная по г):

y = A (t) sin kx (I — z2 j , S = B (t) cos kx |1 — z2 j + C (t)(1 — z2 j z, y = D (t) cos kx |1 — z2 j z + E (t 1 — z2 j ,

где к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя, A, B, C, D, E - амплитуды, зависящие от времени. Вторые слагаемые в аппроксимациях необходимы, чтобы учесть нелинейность системы (7).

Подставляя разложения (9) в систему (7), после ортогонализации получаем систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд A, B, C и алгебраические выражения для амплитуд D, E:

QA ~dt

12 + n2k 1260

2/2 Л

24n2k2 + n4k4 + 504 1260

Л

A +

+ —nk (Ra + Ra, cos2 at) B + Ra Dnk cos at, 280 V e / 420 e

-nkA — (n2k2 +10)B — — nkAC, L V / 9Я

в dB 3 Pr— = -dt 14

dC 1

Pr — = —42C + - nkAB, dt 2

14B cosat 1

D = —-,-r , E =— Ccosat. (10)

72k2+42)' 20 ( )

Исключим амплитуду D и перемасштабируем все переменные:

k ^nk , [/] ^

Pr

[ A ] ^

14 (10 + n2k2

10 + n2k2

t,

nk

^*, [b ] ^ Ф-

[C] ^ 6Z ,

(11)

4

J

\

J

после чего получим трёхмодовую модель электротермической конвекции (точка над переменными -производная по 0:

X = -q Pr X + Pr (г + е cos2 2 т> t)Y Y = -Y +X-XZ, Z = -bZ+XY .

(12)

Здесь вместо циклической частоты использована линейная частота ю = 2— и введены новые параметры:

к 42 b =-—, q =

(24ж2к2 + ж4к4 + 504)

10 + ж2к2 ' (10 + ж2к2)(12 + ж2к2)' Ra RaP

r =-, e — -

Ra0 Rae0

(13)

28(10 + ж2к 2)2(12 + ж2к2)

Ran =

27ж2к

2,2

Rae0 =

28(ж2к2 + 42)(10 + ж2к 2)2(12 + ж2к2) ж2к 2(27(ж2к2 + 42) - 252)

X — Xq + x,

Y — y0 + У, Z — z0 + z.

(14)

Подставляем эти решения в (12), усредняем по времени, учитывая, что средние значения быстро меняющихся слагаемых равны нулю, а средние значения от медленных частей равны им самим. В результате получаем систему уравнений для осредненных величин:

х0 = -qPrx0 +Pr г

+e) У0+Prei^ y cos2®0'

y0 = У 0 + X0 X0z0 (xz), z0 =-bz0 + x0 У0 + (xy).

(15)

Среднее значение по времени некоторой величины А определяется по следующему правилу:

1 Т 2л

(Л) = — |ЛЛ, где Т = —— - период колебания

где Ь и q - геометрические параметры, г и е -нормированные тепловое и электрическое числа Рэлея; Rao, Raе0 - критические числа, при которых начинается термогравитационная или диэлек-трофоретическая конвекция соответственно. Из определения электрического числа следует, что е -всегда положительно (е > 0).

Динамическая система (12) является обобщением маломодовой модели Лоренца [18] на случай электроконвекции в переменном электрическом поле. Некоторые результаты нелинейного анализа этой модели представлены в [16]. Данная модель аналогична модели электроконвекции для свободных граничных условий [6, 7]. Эти модели отличаются только коэффициентами (13).

Целью настоящей работы являлось получение и исследование модели электроконвекции в высокочастотном электрическом поле.

4. Модель электроконвекции идеального диэлектрика в высокочастотном электрическом поле

Рассмотрим модель электроконвекции (12) в высокочастотном приближении, когда период колебаний поля много меньше всех характерных времен движения жидкости. Подобное исследование тепловой конвекции при высоких частотах вибрации и электроконвекции в высокочастотном приближении проведено в работах [7, 14, 15].

Решение системы уравнений (12) представляем в виде суммы медленно (х0,у0,z0) и быстро меняющихся со временем слагаемых (х, у, ¿):

0

внешнего поля.

Запишем уравнения для быстро меняющихся слагаемых:

( О 1

х = ^Ргх + Рг1 г+ — !>> + —Ргеу0со52®/,

y = -y + x-x0z-xz0,

(16)

¿ = -Ъг + х0у + ху0.

Слагаемые (^Рг х), (-у), (-bz) дадут «затухающий» со временем вклад в решение. Быстро меняющиеся переменные малы по сравнению с медленно меняющимися величинами, производные по времени пропорциональны частоте, которая считается большой. Учитывая это, мы пренебрега-

ем слагаемым Рг | г + — ^ у по сравнению с другими

в первом уравнении системы (16). Из этого уравнения следует, что х будет иметь первый порядок малости по обратной частоте. Из вида остальных уравнений видно, что у и г будут иметь второй порядок малости. Тогда получается, что х0 z мало по сравнению с другими слагаемыми во втором уравнении, а х0у - в третьем. В итоге получаем систему уравнений:

1

х = — Pr у0е cos 2 cot,

¿ = x(l-z0), z = xy0.

Решения этой системы имеют вид:

X — — Pr y0 e sin 2wt, 4а

y =--2 Pr yoe(1 - zo)cos2®t, (18)

8®2

1 ?

z =--- Pr y0e cos 2®t.

8®

Найденные решения (18) подставляем в систему уравнений (15) и получаем систему уравнений, описывающих осредненное движение идеальной диэлектрической жидкости в высокочастотном пределе (нулевые индексы опущены, а переменные переписаны через прописные буквы):

X = -q Pr X + Pr re7(l - reD) + Pr re2D YZ,

Y = -Y + X-XZ, (19)

Z = -bZ + XY,

где re = r +

а D = -

Pre2

2' 8(2r + e)2®2

> 0 - новый па-

Ax + qPr x - Prre(1 - reD) y = 0,

Ay + y - x = 0.

(21)

равенство её определителя нулю. Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение:

Л2+Л(1 + Рг (0 + Рг(д - ге + Бге2) = 0, имеющее

следующие корни:

-(1 + Prq)

A,2 =-;-±

7(1 + Prq)2 - 4Pr(q - re + Dre2) .

(22)

2

Если X < 0, то возмущения затухают, стационарное состояние устойчиво. Если X > 0, то возмущения возрастают, равновесие становится неустойчивым. Для X = 0 получим уравнение нейтральной кривой

d=I - q

2 '

(23)

раметр. Он характеризует переменное электрическое поле. Этот параметр аналогичен параметру, использованному в работах [7, 14, 15]. Он всегда положителен. Его будем называть параметром высокочастотного электрического поля.

5. Линейный анализ устойчивости модели в высокочастотном пределе

В случае невесомости Яа = 0 (г = 0) для Рг = 10 волновое число и электрическое число Рэлея в минимуме нейтральной кривой в постоянном электрическом поле в невесомости в модели (12): к = 1.02, Яае = 2132.8. Тогда геометрические параметры Ь = 1.99, q =1.83. В дальнейших расчётах будем использовать эти значения.

Система (19) допускает тривиальное решение, отвечающее отсутствию конвекции, то есть чисто теплопроводящее состояние:

X = 0, ^0 = 0, 20 = 0.

Исследуем на линейную устойчивость это состояние, представив все переменные в виде:

X = Х0 + хвх* ,7 = 70 + увх, 2 = 2 + ^, (20)

где х, у, 2 - малые возмущения, X - инкремент возрастания. Подставим (20) в систему (19) и отбросим нелинейные по малым возмущениям члены. В результате после сокращения на экспоненты получим линейную алгебраическую систему:

На рис. 2 изображена нейтральная кривая 1 -зависимость электрического числа от параметра Б в случае невесомости (г = 0, ге = е/2). Область I, ограниченная кривой 1 , является областью устойчивости; область II - область неустойчивости.

Система (19) имеет нетривиальное решение Х0,70,2 = сопяЩ), которое находится из системы уравнений:

0 = -qX0 + re(1 - reD7 + CD70Z0

0 = -70 + X0 - X0Z0, о = -bZ0 + X070.

Из системы (24) найдем X0,70, Z0 : X0 =±7b(re n -1) ,

(24)

_^b(rn -1)

70 =±

(25)

Z0 = 1 -

Компонента 2 всегда затухает, так как коэффициент Ь > 0 . Решаем задачу на собственные значения. Условие разрешимости этой системы -

Здесь возможны две пары стационарных симметричных решений - С12 и Б12, описывающих

конвективные валы; где п = (1 + у/1-4дО)/(2д) -для решений С2 и п = (1 -^ 1 -)/(2д) - для решений ^ 2. Стационарные решения С существуют в областях I и II, ответвляясь на нижней ветви кривой 1. Решения существуют в области II, ответвляясь от верхней ветви кривой 1. С ростом Б решения 5 и С сливаются при Б = 1/(4q) = 0.1366 и исчезают (рис. 2). Правее этого значения Б все возмущения затухают.

re re

r,n

120

80

40

0

1

0 0.04 0.08 0.12 О 0.16

Рис. 2. Зависимость электрического числа от параметра высокочастотного электрического поля в случае невесомости (г = 0)

Проанализируем линейную устойчивость решения (25), используя формулу (20). Повторяя линейный анализ устойчивости стационарного решения, приходим к кубическому уравнению для X :

Рг —Ьг

X3 +Х2(1 + Ь + Рг д) + Х(д Рг Ь + Рг q--е +

п

Рг БЬ , Рг Рг — „ , 2—гр

++ Ьгеп--+ ——) - Рг Ь(-е - ге - (26)

п2 п п2 п

2 2—ч п

-дпге +---г) = 0.

п п2

Если X <0, то возмущения затухают, стационарное течение устойчивое. Если X >0, то возмущения возрастают, стационарное течение становится неустойчивым.

На границе устойчивости X - чисто мнимое:

Х = X +1X, X,- = 0, X =ю = га. (27)

Подставим (27) в уравнение (26). Разделим вещественные и мнимые части кубического уравнения. В результате найдём частоту а и критическое значение ге .

Линейный анализ устойчивости показывает, что решения монотонно неустойчивы, а решения С становятся колебательно неустойчивыми, начиная с критического значения г , определяемого выражением:

ге* = (дп2(Ь2 + 2Ь +1) + (Ь2 - Ь)Б + Ьп +

+ дЬБ Рг+ д2п2 Рг(1 + Ь) - п(1 + д Рг)) Рг/ (28)

/пЬ(Ргп - Ьп2 + Рг ЬБ - п2 - Рг — + д Рг2 —).

Эта зависимость представлена кривой 2 на рис. 2. С увеличением параметра Б верхняя грани-

ца области неустойчивости стационарных конвективных валов и порог возникновения колебательного режима конвекции понижаются. При положительных значениях Б и достаточно больших значениях электрического параметра е теплопроводный режим устойчив относительно малых возмущений. При Б<1/^) в области II наряду с устойчивым равновесием существуют стационарные и периодические решения. При D>1/(4q) независимо от начальных условий устанавливается теплопроводный режим.

Проведено сравнение полученных результатов с результатами расчёта модели со свободными граничными условиями [7].

Сравним границы монотонной неустойчивости. В модели с твёрдыми границами при Б = 0 неустойчивость начинается при е = 3.66. Крайняя правая граничная точка имеет значения Б = 0.1366, е = 7.31. По сравнению с моделью со свободными граничными условиями граница неустойчивости повысилась в 1.83 раза, а крайняя правая точка уменьшилась во столько же раз.

Сравним границы колебательной неустойчивости. В модели с твёрдыми границами при Б = 0 неустойчивость начинается при е = 101.89, что в 2.38 раз больше, чем в модели [7]. В крайней правой точке е = 12.02, что в 1.34 раза больше, чем в модели [7].

Получается, что твёрдые граничные условия оказывают стабилизирующее влияние. Они повышают границы монотонной и колебательной неустойчивости. А относительно высокочастотного параметра электрического поля область неустойчивости сужается.

6. Заключение

В работе рассмотрен случай, когда в жидком диэлектрике работает только диэлектрофоретиче-ский механизм зарядообразования. Это справедливо для неоднородно нагретых идеальных диэлектриков в переменном электрическом поле, в которых диэлектрическая проницаемость жидкости зависит от температуры.

Методом осреднения получена трёхмодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика для твёрдых граничных условий в высокочастотном электрическом поле горизонтального слоя. На основе этой модели проведено исследование линейной устойчивости режимов электротермической конвекции идеального жидкого диэлектрика. Проведён линейный анализ устойчивости равновесия. В частном случае невесомости построена граница монотонной неустойчивости. Найдены два типа стационарных решений. Проведён их линейный анализ устойчивости. Один из них теряет устойчивость монотонным образом, второй - колебательным. Определена граница колебательной неустойчивости.

е

2

Проведено сравнение полученных результатов с результатами расчёта модели со свободными граничными условиями. Твёрдые граничные условия оказывают стабилизирующее влияние, повышая при этом границы монотонной и колебательной неустойчивости.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (№ 14-01-31253 мол_а).

Список литературы

1. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Физма-тгиз, 1972. 292 с.

2. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

3. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 172 с.

4. Саранин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М. ; Ижевск: НИЦ РХД, 2009. 332 с.

5. Жакин А. И. Электрогидродинамика // УФН. 2012. Т. 182. №5. С. 495-520..

6. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе // Письма в Журнал технической физики. 2005. Т. 31, вып. 10. С. 57-63.

7. Ильин В. А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 38-48.

8. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Динамика волновых электроконвективных течений в модулированном электрическом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2014. Т. 145, вып. 1. С. 180-188.

9. Ильин В. А. Слабонелинейный анализ режимов конвекции идеального жидкого диэлектрика в горизонтальном слое // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2004. Вып. 1. Физика. С. 100-105.

10. Smorodin B. L., Velarde M. G. On the parametric excitation of electrothermal instability in a dielectric liquid layer using an alternating electric field // Journal of Electroctatics. 2001. Vol. 50, № 3. P. 205-226.

11. Ильин В. А. Электроконвекция слабопроводя-щей жидкости в постоянном электрическом поле // Журнал технической физики. 2013. Т. 83, вып. 1. С. 64-73.

12. Картавых Н. Н. Периодические и хаотические режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле // Вестник пермского университета. Серия: Физика. 2013. Вып. 3(25). Физика. С. 37-42.

13. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. 1951. Т. 44, вып. 1. С. 7-20.

14. Закс М. А., Любимов Д. В., Чернатынский В. И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. № 3. С. 312314.

15. Ильин В. А., Пономарева Л. А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в высокочастотном электрическом поле// Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2013. Вып. 3(25). Физика. С. 28-36.

16. Ильин В. А., Куршина Е. В. Исследование модели электроконвекции идеального диэлектрика в конденсаторе с твёрдыми границами// Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2009. Вып. 1(27). Физика. С. 3-6.

17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 736 с.

18. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.

References

1. Ostroumov G. А. Vzaimodeistvie electricheskih i gidrodinamicheskih polei. Moscow, Fizmatgiz, 1972. 292 p. (In Russian).

2. Bologa M. K., Grosu F. P., Kozhuhar' I. A. El-ektrokonvekcija i teploobmen. Kishinev, Shtiinca, 1977. 320 p. (In Russian).

3. Stishkov U. К., Ostapenko А. А. Elektrogidro-dinamicheskie techenija v jidkih dielectricah. Leningrad.: Izdatel'stvo LGU, 1989. 172 p. (In Russian).

4. Saranin V. A. Ustojchivost' ravnovesija, zarjadka, konvekcija i vzaimodejstvie zhidkih mass v el-ektricheskih poljah. Moscow, Izhevsk, NIC RHD,

2009. 332 p. (In Russian).

5. Zhakin A. I. Electrohydrodynamics. Physics-Uspekhi. 2012, vol. 55, no. 5, pp. 465-488.

6. Il'in V. A., Smorodin B.L. Periodic and chaotic regimes of liquid dielectric convection in a horizontal capacitor. Technical Physics Letters. 2005, vol. 31, no. 5, pp. 432-434.

7. Il'in V. A. Low Mode Model of Electroconvec-tion of an Ideal Dielectric. Technical Physics,

2010, Vol. 55, no. 8, pp. 1113-1123.

8. Smorodin B. L., Taraut A. V. Dynamics of electro-convective wave flows in a modulated electric field. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2014, vol. 118, no. 1, pp. 158-165.

9. Il'in V. A. Slabonelineinyi analis rejimov kon-vekcii idealnoqo jidkogo dielektrika v gorizontal-nom sloe. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2004, no. 1, pp. 100-105. (In Russian).

10. Smorodin B. L., Velarde M. G. On the parametric

excitation of electrothermal instability in a dielectric liquid layer using an alternating electric field.

Journal of Electroctatics. 2001, vol. 50, no. 3, pp. 205-226.

11. Il'in V.A. Electroconvection of a poorly conducting fluid in a steady electric field. Technical Physics, 2013, vol. 58, no. 1, pp. 60-69.

12. Kartavih N. N. Periodicheskie i chaoticheskie re-jimy elektrokonvekcii slaboprovodjascei jidkosti v peremennom elektricheskom pole. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2013, no. 3(25), pp. 37-42. (In Russian).

13. Kapica P. L. Mayatnik s vibriruiuscim podvesom. Uspehi fizicheskih nauk. 1951, vol. 44, no. 1, pp. 7-20. (In Russian).

14. Zaks M. A., Ljubimov D. V., Chernatynskii V. I. O vliyanii vibracii na regimy nadkriticheskoi kon-

vekcii. Izvestiya AN USSR. Fizika atmosfery i okeana. 1983, no 3, pp. 312-314. (In Russian).

15. Il'in V.A., Ponomareva L. A. Elektrokonvekcija slaboprovodjascei jidkosti v visokochastotnom elektricheskom pole. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2013, no. 3(25), pp. 28-36. (In Russian).

16. Il'in V.A, Kurshina E. V. Issledovanie modeli elektrokonvekcii idealnogo dielectrika v konde-satore s tverdymi granicami. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2009, no. 1(27), pp. 3-6. (In Russian).

17. Landau L. D., Lifshic E. M. Elektrodinamika sploshnyh sred. Moscow, Nauka, 1982. 736 p. (In Russian).

18. Berzhe P., Pomo I., Vidal' K. Porjadok v haose. O deterministskom podhode k turbulentnosti. Moscow, Mir, 1991. 368 p. (In Russian).

Stability of electroconvective regimes of ideal dielectric in high-frequency electric field of the horizontal capacitor

V. A. Il' in, E. V. Trofimova

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Behavior of dielectric liquid in high-frequency alternative electric field of horizontal capacitor is investigated. The three-mode electroconvection model of ideal dielectric is obtained for boundary conditions, which correspond on condition of adhesion on hard boundaries. The linear analysis of equilibrium stability and stationary convection of liquid is done. The boundaries of monotonic equilibrium instability and oscillatory instability of stationary flow is constructed.

Keywords: electroconvection; ideal dielectric