Конвекция идеального диэлектрика в переменном электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2005 Физика Вып.1

Конвекция идеального диэлектрика в переменном электрическом поле

В. А. Ильин, Б. Л. Смородин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

На основе маломодовой модели исследована электротермическая конвекция идеального жидкого диэлектрика в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Рассмотрение проведено в рамках ЭГД приближения. Изучено взаимодействие диэлектрофоретиче-ского и термогравитационного механизмов неустойчивости. С помощью метода Галёркина получена трёхмодовая модель электроконвекции, которая отличается от триплета Лоренца наличием переменных коэффициентов. Выделены стационарные, периодические и хаотические режимы конвекции. В пространстве параметров найдены границы существования областей с различными режимами.

1. Введение

В случае обычной тепловой конвекции в плоском слое неоднородно нагретой жидкости при некотором пороговом значении нагрева состояние равновесия теряет устойчивость, в результате чего возникает конвективное движение в виде валов. Электрическое поле может модифицировать порог конвекции неоднородно нагретых жидкостей благодаря действию специфических электроконвек-тивных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами возникновения заряда в жидкости [1]. К ним относятся инжекция заряда, зависимость электропроводности и диэлектрической проницаемости жидкости от температуры. Электрогидродинамические течения диэлектрических жидкостей в электрическом поле привлекают внимание тем, что представляют собой способ прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения жидкой среды. Кроме того, переменные электрические поля в зависимости от амплитуды и частоты могут сильно изменять пороги конвективной неустойчивости и обеспечивать эффективный способ управления конвекцией в различных технологических ситуациях.

В идеальных диэлектриках проводимость среды с7 считается равной нулю, свободные объёмные заряды отсутствуют. Предполагается, что образование объёмного заряда происходит благодаря неоднородности поляризации среды. Известно, что в линейной задаче об устойчивости идеального диэлектрика колебательные возмущения отсутствуют

- порог конвекции связан с монотонной модой [1]. Характер ветвления слабонелинейных режимов

идеального жидкого диэлектрика в постоянном электрическом поле мягкий [2]. В переменном поле неустойчивость связана с параметрическим возбуждением конвекции. В данной работе изучены различные нелинейные режимы электроконвекции в идеальном диэлектрике, находящемся в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Рассматривается взаимодействие двух механизмов неустойчивости: термогравитационного и диэлектрофоретического. Первый (Релеев-ский) механизм вызван наличием сил Архимеда, второй связан с зависимостью диэлектрической проницаемости от температуры.

2. Постановка задачи

Рассмотрим плоский горизонтальный слой (рис. 1) вязкой идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости, находящейся в переменном вертикальном электрическом поле Ё и поле силы тяжести £ . Ось х располагается в середине слоя и направлена вдоль границ, ось г перпендикулярна границам.

Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора расположены при г = - И/2, И/2 (И -толщина слоя) и нагреты до разной температуры Т(-И/2) = 0, Т(Ы2) - 0. Здесь Т - температура, отсчитываемая от некоторого среднего значения, © -характерная разность температур, А = -V Т0

- градиент температуры в состоянии равновесия. Случай @>0 соответствует нагреву снизу. Потенциал поля верхней границы равен нулю: (р(И/2) = 0, потенциал нижней - изменяется со временем по гармоническому закону:

© В. А. Ильин, Б. Л. Смородин, 2005

(р{~И12) = и соз(П/). Здесь V - амплитуда напряжения, ^=2п/^-частота, /у - период модуляции.

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде [3]

р^Е*

др

(2.1)

здесь рс - свободный заряд единицы объема, е, р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости. Первая (кулоновская) часть силы (2.1) в идеальных диэлектриках отсутствует, так как её наличие обусловлено свободным электрическим зарядом, которого нет. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье-Стокса. Движение может вызвать только вторая (электрофоретическая) часть силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим поведение идеального диэлектрика в переменном электрическом поле, используя электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты считаются пренебрежимо малыми по сравнению с электрическими [1]. Кроме того, предположим, что максимальная разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения £/*, начиная с которого существенно влияние инжекции на движение жидкости. В уравнении теплопроводности пренебрежем вязкой диссипацией и джоулевым разогревом. Тогда система уравнений электроконвекции жидкого диэлектрика запишется в виде

'£v

dt

+ (vV)v

1

= -Vp + tjAv + pg- — E Vf,

— + (vV)T = %AT, divv = 0 , dt

div(eE) = 0 , Ё = -S7<p P = Po(l~fiT), £ = £0(\ ~PeT).

(2.2)

Здесь v ,p,T- поля скорости, давления и температуры, г) - динамическая вязкость, %, р, Ре - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости. Условие слабости конвекции означает, что у90«1,

/?г0«1.Как правило, /?, Р£ ~10‘2 ч-КГ4 град"1, поэтому в обычных условиях эти неравенства соблюдаются с достаточной точностью [1].

Стационарное состояние (v0 = 0, Т - Т0,

Р - Ро > (Р = (Ро> Е= Ё0) определяется системой уравнений

-VA) + P,gpT,y-X-ElVe = 0, АТ0 = 0,

div(£-£0) = 0, £0 = -Vp0. (2.3)

Здесь у - единичный вектор, направленный по вертикали вверх.

Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени - [/] = pQh2 Irj, расстояния - [г] = h, скорости - [ v ] = х/Л, температуры -[г] = 0, потенциала - [(p] = UPe®, давления -

[p] = T1%lh2, частоты - [бу] = pQ Clh2 / r\. Тогда стационарное решение имеет вид

Т0 — — z + 1/2, <Pq =(-z +1/2)coscot,

Ё0 = у cos cot . (2.4)

Представим поля скорости, температуры, давления, потенциала и напряженности в виде v,

Т = TQ + &, p = pQ+p', (p = <pQ+<p', Ё = Ё0 + Ё' (штрихи означают отклонения величин от равновесных значений, затем штрихи опускаем). Запишем систему уравнений электроконвекции идеальных жидких диэлектриков в безразмерном виде

Q- 1

— +—(vV)v = -V/? + ^Ra+Rae cos2 [a)t)^9y +

„ / ч д(р _

4-Ra^. cos(£y/J—-у + Av

dz

я а

pr__v7 + (v-V)^,

69

Д<р + — cos(tfrt) = 0, divv = 0.

(2.5)

Здесь введены безразмерные параметры - число Прандтля Рг, тепловое число Рэлея Иа, электрическое число Рэлея Яа£ :

РГ=Л-,ка=Р°ёР@н"

ХРо ЛХ

,2 / л ~\2

Ra,. =

_є,и\р£®у

IX

(2.6)

Число Прандтля характеризует отношение времен затухания тепловых и вязких возмущений. Из определения (2.6) следует, что электрическое число Рэлея не зависит от направления градиента температуры.

Рассмотрим модельный случай, когда на неде-формируемых свободных, изотермических границах слоя обращается в ноль производная потенциала (штрихом обозначена производная по г):

г = ±1 /2: и'=и,'' = <9 = <р' = 0.

(2.7)

Задача (2.5, 2.7) изотропна в плоскости слоя, поэтому ограничимся рассмотрением плоских возмущений у = (н,0, и д/ду = 0.

3. Маломодовая модель электротермической конвекции

Введём функцию тока для скорости

=

дц/

дх

и - -

ду/

дг

(3-1)

В терминах функции тока уравнения, описывающие электротермическую конвекцию идеального жидкого диэлектрика, примут вид:

д . \(ду/д дуг д . ^ „ д&

— Аи/ +— ——Аш—---------

д1 Рг V дх дг

Аш = Ка — +

дг дх ) дх

п | д\9 2 д (р і 2

+Ка„—сое со і +------------со$со1\ + Ац/

дх дгдх 1 Г

_ д9 ду/ д9 дц/ д9 . _ дш

Рг — + —-------------------= Л ,9 +' -

д! дх дг дг дх

дх

(3.2)

л

А ср + —со БШ = О

дг

Граничные условия перепишутся:

г = ±\/2: ц/ = ц/п = 9 = (р' = 0 .

(3.3)

Для решения системы уравнений (3.2) используем метод Галеркина и следующие аппроксимации полей, удовлетворяющие граничным условиям:

^ = А^ыпкхсоъяг,

9 = В^соъкхсоълг + С(()$\п2лг , <р = 0(і)со5кх5ІП7гг + Е({)со52лг,

(3.4)

Лі #

■^- = -^ЛГ2 + к2 )л + —2----^т(^-а+^агг С0СО^В

я + к

—Яа, соб &>/£ я + к

?г— = кА-(я2 + к2)В-кяАС, ді Х >

(3.5)

Рг—= -4 тг2С + — АВ, д( 2

я С

£ = —=-----т В СОБ СОІ , Е = —.

я2+к2 2я

Исключим амплитуду Д и перемасштабируем все переменные:

Рг

я2(\ + к2)

А-> ^(1 + -- X, В-> — У , С->-г, (3.6) к ля

после чего получим трёхмодовую модель электротермической конвекции (точка над переменными -производная по /):

X = -Рг X + Рг (г + е соэ2 2 л'У/)У ,

У =-У + Х-Хг, (3.7)

г =-ъг +ху .

Здесь вместо циклической частоты использована линейная частота со = 2яу и введены новые параметры:

Яа Яа.. , 4

г =----, е =----—, Ь =------

Яа0 Яаго 1 + к

(1 4- Л 2 ) Л*(\ + к.2\

Яа0 = у > , Яа,0 = —7 , (3.8)

К К,

где г и е - нормированные тепловое и электрическое числа Рэлея; Ь - геометрический параметр; Яа0, Яа£0 - критические числа, при которых начинается термогравитационная или диэлектрофо-ретическая конвекция соответственно. Из определения элетрического числа следует, что е - всегда положительно (е>0).

Динамическая система (3.7) является обобщением маломодовой модели Лоренца [4] на случай переменного электрического поля.

где к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя. А, В, С, Д Е - амплитуды, зависящие от времени.

Подставляя разложения (3.4) в систему (3.2), после ортогонализации получаем систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд А, В, С и алгебраические выражения для амплитуд Д Е:

4. Результаты и обсуждение

Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (3.7) интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Мерсона 4-го порядка точности. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого пре-

образования Фурье, и определялся спектральный состав отклика конвективной системы на внешнее электрическое поле.

В случае, когда электрическое число равно нулю е=0, из (3.7) получается триплет Лоренца [4], моделирующий тепловую рэлеевскую конвекцию. В постоянном электрическом поле (у=0) можно ввести эффективный параметр г = г + е и вновь получить триплет Лоренца. Переходы между различными типами движений в этом случае будут происходить при меньших значениях числа Рэлея. В переменном поле характер конвективных движений определяется параметрическим резонансом.

Расчеты проводились для числа Прандтля Рг =10. При Яа=0 волновое число и электрическое число Рэлея в минимуме нейтральной кривой Л=1, Яал.=1б7г4 =1558.6 [2]. Тогда геометрический параметр Ь=2. Все вычисления производились для этого значения геометрического параметра.

Исследование надкритических нелинейных режимов конвекции идеального диэлектрика в переменном электрическом поле было проведено для двух значений теплового числа Рэлея: г=0 (невесомость), г= -10 (подогрев сверху в поле тяжести).

4.1. Невесомость (г=0)

Система уравнений (3.7) интегрировалась при разных значениях внешней частоты и электрического числа, и определялись Фурье-спектры решений. Были обнаружены различные периодические и хаотические электроконвективные режимы движения жидкости. После систематизации результатов построена карта режимов электроконвекции на плоскости период /у = 1 / у (обратная частота) -

амплитуда модуляции е (рис. 2). В пространстве управляющих параметров задачи имеются следующие области с различным поведением жидкости: I - область квазиравновесия, II - область, в которой скорость и температура жидкости периодически меняются со временем; III - в системе существуют хаотические режимы колебаний.

На рис. 3-5 приведены графики зависимости амплитуды от времени Х{() и спектры Фурье для различных режимов, соответствующих точкам а, Ь и с на рис. 2.

Область квазиравновесия I, в которой все возмущения затухают (рис. 3), располагается ниже линии е=2. Возмущения в этой области затухают колебательным образом.

Выше е=2 в области II в слое возникает параметрическая неустойчивость - рождаются периодические колебания (рис. 4). Вдали от границы квазиравновесия спектры Фурье этих колебаний содержат две несоизмеримые частоты - удвоенную внешнюю частоту и некоторую собственную, их гармоники и комбинированные частоты. Это ква-зипериодические колебания.

Рис. 2. Карта режимов на плоскости период модуляции - электрическое число Рэлея: I - квазиравновесие, II - периодические режимы, III - хаотические режимы

а

V

б

Рис. 3. Квазиравновесие: у= 2 (//= 0.5), е =1.5 (точка а на рис. 2)

В области III наблюдаются хаотические режимы (рис. 5). На графике временной эволюции амплитуды функции тока видно, что колебания ведут себя нерегулярным образом. Спектр Фурье -

сплошной, что является признаком хаотического режима. Переход к хаосу происходит через квазипериодичность [4]. При высоких внешних частотах (малых периодах) он осуществляется при электрическом числе в два раза большем, чем в постоянном поле (в случае которого этот переход происходит при г=е=20.9).

2.0

1.5

1.0

0.5

0 1 2 3 4 5 6

V

б

Рис. 4. Периодический режим: и =2 = 0.5), е=38 (точка Ь на рис. 2)

На рис. 2 можно увидеть три “языка” хаотических режимов (1, 2, 3), разделённых областями периодических режимов. Двигаясь в пространстве параметров вверх по амплитуде при фиксированной частоте через ’’язык” хаоса 1, мы последовательно будем проходить области периодических и хаотических режимов. Переход к хаосу между ними происходит через квазипериодичность - в спектрах Фурье имеются две несоизмеримые частоты, их гармоники и комбинированные частоты. Выше третьего “языка” хаоса были обнаружены близко расположенные области с периодическим и хаотическим поведением, которые тянутся в область низких частот (больших периодов).

100

Рис. 5. Хаотический режим: V =2 (I/ =0.5), е=40 (точка с на рис. 2)

Для анализа интенсивности теплопереноса через конденсатор усреднённый по времени безразмерный теплопоток на границе диэлектрика (число Нуссельта) вычислялся следующим образом:

(4.1)

N11

2 0Ч & Л=±1

К0

где q - плотность потока тепла, к - коэффициент теплопроводности. Усреднение числа Нуссельта проводилось по большому временному интервалу

/Ч-М/ (М>100):

1

N11 = 1 + 2л--- |1 (0|т_±1 • (4-2)

^епс/ о 2

Случай N11=1 соответствует процессу молекулярного теплопереноса, превышение числа Нуссельта над единицей Ш>1 свидетельствует о возникновении конвекции.

На рис. 6 приведён график зависимости числа Нуссельта от степени надкритичности для частоты у = 0.8. Из графика видно, что с ростом надкритичности поток тепла становится интенсивнее -число Нуссельта возрастает.

Рис. 6. Безразмерный теплопоток при к =0.8 (/у =1.25)

4.2. Подогрев сверху в поле тяжести (г= - 10)

Карта режимов электроконвекции на плоскости период - амплитуда модуляции для случая подогрева сверху в поле тяжести представлена на рис. 7. В пространстве параметров задачи присутствуют следующие состояния конвективной системы: I -диэлектрическая жидкость в механическом квазиравновесии, все возмущения затухают; II - скорость и температура жидкости периодически меняются со временем; III - в системе существуют хаотические режимы.

1 /V

Рис. 7. Карта режимов на плоскости период модуляции - электрическое число Рэлея: 1 - равновесие, II - периодический, III - хаотический режимы

Границы резонансных областей диэлектрофо-ретической конвекции при нагреве сверху получены в [5], где было показано, что субгармонические возмущения отсутствуют, а синхронные возмущения делятся на два различных класса: Н1, Н2.

Для возмущений, принадлежащих этим классам, на пороге устойчивости выполняются сле-

дующие соотношения при сдвиге на половину периода:

tf (р-+(р\ (Н1)

, (4.3)

2 у у, .9 -» $, -(р. (Н2)

Временная эволюция амплитуды синхронных возмущений Х(/) и Фурье спектр вдали от порога неустойчивости для возмущений типа Н1, Н2 представлены на рис. 8, 9 соответственно. В первом случае (рис. 8, класс Н1) амплитуда X колеблется с частотой внешнего воздействия, среднее значение за период равно нулю. В спектре Фурье наблюдаются также кратные частоты п\>, где п =3, 5,... Во втором случае (рис. 9, класс Н2) среднее значение амплитуды отлично от нуля, а в спектрах присутствует удвоенная внешняя частота и её высшие гармоники 2уп , где п =2, 4,...

Рис. 8. Колебания класса Н1 при (=2), е =22 (точка Ь на рис. 7)

V =0.5

Благодаря нелинейному взаимодействию области неустойчивости с различным временным поведением (возмущений классов Н1 и Н2) чередуются с ростом амплитуды модуляции е. Они располагаются справа от области 1 на рис. 7 очень близко друг от друга, уходя в области низких частот.

При высоких частотах (малых периодах) и больших надкритичностях (в области II , 2) в спектрах Фурье присутствуют несоизмеримые частоты и дальнейший переход к хаосу происходит через квазипериодичность. В области достаточно больших периодов 1.5</^<3.5 переход к хаосу также

происходит через квазипериодичность. Выше области 1 среди хаотических конвективных колебаний появляются окна периодичности - чередуются периодические и хаотические режимы.

X

ности появляются области квазиравновесия, которые чередуются с узкими интервалами, в которых существуют движения классов Н1, Н2. При е>39.2 появляются хаотические колебания.

е

Рис. 10. Безразмерный теплопоток при V =0.7 (/г =1.43)

5. Заключение

а

V

б

Рис. 9. Периодические колебания класса И2 при V =1 (^ =1), е=32 (точка а на рис. 7)

В окрестности точки пересечения областей 1, 2 происходит конкуренция возмущений классов Н1 и Н2. На рис. 10 приведён график зависимости усреднённого по времени числа Нуссельта от амплитуды поля е для частоты у =0.7 (// =1.43). Для получения всех данных использованы одни и те же начальные условия: X = 0, У = 0.5,1= 0. Из графика видно, что с ростом надкритичности при е~25 рождается конвективный режим класса Н1, число Нуссельта растёт, немного превышая единицу (область 1 на рис. 7). Резкое увеличение теплопотока в интервале амплитуд поля 29.7<е<31 связано с переходом к возмущениям класса Н2 (область 2 на рис. 7), затем при амплитудах 31 <е<33.3 в диэлектрике вновь устанавливается режим класса Н1. При дальнейшем увеличении степени надкритич-

В работе в рамках маломодовой модели исследованы режимы электротермической конвекции идеального жидкого диэлектрика в периодическом электрическом поле горизонтального конденсатора. Рассмотрен случай, когда диэлектрофоретиче-ский механизм зарядообразования играет существенную роль. Моделирование электроконвекции с помощью амплитудных уравнений выявило сложное динамическое поведение. Изучены различные периодические и хаотические режимы колебаний жидкости и пути перехода к хаосу в переменном электрическом поле. На плоскости обратная частота - амплитуда модуляции определены области существования этих режимов для двух случаев: 1) невесомость; 2) подогрев сверху в поле тяжести.

Данное исследование проведено при частичной поддержке грантов АФГИР (РЕ-009-0), РФФИ (№ 03-01-00327, № 05-01-00789), Программы подготовки ведущих научных школ НШ - 1981.2003.1.

Список литературы

1. Болога М. К., Гросу Ф. П., Колсухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. С. 176.

2. Ильин В. А. II Вестн. Перм. ун-та. 2004. Вып. 1. Физика. С. 100.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. С. 736.

4. Берже П., Пом о И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. С. 368.

5. Смородин Б. Л. II Вестн. Перм. ун-та. 2002. Вып. 1. Физика. С. 90.