Слабонелинейный анализ режимов конвекции идеального жидкого диэлектрика в горизонтальном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2004 Физика Вып. 1

Слабонелинейный анализ режимов конвекции идеального жидкого диэлектрика в горизонтальном слое

В. А. Ильин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В рамках ЭГД приближения проведён слабонелинейный анализ режимов электротерм отеской конвекции идеальной диэлектрической жидкости в плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, находящемся в постоянном вертикальном электрическом поле и поле силы тяжести. В задаче рассматривается взаимодействие диэлектрофоретического и термогравитационного механизмов конвекции. С помощью метода многих масштабов получено амплитудное уравнение, характеризующее ветвление конвективных режимов. Для случая свободных границ аналитически посчитаны коэффициенты амплитудного уравнения, анализ которых показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

1. Введение

Общеизвестно, что под действием гравитационных сил в неравномерно нагретых жидкостях и газах возникают течения, стремящиеся перемешать среду так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Это движение называется конвекцией [1]. Конвективные движения возможны в электрическом поле и замечены давно [2-4].Течения диэлектрических жидкостей в электрическом поле привлекают внимание тем, что представляют собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкой среды.

Электрическая конвекция обусловлена неоднородностью среды по электрическим параметрам: диэлектрической проницаемости, электропроводности, плотности объемных зарядов. Электрокон-вективные явления обнаруживаются в жидких и газообразных средах, допускающих возможность существования в них достаточно сильных электрических полей. Иными словами, они наблюдаются в жидкостях, которые на практике считаются изоляторами (трансформаторное масло, бензол, фреон, дихлорэтан, керосин и другие).

В работе проведён слабонелинейный анализ режимов электроконвекции в идеальном диэлектрике, проводимость которого считается равной нулю, свободные объёмные заряды отсутствуют. Предполагается, что образование объёмного заряда происходит благодаря неоднородности поляри-

зации среды, вызванной зависимостью диэлектрической проницаемости от температуры. В линейной задаче колебательные возмущения отсутствуют, порог конвекции связан с монотонной модой [4]. Рассматривается взаимодействие двух механизмов неустойчивости - термогравитационного и диэлектрофоретического. Первый вызван зависимостью плотности среды от температуры, второй -диэлектрической проницаемости от температуры.

2. Постановка задачи

Рассмотрим плоский горизонтальный слой (рис. 1) с вязкой несжимаемой идеальной диэлектрической жидкостью в поле силы тяжести. Ось X располагается в середине слоя и направлена вдоль него, ось г - перпендикулярна его границам. Идеально тепло- и электропроводные границы слоя расположены при г = -к/2, /І/2 (к - толщина слоя), нагреты до разной температуры

Т{~Ш) = 0, Т(к/2) = 0. Здесь Г- температура, отчитываемая от некоторого среднего значения, © -характерная разность температур. А = -УТ°

- градиент температуры в состоянии равновесия. Случай 0> О соответствует нагреву снизу. Слой № ходится в постоянном электрическом поле Е, которое направлено вдоль оси г. Плоскости поддерживаются при разных потенциалах #>(-/?/2) = и, (р{И12) = 0, где (р - потенциал, отсчитываемый от среднего значения, и - приложенное напряжение.

© В. А. Ильин, 2004

Возмущения скорости, температуры и потенциала на границах обращаются в ноль.

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

р = р0(\-0Т),

Здесь V , /?, Т - поля скорости, давления и температуры, ;/-динамическая вязкость, %, /?, /Зе -

коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости. Как 3 -4

правило, (3 и Д.-КГ * Ю , поэтому хорошо выполняются условия: /?0 « 1 , рс® « 1 .

Стационарное состояние ^° = 0, Т = Т0,

Р~Ръ-> <Р <Ро > & Eq ) определяется системой уравнений

Электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости [5], равна

/ , -\

(2.1)

йР ]

р=рі.Е-]-Е2Ує+ -V

+ {уУ)Т = ХАТ, аґ

divv = 0,

аіу(*£) = о,

Ё = -У<р,

АГ0 = 0, div(ff4) = 0, £ = -В7ер„

(2.3)

здесь ре - свободный заряд единицы объема,

р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Первая (кулоновская) часть силы

(2.1) не существенна, так как её наличие обусловлено свободным электрическим зарядом, которого в идеальных диэлектриках нет. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье

- Стокса. Вклад в конвекцию даёт только вторая (электрофоретическая) часть силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим поведение идеального диэлектрика в электрическом поле, используя

электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты считаются пренебрежимо малыми по сравнению с электрическими [4]. Кроме того, предположим, что разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения (У., начиная с которого существенна инжекция, и не будем учитывать поверхностную электризацию

жидкости. Пренебрегая в уравнении

теплопроводности вязкой диссипацией и джоуле-вым разогревом, запишем систему уравнений электроконвекции жидкого диэлектрика:

Р — + (уУ)у = -Ур + пАу + pg - - Е Ув,

дх

дТ

Здесь у - единичный вектор, направленный по вертикали вверх. Из первого уравнения получаем следующее условие равновесия:

-У£.хУ£

9 „в /?УЯ = 0,

(2.4)

анализируя которое, мы приходим к выводу, что равновесие возможно, когда векторы £0, А ну параллельны друг другу. Равновесная температура представляет линейный профиль:

Т0 =-М + 0/2.

(2.5)

(2.2)

Рассмотрим устойчивость основного состояния: V, Т = Г0 + «9, р = р0+р', ф = <р0+<р',

£ = £0 + £' (штрихи означают возмущения величин, затем штрихи опускаем) и запишем систему уравнений электроконвекции идеальных жидких диэлектриков в безразмерном виде. Для этого используем безразмерные переменные на основе

масштабов времени - [г] =Н 1у (у - кинематическая вязкость), расстояния - [А] = Л, скорости -[V] = х/Л, температуры - [Г] = 0, потенциала -

[Ф] = £У/?£0, давления - [р] = г/%/И2:

йу 1

— + — (V V) V = - Ур + (Яа+Яа,) Эу +

дф

+КаЕу+Ау,

й1

„ дэ

р г — у у + уУ3 = Д 5 ,

Сг

Сіуу - 0 .

(2-6)

Здесь введены следующие безразмерные параметры: число Прандтля Рг, число Рэлея Яа, электрическое число Рэлея Яаг:

X

=

(2.7)

РоУХ

Плоские возмущения более опасны, чем пространственные, поэтому ограничимся рассмотрением плоской задачи V = (и,0,^) [6]. Тогда система уравнений (2.6) примет вид:

ди

1

— + Рг

ди < Ш

+ Ж-

ди\

дг)

"Р л

дх

(2.8)

2 = ±1/2 : ™=^ = 9 = (р' = 0.

(2.9)

В этом случае задача может быть решена аналитически.

3. Результаты

Рассмотрим характер ветвления монотонной моды неустойчивости в плоском горизонтальном слое со свободными границами. Перепишем систему (2.8) в матричном виде:

Н — +Щи, и) = Ьи + уАи + уеви, и = 9

сіґ " *

<Р

Здесь введены следующие обозначения: г = Яа - Яа0, г£ = Яа, - Яа,. - степени надкри-тичности (Яа0, ЯаГ0 - критические значения); Н-диагональная матрица, элементы которой Н\\ =1, Я22 =1, #зз -Рг, Ям - Я55 =0. Матрицы А и В -имеют нулевые компоненты, кроме Л2з и Ві?, 1, В24=С/Сг . Нелинейный оператор N и линейный Ь запишем в компонентах:

д

•а + —

дх ’ Сг

/У2(£У”(У2) = рг и, —— + ^

й'ю 1 (

__ + — и — + уу----------

д( Рг ч дх й7, , дг + (Яа + Яас).9 + Яа«л + Аа.

О д& дЭ Ш . ц

Рг — + и — +’№ _ - Д 9 + 'К,

йt дх дг

Д<Р + — = 0,

дг

ди йw п

— + — - 0 .

дх дг

Рассмотрим случай, когда плоские недеформи-руемые границы слоя свободны и теплопроводны, а производная потенциала обращается в ноль (штрихом обозначена производная пог):

1ґ4(С/Й/2)«0, №(№№) = 0,

(Ж\ = - & + дк.

У "" Сх

(Ьи),= -Ш + (Яа0 + Яа,0) 9 + Яас0 - + ДУГ

Сг ог

д 9

(Ьи)3 =А9+»>, (Ьи\ = — + Д.9.

1 к

Сх Сг

(3-2)

Введём 0 =[и,к’,9,<рурЛ] - вектор, сопряжённый вектору иґ. Определим скалярное произведение двух пятикомпонентных векторов и\ и 0 по правилу:

1/2 2п1к

(3.3)

Для получения амплитудного уравнения, характеризующего поведение надкритических движений, применим метод многих масштабов. Решение будем искать в виде разложения в ряд по малому параметру е[Ь]:

С/-И/, +еи, +...,

Яа = Яа. +лЯа, + £2Яа2

Яа£ = Яа,„ + зКа„ +£-2Яа4.2 + ...,

д__д_

Сґ Сґ0 Сґ\

С_ 2 С

+ £------- +..

Л,

(3.4)

Здесь введена иерархия времен: /„ - "быстрое" время, /|, /2 - "медленные" времена.

Подставляя разложения (3.4) в систему (3.1), получим последовательные приближения. В первом порядке по 5 возникнет однородная задача, совпадающая с линейной задачей устойчивости возмущений:

ч

и

w

(3.1)

(3.5)

После стандартного преобразования уравнений для горизонтальной и вертикальной компонент скорости, использования уравнения неразрывности и введения величины ЯаЕ = Яа + ЯаЛ., через компоненты получим

5

2

д29\

dt0

Ди-, =RaE0-----------------+ Rae0 2+ Д<и>’>

дх

dzdx

(3.6)

Д Л I + Л = 0.

or

Будем искать периодические вдоль .v решения

щ = М|(г)еД/,,5тЬг, и', = щ(г)е п cos Ал- ,

Л =^(=)е'" coskx, (3.7)

Al

Ф\ = <pl(z)e " cosfo-,

к - волновое число, характеризующее периодичность возмущений вдоль оси х, Л - характеристический декремент затухания.

Собственные функции задачи нормируем так, чтобы &((Х)\2ш-и2 1 • С учётом этого условия

решения первого порядка для свободных границ (2.9) имеют вид:

и,1 = — ае sin Kxsin nz,

к

w\ = ае " cos кх cos л\г ,

К

9]=- е тс

^ XI,,

Фх = ce cos кх sin /г г .

for cos ffi,

(3.8)

Здесь а, Ь, с - амплитуды, не зависящие от "быстрого" времени /0 и координат х, г, но зависящие от "медленных" времен.

После подстановки этих решений в систему (3.6) можно получить явное выражение для декрементов. Рассмотрим границу устойчивости равновесия Л = 0, т. е. нейтральные возмущения монотонного типа. Тогда получим уравнение нейтральной кривой [4]

Ы2 + к2)4

Ra,

U2+k2)

. Ra.

(3.9)

2 2 2(гс +к}.)\к:-ж )

2

л к .

(З.Ю)

В случае невесомости (Яа=0): кс = п,

4

Яа<.с = 16п =1558.6. При подогреве снизу (Яа>0)

кс >п, с ростом Яа волновое число увеличивается, возмущения становятся более мелкомасштабными.

В случае отсутствия электрического поля

4

(ЯалО): кСтшШ, Яа = 27л-4 /4 = 657.5 .

Электрическое поле независимо от направления приводит к понижению границы устойчивости. В случае жестких границ за счет их стабилизирующего действия устойчивость повысится.

Амплитуды возмущений скорости, температуры и потенциала связаны соотношениями:

Ь =

7 2 а.с = —

(З.П)

Из условия (р\ш^ = {¡1\ | ш ) получим сопряженную задачу, которая после стандартного преобразования принимает вид:

1 ,2,

AW-= Д"И' +d-í

дх

39 z дф

P r - r = RaEow + A5-A, dtn dz

о

. , dw

Аф - Ron — = о.

dz

Её решение будем искать в виде:

. , Al,, . и = u(z)e sin кх,

w = w(z)eA" cos кх,

Xl

9 = &{z)e " cos fa, ф = ф(г)ел1" coskx .

(3.12)

(3.13)

В этом случае граничные условия такие же, как и в прямой задаче (2.9). Собственные функции сопряжённой задачи нормируем следующим образом: *’(г)\:=_и2 = 1. Тогда решение примет вид:

и = — елп sinAxsin/Ti ,

w = —e cos

Аэг cos Jtz,

Минимизируя это выражение по к~, получим систему двух уравнений, благодаря их использованию могут быть определены критические значения электрического числа Рэлея и волнового числа, при которых возникает неустойчивость:

2 2 4 4

Я а . = ( - А с ) (2Л;-А)/Л ,

о A AI"

.9 = be cos кх cos nz,

Xl„

ф = ce cos/tx sin nz.

(3.14)

Из условия разрешимости сопряжённой задачи (3.12) получается такое же дисперсионное уравнение и такая же нейтральная кривая, как и для пря-

п

л ' к

к

мой задачи. Амплитуды возмущений сопряженной задачи связаны соотношениями

~аг с =

Ra.

л-А-'

(3.15)

Во втором порядке разложения по малому параметру получаем

dU2 Щ

+ Н ^ ди ди

Шт +Кг,Аи! +

(3.16)

+RanBUI

-N(UtU).

Рассмотрим ветвление надкритических режимов - зависимости от быстрого времени нет (Л — 0, д / 5 / 0 —0). Тогда для функций второго порядка получим систему линейных дифференциальных уравнений

Ш, -Я —*--Яа,/41/, -Яа4.,ЙЬ/| +М(и{МЛ 5/,

(3.17),

условие разрешимости которой состоит в ортогональности её правой части к решению сопряженной задачи первого порядка (амплитуду вынесем):

(01AU,)-1

(0\nu,)~-Ra,

\ I '* ' '/

-Ra4., (0\ВиЛ+10 lN(l/,,L/,))

(3.18)

0.

Для периодических по х решений четвёртое слагаемое обращается в ноль. Тогда получим

/• - =Ra,/,fl + Ra.,/3a 5/,

(3.19)

/, = (#|ЯЦ), У2 =(с/|АЦ),/3 — ((У|51/1).

Требование отсутствия экспоненциально растущих решений дает

Ra, = Ra*., = 0, да/ди = 0 .

(3.20)

После подстановки решений в первом порядке в виде (3.7) в (3.17), учтя (3.20) и проведя стандартное преобразование, получим

"Ео'ЖУ * ’“нщ1 + -

= — (wfty - wfwf) cos 2b:,

Ai92 + w2 = -(wi&'+w[9l) +

+ -w'\9\)cos2k,

dz

Решение ищем в виде

(3.21)

и2 =z/2(r)sin2hr, w2 = w2 (г) cos 2b:,

#2 = 92(z)cos2kx + f](z),

cp2 = (p2{z)cos,2kx + f2(z).

(3.22)

Неизвестные функции легко определить из граничных условий. Для свободных границ в системе (3.21) выражения перед cos2br обнуляются, решение выглядит следующим образом:

2 + к + я~

2

и2 = 0 , w2 = 0, 9, = „ г— а sin 2жг,

8л-'

/ 2 2

(pi =----------— а' cos 2KZ .

16л-

(3.23)

В третьем порядке разложения получим систе-

му

dU,

И- = LU3 + Ra,/JL', + Ra,.,5t/,

ди

(3.24)

-N(Ul,U2)-N(U2.Ui), условие разрешимости которой имеет вид

(01HVX) =Ra2 (01AL',) +Ra,;2 (01BU})-

(3.25)

Выделим явно амплитуду и полним амплитудное уравнение, характеризующее динамику слабонелинейных режимов, в виде

Ё1

3

у а - Go , /=Ra2 (2 /,) +Rari (/3//,),

о ,((0№{иі,и2))+(0№(и1‘и>у/)/Р>

(3.26)

где О - коэффициент ветвления Ландау. В результате расчётов для свободных границ коэффициенты в амплитудном уравнении принимают вид:

1

2 2 2 7 2 2

i (л +я- ) (1 + Рг)' ' (A +* )'\j + Pr)'

С =

* 2 + * 2 . 2

8тг2 (1 + Рг)'

(3.27)

Проанализируем уравнение (3.26) в общем виде. Динамика системы, описываемая этим уравнением, зависит от коэффициентов при разных степенях амплитуды. Знаки у, О определяют количество стационаров в системе и их устойчивость. Из анализа фазовых портретов на плоскости (а,а) при различных у, О делаем следующие выводы [1].

6

1 а .

I 2

к

Значения параметров в минимуме нейтральных кривых

К Иас О Рг=1 010"1 Рг =10 2 СЮ"2 Рг = 100

0 2.22 657.51 1.38 2.52 2.75

10 2.23 654.17 1.39 2.54 2.76

100 2.28 623.61 1.44 2.61 2.85

1000 2.83 265.58 2.02 3.68 4.01

2000 3.35 -228.02 2.82 5.12 5.58

При О > 0, у< 0 имеется одно устойчивое стационарное решение с нулевой амплитудой. При О > 0, у > 0 есть два устойчивых стационарных движения; амплитуда которых определяется из условия а = 0 и растет по корневому закону

а = ±у[у]О , и одно неустойчивое состояние с нулевой амплитудой, т. е. при положительном коэффициенте Ландау О > 0 возмущения мягко ответвляются в надкритическую область.

При О < 0, у> 0 существует одно неустойчивое состояние с нулевой амплитудой. При О < 0, у< 0

- два неустойчивых стационарных движения с амплитудой а = ±у]\у/О\ и одно устойчивое стационарное решение с нулевой амплитудой. При отрицательном коэффициенте Ландау О < 0 будет наблюдаться жесткое ветвление.

Результаты расчётов критических значений волнового числа, числа Рэлея и коэффициента ветвления, проведённых по формулам (3.10) и

(3.27) при различных электрических числах Рэлея, приведены в таблице.

Коэффициент ветвления положителен всегда, поэтому при любых волновых числах ветвление будет мягким.

4. Заключение

В работе в рамках электрогидродинамического приближения проведён слабонелинейный анализ нелинейных режимов электротермической конвекции идеальной диэлектрической жидкости в плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, находящемся в постоянном вертикальном электрическом поле и поле силы тяжести. Конвекция рассматривается в идеальных жидких диэлектриках, в которых свободных зарядов нет, электропроводность равна нулю. Предполагается, что образование объёмного заряда происходит благодаря неод-

нородности поляризации среды, вызванной зависимостью диэлектрической проницаемости от температуры (диэлектрофоретический механизм электроконвекции).

В линейной задаче колебательные возмущения отсутствуют, порог конвекции связан с монотонной модой. С помощью метода многих масштабов получено амплитудное уравнение, характеризующее ветвление конвективных режимов. Для модельного случая свободных границ коэффициенты амплитудного уравнения посчитаны аналитически. Анализ полученного амплитудного уравнения показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

Исследования, результаты которых представлены в данной статье, выполнялись при частичной финансовой поддержке грантов РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (АФГИР) и Российского фонда фундаментальных исследований (К 03-01-00327).

Список литературы

1. Ландау Л. Д., Лифшии Е. М. Гидродинамика. М: Наука, 1986. С. 736.

2. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Наука, 1979. С. 319.

3. Стишков Ю. К.Юстапенко А. А. Электрогид-родинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. С. 173.

4. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. С. 176.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. С. 736.

6. Гершу ни Г. 3., Жуковш/кий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. С. 318.