CC BY
10ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2009 Физика Вып. 1 (27)
Исследование модели электроконвекции идеального диэлектрика в конденсаторе с твёрдыми границами
В. А. Ильин, Е. В. Куршина
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Исследованы нелинейные электроконвективные режимы в идеальном диэлектрике в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора на основе маломодовой модели электроконвекции, полученной для твёрдых граничных условий. Проведено сравнение вычисленных данных с результатами, найденными ранее на основе трёхмодовой модели, полученной для свободных граничных условий.
1. Введение
Движения диэлектрических жидкостей в электрическом поле привлекают внимание тем, что представляют собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкой среды. Переменные электрические поля в зависимости от амплитуды и частоты могут сильно изменять пороги конвективной неустойчивости и обеспечивать эффективный способ управления конвекцией в различных технологических ситуациях.
Электрическое поле может оказывать влияние на движение жидкости благодаря действию специфических электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами возникновения заряда в жидкости [1]. В работе мы рассматриваем диэлектрофоретический механизм, вызванный зависимостью диэлектрической проницаемости жидкости от температуры.
В идеальных диэлектриках проводимость среды ст считается равной нулю, свободные объёмные заряды отсутствуют. Предполагается, что образование объёмного заряда происходит благодаря неоднородности поляризации среды. Известно, что в линейной задаче об устойчивости идеального диэлектрика колебательные возмущения отсутствуют
- порог конвекции связан с монотонной модой [1]. Характер ветвления слабонелинейных режимов идеального жидкого диэлектрика в постоянном электрическом поле мягкий [2]. В переменном поле неустойчивость связана с параметрическим возбуждением конвекции. В данной работе на основе маломодовой модели, полученной для твёрдых граничных условий, изучены различные нелиней-
ные режимы электроконвекции в идеальном диэлектрике, находящемся в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Подобное исследование для свободных граничных условий проведено в [3].
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский горизонтальный слой (рисунок) вязкой идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости, находящейся в переменном вертикальном электрическом поле Е, и поле силы тяжести g. Ось х располагается в середине слоя и направлена вдоль границ, ось г перпендикулярна границам.
Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат
Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора расположены при г = - И/2, И/2 (И -толщина слоя) и нагреты до разной температуры
Т(-И/2) = ©, Т(И/2) = 0. Здесь Т - температура, от-
© В. А. Ильин, Е. В. Куршина, 2009
считываемая от некоторого среднего значения, © -характерная разность температур, A = -VT0
- градиент температуры в состоянии равновесия. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. Потенциал поля верхней границы равен нулю:
ср(к / 2) = 0, потенциал нижней - изменяется со
временем по гармоническому закону:
Ф(-И / 2) = U cos (at). Здесь U - амплитуда напряжения, а = 2%/tf - частота, tf - период модуляции.
В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде [4]
(2.1)
здесь ре - свободный заряд единицы объема, е, р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Первая (кулоновская) часть силы (2.1) в идеальных диэлектриках отсутствует, так как её наличие обусловлено свободным электрическим зарядом, которого нет. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье-Стокса. Движение может вызвать только вторая (электрофоретическая) часть силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости.
Рассмотрим поведение идеального диэлектрика в переменном электрическом поле, используя электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты считаются пренебрежимо малыми по сравнению с электрическими [1]. Кроме того, предположим, что максимальная разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения и*, начиная с которого существенно влияние инжекции на движение жидкости. В уравнении теплопроводности пренебрежем вязкой диссипацией и джоулевым разогревом. Тогда система уравнений электроконвекции жидкого диэлектрика запишется в виде
(Л 1 2
р| ~ + ^У)у I =-Ур + ^Ау + рg -— Е Уе ,
дд— + (vV)T = %AT , divv = 0, 3t
div(sE) = 0 , E = -V®,
P = Po (l-pT ), є=є0 (l - P,T )
(2.2)
Здесь V , р, Т - поля скорости, давления и температуры, г - динамическая вязкость, %, р , РЕ - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости. Как правило, р , ре ~10-2 -И0-4 град-1.
Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - [/] = р0И2 !ц , расстояния - [г ] = И, скорости - [ V ] = %/И, температуры -[Т] = ©, потенциала - [<р] = ирє©, давления -
[р] = Т%/И2, частоты - [ю] = т/р0 И2 .
Представим поля скорости, температуры, давления, потенциала и напряженности в виде V,
Т = То +5, р = Ро + р' > 9 = ^0 + <Р'> Е = Ео + Е . Здесь стационарные решения обозначены нулевым индексом (они нас особо не интересуют); штрихи означают отклонения величин от равновесных значений (затем штрихи опускаем). Запишем систему уравнений электроконвекции идеальных жидких диэлектриков в безразмерном виде:
дv
- + -дt Pr
^ (vV) v = -Vp + (Ra+Ra E cos2 (at ))$y +
„ , J®
+Ra, cos (at) — v + Av.
є v ’ дz
дЗ
РГ1)Г - V7 + ( *V)3 = A3’
d 9
Aq +—cos(at) = 0 , divv = 0. (2.3)
Здесь у - единичный вектор, направленный по вертикали вверх. Введены безразмерные параметры - число Прандтля Pr, тепловое число Рэлея Ra, электрическое число Рэлея Rae :
Pr =
Г
XPo
Ra =
Po gpeh3
Rae =
,oU2 (pє®)
ГХ
ГХ
2
(2.4)
Число Прандтля характеризует отношение времен затухания тепловых и вязких возмущений. Из определения (2.4) следует, что электрическое число Рэлея не зависит от направления градиента температуры.
Рассмотрим случай, когда на недеформируе-мых твёрдых, изотермических границах слоя обращается в нуль потенциал (штрихом обозначена производная по г):
z = +lI2: w = w' = З = ® = 0.
(2.5)
Задача (2.3), (2.5) изотропна в плоскости слоя, поэтому ограничимся рассмотрением плоских возмущений V = (и,0, V) и д/ду = 0.
3. Маломодовая модель
электротермической конвекции
Введём функцию тока для скорости
Исследование модели электроконвекции
5
w =
ду dx
u — —
ду
dz
(3.1)
В терминах функции тока уравнения, описывающие электротермическую конвекцию идеального жидкого диэлектрика, примут вид:
д 1 (ду д к ду д к Л ^ дЗ
— Дун------1 —----Аш----- ----Ду 1 = Яа----V
д Рг I йг дг дг дx ) дx
„ (дЗ 2 д 2ф Л
+RaP — cos at +----------cosat
s dx dzdx
V У
„ дЗ ду дЗ ду дЗ п ду Pr— +--------------— = АЗ + г
+ А2у,
дt дх дz дz дх
дЗ
Ap +-----------cosat = 0 .
дz
it, (3.2)
дх
Граничные условия перепишутся:
г = +1/2: у = у'= З= ф = 0.
(3.3)
Для решения системы уравнений (3.2) используем метод Галеркина и следующие аппроксимации полей, удовлетворяющие граничным условиям:
(3.4)
дЛ (12 + n2k2 ^ ( 24n-k2 +n4k4 + 504 j
дt 1260 1260
+ -t nk (Ra + Rac cos2 at) B + —^Ra_Dnk cos at, 280 V E > 420 E
-nkA -in2k2 +10)B - — nkAC, tv /
в дВ 3
Pr— = —n дt 14
Pr
10 + n2k2
14(10 + n2k2) ,9 (о
[A] ^ ^------1 J-X, [B] ^ d-Y ,
nk
[C ] ^ 6Z ;
(3.6)
после чего получим трёхмодовую модель электротермической конвекции (точка над переменными -производная по /):
X = -qPгX + Рг(г + есоБ2 2яг/)У ,
У = -У + X-XI, (3.7)
2 = -ъг+ху .
Здесь вместо циклической частоты использована линейная частота а = 2пу и введены новые параметры:
b =
42
q =
(24n2 k 2 +n4 k4 + 504)
10 + n2k2, (10 + n2 k -)(12 + n2k2)'
r = -
Ra
e = -
RaP
у = A (t) sin kx ^ 1 - z2 j ,
З = В (t) cos kx (1 - z2 j + C (t)( 1 - z2 j z . p = D (t) cos kx (1 - z2 j z + E (t)(1 - z2 j
где к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя, А, В, С, Б, Е - амплитуды, зависящие от времени. Вторые слагаемые в аппроксимациях необходимы, чтобы учесть нелинейность системы (3.2).
Подставляя разложения (3.4) в систему (3.2), после ортогонализации получаем систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд А, В, С и алгебраические выражения для амплитуд Б, Е:
A+
Ra0 =
Ra0 Rae 0
28(10 + n2 k 2)2(12 + n2 k 2)
(3.8)
27n-k2
Ra£Q =
28(n-k 2 + 42)(10 + n2k 2)2(12 + n2 k 2) n2k 2(27(п2 k2 + 42) - 252)
дС 1
Pr— = -42C + -nkAB, дt 2
^ 14B cosat 1 ^
D = --.---------r, E =— Ccosat. (3.5)
(n2k2+42) 20 V '
Исключим амплитуду D и перемасштабируем все переменные:
где Ъ и q - геометрические параметры, г и е -нормированные тепловое и электрическое числа Рэлея; Яа0, Кае0 - критические числа, при которых начинается термогравитационная или диэлек-трофоретическая конвекция соответственно. Из определения электрического числа следует, что е -всегда положительно (е > 0).
Динамическая система (3.7) является обобщением маломодовой модели Лоренца [5] на случай твёрдых границ в переменном электрическом поле.
4. Результаты и обсуждение
Система (3.7) имеет тривиальное решение, отвечающее отсутствию конвекции (X = 0, У = 0, 2 = 0 ). В постоянном электрическом поле проведено исследование линейной устойчивости равновесия диэлектрической жидкости. В результате найдено уравнение нейтральной кривой
27Яа
Ra„ = -
27n-k2 + 8
_2. 2 , _4. 4
28 (24n-k 2 +n4k4 + 504) (10 + n2k 2 )(n2k 2 + 42 )
n2k2 (27n-k2 + 882
)
(3.9)
В случае невесомости Яа = 0 (г = 0) волновое число и электрическое число Рэлея в минимуме
+
+
нейтральной кривой к = 1.02, Яае = 2132.8. В модели со свободными границами в невесомости они соответственно равны к = 1, Яае = 1558.6 [3].
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (3.7) интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Мерсона 4-го порядка точности с постоянными начальными условиями при разных значениях внешней частоты и электрического числа. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого преобразования Фурье. По спектральному составу отклика конвективной системы на внешнее электрическое поле определялись типы режимов.
Исследование нелинейных режимов конвекции идеального диэлектрика было проведено для числа Прандтля Рг = 10 в случае невесомости г = 0. Волновое число бралось в минимуме нейтральной кривой к = 1.02. Тогда геометрические параметры Ь = 2.07, q = 1.89. Все вычисления сделаны для этих значений.
Были обнаружены равновесные, периодические и хаотические электроконвективные режимы движения жидкости.
В постоянном поле все возмущения затухают ниже е = 1.8, выше которого начинается конвекция. Хаос наступает при е = 47.9.
В переменном поле область равновесия, в которой все возмущения затухают, располагается при разных внешних частотах ниже е = 3.8. Возмущения в этой области затухают колебательным образом.
Внешняя частота V Граница хаоса ех (свободные границы) Граница хаоса ех (твёрдые границы)
0 20.9 47.9
1 27.5 52.6
2 39.8 90.3
3 39.9 92.5
4 41 92.3
5 41.1 92.5
10 41.6 94.7
20 41.8 95.5
В таблице приведены значения параметров, при которых происходит переход к хаосу. В первой колонке приведены значения частоты модуляции, во второй - граница хаоса в модели со свободными граничными условиями, в третьей - в модели с твёрдыми граничными условиями
Выше этого значения электрического числа в слое возникает параметрическая неустойчивость -рождаются периодические колебания. Вдали от границы равновесия спектры Фурье этих колеба-
ний содержат две несоизмеримые частоты - удвоенную внешнюю частоту и некоторую собственную, их гармоники и комбинированные частоты. Это квазипериодические колебания.
Выше области периодических колебаний наблюдаются хаотические режимы. Спектр Фурье -сплошной, что является признаком хаотического режима. Переход к хаосу происходит через квазипериодичность [3, 5]. При высоких внешних частотах (малых периодах) он осуществляется при электрическом числе в два раза большем, чем в постоянном поле.
Проведено сравнение найденных значений параметров, при которых происходит переход к хаосу, со значениями, найденными ранее на основе трёхмодовой модели, полученной для свободных граничных условий [3]. Данные приведены в таблице. В модели с твердыми граничными условиями пороги устойчивости и граница к хаосу становятся более чем в два раза выше по сравнению с моделью со свободными границами.
5. Заключение
В работе рассмотрен случай, когда диэлектро-форетический механизм зарядообразования играет существенную роль. Получена маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика для твёрдых граничных условий. Исследованы режимы электротермической конвекции идеального жидкого диэлектрика при разных значениях амплитуды и частоты внешнего электрического поля горизонтального конденсатора.
Обнаружены равновесие, периодические и хаотические режимы движений в жидкости. Определены значения параметров, при которых происходит смена этих режимов.
Проведено сравнение полученных результатов с результатами, найденными ранее на основе трёхмодовой модели для свободных граничных условий [3]. В модели с твердыми граничными условиями пороги устойчивости и граница к хаосу повышаются по сравнению с моделью со свободными границами.
Список литературы
1. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. С. 176.
2. Ильин В. А. // Вестн. Перм. ун-та. 2004. Вып. 1. Физика. С. 100.
3. Ильин В. А., Смородин Б. Л. // Вестн. Перм. унта. 2005. Вып. 1. Физика. С. 94.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. С. 736.
5. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. С. 368.
