CC BY
23ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Серия: Физика
УДК 532.5
Электроконвекция слабопроводящей жидкости в высокочастотном электрическом поле
Вып. 3 (25)
В. А. Ильин, Л. А. Пономарева
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Исследована электроконвекция слабопроводящей жидкости в высокочастотном переменном электрическом поле горизонтального конденсатора на основе пятимодовой модели в случае мгновенной релаксации заряда. Построена карта режимов - найдены границы областей существования различных нелинейных режимов конвекции. Определены сценарии перехода к хаосу.
Ключевые слова: электроконвекция; слабопроводящая жидкость; переход к хаосу
1. Введение
Движение слабопроводящих жидкостей в электрическом поле привлекает внимание тем, что представляет собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкой среды. Переменные электрические поля в зависимости от амплитуды и частоты могут сильно изменять пороги конвективной неустойчивости и обеспечивать эффективный способ управления конвекцией в различных технологических ситуациях.
Конвекция слабопроводящей жидкости в электрическом поле возникает благодаря действию электроконвективных механизмов зарядообразо-вания, связанных с различными способами образования электрического заряда в жидкости [1]. В данной работе рассматривается электрокондуктив-ный механизм зарядообразования, связанный с зависимостью электропроводности жидкости от температуры. Он приводит к накоплению заряда в объеме жидкости. Взаимодействие свободных зарядов с внешним полем может привести к возникновению электроконвекции жидкости даже в невесомости.
Известно, что в случае электрокондуктивного механизма неустойчивости конвекция в постоянном электрическом поле возникает колебательным образом [2]. Частота нейтральных колебаний жидкого диэлектрика зависит от его электрофизических свойств. В переменном поле (электрическом или тепловом) конвективные движения, вообще говоря, будут характеризоваться двумя несоизме-
римыми частотами: собственной частотой колебаний и частотой внешнего поля, что соответствует квазипериодическим колебаниям [3, 4]. Благодаря нелинейному взаимодействию конвективной системы с внешним полем, ее отклик может содержать различные комбинационные частоты либо система может захватить внешнюю частоту, что приведет к вынужденной синхронизации конвективных колебаний жидкости и переменного электрического поля [5].
В работе [5] на основе полученной пятимодовой модели электроконвекции в случае мгновенной релаксации заряда изучены нелинейные режимы течений слабопроводящей жидкости, находящейся в переменном электрическом поле горизонтального слоя со свободными границами. Для произвольных частот обнаружены квазипериодиче-ские колебания жидкости с двумя несоизмеримыми частотами - с собственной частотой и частотой переменного электрического поля, и их синхронизация.
В аналогичной постановке в [6] получена восьмимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости в случае конечного времени релаксации заряда и проведено предварительное исследование в постоянном электрическом поле. Результаты более подробного исследования в постоянном электрическом поле приведены в работе [7].
Быстропеременные воздействия на физические системы приводят к новым физическим явлениям. Например, маятник с нижней точкой подвеса становится устойчивым при высокочастотных вибрациях [8].
© Ильин В. А., Пономарева Л. А., 2013
Влияние высокочастотных вибраций на режимы тепловой конвекции исследованы в работе [9]. В ней получена и исследована трехмодовая модель тепловой конвекции жидкости при высокочастотных вибрациях.
В работе [10] получена и исследована трехмодовая модель электротермической конвекции идеального диэлектрика, находящегося в переменном электрическом поле горизонтального слоя со свободными границами. В [11] приведены результаты более подробного исследования этой модели, а также получена и исследована трехмодовая модель электроконвекции в высокочастотном электрическом поле.
Настоящая работа основывается на пятимодовой модели электроконвекции, полученной в [5], и являющейся при мгновенной релаксации заряда частным случаем восьмимодовой модели, описанной в [6, 7]. По аналогии с работами [9, 11] из нее получена и исследована модель электроконвекции слабопроводящей жидкости в пределе высокочастотного электрического ПОЛЯ.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский горизонтальный слой неоднородно нагретой вязкой несжимаемой слабопроводящей жидкости, находящейся в переменном вертикальном электрическом поле Е и поле тяжести g (рис. 1). Ось х направлена вдоль нижней границы слоя, ось г - перпендикулярна границам слоя.
Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат
Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора расположены при г = 0,/?(/?- толщина слоя), и нагреты до разной температуры Т(0) = ©, '/ (/?) = 0. Здесь Т - температура, отчитываемая от некоторого среднего значения, © - характерная разность температур. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. Потенциал поля верхней границы равен нулю: <р(Ь) = 0, потенциал нижней - изменяется со временем по гармониче-
скому закону: <р(0) =U cos (о/) . Здесь U - амплитуда напряжения, со = 'lnv = 2njtf -частота, tf -
период модуляции.
Для изучения поведения слабопроводящей жидкости в электрическом поле используется электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты считаются пренебрежимо малыми по сравнению с электрическими [2].
В данной работе рассматривается только один из возможных механизмов зарядообразования -электрокондуктивный, связанный с неодинаковой электропроводностью жидкости вблизи горячего и холодного электродов. При небольших разностях температур между границами слоя неоднородность электропроводности слабая. Будем считать, что электропроводность жидкости линейно зависит от температуры: а = а0 (1 + /?стГ) , где - положительный температурный коэффициент электропроводности, так что электропроводность увеличивается с ростом температуры. Такая зависимость соответствует первым членам разложения функции а(Т) в ряд Тейлора около средней температуры. То есть в этом случае действует электрокондуктивный механизм неустойчивости.
В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде
/-=«£4£IV<4VHH' <■>
здесь ре - свободный заряд единицы объема, е, р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье - Стокса. В задаче рассматриваются жидкости, в которых диэлектрическая проницаемость практически не зависит от температуры, т. е. вторая (диэлектрофоретиче-ская) часть этой силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости s, не существенна, равна нулю. Такой подход оправдан физическими свойствами используемых в экспериментах жидкостей, для которых электропроводность намного сильнее зависит от температуры, чем диэлектрическая проницаемость (За »Я-Движение в этом случае может вызвать только первая (кулоновская) часть силы, связанная со свободным объемным электрическим зарядом.
В работе предполагается, что максимальная разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения U*, начиная с которого существенно влияние инжекции на движение жидкости. В уравнении теплопроводности пренебрежем вязкой диссипацией и джоулевым разогревом. Коэффициенты динамической вязкости и температуропроводности будем считать постоянными. Рассмотрение проведено в рамках
приближения Буссинеска. Возникновение конвекции вызвано пространственной неоднородностью плотности жидкости р и электропроводности жидкости су . Система уравнений конвекции сла-бопроводящей жидкости в гравитационном и электрическом полях имеет вид:
р[ ^¡+(у'у'))=~ур+7,^у+Р8+РеЕ 7
дТ
+ (v • V) Т = %ÁТ, div v = 0 .
div= ре,Е = -Vcp ,
(2)
др.
dt
+ div {<~>Е) + (»-• V) ре = 0.
р=р0(\-рт), а = а0(\ + ^Т).
Здесь V = (и, \\ и’). р. Т - поля скорости, давления и температуры, 77 - динамическая вязкость, X, Р ~ коэффициенты температуропроводности и теплового расширения жидкости.
Рассмотрим случай свободных недеформируе-мых изотермических границ слоя, на которых обращаются в ноль вертикальная компонента скорости, а также касательная компонента тензора вязких напряжений (штрихом обозначена производная по г):
г = 0\ = = 0, Т = ®, ф = и сое (®/) ,
2=к:м! = м?п = 0,Т = 0,д> = 0. (3)
Как правило, Р, Ра ~ 10 2 град4, поэтому в обычных условиях при умеренном нагреве (—10 град) Дт©< 1. Теоретические исследования электротермической конвекции в постоянных ПОЛЯХ, использующие условие Ра®<< 1, находятся в хорошем согласии с экспериментом.
В задаче конвекция возникает благодаря действию двух механизмов неустойчивости: термогравитационного и электрокондуктивного. Элект-рокондуктивный механизм приводит к накоплению объемного электрического заряда, который посредством кулоновской силы взаимодействует с внешним электрическим полем и может приводить жидкость в движение даже в невесомости.
Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - [/] = р(11г / ?/, расстояния - [г] = к, скорости - [ V ] = %/к, температуры -[Г] = ©, потенциала - [^с] = С/, поля - [£”] = 11 /И, давления - [ /'] = 47.1 ^ ■ плотности заряда -
[ре\ = еи/к2. Тогда система уравнений электроконвекции слабопроводящей жидкости в безразмерном виде запишется следующим образом:
— + — (т’-У)г’ = -У» + Дг’ + 11 рЕ + КаТу,
5/ Рг
ят
Рг — + (г-У)Т = АТ, div V = 0 ,
<3/
?ге^ + ^(г-У)Ре+<ІІу(аЕ) = 0, (4)
<ііу(£') =ре, Е = -Уср , ст = 1 + 8стГ, у = (0,0,1).
Граничные условия примут вид:
2 = 0'. М! = м>" = 0 ,Т = \,<р = сое (®/) ,
2 = 1: \у = \у" = 0,Т = 0,ф = 0. (5)
Система уравнений (4) содержит следующие безразмерные параметры: тепловое число Рэлея 11а, электрический аналог числа Галилея , чис-
ло Прандтля Рг, электрическое число Прандтля Рге и Б, - малый параметр, характеризующий неоднородность электропроводности жидкости:
ЄІІ2
ра P0gP®h
Рг =
V
Рг =■
Ш
Slj
h Ро°о
VX ХРо
S =Д0, Ra =SR . (6)
(7/(7* (7 (7(7
Здесь RaCT - электрический аналог числа Рэлея, он меняет знак при изменении направления градиента температуры. Электрическое число Прандтля характеризует отношение времени релаксации заряда и гидродинамического времени в системе. Когда Pre« 1, объемный заряд релаксирует мгновенно; при Pre » 1 заряд вморожен в жидкость и переносится благодаря ее движению; при Pre ~ 1 времена релаксации заряда соизмеримы с характерными временами затухания вязких возмущений.
Рассмотрим состояние механического равновесия, для которого скорость жидкости равна нулю: v0 = 0, все остальные переменные зависят от поперечной координаты, а поле и плотность заряда
еще и от времени: Т = Т0 (z), р = p0(z),
Е = (О, 0,Е0), E = E0(Z,t), <p = <p0(2,t), Ре = Ао (z- 0 • Эт° состояние определяется системой уравнений:
-Vp0 + Raroy + R„pe0E0 = 0, ДГ0 = 0,
divE’0=p,0, Eü=-Vcpü (7)
Pre^ + div(^0) = 0,
<т0=1 + ЗД-
Из первого уравнения получаем следующее условие равновесия:
RaVA0X^0+RaV;r0X7 = 0, (8)
из которого следует, что равновесие возможно, когда векторы V/?e0, Е0, VT0 и / параллельны друг другу.
Равновесное распределение температуры и распределения электрического поля, потенциала и
плотности заряда с точностью до слагаемых второго порядка малости по степени неоднородности электропроводности имеют вид:
T0=l-z:
„ i 1 ]cos®/ + Pr cosincot Е0 = cos + S J z— -----------------------------e—-.
0 CT| 2 1 + Pr2®2
.4 S / 2 \ COS COt + Pr со sin cot
cp0 =(l-z)cos®/—-\z -z)-----------e—-----
0 V ' 2 V ' 1 + Рг со
Введем функцию тока для скорости
8 и/ 8 и/
W = , U =-----— .
дх dz
(12)
„ cos cot + Pr со sin cot
1 + Рг.: Й,2------------ <9)
Малость параметра 8СТ «1 дает возможность использовать безындукционное приближение, в котором в расчет берется только внешнее электрическое поле (по сравнению с ним пренебрегается электрическим полем, связанным с перераспределением заряда в жидкости) [2].
Заряд представим в виде ре = §ар'е (затем штрих опустим). Тогда система уравнений (4) перепишется в виде:
^ (V • V) V = -Ур + Ду + Ra(T/?(,y сое Ш + 11а Ту,
дТ
Рг —+ (^-У)Г = ДГ, (Иуг = 0, (10)
Рг —- + ^-(у- V) р + р + —со в®/ = 0 .
е 81 Рг v ’ е е &
Несмотря на малость неоднородности электропроводности , связанной с температурой, электрический аналог числа Рэлея 11а остает-
ся конечным, так как параметр большой.
Представим поля скорости, температуры, давления и плотности заряда в виде: V, Т = Т0+3, р = ро+р’, Ре=Рео + р'е (штрихи означают отклонения величин от равновесных значений, далее штрихи опускаем). Плоские и пространственные возмущения одинаково опасны, поскольку задача изотропна в плоскости слоя, поэтому ограничимся рассмотрением плоских возмущений: V = (и, 0, и’), 8/ду = 0. Учтем равновесное решение системы (10). Граничные условия для возмущений примут вид:
г = 0, 1: = м? = 3 = 0. (11)
8 . 1 (8ц/ 8 , 8ц/ 8 k \
— Au/Ч-----—-------Д|и----------Д|и =
8t Vx\ 8xdz 8z дх )
т, др „ 35 i2
= Ra„—Lcos®í + Ra-----------ьД w,
дх дх
83 8и/ 83 8и/ 83 АП 8и/
Рг — +—------------------— = АЗ + — , (13)
8t дх 8z 8z дх дх
Рг + р + dt Рг ^ дх dz dz дх ) дЗ
н----cos cot = 0,
dz
с соответствующими граничными условиями:
z = 0, 1: \f/ = \f/” = 3 = 0 . (14)
Для решения системы уравнений (13) с граничными условиями (14) будем использовать метод Галёркина, применяя следующие аппроксимации полей функции тока ц/ и температуры 3 , удовлетворяющие граничным условиям, и плотности заряда ре:
ц/ = (Д (/) sin nz + Д (/) sin 2nz) sin якх,
3 = (Bj (/) sin tiz + B2 (t) sin 2tiz) eos тгкх +
+C(/)sin27rz,
pe = (Д (t) eos tiz + D2 (t) eos 2tiz) eos якх +
+E(t)cos27iz.
Здесь к - волновое число, характеризующее периодичность возмущений в плоскости слоя (из него вынесено число ж); Ai, А2, Въ В2, A, D2, Е, С -амплитуды, характеризующие различные пространственные моды. В разложениях (15) присутствуют слагаемые с разной четностью по z. Эго связано с тем, что в уравнении для эволюции возмущений заряда присутствует слагаемое, содержащее первую производную по z, которое обуславливает перераспределение энергии между модами различной четности.
Коэффициенты разложения в ряд Фурье (15) (амплитуды) определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Подставим разложения (15) в систему (13), и после проведения процедуры ортогонализации получим систему восьми обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд:
(15)
8А1
dt
= -п2 (1 + £2)Д + -
■(!+*•)
RaS1 -
4 к
Ътт2 (l + k2)
= -7Г2 (4 + &2)Д dt [ > 2
Ra„ Coso/A
R а/) +
В терминах функции тока ц/ уравнения для возмущений примут вид:
8 к
Зтг2(4 + к2)
(4 + *’)
RaCT coso/Ц
Рг^- = -тг2 (1 + к2)в, + якА, + я2кА,С.
dt v ' 1 1 1 '
pr^ = -я2 (4 + к2)В2 + якА2,
dt
?г^- = -4я2С-^АА, (16)
dt 2
<ЭД ^ 7г2£Рг , „
Рг —- = -/), н-L Ait -яВ, cos®/,
е 5/ 1 Рг 1 1
3D
Рг —- = - Д - 2яВ2 cos at,
е dt 2 2
дЕ „ я2к?г t ^ ^
Рг — = -Е----------^ДД -2 яС cos at.
е dt 2Pr 1 1
Перемасштабируя переменные
Рг , 72(1 +А:2) ^
—Г-——д
тг2(1 + £2)
к
к я
b^^wc^L.
п я
Д -»-v/ls, Д ->2^2Т, Е^и ,
(17)
получим восьмимодовую модель электроконвекции (точка над переменными обозначает производную по времени):
5>=—^ + Хи — ¿У сое ®/,
Рэлея может быть как положительным, так и отрицательным, так как по определению (6) линейно зависит от разности температур между обкладками конденсатора, и при нагреве сверху будет отрицательным.
Динамическая система (18) является обобщением маломодовой модели Лоренца [12] на случай электроконвекции слабопроводящей жидкости с электрокондуктивным механизмом зарядообразо-вания в переменном электрическом поле.
В случае Рге = 0 (g —> оо), когда время релаксации заряда много меньше характерного гидродинамического времени (заряд мгновенно рассасывается в жидкости), из системы (18) получается пятимодовая модель электроконвекции:
X = Рг(-Х + г Y +eWcos2 a t),
Y =-Y +Х + XZ ,
Z = -bZ-XY, (20)
V = Pr(-dF + (rW-qY eos2 at)jd} ,
W = -&W + V.
Целью настоящей работы являлось получение и исследование модели электроконвекции в высокочастотном электрическом поле.
3. Пятимодовая модель электроконвекции в высокочастотном электрическом поле
Т = -g Т - gfFcos at,
U = -gU-XS-2gZcosat,
V = Рг (-dV + (г W + qScos at)/d),
W = -&W + V, (18)
X = Pr(-X + r7-qTcosat),
Y = -Y +X + XZ,
Z = -bZ-XY .
Здесь введены следующие новые параметры:
я\1 + к2)3
Ra Ra„
r=------, е=-------—
Ra„ Raa0
Ra„ =:
к
8 Г
l + k
(19)
d =
\ + k
Pr
1 + к тг2(1 + Г)Рге
где г, е - нормированные тепловое и электрическое числа Рэлея; Ra0, Raa0 - критические числа, при которых начинается термогравитационная или электрокондуктивная конвекция соответственно; Ь, d - геометрические параметры, зависящие от волнового числа; g - параметр, определяющий отношение времени релаксации тепловых возмущений и возмущений заряда. Здесь электрическое число
Рассмотрим модель (20) в высокочастотном электрическом поле, когда период колебаний поля много меньше всех характерных времен движения жидкости.
Решение этой системы уравнений представляем в виде суммы медленно (х0. v0. z(l. У„. И’0 ) и быстро меняющихся со временем слагаемых (x,y,z,v,w): X = х0+х, Y = у0+ у, Z = z0+z,
V=v0+v,W = w0+w. (21)
Подставляем эти выражения в систему (20), усредняем по времени, учитываем, что средние значения быстро меняющихся слагаемых равны нулю, а средние значения от медленных частей равны им самим. В результате получаем систему уравнений для усредненных величин:
х0 =-Prx0 +Pri}’0 +Pr ~(w0 +(wcos2 at)),
У0=-У0 +*о + xozo + (xz), (22)
¿о =-Ъ20-хоУо-(хУ), v0 = - Pr dv0 + Pr I w0 - Pr ^ (y0 + (y cos 2at)) ,
w0 =-dw0+v0.
Среднее значение по времени некоторой величины А определяется по следующему правилу:
1 Т 2л
(А} = —^АЖ, где Т = — - период колебания
Т о со
внешнего ПОЛЯ.
Запишем уравнения для быстро меняющихся слагаемых:
X = -Ргх + Рггу + Рг-^(м' + м'0 сое 2®/),
У = ~У + х + x0z + xz0, z = -bz-x0y-xy0, г е
v = -Prdv + Pr —w-Pr —(>, + >’0cos2®/).
(23)
(24)
(25)
1
w = -
4®d
1
8d®
Prey0 sin 2®/,
2 Pr>,0ecos2®/.
Найденные решения (25) подставляем в систему уравнений (22) и получаем систему уравнений, описывающих осредненное движение слабопроводящей жидкости в высокочастотном пределе (нулевые индексы опущены, а переменные переписаны через прописные буквы):
Х = -РгХ + ^р^ + Рг7(г + Ое2),
Y = -Y +Х + XZ , (26)
Z = -hZ-XY ,
Pr g
V = - Pr dF-----Y + — rW + PrDe2W(l + Z),
2d d v ’
w = -m+v.
Здесь введен новый параметр Pr
D = -
32® d
(27)
w = -dw + v.
Слагаемые (-Prx), (- v). (-bz), (-Prdv),
(-dvr) дадут затухающий со временем вклад в решение. Быстро меняющиеся переменные малы по сравнению с медленно меняющимися величинами, производные по времени пропорциональны частоте, которая считается большой. Учитывая это, мы пренебрегаем слагаемыми Ргг у, Рг с и/ 2 по сравнению с другими в первом уравнении системы (23), и слагаемыми Рг г и/d. Pre>,/(2d) - в четвертом. Из этих уравнений следует, что х и v будут иметь первый порядок малости по обратной частоте. Из вида остальных уравнений видно, что у, z и w будут иметь второй порядок малости. Тогда получается, что x0z мало по сравнению с другими слагаемыми во втором уравнении, а х0 у - в третьем. В итоге получаем систему уравнений:
х = — Pr wne cos 2cot,
2 0
j = x(l + z0), z = -xy0,
Pre
v =-------vncos2®/, w = v.
2d 0
Решения этой системы имеют вид:
х = — Pr wne sin 2®/,
4® 0
у =-----Y?rw0 (l + z0)ecos2®/,
8®
z = —i-у Pr y0 w0e cos 2cot,
8®
который характеризует переменное электрическое поле. Этот параметр аналогичен вибрационному параметру, использованному в статье [9]. В нашем случае он зависит от частоты электрического поля, числа Прандтля и геометрического параметра. Он всегда положителен. Его будем называть параметром высокочастотного электрического поля.
4. Результаты и обсуждение
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (26) для амплитуд интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Мерсона 4-го порядка точности при разных значениях параметра высокочастотного электрического поля Б и электрического числа е. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого преобразования Фурье [12]. По временной эволюции и спектральному составу отклика конвективной системы на внешнее электрическое поле определялись типы режимов.
Исследование нелинейных режимов электроконвекции было проведено для числа Прандтля Рг = 100, что соответствует типичным слабопрово-дящим жидкостям; геометрические параметры d = 2.56, Ь = 2.08 выбирались соответствующими минимуму нейтральной кривой в случае невесомости г = 0. Параметры взяты из работы [7].
Были обнаружены равновесие, стационарный, периодический и хаотический электроконвектив-ные режимы движения жидкости. Полученные данные были обобщены и построена карта режимов (рис. 2).
Равновесие существует в области 1,2- область стационарного режима, 3 - область периодического режима, 4 - область хаоса (рис. 2). В области хаоса наблюдаются окна периодичности. Хаотический режим определялся по сплошному спектру Фурье, что является признаком хаотического режима [12].
При Б = 0, что соответствует случаю бесконечно большой частоты, конвекция начинается колебательным образом при е = 84, а хаос наступает при е = 1039. Переход к хаосу происходит через перемежаемость [12]. В этом случае во временном сигнале участки хаотических колебаний чередуются участками периодических колебаний.
Изучены эволюция нелинейных режимов и сценарий перехода к хаосу при разных значениях параметра высокочастотного переменного поля D. Продемонстрируем эволюцию режимов электроконвекции при D = 1. Зависимость среднего тепло-потока (числа Нуссельта [7]) от электрического числа в этом случае представлена на рис. 3. Равновесие в жидкости существует до е = 1.1, начиная с которого рождается стационарная конвекция. Интенсивность стационарной конвекции увеличивается с ростом электрического числа, затем происходит переход к колебательной конвекции с меньшим средним теплопотоком. При расчете методом продолжения по параметру было выявлено, что переходы между этими режимами осуществляются гистерезисным образом. Переход от стационарного режима к периодическому режиму происходит при е = 10.5, при расчете справа налево в пространстве параметров колебания происходят до е = 9.6. При меньшем е рождается стационарная конвекция.
При дальнейшем росте электрического параметра интенсивность колебательной конвекции растет. В спектрах Фурье наблюдается основная частота и ее высшие гармоники. Переход к хаосу происходит в результате каскада удвоений периода, по сценарию Фейгенбаума. Вычисленные при постоянных начальных условиях значения с1:. при которых происходит бифуркации удвоения периода (к - номер бифуркации), следующие: ej = 36.1067, е2 = 36.1479, е3 = 36.1571. Хаос возникает при с, = 36.16. Оценка константы Фейгенбаума дает значение: 5 = 4.478. Точное ее значение равно [13]:
lim Qk~Qk-1 =¿ = 4.669...
к^оо р __р
С£+1
На рис. 4 представлен Фурье спектр периодических колебаний амплитуды X со временем при D = 1, е = 36. При D = 1, е = 37 Фурье спектр становится сплошным, как у хаотических колебаний (рис. 5). При других значениях параметра высокочастотного электрического поля D поведение элек-троконвективных режимов аналогичное и переход к хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума.
В пятимодовой модели для произвольных частот [5], как описано во введении, были обнаружены квазипериодические колебания жидкости с двумя несоизмеримыми частотами, и их синхронизация. В модели в высокочастотном приближении таких колебаний обнаружено не было.
Рис. 2. Карта режимов на плоскости параметров (е, Д): 1 - область равновесия, 2 - область стационарного режима, 3 - область периодического режима, 4 - область хаотического режима
Рис. 3. График зависимости среднего теп-лопотока (числа Нуссельта) от электрического числа при Б = 1
V
Рис. 4. Фурье-спектр периодических колебаний амплитуды X при D = 1, е = 36
v
Рис. 5. Фурье-спектр хаотических колебаний амплитуды X при D = 1, е = 37
5. Заключение
В работе рассмотрена электроконвекция слабопроводящей жидкости, в которой электрокондук-тивный механизм зарядообразования играет основную роль. Получена пятимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости в высокочастотном электрическом поле. Исследованы режимы электроконвекции при разных значениях электрического параметра и параметра высокочастотного электрического поля. Обнаружены равновесие, стационарный, периодический и хаотический режимы движения жидкости. Определены значения параметров, при которых происходит смена этих режимов. Построена карта режимов на плоскости электрическое число - параметр высокочастотного переменного поля.
Для разных значений параметра высокочастотного электрического поля определены сценарии перехода к хаосу. Показано, что в предельном случае бесконечно большой частоты переход к хаосу происходит через перемежаемость, при других значениях частот - через последовательность удвоений периода по сценарию Фейгенбаума.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (N 13-01-00171).
Список литературы
1. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогид-родинамические течения в жидких диэлектриках. JL: Изд-во ЛГУ, 1989. 172 с.
2. Саранин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2009. 332 с.
3. Smorodin В. L., Velarde М. G. Electrothermo-convective instability of an ohmic liquid layer in an unsteady electric field // Journal of Electroctat-ics. 2000. Vol. 48, № 3-4. P. 261-277.
4. Смородин Б. JI. Возникновение конвекции слабопроводящей жидкости в модулированном тепловом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. Т. 120, №6. С. 1421-1429.
5. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция омической жидкости в переменном электрическом поле // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2003. Вып. 1. С. 102-107.
6. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости // Письма в Журнал технической физики. 2007. Т. 33, вып. 8. С. 81-87.
7. Ильин В. А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле // Журнал технической физики. 2013. Т. 83, вып. 1.С. 64-73.
8. Капица И. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. 1951. Т. 44, вып. 1. С. 7-20.
9. Закс М. А., Любимов Д. В., Чернатынский В. И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. № 3. С. 312-314.
10. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе // Письма в Журнал технической физики. 2005. Т. 31, вып. 10. С. 57-63.
11. Ильин В. А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 38-48.
12. Берже П., Иомо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. С. 368.
13. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.
Electroconvection of low-conducting liquid in high-frequency electric field
V. A. Ilin, L. A. Ponomareva
Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm
Electroconvection of low-conducting liquid in high-frequency alternative electric field of horizontal capacitor is investigated on the base of five mode model in case of instantaneous relaxation charge. The card of regimes - borders of existence areas of various nonlinear convection regimes is constructed. Transition scenarios to chaos are defined.
Keywords: electroconvection; poorly conducting liquid; transition to chaos
