CC BY
7_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2013 Серия: Физика Вып. 3 (25)
УДК 532.5
Периодические и хаотические режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле
Н. Н. Картавых
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Изучены нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Рассматривается приближение, в котором основной вклад в электроконвекцию вносит электрокондуктивный механизм, связанный с неоднородностью электропроводности вблизи горячей и холодной обкладок конденсатора. Получены зависимости интенсивности конвективных течений от безразмерного электрического параметра. Определены области существования периодических и хаотических колебательных режимов электроконвекции. Обнаружено, что переход к хаосу осуществляется через каскад бифуркаций удвоений периода.
Ключевые слова: переменное электрическое поле; слабопроводящая жидкость; электроконвекция
1. Введение
Изучение электроконвекции актуально, поскольку она используется в различных электрогидродинамических устройствах. Возникновение и эволюция электроконвективных движений в слабопроводящей жидкости в электрическом поле до конца не изучено [1]. Существует много сложностей в экспериментальных и теоретических работах. Трудности исследования, в частности, связаны с тем, что в таких средах присутствует несколько механизмов зарядообразования, основными из которых являются инжекционный, диэлектрофорети-ческий и электрокондуктивный механизмы [2].
В работах [3, 4] проведено исследование нелинейных режимов электроконвекции идеального диэлектрика в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора на основе трехмодо-вой модели. В работе [5] в рамках пятимодовой модели в случае мгновенной релаксации заряда исследованы нелинейные электроконвективные режимы течений слабопроводящей жидкости, находящейся в переменном электрическом поле. Расширенная восьмимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости в случае конечного времени релаксации заряда получена и исследована в постоянном электрическом поле в работах [6, 7].
В настоящей работе на основе восьмодовой модели, полученной в [6, 7], исследованы электроконвекция и переходы к хаосу в слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле. Основным механизмом зарядообразования является электрокондуктивный механизм, обусловленный различными значениями электропроводности около горячей и холодной пластин конденсатора.
2. Постановка задачи
Рассмотрим вязкую несжимаемую слабопрово-дящую жидкость, заполняющую плоский горизонтальный конденсатор. Жидкость находится под действием переменного вертикального электрического поля Е и поля тяжести ц . Ось г направлена перпендикулярно границам слоя, ось х - вдоль его нижней границы. Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора расположены при г = 0, к (А - толщина слоя). Потенциал поля верхней границы равен нулю: <р(К) = 0, потенциал нижней - гармонически меняется со временем: <р(0) = IIоо$,(2тгу{), и - амплитуда, V - частота поля. Границы слоя нагреты до разных температур: Г(0) = ©, '/(/?) = 0. Т - температура, отчитываемая от некоторого среднего значения (рис. 1).
О Картавых Н. Н., 2013
1
T(h) = 0, cp(h) = 0
е1 1 g
Т у -►
г(0) = &, <р(0) = Ucos.(2.7rvt) х
Рис. 1. Геометрия задачи и система координат
В работе рассматривается электрокондуктив-ный механизм образования зарядов, который возникает из-за разной электропроводности вблизи горячей и холодной обкладок конденсатора. Зависимость электропроводности от температуры в актуальном диапазоне температур может быть линеаризована: а = сг0 (1 + Д//), где - положительный коэффициент зависимости электропроводности от температуры.
Электроконвекция может быть описана в рамках восьмимодовой модели, предложенной в [6, 7] и представляющей собой расширение модели Лоренца на случай течений слабопроводящих жидкостей в электрическом поле:
X = Pr (-Х + rY —еТ cos (2 Trvt)),
Y = -Y + X + XZ ;
Z = —bZ — XY ,
V = Pr {-dV + (rW + eS cos (2xvt))¡d) ,
W = -dW + V,
S = -fS + XU - f 7 cos (iTrvt),
T = -fT - fW cos (iTrvt),
U = -fU-XS-2fZcos(27rvt), (1)
n\\ + k2f
Ra Ra
r =-, e =-
Ra„ Ra
Ra0=-
k2
8 k1
l + k
d =
4 + k2 l + k2
f =
Pr
Я" (1 + ^ )Pre
где X, V - амплитуды пространственных гармоник функции тока; Y, 2 , W - температуры, , Т, и - плотности заряда; Ra, Ra(T Рг, Рге -безразмерные параметры среды (число Рэлея, электрическое число Рэлея, число Прандтля, электрическое число Прандтля) [2, 8], г - эффективное тепловое число Рэлея и е - безразмерный электрический параметр; Ra0, Raa0 - критические числа, при которых начинается термогравитацион-
ная [8] или электрокондуктивная [9] конвекция, соответственно; Ь , d - геометрические параметры; / - определяет отношение времени релаксации тепловых возмущений и возмущений заряда, к - волновое число, характеризующее периодичность электроконвективных структур вдоль конденсатора. Важным отличием системы (1) от модели Лоренца является то, что даже в статическом случае жидкость теряет устойчивость колебательным образом.
3. Результаты
Проведено исследование эволюции течений для параметров Рг = 400 , Рге = 30, соответствующих таким слабопроводящим жидкостям как конденсаторные и трансформаторные масла, и интенсивности нагрева г = 0.8. Значение волнового числа к = 0.933 соответствует минимуму нейтральной кривой электроконвекции в отсутствии гравитации (г = 0), при этом значения параметров таковы: Ъ = 2.138, с? = 2.604, / = 0.722 . При решении использовался метод продолжения по параметру. Задача в аналогичной постановке в постоянном электрическом поле исследована в [6, 7].
На рис. 2 представлена карта устойчивости режимов электроконвекции на плоскости электрическое число е - период колебаний поля 1/у . Ниже кривой наблюдается равновесие, все возмущения затухают. В этом случае тепло передается теплопроводным механизмом, когда число Нуссельта (среднее по времени значение безразмерного теп-лопотока, приходящегося на единицу горизонтальной границы конденсатора) равно единице ( Ыи =1). Выше кривой устойчивости мягко возникают электроконвективные регулярные колебания, в спектре Фурье которых существует набор кратных частот ут =ту, где т - целое число. Причем, при (Уу) < 6 основная частота в спектре соответствует удвоенной внешней частоте у1шЛ1=2у, а при (1/^)>6 совпадает с ней: угтт =у • Таким образом, в системе возможны два разных типа колебаний синхронного отклика, что аналогично параметрическому возбуждению ди-электрофоретической конвекции [3].
Рост амплитуды поля приводит к изменению типа колебательного режима и характера теплопе-реноса через конвективную ячейку. На рис. 3 представлен график зависимости теплопотока от электрического числа для частоты у = 0.11 (что соответствует движению по штриховой линии на рис. 2). При этой частоте реализуется синхронный режим с частотой г|ш||| = г. а Фурье-спектр временной эволюции сигнала содержит только нечетные гармоники внешней частоты (рис. 4, а). При увеличении электрического числа, начиная со зна-
чения е = 21.9, основной частотой в системе становится удвоенная внешняя частота Ута1п = 2 г . причем в спектральном составе отклика системы присутствуют только четные гармоники внешней частоты (рис. 4, б).
периода, и система выходит на хаотический режим.
Первая бифуркация удвоения периода происходит при е = 25.625 : в системе появляется частота,
200 е
150 -100 -50 -
0.6-1
А 0.4-
0.2-
0.2
0.4
V
а)
0.6
0
6
1/у
10
Рис. 2. Карта устойчивости на плоскости электрическое число е - период колебаний поля
N11
1.6 -
1.4 -
1.2 -
12
16
20
—I—
24
28
О.бп А
0.4
0.2
0.6П А
0.4
0.2-
Рис. 3. График зависимости безразмерного теплопотока от электрического числа при у = 0.11: штриховая линия соответствует движению справа налево; 1 - окно периодичности, 2 - область синхронизации
При достижении значения электрического числа, равного е = 24.7, в системе появляются вновь нечетные гармоники (рис. 4, в). При дальнейшем росте амплитуды поля происходит каскад удвоений
0.2
0.4
V
б)
0.2
0.4
0.6
0.6
V
в;
Рис. 4. Спектры Фурье отклика системы при у = 0.11: а) е = 18; б) е = 23; в) е = 25
равная половине внешней (у = 0.055). Второе удвоение - е = 25.8131 (у = 0.0275), третье-е = 25.8558 (у = 0.01375), четвертое е = 25.8649 (V = 0.06875). В таблице приведены значения электрического числа ек, соответствующие первым четырем бифуркациям удвоения периода.
Хаотические режимы впервые возникают при е = 25.87. На рис. 5 представлены Фурье-спектры временной эволюции сигнала системы после четвертой бифуркации и при хаотическом режиме.
В области хаотических колебаний найдено окно периодичности с минимальной частотой колебаний, равной трети внешней частоты и кратными ей гармониками (рис. 3, область 1). Например, при е = 26 основной частотой служит удвоенная внешняя частота vmain = 2 г . а все гармоники определяются соотношением vm=m-0.037, где т —
целое число. При анализе Фурье-спектра учитывались лишь те гармоники, амплитуда которых превышает значение 0.005. Гармоники с меньшей амплитудой считались шумом, генерируемым процедурой численного счета (рис. 6).
Значения электрического числа е , соответствующие бифуркациям удвоения периода
Номер Точки удвоения
бифуркации, п периода, еп
1 25.625
2 25.8131
3 25.8558
4 25.8649
0.050п А 0.025-1
OlLv
ill
iAIi ..I
0.1
0.2 0.3 V
a)
1.1Д'
0.4
0.5
0.050n
A 0.025-1
и
*
o.i
4
0.2 0.3 V
U
u
0.4
0.5
S = lim-
k—>co p — p ck+1 ck
= 4.669....
Для большей точности вычисления константы точки бифуркаций е2, е3 того знака после запятой.
0.6-,
А
0.4-
0.2-
U
X
-L-+-
I ,1 I
б;
Рис. 5. Спектры Фурье отклика системы при у =0.11: а) е = 25.8675; б) е = 25.9
Проведена оценка постоянной Фейгенбаума: д = 4.692, что с погрешностью 0.5 % совпадает с ее точным значением [10]:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 v
Рис. 6. Спектр Фурье отклика системы в
окне периодичности при v = 0.11, е = 26
При углублении в область хаоса наблюдается область синхронизации отклика системы с внешней частотой электрического поля (рис. 3, область 2). На этом участке имеют место периодические колебания с основной частотой, равной внешней V ■ =v.
main
При движении в пространстве параметров справа налево наблюдается явление гистерезиса (рис 3, штриховая линия). Первый гистерезисный переход является продолжением области синхронизации в область хаоса. Во второй гистерезисной петле наблюдается каскад изменений периода. Окончательный период соответствует удвоенной внешней частоте v^^ = 2 v . Оставшиеся две ги-
стерезисные петли представляют собой переходы между колебательными режимами.
На рис. 7 представлены фазовые портреты при частоте внешнего электрического поля v = 0.11 и электрическом параметре е = 253 . Приведены зависимости различных гармоник плотности заряда от гармоник температуры. При е = 25.3 реализуется периодический колебательный режим с основной частотой, равной удвоенной внешней vimin=2v, и набором частот vm=mv, где да-целое число. Как и следует ожидать в случае периодических колебаний, все траектории являются замкнутыми [11].
-0.2
-1.2
а)
б)
-0.4
в)
Рис. 7. Фазовые портреты при у =0.11, е = 25.3\ а) зависимость первой амплитуды плотности заряда от первой амплитуды температуры; б) зависимость второй амплитуды плотности заряда от второй амплитуды температуры; в) зависимость третьей амплитуды плотности заряда от третьей амплитуды температуры
4. Заключение
На основе восьмнмодовой модели электроконвекции изучено поведение слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора, когда основным механизмом зарядообразования является электро-кондуктивный механизм. Получена карта устойчивости режимов электроконвекции на плоскости электрическое число-период колебаний поля. В случае, когда эффективное электрическое число Рэлея превышает порог устойчивости, мягко возбуждаются колебательные режимы, и в результате эволюции система выходит на периодические вторичные течения. Рост степени надкритичности ведет к переходу к хаотическим режимам. Для частоты колебаний внешнего электрического поля V = 0.11 показано, что переход от периодических колебаний к хаосу происходит через каскад удвоений периода. По значениям электрического числа еп, соответствующим второй, третьей и четвертой бифуркациям, проводилась оценка константы Фей-генбаума. Отличие от точного значения константы составило 0.5 %. В области хаоса найдены окна периодичности, где проведен Фурье-анализ временной эволюции сигнала.
Автор благодарна В. А. Ильину и Б. Л. Смородину за обсуждение результатов и полезные советы.
Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00171).
Список литературы
1. Жакин А. И. Электрогидродинамика // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, №5. С. 495-520.
2. Болога М. К, Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.
3. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе // Письма в Журнал технической физики. 2005. Т. 31, вып. 10. С. 57-63.
4. Ильин В. А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 38-48.
5. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция омической жидкости в переменном электрическом поле // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2003. Вып. 1. С. 102-107.
6. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Нелинейные режимы конвекции слабопроводящей жидкости // Письма в Журнал технической физики. 2007. Т. 33, вып. 8. С. 81-87.
7. Ильин В. А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом по-
ле // Журнал технической физики. 2013. Т. 83, вып. 1. С. 64-73.
8. Гершуни Е. М, Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
9. Gross М. J., Porter J. Е. Electrically induced convection in dielectric liquids // Nature. 1966.
V. 212, N. 5068. Р. 1343-1345.
10. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
11. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 475с.
Electroconvection periodic and chaotic regimes of low-conducting fluid in an alternating electric field
N. N. Kartavykh
Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm
Electroconvection nonlinear modes of low-conducting fluid in an alternating electric field of horizontal capacitor is studied. We consider the approach, in which electroconductive mechanism makes the main contribution. Electroconductive mechanism associates with the heterogeneity of the electrical conductivity near the hot and cold plates of a capacitor. The dependence of the intensity of con-vective flows on the dimensionless electrical parameter is obtained. The existence regions of periodic and chaotic electroconvection oscillatory modes is defined. It is found that the transition to chaos is realized through period-doubling cascade.
Keywords: alternating electric field; low-conducting fluid; electroconvection
