CC BY
4_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2015 Серия: Физика Вып. 1 (29)
УДК 532.5
Исследование модели электроконвекции слабопроводящей жидкости в конденсаторе с твердыми границами
В. А. Ильин, Л. А. Пономарева
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: ilin1@psu.ru
В случае мгновенной релаксации заряда получена пятимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости в горизонтальном плоском конденсаторе для твёрдых граничных условий. На основе неё исследована линейная устойчивость равновесия жидкости в постоянном электрическом поле. В высокочастотном электрическом поле получена модель, описывающая осредненное течение жидкости. Проведено исследование нелинейных режимов электроконвекции. Построена карта режимов. Выяснен сценарий перехода к хаосу.
Ключевые слова: электроконвекция; слабопроводящая жидкость; переход к хаосу
1. Введение
Процессы тепло - и массообмена охватывают самые разнообразные области человеческой деятельности и приобретают большое значение в связи с совершенствованием современных технологий и технических средств их реализации. Исследователи уделяют огромное внимание поиску новых методов управления процессами переноса. Среди таких методов особое место отводится воздействию электрических полей на теплоноситель благодаря высокой эффективности, простоте регулирования и контроля над данным воздействием [14].
Электрическое поле может оказывать влияние на движение жидкости благодаря действию специфических электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами возникновения заряда в жидкости. Диэлектрофо-ретический механизм зарядообразования связан с зависимостью диэлектрической проницаемости жидкости от температуры [5], а электрокондуктив-ный механизм зарядообразования - с зависимостью электропроводности жидкости от температуры [6]. В случае инжекции свободный заряд появляется вблизи поверхности электрода, а затем проникает в объём жидкости [7]. Эти механизмы вызывают накопление в объеме жидкости свободных зарядов, взаимодействие которых с внешним
полем может привести к возникновению конвекции даже в невесомости.
В настоящей работе рассматривается слабопро-водящая жидкость с электрокондуктивным механизмом зарядообразования в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. В такой постановке электроконвекция слабопрово-дящей жидкости в постоянном электрическом поле исследована в работах [6, 8], в [9] - в переменном электрическом поле. Высокочастотное воздействие на систему, которое обусловливает новые эффекты, исследовано в работах [10-12].
В работах [8, 9, 12] использованы свободные граничные условия. В отличие от них в настоящей работе рассмотрены твёрдые граничные условия. Для них получена маломодовая модель электроконвекции. На основе неё изучена линейная неустойчивость равновесия. В высокочастотном электрическом поле получена модель, описывающая осредненное течение жидкости, проведены её линейный анализ и исследование нелинейных режимов электроконвекции.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский горизонтальный конденсатор с вязкой слабопроводящей (омической) жидкостью, находящейся в переменном вертикальном электрическом поле Е , и поле силы тяжести g.
© Ильин В. А., Пономарева Л. А., 2015
Ось x направлена вдоль слоя, ось z - перпендикулярно границам слоя.
Идеально тепло- и электропроводные границы конденсатора расположены в z=-h/2, h/2 (h - толщина слоя), нагреты до разной температуры T(-h/2)=©, T(h/2)=0. Здесь T - температура, отсчитываемая от верхнего электрода, 0 - характерная разность температур. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. Слой находится в переменном электрическом поле, которое направлено вдоль оси z перпендикулярно границам. Потенциал поля верхней границы равен нулю: <p(h/2) = 0, потенциал нижней - изменяется со временем по гармоническому закону: <р(-h / 2) = U cos (at't. Здесь U - амплитуда напряжения, a = 2rc/f - частота, tf - период модуляции. Возмущения скорости и температуры на границах обращаются в ноль.
В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде [13]
fe =Ре E -1Е 2 Vs +1 vLfi E 2
2 2 К dp
(1)
Р
О + (vV)v'
ot
OT
— + (vV)T = %AT, divv = 0,
ddt
Р + div(aE) + (vV)p= 0, dt
div(sE) = pe, E = -V< , Р = Р0 (1 -PT) , a = ao(l + PaT).
(2)
здесь ре - свободный заряд единицы объема, е, р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости соответственно. Последнее слагаемое в (1) имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье -Стокса. Вторая (диэлектрофоретическая) часть силы (1), связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости е, не существенна. Такой подход оправдан в случае, когда неоднородность электропроводности, связанная с градиентом температуры, намного больше, чем неоднородность диэлектрической проницаемости. Движение может вызвать только первая (кулоновская) часть силы, связанная со свободным зарядом в жидкости.
Рассмотрим поведение слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле, используя электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты пренебрежимо малы по сравнению с электрическими [1]. Кроме того, предположим, что разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения и*, начиная с которого существенна ин-жекция, и будем пренебрегать поверхностной электризацией жидкости. Плотность и электропроводность жидкости линейно зависят от температуры. Пренебрегая в уравнении теплопроводности вязкой диссипацией и джоулевым разогревом, запишем систему уравнений конвекции жидкого диэлектрика в электрическом поле:
Здесь v , p, T - поля скорости, давления и температуры соответственно, а - проводимость жидкости, т - динамическая вязкость, %, Р, Ра -коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент проводимости.
Граничные условия имеют вид: z = -h/2 : v = 0, Т = ©, <р = Ucos(att, z = h/2 : v = 0, T = 0, <p = 0. (3) Обезразмерим уравнения (2), используя безразмерные переменные на основе масштабов: времени - p0h2 / т, расстояния - h, скорости - %/h, температуры - ©, потенциала - U, плотности заряда - sUРа© / h2, давления - ]%/h2, частоты -т/р0 h2 . Условие малости Ра©<< 1 даёт возможность использовать безындукционное приближение, в котором в расчет берется только внешнее электрическое поле (по сравнению с ним электрическое поле, связанное с перераспределением заряда в жидкости, пренебрежимо мало) [4]. В результате система уравнений электроконвекции примет вид:
— + — (v ■V) v = -Vp + Av + Ra T y + dt Prv 7 y '
+Raapeу cos at,
dT
Pr— + (v ■V) T = AT, div v = 0, (4) dt
Pre dp + — (v ■V)pe + pe + — cosat = 0.
Pr
dz
Здесь Y = (0,0,1) - единичный вектор, направленный по вертикали вверх, введены безразмерные параметры - тепловое число Рэлея Яа, число Прандтля Рг, электрическое число Прандтля Рге электрическое число Рэлея Яает :
Ra = Р0 gP©h 3
Pr =
%Р0
Pr. =
sт
e , 2
h Р0а0
RK = sUP©©. (5)
= -Vp + ]Av + pg + pe E,
Электрическое число Рэлея может быть как положительным, так и отрицательным, так как по определению (5) линейно зависит от разности температур между обкладками конденсатора и при нагреве сверху будет отрицательным.
Представим поля скорости, температуры, дав-
ления и плотности заряда в виде: v .
T = T + 3',
Р = Ро + Р', Ре = Ре0 + Р'е (штрихи означают отклонения величин от равновесных значений Т0, р0, ре0, далее штрихи опускаем). Далее учтём равновесные решения. Плоские и пространственные возмущения одинаково опасны, поскольку задача изотропна в плоскости слоя, поэтому рассмотрим плоские возмущения: V = (и ,0, т), д/ду = 0 [14]. Границы слоя считаются недефор-мируемыми, твёрдыми, изотермическими (штрихом обозначена производная по 2):
г = +1/2 : и = т = 3 = 0. (6)
Введём функцию тока у и представим компоненты вектора скорости в виде
ду ду т = —!—, и =--—.
дх дг
В терминах функции тока уравнения, описывающие электротермическую конвекцию слабопро-водящей жидкости, примут вид:
д . 1 (ду д , ду д , А
— Дун--1 —--Ду-----Ду =
дt Рг V дх дг дг дх )
= Ra
а др cos at + Ra — + Д V,
дх dx
„ д3 дудЗ Pr-+ —!--
dt dz дх
dv дЗ „ dv T--= Д3 + T
, (7)
Pr
дРе , Pre
+ -
дх дz дх
V^-дУ дРе
дt Pr ^ дх дz дz дх
дЗ . п
+pe +--cos at = 0.
дz
Граничные условия перепишутся:
z = +1/2 : v = V = 3 = 0. (8)
Для решения системы уравнений (7) использовался метод Галеркина. Используемые для плотности заряда базисные функции, как и в [15, 16], удовлетворяют граничному условию pe =-д3|дz. Такой набор базисных функций позволяет решить различные задачи линейной устойчивости в переменных электрических [15] и тепловых полях [16]. Оно может быть использовано в качестве граничного условия для плотности заряда и в нашей задаче. Аппроксимации полей, удовлетворяющие граничным условиям, выбраны следующим образом:
V =
Ai
3 = 1 Bi
1 - z2 4
1 - z2 4
+ A, I 1 - z2
2
+ B,\- - z2
sin кх,
z cosкх+
+C11 -z2
(9)
Pe =( Di z + D2 \ 1 - 3z2
cos кх+E \ — 3zz ' 4
где к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя, A1(t), A2(t), B1(t), B2(t), C(t), Dj(t), D2(t), E(t) - амплитуды, зависящие от времени. Вторые слагаемые в аппроксимациях необходимы, чтобы учесть нелинейность системы (7).
Подставляя разложения (9) в систему (7), после ортогонализации получаем систему восьми обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд слоя. В случае Рге = 0, когда время релаксации заряда много меньше характерного гидродинамического времени (заряд мгновенно рассасывается в жидкости), из восьмимодовой системы получается пятимодовая модель электроконвекции:
дА1 к4 + 24k2 + 504 9k —---Г2-A1 ,?\RaB1 -
дt
12 + k2
2 (12 + к2)
3k 2
--тт Ra„ cos atB,
12 + k2 2
дА2 к4 + 88k2 + 3960 . 11k „ _
—2 =--9-A2+—,-rr-RaB2 +
дt 44 + k2 2 ^ 2
2 (44 + k2) 66k
Pr
дВ1 дЬ
44 + к
-(10+k2)B1 kA1 kA1C,
2 RaCT cosatB1,
Pr^ = -(42 + к2)B2 +1 kA2 —— kA2C,
д^ V ' 2 149 2
Pr — = -42C +1 kA-B-, +—kA2B2 , дt 2 1 1 264 2 2
D = 2B cos at, D2 = -B2 cos at,
E = -C cosat.
Перемасштабируем переменные:
t t, A1 ^ 14^1P+k 2) X,
(10)
10 + к2 ' 47к
^ 132-\/2(10 +к2) , (П)
2 к
В1 ^ 3^?У , В2 ^ , С ^ 6Z ,
после чего получим пятимодовую модель электроконвекции (точка над переменными - производная по времени):
X = Pr(-qX+ гУ - еРУсоэ2 Ы),
у=-у+х-хг, ¿ = -Ьг + ХУ + 1АУ, (12)
У = Рг (-с^У + й2т+с13еУ соэ2 ю*), ру=-с14ру+с15у-уг.
Здесь введены новые параметры:
г = ^ Ка _28(к2 + 10)2(к2 +12)
Яа0 , 0 27к2 ,
e = -
Ra 0 Ra„,
Raa0 =
л/7(к2 + 10)2(к2 +12)
9к 2
+
а =
Ь = -
42
к4 + 24к2 + 504
(к2 + 12)(к2 +10) к2 +10
. к4 + 88к2 + 3960 , 7 к2 +12
а, =—5-5-, а2 =--=-, (13)
1 (к2 + 44)(к2 +10) 2 27 к2 + 44
а, = -
1 (к2 +12)
^ =
к2 + 42
6 (к2 + 44)' 4 к2 +10
я 11
а5 = — •
5 3 '
где е - нормированное электрическое число Рэлея, г - нормированное тепловое число Рэлея; q, Ь,
d3, d4, d5 - геометрические параметры; Яа0, Яает0 - критические числа, при которых начинается термогравитационная или электрокондуктив-ная конвекция соответственно. Из определения электрического числа следует, что оно может менять знак при смене нагрева снизу на нагрев сверху.
Динамическая система (12) является обобщением маломодовой модели Лоренца [17] на случай твёрдых граничных условий в переменном электрическом поле.
3. Пятимодовая модель электроконвекции
Исследуем линейную устойчивость равновесия жидкости в постоянном электрическом поле. Линеаризируем систему (12), отбросив нелинейные слагаемые. Мода 2 затухает со временем. Условие разрешимости системы - равенство её определителя нулю. При раскрытии определителя получается уравнение, решение которого ищется в виде экспонент, зависящих от времени ехр(Х0, где X - инкремент возмущений.
Инкремент возмущений комплексный: X=Xr+iт. Здесь Хг - собственно инкремент, а т - частота ос-цилляций. Если т = 0, то возмущения меняются со временем монотонным образом: при Хг > 0 -нарастают, при Хг < 0 - затухают. Если т Ф 0, знак Хг определяет поведение осциллирующих возмущений. Граница монотонной неустойчивости может быть найдена из условия равенства нулю инкремента Хг=0, т=0; этим условием определяется критическое значение числа Рэлея.
Граница колебательной неустойчивости находится из условий Хг=0, т Ф 0, которые определяют критическое электрическое число Рэлея и частоту нейтральных колебаний. В задаче неустойчивость возникает колебательным образом. Для случая невесомости (г = 0) найдены выражения для частоты нейтральных колебаний и критического электрического числа Рэлея:
2 Рг(Рг аа,а4++ <1,^+Рг )
о = —
е =--((^^(^ +
Мз Рг(Рг а+а, Рг+ а4 +1) 5 3 4
+1)(а+^Рг^Рг3^ + <2Рг2а4 + <2рА 2 +
+<2Рг3а+^р^+^Рг^+^Рг^ +
+а,Рг3а2а4+2Рг2 + ^Рг^2 + ^Рг^+
+<4аРг+<4 + ^ Рг+Рг2 )))^.
Для слабопроводящих жидкостей число Пранд-тля по величине варьируется в пределах нескольких сотен. Результаты расчета критических значений волнового числа, электрического числа Рэлея и частоты в минимуме нейтральных кривых колебательной неустойчивости для некоторых чисел Прандтля представлены в таблице. Из неё видно, что при увеличении числа Прандтля все критические параметры возрастают.
В случае свободных границ критические параметры меньше, например, для Рг = 100: кс = 3.023, Яаос = 11697, е = 41.51, т = 15.99 [8]. В задаче с твердыми границами повышается порог возникновения конвекции - критическое электрическое число Рэлея становится больше, это свидетельствует о стабилизирующем влиянии твердых границ.
Значения параметров в минимуме нейтральных кривых колебательной неустойчивости в зависимости от числа Прандтля
Рг кс Р^ОС е т
100 4.444 28894 69.07 17.52
150 4.445 35285 84.31 21.45
200 4.446 40684 97.19 24.77
300 4.447 49755 118.82 30.34
400 4.447 57410 137.09 35.03
Рг а,+Рг а+а4 +1
(14)
4. Пятимодовая модель электроконвекции в высокочастотном электрическом поле
Рассмотрим модель (12) в высокочастотном электрическом поле, когда период колебаний поля много меньше всех характерных времен движения жидкости. Решение этой системы уравнений представим в виде суммы медленно (х0, у0,20, и0, ш0)
и быстро меняющихся со временем слагаемых (х, у, ¿, V, т):
X = х0 + х, У = у0 + у, 2 = ¿0 + х ,
V = VI) + V, № = т0 + т. (15)
Подставим эти выражения в систему (12), усредним по времени и учтём, что средние значения быстро меняющихся слагаемых равны нулю, а средние значения от медленных частей равны им самим. В результате получим систему уравнений для осредненных величин:
о о
х0 = + Ргт/0г-Рг—(н?со82^)-Рг—т0,
Уо = ~Уо + хо~ хого ~ (Х2) > ¿0 = -Ьх0 + Х0У0 + (ху) + VoWo + (иш), (16)
Ь0 = — Рг <11 с0 +?г&ъ^Цг)со$2со{) + + Рг ^ У 0 + Рг <2ГЖ0 ,
Щ = -с14И70 + с15и0 - v0z0 - (га). Среднее значение по времени некоторой величины А определяется по следующему правилу:
(А) = — [ АйЬ, где Т = — - период колебания
Т ^ ™
о
m
z = xy0+vw0, (18)
1
v = — Рг d3y0e eos 2at,
w = á5v-vz0. Решения этой системы имеют вид: 1
x =--Pr wesin2®t,
4® 0
1
y = —TT Pr w (1 - zn ) e cos2®t, " 8®2 0V '
1
z = —2 Pryow0(1 -d3)ecos2®t, (19) 8®
1
v = — Pr d3y0e sin 2®t, 4®
w = —
-Pry0(d5 -z0)d3ecos2mt.
8®'
Найденные решения (19) подставляем в систему уравнений (16) и получаем систему уравнений, описывающих осредненное движение слабопроводящей жидкости в высокочастотном пределе (нулевые индексы опущены, а переменные переписаны через прописные буквы):
Х = Рг[^Х--РУ + У(г + с15Ве2)-гУВе2 ],
внешнего поля.
Запишем уравнения для быстро меняющихся слагаемых:
Q
i = - Pr qx + Рг п/ - Рг—(и? + и?0 cos 2at),
У = —у + X — Xq Z — XZQ , z = -bz + x0y + xy0 + V0w + Z7W0 , (17)
v = - Pr djU + Pr d3 — (y + y0 cos 2at) + Pr d2rw,
w = -d4w + d5u - v0z - vz0.
Слагаемые (-Pr qx), (-y), (-bz), (-Pr dx v), (-d4w) дадут затухающий со временем вклад в решение. Быстро меняющиеся переменные малы по сравнению с медленно меняющимися величинами, производные по времени пропорциональны частоте, которая считается большой. Учитывая это, мы пренебрегаем слагаемыми Pr гy, Pr ew/2 по сравнению с другими в первом уравнении системы (17) и слагаемыми Pr d2rw, Pr d3ey/2 - в четвертом. Из этих уравнений следует, что х и v будут иметь первый порядок малости по обратной частоте. Из вида остальных уравнений видно, что y, z и w будут иметь второй порядок малости. Тогда получается, что x0 z мало по сравнению с другими слагаемыми во втором уравнении, а x0 y - в третьем. В итоге получаем систему уравнений: 1
х = — Рг и?пе cos 2 at, 2 0
Y=-Y+X-XZ, Z = -bZ + ХУ + vw,
(20)
У = Рг[ -d1y + ^Y + rd2PV + De2PV(l-Z)
W = -d4W+d5y-yZ.
Здесь введен новый параметр Pr d,
D = -
32m2
(21)
y = x(l-z0),
который характеризует переменное электрическое поле. Этот параметр аналогичен вибрационному параметру, использованному в статье [11]. В нашем случае он зависит от частоты электрического поля, числа Прандтля и геометрического параметра. Он всегда положителен, поэтому будем называть его параметром высокочастотного электрического поля.
5. Результаты исследования модели в высокочастотном электрическом поле
Проведено исследование нелинейных режимов конвекции. Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (20) интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутты-Мерсона с постоянными начальными условиями. Задавался параметр Б, характеризующий переменное электрическое поле, и нормированное электрическое число Рэлея е. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого пре-
1
образования Фурье. По спектральному составу отклика конвективной системы на внешнее электрическое поле определялись типы режимов.
Исследование нелинейных режимов конвекции было проведено для числа Прандтля Pr = 100 в случае невесомости r = 0. Волновое число было взято в минимуме нейтральной кривой к = 4.444. Все вычисления сделаны для этих значений параметров.
Результаты расчётов для разных D были систематизированы, построена карта режимов электроконвекции на плоскости параметров «нормированное число Рэлея e - параметр D» (см. рисунок). В области 1 жидкость находится в равновесии, 2 -область стационарной конвекции, 3 - область периодических режимов, 4 - область хаоса с окнами периодичности.
Дополнительно был проведён линейный анализ устойчивости системы (20). Полученные по данным линейной теории границы монотонной и колебательной неустойчивости совпадают с данными нелинейного анализа.
В пределе D = 0 (ю = <х) конвекция начинается колебательным образом при e = 138.16 (точка А на рисунке). Если взять модель для произвольных частот, в пределе высоких частот усреднить е cos2 at по времени, то получится e/2, и порог конвекции будет в 2 раза больше по сравнению с постоянным полем. В постоянном поле конвекция начинается колебательным образом при e = 69.07 по линейной теории. Следовательно, 2e = 138.14, что согласуется с данными модели в высокочастотном поле.
При росте параметра D порог колебательной конвекции уменьшается и при D = 0.011 происходит переход к монотонной конвекции. Правее этого значения в области 1 жидкость находится в равновесии (все возмущения затухают), при повышении электрического числа в системе возникает стационарная конвекция (область 2), которая при дальнейшем росте нормированного числа Рэлея сменяется колебательным режимом конвекции с некоторой частотой и её гармониками (область 3). При дальнейшем росте электрического поля рождаются квазипериодические колебания -возникают несоизмеримая частота и комбинированные частоты, затем происходит переход к хаотическим колебаниям, спектр Фурье у которых сплошной (область 4). Переход к хаосу происходит через квазипериодичность.
В аналогичной постановке в работе [12] была исследована модель, полученная для свободных граничных условий. В ней переход к хаосу происходил через последовательность удвоений периода. В настоящей работе границы между режимами и сценарий перехода к хаосу изменялись.
e 120
80
40
A
1
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 О 0.1
Карта режимов на плоскости параметров (е, Б): 1 - область равновесия, 2 - область стационарного режима, 3 - область периодических режимов, 4 - область хаоса; точка А - порог конвекции при Б=0
6. Заключение
В работе в рамках маломодовой модели исследованы режимы электротермической конвекции слабопроводящей (омической) жидкости для твёрдых граничных условий в периодическом электрическом поле плоского горизонтального конденсатора. Рассмотрено действие электрокондуктивного механизма неустойчивости. Получена пятимодовая модель электроконвекции в случае мгновенной релаксации заряда. На основе неё изучена линейная неустойчивость равновесия. Определены критические параметры. В высокочастотном электрическом поле получена модель, описывающая осред-ненное течение жидкости, проведены её линейный анализ и исследование нелинейных режимов электроконвекции. Выделены монотонные, периодические, квазипериодические и хаотические режимы движения жидкости. Определены области существования режимов. Определен сценарий перехода к хаосу - через квазипериодичность.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-01-31253-мол_а).
Список литературы
1. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Физма-тгиз, 1972. 292 с.
2. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.
4
3
3
2
3. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 172 с.
4. Саранин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009. 332 с.
5. Ильин В. А. Маломодовая модель электроконвекции идеального диэлектрика // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 38-48.
6. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Динамика электроконвективных структур слабопроводящей жидкости// Прикладная математика и теоретическая физика. 2008. Т. 49, №3. С. 20-27.
7. Ильин В. А., Мордвинов А. Н., Петров Д. А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при униполярной инжекции заряда в постоянном электрическом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. Т. 147, вып. 1. С. 181-188.
8. Ильин В. А. Электроконвекция слабопроводя-щей жидкости в постоянном электрическом поле// Журнал технической физики. 2013. Т. 83, вып. 1. С. 64-73.
9. Картавых Н. Н., Ильин В. А. Численное моделирование электроконвекции слабопроводя-щей жидкости в переменном электрическом поле// Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7, № 3. С. 260-269.
10. Капица П. Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. 1951. Т. 44, вып. 1. С. 7-20.
11. Закс М. А., Любимов Д. В., Чернатынский В. И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции// Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. № 3. С. 312-314.
12. Ильин В. А., Пономарева Л. А. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в высокочастотном электрическом поле // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2013. Вып. 3 (25). С. 28-36.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. C. 736.
14. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.
15. Smorodin B. L., Velarde M. G. Electrothermo-convective instability of an ohmic liquid layer in an unsteady electric field // Journal of Electrostatics. 2000. Vol. 48, N. 3-4. P. 261-277.
16. Смородин Б. Л. Возникновение конвекции слабопроводящей жидкости в модулированном тепловом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. Т. 120, вып. 6. С. 1421-1429.
17. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. C. 368.
References
1. Ostroumov G. A. Vzaimodeistvie electricheskih i gidrodinamicheskih polei. Moscow, Fizmatgiz, 1972. 292 p. (In Russian).
2. Bologa M. K., Grosu F. P., Kozhuhar' I. A. El-ektrokonvektsiya i teploobmen [Electroconvection and heat transfer]. Kishinev: Shtiintsa, 1977. 320 p. (In Russian).
3. Stishkov U. K., Ostapenko A. A. Elektrogidro-dinamicheskie techenija v jidkih dielectricah. Leningrad.: Izdatel'stvo LGU, 1989. 172 p. (In Russian).
4. Saranin V. A. Ustojchivost' ravnovesija, zarjadka, konvekcija i vzaimodejstvie zhidkih mass v el-ektricheskih poljah. Moscow, Izhevsk, NIC RHD, 2009. 332 p. (In Russian).
5. Il'in V. A. Low mode model of electroconvection of an ideal dielectric. Technical Physics. 2010, vol. 55, no. 8, pp. 1113-1123.
6. Il'in V. A., Smorodin B. L. Dynamics of electro-convective structures in a weakly conducting liquid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2008, vol. 49, no. 3, pp. 362-368.
7. Il'in V. A., Mordvinov A. N., Petrov D. A. Electroconvection of a Poorly Conducting Fluid under Unipolar Charge Injection in a Steady Electric Field. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2015, vol. 120, no. 1, pp. 161-168.
8. Il'in V.A. Electroconvection of a poorly conducting fluid in a steady electric field. Technical Physics. 2013, vol. 58, no. 1, pp. 60-69.
9. Kartavykh N. N., Il'in V. A. Numerical simulation of electroconvection of a poorly conducting fluid in an alternating electric field. Computational Continuum Mechanics, 2014, vol. 7, no. 3, pp. 260269.
10. Kapica P. L. Mayatnik s vibriruiuscim podvesom. Uspehi fizicheskih nauk. 1951, vol. 44, no. 1, pp. 7-20. (In Russian).
11. Zaks M. A., Ljubimov D. V., Chernatynskii V. I. O vliyanii vibracii na regimy nadkriticheskoi kon-vekcii. Izvestiya AN USSR. Fizika atmosfery i okeana. 1983, no 3, pp. 312-314. (In Russian).
12. Il'in V.A., Ponomareva L. A. Elektrokonvekcija slaboprovodjascei jidkosti v visokochastotnom el-ektricheskom pole. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2013, no. 3(25), pp. 28-36. (In Russian).
13. Landau L. D., Lifshic E. M. Elektrodinamika sploshnyh sred. Moscow, Nauka, 1982. 736 p. (In Russian).
14. Gershuni E. M., Zhuxovickij E. M. Konvektivnaja ustojchivost' neszhimaemoj zhidkosti. Moscow, Nauka, 1972. 392 p. (In Russian).
15. Smorodin B. L., Velarde M. G. Electrothermocon-vective instability of an ohmic liquid layer in an unsteady electric field. Journal of Electrostatics. 2000, vol. 48, no. 3-4, pp. 261-277.
26
B. A. HnbUH, ïï. A. noHOMapëea
16. Smorodin B. L. The onset of convection of a poorly conducting fluid in a modulated thermal field. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2001, vol. 93, no. 6, pp. 1231-1238.
17. Berge P., Pomo I., Vidal K. Order within chaos: towards a deterministic approach to turbulence. New York: Wiley, 1986.
Investigation of electroconvection model of poorly conducting liquid in the capacitor with hard boundaries
V. A. Ilin, L. A. Ponomareva
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: ilin1@psu.ru
It was obtained five mode electroconvection model of poorly conducting liquid in the horizontal capacitor for hard boundaries in the case of instantaneous relaxation charge. With the help of that model linear instability of liquid equilibrium in steady electric field was investigated. The model of average fluid flow in the high-frequency electric field was obtained. Nonlinear regimes of electro-convection was investigated. The map of the flow regimes was computed. Transition scenarios to chaos are defined.
Keywords: electroconvection; poorly conducting liquid; transition to chaos
