Условия устойчивости и оценки решений некоторого класса сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 531.36 С. В. Соколов

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРОГО КЛАССА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ*)

1. Введение. Одной из основных проблем теории управления является анализ устойчивости сложных динамических систем [1—4]. Подобная проблема возникает при изучении широкого класса электромеханических, биологических, экономических систем. Сложность таких объектов заключается в многомерности, наличии большого числа различных связей между подсистемами, а также в нелинейном характере описывающих их уравнений. Все это приводит к возникновению существенных трудностей, заставляющих искать пути упрощения рассматриваемых уравнений. Поэтому при рассмотрении сложных систем часто применяется метод декомпозиции, т. е. разбиения системы на не влияющие друг на друга блоки. Таким образом, можно значительно понизить порядок уравнений. Для каждого блока подбирается своя функция Ляпунова, затем с помощью полученных функций исследуется устойчивость всей сложной системы.

Метод декомпозиции использовался еще А. М. Ляпуновым при анализе устойчивости в критических случаях [5]. С помощью специальных преобразований он разбивал рассматриваемые системы на подсистемы, соответствующие критическим и некритическим переменным. Данный подход получил глубокое развитие в работах Р. Беллмана, В. М. Матросова, В. И. Зубова, Н. Н. Красовского и других авторов [6-11].

В настоящей статье изучена сложная система, состоящая из n взаимодействующих осцилляторов. Предполагается, что каждая из изолированных подсистем является существенно нелинейной и описывается уравнением Льенара [11]. C помощью метода функций Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения исследуемой системы.

Найдены оценки решений данной системы. Так как построенные функции Ляпунова зависят от набора параметров, была решена задача нахождения значений параметров, которые дают наиболее точные оценки решений.

2. Условия асимптотической устойчивости. Рассмотрим систему связанных нелинейных осцилляторов вида

Xi + (aiXVi + fi(t, x)) Xi + biXSii = 0, i = 1,...,n. (1)

Здесь xi € E1, x = (xi,..., xn)*; ai, b - положительные постоянные; 5i - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, ^ ^ 1, v - рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, v > 0; функции fi(t, x)

Соколов Сергей Владимирович — аспирант кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. А. Ю. Александров. Количество опубликованных работ: 5. Научное направление: теория устойчивости. E-mail: serge-falcon@mail.ru.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-08-92208ГФЕН_а).

© С. В. Соколов, 2009

непрерывны при г ^ 0, ||х|| < Н (Н - положительная постоянная) и удовлетворяют неравенствам

\fiit, х)| < С- \X, г = 1,...,п,

где Х0 = Хп; с- > 0; вг > 0, г = 1,..., п.

Система (1) описывает взаимодействие п нелинейных осцилляторов

х- + а-х^ х- + Ъ-х6 = 0, г = 1,...,п. (2)

Нулевые решения систем (2) асимптотически устойчивы [3]. Сначала определим условия на параметры @1,...,@п, при которых связанная система с замкнутой обратной связью сохраняет устойчивость. Для решения этой задачи используем идею выбора параметров функции Ляпунова, предложенную в работе [12].

Запишем систему (1) в виде

Х = УІ, V 6 (3)

уг = -а-х^ у- - ^(г, х)у- - Ъ-х6, г =1,...,п.

В качестве функций Ляпунова для каждой из систем (3) в этом случае выбираем

Уг{хиуг) = ^ ^ 1^+1 + +СХгУ^ +И\Хг\^~1ХгУг, 1=1

где щ ^ 1; с < 0; к > 0; вг - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями; кг - рациональные числа. Тогда при достаточно малых \с\,к, \хг\, \уг\ и Si ^ 2щ — ^ + 1)(щ — т;) справедливы оценки

Ри(х6*+1 + у2Г < V < р^х^1 + у2)п.

Здесь постоянные ри,р2г положительны.

Пусть

V (х, у) = ^2 Уг(хг ,Уг). (4)

г=1

Продифференцируем функцию Ляпунова V(х, у) в силу системы (3). Имеем

¿V

Л

п ( Ъ- \ги-1

,3)= ~[4г+1 + У2г) {ЬгХгХ^ + уда) +

п

+ (св-х-у3?-1уг + су3х- + к\хг\к?-1$,£п(хг)угхг + к\х-\к -1хнуг) =

г=1

п / Ъ \т~1

= Шт + у*2) ~ ^уЬ +

г=1 ' г '

п

I / 3? + 1 V? + 1 Sí с Sí т 6? + 1 3? — 1 I

+ 2_^\су1ъ+ - С8га-х^+ у 3 - св-^х-уз - сЬ-в-х^ у 3 +

=1

+ к\х-\к-^п(х-)у2 - ка-\хг\к?~1х^+1у- - кfi\xi\kí-1xiyi - кЪг\хг\к?~1х6?+1). (5)

Рассмотрим подробнее структуру функции (5). Функции

/ Ъ \ги-1

-аццх^у? ^ 1х6іі+1 + УЇ) +су°і+1 - И,Ьі\хі\кі-1х?і+1, і=1,...,п, (6)

отрицательно определены. Произведения

/¿(і,х) ^-гц (^~р[хіі+1 +уІ^ Уі ~сзіХіУIі -Цхі\кі~1Хіу^ , і = 1

содержат множители /.¿(ї, х). Выберем теперь параметры 8і,кі, і = так, что-

бы функции

-евіаіХVі+1уIі - сЬівіХіІі+1у°і-1 + Н\хі\кі-1^^^і(хі)у2і - Наі\хі\кі-1х"і+1уі, і = 1,...,п,

(7)

имели при х, у ^ 0 порядок малости больший, чем функции (6). Оценивая каждое слагаемое в (7), получаем условия

Г 2^ 2 ]

= тах |2,(, - 1 + —, 2.»-^}, (8)

кі = тах {(¿і + 1)(і — 1) + 1 + щ, (Зі + 1)(і — 1) + ¿і — V} . (9)

Используя подход, предложенный в работе [9], приходим к неравенствам

в [ ^і Зі 1 і ■

> тах < —-----—--------; ——----------------------------------—-—-— > , п.

(3г-1 + 1)(Пг-1 + Аг-1) I № + 1)71г + 2№ + 1)71г + (3г - 1)

Таким образом, справедлива

Теорема 1. При выполнении неравенства

п ( 3' 11

/?1/?2 "'Рп> Л тах — \ (10)

г=1 ^ ^

нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

2. Оценки решений. Пусть для системы (1) справедливо неравенство (10). Используя построенную ранее функцию Ляпунова (4), найдем оценки решений уравнений (1). Для этого используем подход, предложенный в работе [10].

Обозначим

Л _ тах{щ\5г — щ — 1} п _ щ ______________¿.+1 | 2

® — г . — г . ; г1 — хг Т У® •

3+1 3+1

Заметим, что всегда

Аг > вг, г = 1 ...,п. (11)

Тогда для функции Ляпунова (4) при вг и кг, найденных по формулам (8) и (9), и достаточно малых |^|| справедливы оценки

пп

«1 ^2 хП ^ V ^ д2 Л,, д1 > 0, ® > 0,

г=1 г=1

dV

dt

(< -q^(vti + L + xki+6i) < --zt ^ J, q3,cU > 0.

( ) i=1 i=1

Выбирая Si и ki по формулам (8) и (9), получим

. ki + Si si + 1 1 max {vi; Si vi 1}

max "^T" }=Vi +

Si + 1 2 J Si + 1

Тогда справедлива оценка

dV

dt

< -q^y^ zf+Ai, q5 > °.

(i) ' "U г

Отсюда приходим к неравенствам

dV dt

А-

^—qV1+p, q> 0, p= max —. (1) i=1,...,n ni

Интегрируя полученное соотношение, находим

_ 1

zj(t) < - to + 1) p71i , % > 0, j = 1, .. ., n.

Выберем величины щ, i = 1,...,n, так, чтобы

An

mp = max ---------- —>• mm .

J i=1,...,n ni

_i

rh

Пусть j = 1. Тогда приходим к задаче

Обозначим Xj = Xj = max4lr..i4ii \j-

■ I 1 1 Ъ\

Xi = mm < ——, — • — > ^ max. 12

<=2.»Ui’Aj ml

Условия на параметры ni,...,nn из доказательства теоремы 1 имеют вид

Pi f Vi Si 1 I ' 1

> max < —------------; ——----------—-----i=l

(3г-1 + 1)(Пг-1 + Аг-1) I (3г + 1)Пг + 2(3г + 1)Пг + (3г - 1) \

Запишем эти неравенства в следующей форме:

вг(3г + 1)п- + ^гвг > (3г-1 + 1)-Пг-1 + (3--1 + 1)V-А-—1,

2Рг(3г + 1 )Пг + Рг(3г - 1) > (3г - 1)(3г-1 + 1)Пг-1 + (3г - 1)(3г-1 + 1)Аг-1.

Получим

Пг [ (3г-1 + 1)г/г Пг-1 + Аг-1 - @г/(3г-1 + 1)

----- > тах < " , „----V- х ------------------—------------ •

Пі—1 I в- (Si + 1) Пі—l

(Si — 1)№-і + 1) Vi-1 + Аі~ і — рі/(5і—\ + 1)

2/3®(<5® + 1) rji-1

Введем обозначения:

, 2A • ,

^ = Tx---------їй л . д V * = 1,

(Si —1 + 1)(Ai + Vi)

Тогда неравенство (10) примет вид

Ф1Ф2 ■■■Фп > 1.

При 6г >2щ + 1 имеем фг = = 1) ’ при ^ < 2г/* + 1 справед-

, №+1)А

ЛИБО ф>1 — к !

(<5г— 1+1)^

Заметим, что Аг^9г = ^ ^ 1 , г = Поэтому неравенства (13) можно

записать в виде

_!^_>1 + 1^-1-А/№-1 + 1)) г=1;...;П. (14)

Пг-1 Фг Фг Пг-1

Получим

Здесь

1

Щ > — П*-1 + Фг

с‘ - т, (л-‘“ гтгтт)’ *-1’-

Таким образом, должны выполняться условия

Фг ФгФг-1 ■■■ Ф2 ФгФг-1 • • • Ф1

Пп < Ф1П1 - Clфl,

Пп-1 < П1Ф1 Фп - С1ФФ - СпФп,

Пг < П1Ф1Ф-+1 • • • Фп - С1Ф1Ф-+1 • • • Фп - Сп&+1 • • • Фп - • • • - С-+2Ф-+1Ф-+2 - С-+1Ф-+1. Тогда величина (12) может быть ограничена сверху

. Г 1 1 (п1 - С1)Ф1 Ф-+1 • • • Фп - Ху к=г+1 Ск Фк Фк+1 • • • Фп 1 , ,

XI < ПШ1 < —, ------------------------------------1------------------> . (15)

1=2,...,п\А\ Аг Щ )

Рассмотрим случай п = 3. Неравенство (15) примет вид

. ( 1 1 П1Ф1 - С1Ф1 - С3 1 П1 - С1

XI < тт , —фз--------------------------, —ф 1--------

А П1 А3 П1

Проанализируем знаки величин С1 и С1Ф1 + С3.

Имеем С\ = ^¡- • Поэтому если С\ < 0, то Аз < ф\ Лх\вх < Ф\А\. Отсюда

11

Л ^ 1Аз

Рассмотрим выражение С1Ф1 + С3:

+'*= к (*- з£т>*■+ {*- 5тт)-

л в\ л Аз + вз ¿2 + 1 Аз + вз Аз - вз , Аз + 9з ¿2 + 1

- Аз~—1+А2~ А 2~ ~—2~-—1+А2— ИГ'

Из него видно, что если С\ф\ + Сз ^ 0, то с учетом (11) справедливы неравенства

Аз + вз ¿2 + 1 . Аз + вз ¿2 + 1 Аз - вз р\

Л2------г-----т.--- ^ Л-2-------------------1--------- ^

ß3 2 ß3 2 " + 1

Тогда

л ^__________ЭДз______________2ßi______A-i + в\

2 " (62 + 1)(Аз + вз)(6з + 1)(А1 + в1) 2 " 1ф1фз-

Отсюда получим

i ^ ~кф1фз-

Если же Ci или С1Ф1 + C3 положительны, то чем больше выбираем значение ni, тем больше будут соответствующие дроби в выражении (15).

Используя полученные результаты, имеем при Ci ^ 0, С1Ф1 + С3 ^ 0 справедливо Xi = при Ci < 0, С\фх + Сз > 0 справедливо xi < min{^ ^ф1фз} 5 ПРИ Ci >

0, С1Ф1 + Сз > 0 справедливо xi < min ^фзф1, 5 ПРИ С1 > °> С\Ф\ + сз < 0

справедливо xi < min | } •

В трех последних случаях за счет выбора достаточно большого ni величина xi может быть сделана сколь угодно близкой к своей верхней оценке. Окончательно приходим к следующему результату:

X, = и min j -J-/1}

Здесь pi < 1 при xi < 1/Ai и pi = 1 при xi = 1/Ai. Величина pi будет тем ближе к единице, чем больше выбрано значение ni.

Отсюда видно, что справедливо соотношение

у . Г 1 1 , П1Ф1 - Сф - Сз 1 ni - Ci

supxi= lim mm < ——, —— фз-------------------------,—ф 1--------

^1^+то [Ai A2 ni A3 ni

Рассмотрим теперь случай произвольной размерности.

Определим, какой знак имеет выражение

Y = С1ф1фг+1 • • • фп + Спфг+1 • • • фп + ' ' ' + Сг+2фг+1фг+2 + Сг+1 фг+1.

Имеем Ci = j- (Ai-1 - Ä._^+1) , Ci+1 = (Ai - , Ci+2 = (a*+i -

Cn = i"4”-1 _ Snßi + i) ’ Gl = Ti (An ~ ¿ff!

Следовательно,

Y = С1ф1фг+1 • • • фп + Спфг+1 • • • фп + • • • + Сг+2фг+1 фг+2 + Сг+1 фг+1 =

= ^{Лп-6^)Ф1Фг+1---фп + ^{Лп-1-6^^)Фг+1---фп + --- +

+ — (Ai+1 —^+i_\ ф{+1ф{+2 + — (Ai- All") ф m =

Фг+2 V b+i + iyFt+1Ft+2 ^ ^i+1 V * +1; +

An — — ) Фг+1 • • • Фп + ( A„_l — -—— , ~ J фг+1 ■ ■ ■ Фп— 1 + ' ' ' +

ön + 1/ V Ö„-i + 1

+ ('4,+1 “ ¿7+l) *« + (л “ i+7

An 0n > > , An-1 @U—1 > > ||

—------2---0*+i ''' Фп H-------2-----v’i+i ■ ■ ■ <Pn-i + • • • +

, Л+2 - Oi+2 Ai+i - 0i+i Al + 01

H------2--------------------------------Фг+\Фг+2 H-2-ri+1 + Aj---0i0j_|_i • • • </>„.

Таким образом, если y ^ 0, то справедливы неравенства

^An 0n ^An—1 0' n—1 1

Ai ^ ---------Фг+1 ’ ’ ’ Фп Л--------^---ф*+1 ‘ ‘ ‘ Фп-1 + • • • +

, Ai+2 - 6>i+2 ^ ^ | Ai+1 - 6i+i л , л ^

H------------------------2-0г+10г+2 H-2------Фг+l + ^

A1 +

< 2------ф1<Аг+1 ■■■фп ^ Ахфхф^х ■■■фп-

Значит,

“Г < “гф1ф*+1 • • - фп-Ai Aj

Если же y > 0, то чем больше выбираем ni, тем больше становится соответствующая дробь в (14).

Таким образом,

Xi=Pi min { А ^-ф1ф1+1 ■ ■ -фп

j=2,...,n ^ Ai Aj

Здесь pi < 1 при xi < 1/A 1 и pi = 1 при xi = 1/A 1. Величина pi будет тем ближе к единице, чем больше выбрано значение ni.

Вывод наилучших оценок для j = 1 производится аналогично. В результате приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Существуют положительные постоянные ö,qj, j = 1 ...,n, такие, что для любого решения x = (xi (t),... ,xn(t))* системы (1) при начальных условиях t0 ^ 0, ||z(to)|| < ö для всех t ^ to справедливы оценки

Zj (t) < qj (t - to + 1)-Pj Xj, j = 1,...,n,

где Xj определяется по приведенному выше алгоритму, pj < 1 при Xj < 1/Aj и pj = 1 при Xj = 1/Aj. Величины pj будут тем ближе к единице, чем больше выбрано значение

nj.

Заметим, что, как и в случае нахождения условий устойчивости, наилучшие оценки достигаются, когда параметры функции Ляпунова выбираются достаточно большими.

1. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

2. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / пер. с англ.; под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с.

3. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

4. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 335 с.

5. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Харьковск. мат. об-во, 1892. 251 с.

6. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SIAM J. Contr. Ser. A. 1962. N 1. P. 32—34.

7. Матросов В. М. К теории устойчивости движения // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, № 6. С. 992-1000.

8. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

9. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

10. Зубов В. И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа, 1973. 271 с.

11. Rouche N., Mawhin J. Ordinary differential equations: stability and periodic solutions. Boston.: Pitman, 1980. 260 p.

12. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 10. С. 1432-1434.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 5 марта 2009 г.