CC BY
9__________ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_________________
2003 Физика Вып. 1
Конвекция омической жидкости в периодическом электрическом поле
В. А. Ильин, Б. Л. Смородин
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Исследовано нестационарное поведение слабопроводящей (омической) жидкости в переменном электрическом поле плоского конденсатора. Рассмотрение проведено в рамках злектро-гидродинамического приближения в случае, когда основным механизмом зарядообразования в жидкости является электрокондуктивный механизм, обусловленный зависимостью электропроводности среды от температуры. Получена маломодовая модель электроконвекции, представляющая собой обобщение уравнений Лоренца. На диаграмме период модуляции - электрическое число Рэлея определены границы областей существования стационарных, периодических, квазипериодических и хаотических режимов конвекции. Исследован характер отклика конвективной системы на внешнее воздействие в различных областях синхронизации.
1. Введение
Конвекция слабопроводящей жидкости в электрическом поле возникает благодаря действию электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами образования электрического заряда в жидкости [1]. В случае инжекции свободный заряд появляется вблизи поверхности положительного электрода. Другой механизм зарядообразования, связанный с зависимостью электропроводности жидкости от температуры, приводит к накоплению заряда в объеме диэлектрической жидкости. Взаимодействие свободных зарядов с внешним полем может привести к возникновению конвекции жидкости даже в невесомости. Известно, что в случае электрокондук-тивного механизма неустойчивости конвекция в постоянном электрическом поле возникает колебательным образом [2]. Частота нейтральных колебаний жидкого диэлектрика зависит от его электрофизических свойств. В переменном электрическом поле конвективные движения, вообще говоря, будут характеризоваться двумя несоизмеримыми частотами: собственной частотой колебаний и частотой внешнего поля, что соответствует квазипе-риодическим колебаниям [3]. Благодаря нелинейному взаимодействию конвективной системы с внешним полем её отклик может содержать различные комбинационные частоты либо возникают захват внешней частоты и вынужденная синхронизация конвективных колебаний и переменного электрического ПОЛЯ [4].
В данной работе различные режимы надкрити-
ческих движений, вызванных действием электро-кондуктивного механизма неустойчивости в переменном поле горизонтального конденсатора, исследуются на основе маломодовой модели.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский горизонтальный слой с вязкой слабопроводящей (называемой также омической) жидкостью в отсутствие гравитационного поля (рис. 1). Ось х направлена вдоль слоя, ось і -перпендикулярно границам слоя.
г
г=о ь ІЗ II о
X
г = 0 0 ср= С/с о э (Пі)
Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат
Идеально тепло- и электропроводные границы конденсатора расположены в г = 0, И {И - толщина слоя), нагреты до разной температуры 7’(О)=0, Т(А)=0 (0 - характерная разность температур). Случай 0 >0 соответствует нагреву снизу. Слой
© В. А. Ильин, Б. Л. Смородин, 2003
находится в переменном электрическом поле, которое направлено вдоль оси і перпендикулярно границам. Потенциал поля верхней границы равен нулю, потенциал нижней - изменяется со временем по гармоническому закону: #>(0) = і/сов (Сії).
Здесь и - амплитуда напряжения, П=2тг//у - частота, /у - период модуляции. Возмущения скорости
и температуры на границах обращаются в ноль.
Электрическая сила, действующая на единицу объема жидкости [5], равна
I =А,£--£2Уг- + -У л гс 2 2
де 2 р— Е
(2.1)
здесь Е - напряженность электрического поля, ре — свободный заряд единицы объема, е, р -диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Последнее слагаемое в (2.1) имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления. Вторая (электрофоретическая) часть силы (2.1), связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости е, не существенна. Такой подход оправдан в случае, когда неоднородность электропроводности, связанная с градиентом температуры, намного больше, чем неоднородность диэлектрической проницаемости.
Рассмотрим поведение слабопроводящей жидкости в электрическом поле, используя электро-гидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты пренебрежимо малы по сравнению с электрическими [1]. Кроме того, предположим, что разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения и», начиная с которого существенна инжекция, и будем пренебрегать поверхностной электризацией жидкости. Пренебрегая в уравнении теплопроводности вязкой диссипацией и джоулевым разогревом, запишем систему уравнений конвекции жидкого диэлектрика в электрическом поле:
—+ (уУ)у ді
дТ
+ (їУ)Т = х&Т,
ді сііуу = 0 ,
Ф,
(2.2)
-^- + <И\(аЕ) + (Ж)рс =0,
сЩеЁ)=ре> Ё = -У<р, ОГ = С70(1 + /?аЛ-
Здесь V , р, Т - поля скорости, давления и температуры, сг - проводимость жидкости, (р - потенциал электрического поля, 7 - динамическая вязкость, %, (3, (За - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и
температурный коэффициент проводимости. Предполагается, что электропроводность жидкости оглинейно растет с температурой.
Используя безразмерные переменные на основе масштабов: расстояния - И, времени - рк21т], скорости - %//?, температуры - ©, давления - т]%/к\ потенциала - (У, поля - и/к, плотности заряда -еи /И2, запишем систему уравнений электротермической конвекции жидких диэлектриков в безразмерном виде:
—+—(у.У)у = -У/?+Д1“ + 11'л Ё, д( Рг '
Рг — + (ІД7)Г = Д7\ ді Х ’ сііуу = 0,
дре
(2.3)
+ — с1М(7£) + — (^У)рс =0, д( Ре Рг
сЩеЁ) = ре,Ё = -У(р, а = ] + 50Т,у =(0,0,1).
Система уравнений (2.3) содержит следующие безразмерные параметры: IV = £()и}/г1х ~ электрический аналог числа Галилея, Рг = ц/хр - число Прандтля, Ре = тэ1 / тга = £У / И2а0 - электрическое число Прандтля, характеризующее отношение времени релаксации заряда в системе и гидродинамического времени системы, со = О..И2/м - безразмерная частота модуляции электрического поля, 5а= /?а0 - малый параметр, характеризующий неоднородности поляризации и электропроводности жидкости. Малость параметра «I даёт возможность использовать безындукционное приближение, в котором в расчёт берётся только внешнее электрическое поле.
3. Маломодовая модель электротермической конвекции
В случае Ре = 0, который соответствует случаю мгновенной релаксации электрического заряда, можно исключить плотность свободных зарядов ре из системы (2.3). Введём функцию тока
м>--
ду/
дх
ду/
дг
(3.1)
после чего уравнения, описывающие электротермическую конвекцию слабопроводящей жидкости, примут вид
д \(ду/д ду/ д Л 2
—Д у/ +—---------Ау/--------Ау/ = А у/ -
3/ Рг V дх дг дг дх }
-Яа„
д2Э 2 -соя 0)1,
дхдг
_ д9 ди/ дЗ дц/ д& ду
Рг — +—----------------- ----= А9 + —-
д( дх dz dz дх дх
Ra„ =S„R'.
(3.2)
Заметим, что, несмотря на малость параметра , электрический аналог числа Рэлея И.аа остаётся конечным, поскольку Я' большое [1].
В случае свободных недеформируемых идеально теплопроводных границ слоя граничные условия для функции тока и температуры запишутся в виде
j = 0,1: ^ = ^" = ,9 = 0
(3.3)
Для решения системы уравнений (3.2) используем метод Галёркина и следующие аппроксимации полей ц/ и <9, удовлетворяющие граничным условиям (3.3):
ц/ = (^](/)sin^rz + ^2(0sin2^"z)sinb:, (3.4)
9 = (Z?|(/)sin;zT + 52(/)sin2л-г)cosh: + C(/)sin2;rz .
Здесь к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя, А] (t), Л2 (/), Вх (/), В2 (/), С(0 - амплитуды.
Подставляя разложения (3.4) в систему (3.2), после ортогонализации получаем систему пяти обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд Л], А2, б], В2 и С.
Перемасштабируем все переменные:
Рг , , л/2(1 + к2)
к —^ кк , t —^ I-------— /, At —^---------X ,
л2(\ + к2) к
Ai _» ^/T(1 + L.V, Я, — Y, (3.5)
к п
В, -> -J2W , С
после чего мы получим пятимодовую модель электротермической конвекции:
X - - Рг(ДГ +ecos2 2nvtV),
Y = -Y + X + XZ ,
Z = -bZ- XY , (3.6)
V = — Pr(dК -(e/d)cos2 2nvtY),
fV = -dW + X.
Здесь циклическая частота представлена через линейную частоту со = 2/rv и введены новые параметры:
е=
- Ra« R, _ Каа0
Зл~3(1 + £2)3
и2
+ к*
(3.7)
где Ь, d — геометрические параметры, Яао0 - критическое электрическое число Рэлея, при котором начинается электроконвекция в слабопроводящем диэлектрике в постоянном поле. Динамическая система (3.6) является обобщением маломодовой модели Лоренца [4] на случай электротермической конвекции.
4. Результаты и обсуждения
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (3.6) интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Мерсона 4-го порядка точности. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого преобразования Фурье, и определялся спектральный состав отклика конвективной системы на переменное электрическое поле. Расчеты проводились для числа Прандтля Рг =100, порядок которого соответствует реальным значениям для слабопроводящих жидкостей, в которых действует электрокондуктивный механизм электроконвекции (трансформаторные, конденсаторные и кукурузные масла).
В случае у=0 система уравнений описывает электроконвекцию в постоянном электрическом поле. Существенным отличием модели (3.6) от триплета Лоренца является то, что в статическом случае равновесие жидкости теряет устойчивость колебательным образом. При некотором значении электрического числа Рэлея е, рождается периодический режим. Частота нейтральных колебаний в минимуме нейтральной кривой (к = 0.962) V.= 2.55, критическое электрическое число
е* = 41.572. В подкритической области е<е. возмущения затухают колебательным образом. При превышении порога устойчивости е>е* мягко возбуждаются периодические вторичные течения, в результате эволюции система выходит на установившийся колебательный режим с некоторой частотой. Максимальное значение амплитуды Х„, с увеличением электрического числа е растёт по корневому закону (рис. 2).
Нелинейный характер системы уравнений (3.6) приводит к тому, что в спектре амплитуды X кроме собственной частоты конвективной системы
~Ле) присутствуют высшие гармоники. Зависимость двух из них - у0 и у1 =Зу0 от амплитуды электрического поля представлена на рис.З.
времени ДО и полученный в результате его Фурье-анализа спектр.
0 2 4 6 8 10
t
Рис. 4. Затухающие колебания при у = 1.5, е=60
Карта режимов электроконвекции на плоскости период - амплитуда модуляции представлена на рис.8. В области параметров задачи: I - слабопро-водящая жидкость находится в механическом равновесии, все возмущения затухают; II - благодаря вынужденной синхронизации частоты внешнего поля и собственной частоты колебательной моды электроконвекции существуют периодические колебания.
0_______I_______I______I------1------1-------1
0 100 200 е 300
Рис. 3. Зависимость основной частоты (1) и тройной гармоники (2) от электрического числа
Исследуем надкритические режимы конвекции слабопроводящей жидкости в переменном поле (волновое число фиксировано и равно &=0.962). Ему соответствуют значения геометрических параметров Ь=2.077, <1=2.56.
По результатам исследований можно выделить следующие основные типы нестационарных элек-троконвективных движений жидкости: затухающие колебания (рис.4), периодический режим (рис.5), квазипериодический (рис.6) и хаотический режимы (рис.7). На этих рисунках приведены по два графика: график зависимости амплитуды от
Рис. 2. Зависимость максимальной амплитуды сигнала от электрического числа
Рис. 5. Периодический режим при V =2.55, е= 100
60г
V
Рис. 6. Квазипериодический режим при V =1.275, е=100
*
V
Рис. 7. Хаотический режим при у -2, е=150
Расположение областей синхронизации на плоскости параметров период поля - электрическое число Рэлея можно объяснить следующим образом. Благодаря свойствам переменных коэффициентов системы уравнений (3.6) есоБ22пу1-е(1 + со54;п'/)/2 при частоте внешнего поля у частота изменения силы Кулона вдвое больше -2 у. Области параметрического резонанса соответствуют частотам внешнего воздействия 2 у, которые определяются из условия 2 у = 2V* / т , где т -целое число, а у* - собственная частота колебательной системы в отсутствие переменного воздействия. В постоянном поле собственная частота, соответствующая минимуму нейтральной кривой, равна Ум~2.55. Как показывают расчеты, области синхронизации находятся при частотах около у*/т, /77=1,2,3,4....
Рис. 8. Карта режимов на плоскости период модуляции 1 / у - электрическое число Рэлея: I - равновесие, II - периодический (области синхронизации 1, 2, 3, 4), III - квазипериодический, IV - хаотический
Обсудим закономерности поведения частот, наблюдаемые в спектрах Фурье в первых четырех областях синхронизации. Они отражены в таблице. Первая колонка содержит номер области, вторая отражает общие закономерности в спектрах (количество и значения основных частот, расстояние между ними). В остальных колонках приведены поведение частот (вдоль разреза при фиксированной частоте и изменении параметра е) ниже, внутри и выше области синхронизации.
Можно обобщить частотные закономерности: в первой области синхронизации в спектрах сигналов присутствуют частоты уп =(2п-\)уй, /7=1, 2, 3,
Частотные закономерности, наблюдаемые в спектрах Фурье для первых двух областей синхронизации (к. ч. - комбинированные частоты)
Область Общая закономерность в спектрах Ниже области синхронизации Внутри области синхронизации Выше области синхронизации
Область 1 V, , v2, к3 У] -> . У\ > v'o >
У 2-У] =2 Vq , У 2 "*3 V0 > у 2 =3 у а, У2 >3 у0 ,
v3 - У 2 =2 у0 u3 ->5 у0 , + к. ч. ^з =5 *'о у3 >5 у0 , + к. ч.
Область 2 V],V2’V1’V4’ V5 У\ -*0, У\>о,
У3 - У2 =2 v0 , У 2 ->2 v0 > VI =2 v0> У2 >2 1/0 >
У4 ~ ^3 =2 ^0 » ^з ->4 v0 > v2 =4 у0, Уз>4 >
v5 - у4 =2 У0 у4 ->6 У0 , V'3 =6 v0, v4 >61/0,
v5 —>8 v0 , + к. ч. У 4 =8 ''О у5 >8 v0 , + к. ч.
V, + У2 =2 У0 v2-v, =2v0
у0 - частота внешнего поля, во второй области -основные частоты спектра уп=2пу0, л=1-=-5; в третьей - у„ =(2п-1) 1'0 , я=1-г5; в четвертой -уп=2пу0, л=1 ^-3. При низких частотах (большом значении периода) обнаружено большое количество близко расположенных областей синхронизации, которые не приведены на графике.
Между областями синхронизации на карте режимов (рис. 8) расположены области квазиперио-дических колебаний 111. Рост электрического параметра е приводит к появлению большого числа комбинированных частот и переходу к хаотическому режиму (область IV на рис. 8) через квазипериодичность [6].
5. Заключение
В работе в рамках маломодовой модели исследованы режимы электротермической конвекции слабопроводящей (омической) жидкости в периодическом электрическом поле плоского конденсатора. Рассмотрено действие электрокондуктивного механизма неустойчивости. Этот механизм связан с зависимостью проводимости среды от температуры, что приводит к накоплению объемного заряда в жидкости, взаимодействию его с внешним электрическим полем и электротермической конвекции.
С помощью метода Галёркина получена пятимодовая модель электротермической конвекции. Численное интегрирование полученных амплитудных уравнений выявило их сложное динамическое поведение. Определена граница устойчивости механического равновесия. В постоянном поле найдены зависимости амплитуды конвективных колебаний и их частот от степени надкритичности.
Выделены и изучены периодические, квазиперио-дические и хаотические режимы движения жидкости, и пути перехода к хаосу в переменном электрическом поле. На плоскости обратная частота -амплитуда модуляции определены области существования этих режимов.
Обнаружено явление синхронизации частоты колебаний системы с частотой внешнего воздействия. Установлены частотные характеристики отклика конвективной системы в областях синхронизации. Показано, что переход к хаотическому режиму происходит через квазипериодичность.
Исследования, результаты которых представлены в данной статье, выполнялись при частичной финансовой поддержке грантов РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (АФГИР) и Российского фонда фундаментальных исследований (01-01-00515, 03-01-00327).
Список литературы
1. Болога М. К., Гросу Ф. П., Колсухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. С. 176
2. Turnbull R. J. II Phys. Fluids. 1968. Vol. 11, N 12. P. 2597.
3. Smorodin B. L, Velarde M. G. // J. Electrostat. 2000. Vol. 48. P. 261.
4. Рабинович M И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
С. 432.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. С. 736.
6. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. С. 368.
