CC BY
62
Сер. 10. 2009. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 531.36
А. Ю. Александров, А. А. Косов
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ *)
1. Введение. Пусть движение механической системы описывается уравнениями Лагранжа
■п" и. (1)
Л дс[ дд
Здесь ц и ц - п-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей соответственно, кинетическая энергия имеет вид Т = 1/2 цтА(ц)ц, А(ц) - симметричная и непрерывно дифференцируемая при ц € Е” матрица, а стоящие в правых частях обобщенные силы Q = Q(t, ц, ц) представляют собой сумму сил, действующих на систему. Предположим, что для кинетической энергии при всех ц, ц € Е” справедливы оценки
ki
дТ
dq
дТ
dq
где к\, к, кз, к<4 - положительные постоянные; || • || - евклидова норма вектора. Кроме того, будем считать, что система (1) имеет положение равновесия ц = ц = 0, которое рассматривается в качестве невозмущенного движения. Основная цель настоящей статьи - анализ устойчивости этого положения равновесия, т. е. получение условий устойчивости в терминах свойств входящих в уравнения движения элементов (кинетическая и потенциальная энергия, компоненты силового поля и т. п.).
В соответствии с теоремой В. И. Зубова о канонической структуре силовых полей
[1], обобщенные силы Q(t, ц, ц) могут быть представлены в виде суммы гироскопических
Александров Александр Юрьевич — заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами, профессор факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 100. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail:
alex@vrm.apmath.spbu.ru.
Косов Александр Аркадьевич — ведущий научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН. Количество опубликованных работ: 60. Научные направления: теория управления, теория устойчивости. E-mail: aakosov@yandex.ru.
+ ) Работа поддержана грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-1676.2008.1), грантом Российского фонда фундаментальных исследований и Государственного фонда естественных наук Китая (проект № 08-08-92208ГФЕН), грантом программы ИНТАС-СО РАН (проект № 06-1000013-9019) и Программой № 15 ОЭММПУ РАН.
© А. Ю. Александров, А. А. Косов, 2009
2
и потенциальных по скоростям сил, а в последних не зависящая от скоростей компонента (позиционные силы), в свою очередь, разлагается на потенциальные и неконсервативные позиционные силы. Если позиционные силы существенно нелинейны, т. е. их разложение в ряд по степеням обобщенных координат начинается с нелинейных членов, то анализ устойчивости невозможно выполнить на основе линейного приближения и наиболее употребительным способом исследования становится метод функций Ляпунова, в качестве которых для механических систем часто применяют полную энергию или ее модификации [2-5]. Однако при наличии неконсервативных позиционных сил в системе полная энергия уже не будет обладать свойствами функции Ляпунова, что затрудняет решение проблемы ее построения, хотя в ряде случаев и удается получить на этом пути эффективные условия устойчивости [6, 7]. В случае существенно нелинейных позиционных сил трудности построения функций Ляпунова значительно возрастают.
Одним из способов исследования устойчивости в такого рода случаях может оказаться метод декомпозиции, заключающийся в разделении сложной системы на несколько более простых подсистем, изучении их по отдельности и обоснованном перенесении полученных результатов на исходную систему. Данный метод широко и эффективно применяется в теории устойчивости и управления [5, 8-12].
В настоящей статье доказываются теоремы, позволяющие делать выводы об устойчивости положения равновесия в случае существенно нелинейных позиционных сил на основе декомпозиции исходной системы (1) п дифференциальных уравнений второго порядка на две подсистемы первого порядка той же размерности.
2. Декомпозиция системы с однородными позиционными силами. Пусть уравнения (1) имеют вид
а дТ дТ
Й( )
Здесь В - постоянная неособая матрица, элементы вектора О(ц) - непрерывно дифференцируемые при всех ц € Е” однородные функции порядка р > 1. Таким образом, у рассматриваемой системы существует положение равновесия ц = ц = 0. Исследуем устойчивость этого положения равновесия.
Поскольку л > 1, уравнения (2) существенно нелинейны. Значит, анализ устойчивости нельзя выполнить на основе изучения системы линейного приближения. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом декомпозиции.
В работах [8, 9] были установлены условия декомпозиции системы (2) в случае линейных позиционных сил (р = 1). При этом для обоснования возможности декомпозиции предполагалось наличие в системе большого параметра. Цель п. 2 статьи -определить условия декомпозиции в случае существенно нелинейных позиционных сил (Р > 1).
Рассмотрим две изолированные подсистемы
Ву = -В(у), (3)
A(0)І = -Вг. (4)
Таким образом, вместо системы (2), состоящей из п нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, будем изучать вспомогательные подсистемы (3), (4) первого порядка, причем одна из них линейна, а другая представляет собой систему с однородными правыми частями.
Теорема 1. Если нулевые решения изолированных подсистем (3) и (4) асимптотически устойчивы, то положение равновесия ц = ц = 0 уравнений (2) также асимптотически устойчиво.
Доказательство. Произведем в уравнениях (2) замену переменных
дТ
4 = 2, — + Вд= Ву. (5)
Получим систему
Ву = - В(у) + ^х(у,г),
(6)
А(0)г = - Вг + Ф2(у, г),
в которой векторные функции ^\(у, г) и ^2(у, г) в достаточно малой окрестности точки (ут,гт)т = (0т, 0т)т удовлетворяют неравенствам
||*1(у,г)|| < С1 (ЦуГ-1М + ||г|^ + ||г|2) , < с*||уГ + е(у,г)ЦгЦ.
Здесь С1 и С2 - положительные постоянные, а неотрицательная функция е(у, г) стремится к нулю при ||у|| + ||г|| ^ 0.
Из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (3), (4) следует [2] существование непрерывно дифференцируемых однородных порядка 71 и 72 соответственно функций Ляпунова У(у) и ^(г), для которых при всех у, г € Е” справедливы оценки
ап|Ы|71 < VI(у) < аі2^уУ71,
®21 \\г\\12 < У2 (г) < а22
дУ1
ду
< аі3\\уГ1-1, Уі|(3)< -аі4|у|7і+^-1,
дУ2
дг
< а2з||гр-1, У-|(4)< -а24||гр,
где ац, і = 1, 2, і = 1, 2, 3, 4, - положительные постоянные. При этом в качестве 71 и 72 можно выбирать любые рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями такие, что 71 > 1, 72 > 1.
Пусть
У (у, г) = У (у)+У2(г). (7)
Используя свойства обобщенно-однородных функций [13], нетрудно показать, что если
піах {і; < 71 + М—- < /х, (8)
^ 2 > 72
то число 3 > 0 можно выбрать так, чтобы при ||у|| < 6, ||г|| < 6 имело место соотношение
1
Чб)^-2(аі4ІІУІ|7і+М~1+а24ІИ|7^-
1(6)
Следовательно, функция (7) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [3]. Значит, нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво. Учитывая формулы (5), устанавливающие связь между переменными ц, ц и переменными у, г, получаем, что тогда положение равновесия ц = ц = 0 уравнений
(2) также является асимптотически устойчивым. Теорема доказана.
Замечание! По сравнению с линейным случаем [8, 9] принципиальная особенность теоремы 1 заключается в том, что для обоснования возможности декомпозиции нет необходимости использовать большой параметр. Доминирование сил определенной категории здесь обеспечивается за счет порядков однородности.
Далее наряду с уравнениями (2) рассмотрим возмущенные уравнения
d дТ дТ
dtirq-^q=-Bq-D{q)+R{t^q)- (9)
Будем считать, что векторная функция R(t, q, q) задана и непрерывна в области
t > 0, ||q|| < H, ||q|| <H (H = const > 0), (10)
причем в указанной области справедлива оценка ||R(t, q, q)|| ^ c (||q||CT + ||q|v), где c, a,
v - положительные постоянные. Значит, система (9) также имеет положение равновесия q = q = 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.
Теорема 2. Пусть
а > ¡1, v > 1, (11)
а нулевые решения изолированных подсистем (3) и (4) асимптотически устойчивы.
Тогда положение равновесия q = q = 0 уравнений (9) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Произведем в возмущенных уравнениях замену переменных по формулам (5), а затем для полученной системы в качестве функции Ляпунова выберем функцию (7). Как и при доказательстве теоремы 1, нетрудно показать, что если справедливы неравенства (11), а параметры 71 и 72 удовлетворяют условию (8), то для функции V(y, z) выполнены все требования теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Замечание2. Теорема 2 представляет собой теорему об устойчивости по нелинейному приближению. Она утверждает, что асимптотическая устойчивость положения равновесия сохраняется, если порядок возмущений больше порядка однородности функций, входящих в исходные уравнения.
Покажем далее, что в некоторых случаях полученное ограничение на порядок возмущений можно ослабить.
Предположим, что в уравнениях (9) вектор R(t, q, q) зависит только от обобщенных координат (R = R(q)), причем компоненты этого вектора являются непрерывно дифференцируемыми при всех q € En однородными функциями порядка а ^ 1. Тогда вместо изолированной подсистемы (3) можно рассмотреть подсистему следующего вида:
By = -D(y)+R(y). (12)
Теорема 3. Пусть подсистема (4) асимптотически устойчива и существует непрерывно дифференцируемая при всех y € En положительно-определенная однородная порядка m > 1 функция Ляпунова V(y), удовлетворяющая условиям:
а) функция (^dV/dy^J B-1D(y) положительно определена;
б) (oV/дyjТ B-1R(y) = 0.
Тогда при выполнении неравенства 2а > 1 +1 положение равновесия q = q = 0 уравнений (9) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Снова с помощью замены переменных (5) переходим от уравнений (9) к соответствующей системе, для которой функцию Ляпунова выбираем в виде (7). В данном случае функция (у) определяется по формуле (у) = V' ~ы, где 71 ^ т, причем параметры 71 и 72 должны удовлетворять условию
Г-, ММ ,-,1 71 + М - 1 -г т
тах <1;—;/х — <т+1?< ------------- < тт {/л; а) .
12 а ) 72
Как и при доказательстве предыдущих теорем, получаем, что для построенной функции Ляпунова выполнены все требования теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Приведем примеры систем вида (12), для которых существуют функции У(у), обладающие свойствами, указанными в теореме 3.
Пример 1. Предположим, что уравнения (12) представимы в следующей форме:
• о. Р/ ^
у = —^+Р(у)у.
Здесь Ш(у) - дважды непрерывно дифференцируемая при всех у € Е" отрицательноопределенная однородная порядка м +1 функция; Р(у) - кососимметричная матрица, элементы которой являются однородными порядка а — 1 функциями, причем векторная функция Р (у)у непрерывно дифференцируема при у € Е".
В данном случае требуемую функцию Ляпунова можно выбрать в виде
Пу) = 1Ы12- (13)
Пример 2. Рассмотрим систему
. г^Лу) , (у)
у = С—я------—я--------’
ду ду
где С - постоянная симметричная отрицательно-определенная матрица; Р - постоянная кососимметричная матрица; Ш1(у) = ||у||м+1, Ш2(у) = ||у||ст+1.
Для этой системы в качестве 1^(у) также можно выбрать функцию (13).
Пример 3. Пусть система уравнений (12) имеет вид
"
уг = —С1уЧ + ^ Рч уЬ * = 1,...,п.
3=1
Здесь €г и рз - постоянные коэффициенты, причем €г > 0, а матрица Р = (р^)"3=1 является кососимметричной. Кроме того, предположим, что а - рациональное число с нечетными числителем и знаменателем.
Тогда для функции Ляпунова У(у) = 5^"=1 уГ+1 будут выполнены все условия, указанные в теореме 3.
3. Декомпозиция системы с нелинейными неоднородными позиционными силами. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнениях (2) компоненты вектора О(ц) имеют вид
П
Вг(Ч)=^2 Р3 3, * =1,...,п, (14)
3=1
где Рг] - постоянные коэффициенты; Ц] > 1 - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Не умаляя общности, можно считать, что И1 ^ И2 ^ ••• ^ Ип-Таким образом, изучаемая система находится под действием существенно нелинейных неоднородных позиционных сил. Покажем, что и в данном случае метод декомпозиции позволяет получить достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия ц = д = 0.
Пусть Р = (рц )П3.= 1, Б = -В-1Р. Будем предполагать, что матрица Б диагонально устойчива [14], т. е. существуют положительные постоянные А1,„^,Ап, при которых квадратичная форма ут (БтЛ + ЛБ)у отрицательно определена (здесь Л = diag{Аl,•••,Аn}).
ЗамечаниеЗ. Условия диагональной устойчивости матриц исследовались в
[11, 14, 15].
Замечание 4. Для произвольной квадратной матрицы М = (шц )^=1 через М'ш обозначим матрицу, элементы которой определяются по формулам = шц, ш- = \шгз | при г = j. С учетом результатов [11] для диагональной устойчивости матрицы Б достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:
1) хотя бы одна из двух матриц Бт и (Б-1) удовлетворяет условиям Севастьянова-Котелянского;
2) матрица В является диагональной положительно-определенной, и хотя бы одна из двух матриц (—Р)™ и (—Р-1) удовлетворяет условиям Севастьянова-Котелянского;
3) матрица Р является диагональной положительно-определенной, и хотя бы одна из двух матриц (—В)ш и (—В“1) удовлетворяет условиям Севастьянова-Котелянского;
4) матрицы В и Р симметричные положительно-определенные, причем хотя бы одна из них диагональная.
Таким образом, предположение о диагональной устойчивости матрицы Б не является излишне обременительным и в целом ряде случаев его выполнение легко проверить.
Теорема 4. Если изолированная подсистема (4) асимптотически устойчива, то положение равновесия ц = ц = 0 уравнений (2) также асимптотически устойчиво.
Доказательство. С помощью замены переменных (5) снова переходим от уравнений (2) к системе (6). Нетрудно показать, что теперь для векторных функций Ф1 (у, г) и ^2(у, г) в некоторой окрестности точки (ут,гт)т = (0т, 0т)т справедливы оценки
*i(y, z)|| < С1 ( ||z|| ^уГ1 + ||zH2 + 1ИГ ), ЦЫу, z)|| < \угГ + ф, z)||z||.
Здесь ci,c2 = const > 0, а неотрицательная функция e(y,z) стремится к нулю при
1|у|| + INI-о.
Матрица S диагонально устойчива. Поэтому найдутся положительные постоянные Ai,...,A„ такие, что для производной функции Ляпунова
n n^i+1
Vl(y) = YJ А Ш
в силу изолированной подсистемы (3) при всех у G En выполняется неравенство
П
Vi|(3)< y’2^i, С = const > 0.
Для подсистемы (4) строим однородную порядка 72 функцию Ляпунова V2(z), обладающую свойствами, указанными в доказательстве теоремы 1.
Пусть V(y, z) = Vi (y) + V2(z). Получаем, что если
2 <72 < min {4; 2^i} , (15)
то функция V(y,z) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь возмущенную систему (9). По-прежнему предполагаем, что компоненты вектора D(q) имеют вид (14), а матрица S диагонально устойчива. Будем считать, что векторная функция R(t,q,q) задана и непрерывна в области (10), причем в данной области справедлива оценка
llR(t,q,q)ll < ,
где с и £ - положительные постоянные.
Теорема 5. Пусть изолированная подсистема (4) асимптотически устойчива,. Тогда при £ > 1 положение равновесия q = q = 0 уравнений (9) также асимптотически устойчиво.
Доказательство настоящей теоремы аналогично доказательству теоремы 4. Замечание 5. Теорема 5 представляет собой теорему об устойчивости по первому, в широком смысле, приближению [16]. Как и теорема 2, она утверждает, что возмущения не нарушают асимптотической устойчивости положения равновесия, если их порядок превышает порядок позиционных сил.
Далее рассмотрим случай, когда векторная функция R(t, q, q) не зависит от обобщенных скоростей (R = R(t, q)), и ее компоненты определяются по формулам
П
Ri (t,q) = Yl Wo (t)qf, i =i,...,n.
j=i
Здесь функции фij (t) непрерывны и ограничены при t ^ 0. Кроме того, предположим, что интегралы
/ (Pij (r )dr, i,j = 1,...,n, (16)
Jo
также ограничены при t ^ 0. Таким образом, порядок возмущений совпадает с порядком позиционных сил.
Теорема 6. Если изолированная подсистема (4) асимптотически устойчива, то и положение равновесия q = q = 0 уравнений (9) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Произведем в уравнениях (9) замену переменных по формулам (5), а затем представим полученную систему в виде
By = - D(y) + R(t,y) + $i(t,y,z),
A(0)Z = - Bz + Ф2(t, y, z).
Здесь векторные функции Фi(t,y,z) и Ф2(t,y,z) при достаточно малых значениях ||y|| и ||z|| и при всех t ^ 0 удовлетворяют неравенствам
/ П \ П
||Ф i(t, y, z)ll < ci ||z|| £ уГ1 + l|z|2 + IlzH^M , ||Ф 2 (t, y, z)ll < \yi!ßi + £(y, z)l|z||,
yi
= 1 / i=i
где по-прежнему ci,c2 = const > 0, а неотрицательная функция e(y,z) стремится к нулю при ||y|| + ||z|| ^ 0.
Пусть Ф(£) = (i))™j=i, ©(t) = B-1 J0 Ф(т)dr, ^j(t) - элементы матрицы ©(t).
Рассмотрим функцию Ляпунова V(y,z), построенную при доказательстве теоремы 4. Для системы (17) функцию Ляпунова выбираем в виде
П
V(t, y,z) = V(y, z) xi°ij (t)yf yj3 ■
i, j=1
Нетрудно проверить, что если значение параметра 72 удовлетворяет условию (15), то для функции V(t, y, z) выполнены все требования теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема доказана.
Таким образом, для нестационарных возмущений рассмотренного вида асимптотическая устойчивость положения равновесия сохраняется и в случае, когда их порядок совпадает с порядком позиционных сил.
В частности, интегралы (16) будут ограничены при t ^ 0, если функции (t) описывают периодические колебания с нулевыми средними значениями. При этом на амплитуды данных колебаний никаких дополнительных условий не накладывается.
4. Анализ устойчивости двух взаимодействующих систем. Предположим теперь, что уравнения (1) представимы в следующем виде:
A1q1 + B1q1 + D1(q1) = Fl(t,q,q),
A2q2 + B2q2 + D2(q2) = F2(t, q, q).
Здесь q1 e E"1, q2 e E"2, П1+П2 = n, q = (q[, qT^)T; A1 и A2 - постоянные симметричные
положительно-определенные матрицы; B1 и B2 - постоянные неособые матрицы; эле-
менты векторов D1(q1) и D2(q2) являются непрерывно дифференцируемыми при всех q1 e E"1, q2 e E"2 однородными функциями порядка ¿1 и ¿2 соответственно, ¿1 > 1, ¡¿2 > 1. Будем считать, что векторные функции F1(t,q,q) и F2(t,q,q) непрерывны в области (10) и удовлетворяют неравенствам
l|F1(t,q,q)|| < в1|ЫГ , |F2(t,q,q)| < ^INI“2,
где «1, а2, въ в - положительные постоянные.
Уравнения (18) описывают взаимодействие двух изолированных систем
A1q1 + B1q1 + D1(q1)=0, (19)
A2q2 + B2q2 + D2(q2)=0, (20)
а функции F1 (t, q, q) и F2(t, q, q) характеризуют связи между ними.
Рассмотрим вспомогательные подсистемы
Biyi Di(yi), Aizi Bizi, i 1, 2
Пусть нулевые решения данных подсистем асимптотически устойчивы. В соответствии с теоремой 1 получаем, что тогда положения равновесия q1 = q1 = 0, q2 = q2 =0 изолированных систем (19), (20) также являются асимптотически устойчивыми. Определим условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость сохраняется и для связанной системы.
Теорема 7. Если
а.\а.2 > Ці^2,
(21)
то положение равновесия д = д = 0 системы (18) асимптотически устойчиво. Доказательство. Пусть
при достаточно малых значениях ||у|| и ||г|| и при всех £ ^ 0 справедливы оценки
где 01,02,03,04 - положительные постоянные.
Нулевые решения вспомогательных подсистем асимптотически устойчивы. Поэтому для любых рациональных чисел 71,72,73,74 с четными числителями и нечетными знаменателями, больших единицы, существуют непрерывно дифференцируемые положительно-определенные однородные порядка 71,72,73, 74 соответственно функции Ляпунова У1(у1), ^2(^1), ^3(^2), ^4(^2), такие, что функции
Снова используя свойства обобщенно-однородных функций, получаем, что если выполнено неравенство (21), то значения параметров 71,72,73,74 можно выбрать так, чтобы функция V(у, г) удовлетворяла требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема доказана.
Замечание 6. Предложенные в настоящей статье способы анализа устойчивости положений равновесия существенно нелинейных систем применимы и в случаях, когда уравнения (1) описывают взаимодействие не двух, а большего числа изолированных систем.
5. Исследование влияния неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия. Пусть уравнения (1) можно представить следующим образом:
Яг АіЯі + ВіЯі ВгУг , ^ 1, 2*
Получим систему
В1У1 = - Ві(уі) + Фі(і, У, г), Аі¿і = — В1г1 + ^2(t, y, ¿), В2У2 = — ^2(У2) + Фз(і, У, г), А2¿2 = — В2г2 + ^4^, У, г).
||ЗДУ,г)|| < сі (ІІУіГ-ЦгіІІ + НгіН^1 + 1Ы1“1 + 1ЫГ) ,
УФ2(*,У,г)У < С2 (|ІУі|Г + ||гі||Гі + ІІУ2ІГ + ||¿21аі),
||*з(*,У,г)|| < сз (|ІУ2ІГ2-і||г2І| + ЫГ + ІІУіІІ“2 + 1ЫГ) ,
№(і,У,г)ІІ < С4 (ЫГ + ЫГ + ІІУіІІ“2 + II¿11а2),
положительно определены.
Для системы (22) функцию Ляпунова строим в виде
V(у, г) = Vl(yl) + ^(г!) + Vз(y2) + V4(г2).
дТ дТ _ Ш(д)
А 4
(23)
Здесь В - постоянная симметричная положительно-определенная матрица, П(д) - дважды непрерывно дифференцируемая при всех д € Е” положительно-определенная однородная функция порядка л +1, л > 1. Таким образом, на изучаемую систему действуют линейные диссипативные и существенно нелинейные потенциальные силы.
Уравнения (23) имеют положение равновесия д = д = 0. Известно [3], что оно асимптотически устойчиво. Заметим, что доказательство данного факта может быть получено и с помощью теоремы 1.
Действительно, запишем соответствующую уравнениям (23) изолированную подсистему (3). Получим
ад = -®. (24)
Рассмотрим положительно-определенную квадратичную форму утВу. Ее производная, в силу подсистемы (24), отрицательно определена. Следовательно, нулевое решение этой подсистемы асимптотически устойчиво. Для изолированной подсистемы (4) в качестве функции Ляпунова, удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, также можно выбрать квадратичную форму гтА(0)г.
Таким образом, для уравнений (23) выполнены условия теоремы 1. Значит, положение равновесия д = д = 0 асимптотически устойчиво.
Далее исследуем влияние неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия. Рассмотрим систему
й дТ дТ дП(д)
(25)
где Р(д) - непрерывно дифференцируемая при всех д € Е” кососимметричная матрица. Будем считать, что ее элементы являются однородными функциями порядка V ^ 0. Определим условия, при выполнении которых неконсервативные силы не нарушают асимптотической устойчивости положения равновесия.
Применяя теорему 2, получаем, что справедливо следующее утверждение. Теорема 8. Если V > л — 1, то положение равновесия д = д = 0 уравнений (25) асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь подсистему (12), соответствующую уравнениям (25). Имеем
Ву=-дЩ^-Р{у)у.
Для этой подсистемы в качестве функции Ляпунова выбираем функцию V(у) = утВу. Нетрудно проверить, что она обладает свойствами, указанными в теореме 3. Значит, справедлива
Теорема 9. Пусть выполнено неравенство
2v > л — 1. (26)
Тогда положение равновесия д = д = 0 уравнений (25) асимптотически устойчиво.
Таким образом, асимптотическая устойчивость положения равновесия может сохраняться и в случае, когда порядок неконсервативных сил меньше порядка однородности потенциальных сил.
Покажем далее, что если неравенство (26) не выполнено, то положение равновесия может быть стабилизировано за счет присоединения гироскопических сил.
Рассмотрим систему
d дТ дТ , , dn(q)
ï%-% = -щ- Giq)q-^hT- Piq)q (27)
Здесь G(q) - кососимметричная матрица, а матрицы B, P(q) и скалярная функция n(q) обладают указанными выше свойствами.
Теорема 10. Пусть G(q) = hP(q), где h - положительный коэффициент. Тогда существует h0 > 0 такое, что при всех h > h0 положение равновесия q = q = 0 уравнений (27) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Функцию Ляпунова строим в виде
1 дТ
V(q,q) = -qTBq+qT— + hT. (28)
Имеем
V\{27)= 2Т - hqTBq - (М + 1)П(<7) + qTЩ - hqT&^.
Следовательно, при достаточно больших значениях h функция (28) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Покажем далее, что при определенных дополнительных ограничениях на матрицу P(q) гироскопические силы могут стабилизировать положение равновесия и в случае, когда на изучаемую систему не действуют потенциальные силы (n(q) = 0).
Пусть уравнения (1) имеют вид
d дТ дТ
-^-^ = -Bq-G(q)q-P(q)q. (29)
Будем считать, что B - постоянная симметричная положительно-определенная матрица, G(q) - кососимметричная матрица, P(q) - непрерывно дифференцируемая при q G En кососимметричная матрица, причем ее элементы могут уже не являться однородными функциями.
Теорема 11. Пусть G(q) = hP (q), где h - положительный коэффициент. Если P(q)q = 0 тогда и только тогда, когда q = 0, то существует h0 > 0 такое, что при всех h > h0 положение равновесия q = q = 0 уравнений (29) асимптотически устойчиво.
Доказательство. В качестве функции Ляпунова V (q, q) для рассматриваемых уравнений снова выбираем функцию (28). Получим
V\m=2T-h?Bq + qT^.
Нетрудно проверить, что при достаточно больших значениях h функция V(q, q) удовлетворяет требованиям теоремы Барбашина-Красовского [3].
Summary
Aleksandrov A. Yu., Kosov A. A. Stability analysis of equilibrium positions of nonlinear mechanical systems by means of decomposition.
One of the main problems arising in the stability analysis of mechanical systems is that the mathemaical model investigated is described by a nonlinear system of differential equations with
high dimensionality and a large number of parameters. Since a direct analysis of such models is difficult, the most natural and fruitful approach is based on the idea of decomposition, i. e., the separation of the complex system into several simpler subsystems of lower dimensionality, the separate investigation of these systems and the substantiated transfer of obtained conclusions and results to the original system. This approach is widely and successfully used in modern theory of stability and control. In the present paper, mechanical systems, influenced by dissipative, gyroscopic and essentially nonlinear positional forces are studied. By the use of a decomposition method and the Lyapunov direct method, the conditions are obtained under which a stability analysis of an equilibrium position for the original system with the dimension 2n can be reduced to the stability analysis of equilibrium positions for two auxiliary isolated subsystems with the dimension n each. Moreover, the problem of influence of nonconservative forces on the equilibrium position stability is investigated.
Key words: mechanical systems, stability, decomposition, Lyapunov’s functions, nonconservative forces.
Литература
1. Зубов В. И. Каноническая структура векторного силового поля // Проблемы механики деформируемого твердого тела / Отв. ред. Л. И. Седов. Л.: Судостроение, 1970. С. 167-170.
2. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.
3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 c.
4. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.
5. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.
6. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика, механика. 1975. № 4. С. 109-113.
7. Агафонов С. А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, № 2. С. 239-243.
8. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.
9. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.
10. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.
11. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / Пер. с англ.; Под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 c.
12. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.
13. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959. 324 c.
14. Kazkurewicz E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 1999. 272 p.
15. Барбашин Е. А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем // Труды 1-го конгресса ИФАК. М., 1961. C. 742-751.
16. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. C. 295-296.
Статья рекомендована к печати проф. В. Л. Харитоновым.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
