Об устойчивости и стабилизации механических систем с нелинейными поглотителями энергии∗) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2011. Вып. 1

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 531.36

А. Ю. Александров, А. А. Косов

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ПОГЛОТИТЕЛЯМИ ЭНЕРГИИ*)

1. Введение. За последнее десятилетие в работах многих авторов (см. обзор [1]) получил интенсивное развитие и продолжает совершенствоваться в настоящее время [2] подход к анализу и синтезу динамических свойств механических систем, основанный на явлении направленной перекачки энергии. Идея этого подхода заключается в следующем. В механической системе выделяется основная часть, первичная структура (Primary Structure - PS) и вспомогательная часть, нелинейный поглотитель энергии (Nonlinear Energy Sink - NES), взаимодействие между которыми осуществляется посредством нелинейных сил. Уравнения движения PS линеаризуются в окрестности изучаемого положения равновесия, тогда как уравнения для NES будут существенно нелинейными. Действующие на PS возмущения (гармонические, случайные и т. д.) приведут к возникновению вынужденных колебаний, которые через нелинейную взаимосвязь передаются в NES, где подавляются за счет рассеивания энергии на демпфирующих устройствах. Нелинейный характер взаимосвязи используется целенаправленно для того, чтобы гарантировать более интенсивную перекачку энергии колебаний в NES, что приведет в конечном итоге к уменьшению амплитуды вынужденных колебаний в PS. Как отмечается в [2], именно на этих принципах строятся системы защиты современных зданий от землетрясений.

Известно [3], что явление конвергенции, т. е. установление вынужденных колебаний, реализуется в системах с асимптотически устойчивым положением равновесия. Поэтому для успешного применения пассивного управления, основанного на перекачке энергии и использовании NES, требуется обосновать асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы. В [1, 2] рассматриваются механические

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 102. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: [email protected].

Косов Александр Аркадьевич — ведущий научный сотрудник Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН. Количество опубликованных работ: 65. Научные направления: теория управления, теория устойчивости. E-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-08-92208№EH_a).

© А. Ю. Александров, А. А. Косов, 2011

системы, на которые действуют только диссипативные и потенциальные силы, поэтому асимптотическая устойчивость положения равновесия вытекает из третьей теоремы Томсона-Тэта-Четаева [4]. В общем случае, когда равновесие в РБ неустойчиво или в силах взаимодействия с МЕБ присутствуют и неконсервативные позиционные силы, задача об асимптотической устойчивости становится нетривиальной и возникают следующие вопросы:

A) При каких условиях из асимптотической устойчивости положений равновесия рассматриваемых изолированно РБ и МЕБ вытекает такое же свойство и в замкнутой системе?

Б) Если в РБ нет демпфирования и положение равновесия лишь устойчиво, то можно ли (и при каких условиях) добиться асимптотической устойчивости в замкнутой системе за счет нелинейного взаимодействия с МЕБ?

B) Если положение равновесия в РБ неустойчиво и измеряются только некоторые обобщенные координаты, то можно ли (и при каких условиях) добиться асимптотической устойчивости в системе, замкнутой нелинейной обратной связью по измеряемым координатам?

Поставленные вопросы рассматриваются в данной статье.

В п. 2 с помощью метода декомпозиции получены условия асимптотической устойчивости, дающие решение задачи А). Используемый вариант этого метода базируется на разработанном в [5, 6] подходе к обоснованию прецессионной теории гироскопов.

В п. 3 указан способ построения нелинейного стабилизирующего управления в виде обратной связи по измеряемым координатам, решающий задачу В). В частном случае, когда квадратичная часть потенциала в РБ положительно определена, построенная обратная связь с исключенным линейным слагаемым дает и решение задачи Б). Полученные результаты базируются на предложенном в [7] подходе к установлению асимптотической устойчивости систем с неполной диссипацией на основе теоремы Барбашина-Красовского.

Общее свойство результатов п. 2 и 3 заключается в существенной нелинейности взаимодействия основной части (РБ) системы и управляющей части (МЕБ), принципиальное же отличие - в том, что теоремы 1 и 2 о декомпозиции могут успешно применяться и к механическим системам с неконсервативными позиционными силами, тогда как в п. 3 присутствие указанных сил в изучаемой системе недопустимо.

Таким образом, механические системы, в которых асимптотическая устойчивость положения равновесия будет установлена с использованием теорем данной статьи, будут соответствовать основным предпосылкам пассивного управления и перекачки энергии [1, 2], поэтому можно ожидать, что кроме устойчивости будет обеспечено и подавление вынужденных колебаний, т. е. достаточно высокое качество регулирования. При этом теоремы о декомпозиции п. 2 могут существенно расширить класс систем, к которым применимы методы [1, 2], включив в него и системы с неконсервативными позиционными силами.

2. Декомпозиция системы с однородными позиционными силами взаимодействия. Пусть движение механической системы описывается уравнениями

Здесь ді и (/і - «4-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей РБ; д2 и д2 - «2-мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей МЕБ;

Аіді + Віді + Сіді — Ql{q)^ А2д2 + В2 (2 — Q2(q)■

(1)

(2)

д = (д^,д^ )т; А1,В1,С_,А2,В2 - постоянные матрицы, причем А\,А?, и В2 неособые; правые части уравнений (1) и (2) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка ц > 1 и определяются силами взаимодействия. Таким образом, у исследуемой системы существует положение равновесия д = д = 0.

Рассмотрим три изолированные подсистемы

А1 д1 + В1д1 + С1 д1 = ° (3)

А2Т = -В2Т, (4)

В2й = ^(°, в). (5)

Будем вместо системы (1), (2), состоящей из П1 + П2 нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, изучать вспомогательные подсистемы (3)-(5), первые две из которых линейны, а третья представляет собой систему с однородными правыми частями.

Теорема 1. Если нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы, то положение равновесия д = д = 0 уравнений (1), (2) также асимптотически устойчиво.

Доказательство. Произведем замену переменных

Получим систему

(2 — Г, А2(2 + В2(2 — В2Й.

Аіді+Віді + Сіді — Q1 (дь в — В21А2г),

А2Г — - В2Г + Q2 (ді, в - В-іА2г),

В2Й — Q2(0, в) + (^2 {ді, в — В2 і А2г ) — Q2(0, в)).

(6)

Из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (3)-(5) следует [8] существование квадратичных форм У1(д1, д1), У2(т) и непрерывно дифференцируемой однородной порядка в функции Уз(в), для которых при всех д1, д1 € Е"1, т, в € Е"2 справедливы оценки

«и (1Ы12 + 1|д1Н2) < У1(д1,д1) < «12 (1Ы12 + ЦдЛ!2),

^ аі3 (УдіУ + ||діУ) , ^і|(3)^ —аі4 (||ді||2 + ІІдіУ2)

эу1 аУі

ддг + дді

0У2

дг

< а23 ||г||, У2 |(4) < — а24І|г||2,

дУз

ді

евклидова норма

Здесь а^^, г = 1, 2, 3, ] = 1, 2, 3,4, - положительные постоянные, || вектора. При этом в качестве в можно выбирать любое рациональное число с четным числителем и нечетным знаменателем такое, что в > 1.

Рассмотрим функцию У(д1,д1,т, в) = У1(д1,д1) + У2(т) + У3(в). Дифференцируя ее в силу системы (6), получаем, что при всех д1,д1 € Е"1, т, в € Е"2 справедливо неравенство

У 1(6) ^ а14 (||д1||2 + ||д1||2) - а241| Т||2 - а34 ||в||^+М 1 +

2

+ а((1Ы1 + HqiH + II^H)(llqiHM + 1МГ + 1МП +

+ ИГ^Ы + 1М11) СНГ- + иг1 + иг1)),

где a = const > 0.

Используя свойства обобщенно-однородных функций [9], нетрудно показать, что если 3 — ц < в < ц +1, то в достаточно малой окрестности точки (qT, qT, rT, sT)T = (0T, 0T, 0T, 0T)T имеет место соотношение

^1(6)^ ~2 (ai4 + ll'/lll2) + «24 11 HI2 + a34||s||/3+M

Таким образом, функция V(qi,qi,r, s) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [4]. Значит, нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво. Но тогда асимптотически устойчиво и положение равновесия q = q = 0 уравнений (1), (2). Теорема доказана.

Замечание 1. В случаях, когда в уравнениях (1) при скоростных или гироскопических силах присутствует большой параметр, процесс декомпозиции изучаемой системы можно продолжить, применяя к изолированной подсистеме (3) теоремы

В. И. Зубова и Д. Р. Меркина о декомпозиции линейных систем [5, 6].

Пусть уравнения (1) представимы в виде

Aiqi + hBiqi + C'i qi = Ql(q), (10

где h - положительный параметр (система в форме Зубова [5]).

Следствие 1. Если нулевые решения подсистем

Aiz = —Biz, Bip = —Cip

и подсистем (4), (5) асимптотически устойчивы, то существует число h0 > 0 такое,

что при всех h ^ h0 положение равновесия q = q = 0 уравнений (1'), (2) также

асимптотически устойчиво.

Таким образом, проблема исследования устойчивости системы (1'), (2), состоящей из ni + П2 нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, сводится к изучению устойчивости четырех изолированных подсистем первого порядка, три из которых линейны, а четвертая представляет собой систему с однородными правыми частями.

Аналогичное следствие можно сформулировать и в случае, когда изолированная подсистема (3) удовлетворяет требованиям теоремы Меркина [6].

Далее наряду с уравнениями (1), (2) рассмотрим возмущенные уравнения

Aigi + Biqi + Ciqi = Qi(q) + Ri(t-, q, q), (7)

A2 g2 + B2 q2 = Q2(q)+R2(t,q,q). (8)

Будем считать, что векторные функции Ri(t,q,q) и R.2(t,q,q) заданы и непрерывны в области t ^ 0, ||q|| < H, ||q|| < H (H = const > 0), причем в указанной области справедливы оценки

l|Ri(t,q,q)|| < ci (||qif + ||qif + Ы + 1ЫГ) ,

№(г,д,д)И < С2 (ЦдіГ + ІІдіІГ + І|д2|р + Нд^Н^,

где С1,02,\,у,ц,а,р,£ - положительные постоянные. Значит, система (7), (8) также имеет положение равновесия д = д = 0. Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.

Теорема 2. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы. Если выполнены неравенства

то при достаточно малых значениях с1 и с2 положение равновесия д = д = 0 уравнений (7), (8) асимптотически устойчиво.

Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Предположим, что возмущенные уравнения имеют вид

Здесь В12, В21 - постоянные матрицы, £1 и £2 - положительные параметры.

Следствие 2. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3)-(5) асимптотически устойчивы. Тогда при достаточно малых значениях £1 и £2 положение равновесия д = д = 0 уравнений (9), (10) асимптотически устойчиво.

3. Стабилизация систем с неполным измерением координат за счет нелинейной обратной связи. Пусть вектор обобщенных координат РБ составной д1 = (хТ,ут)т, х € Ет, у € Ей, П1 = т + к, измеряются только компоненты вектора х, управлять можно только приложением сил в первых т уравнениях, а движение РБ описывается уравнениями

тельно определена матрица С22, т. е. П(0,у) - положительно-определенная квадратичная форма измеряемых координат.

Поскольку в системе (11), (12) отсутствует диссипация, положение равновесия ді — (і — 0 не может быть асимптотически устойчивым при отсутствии управления [4]. Потому рассмотрим задачу стабилизации за счет обратной связи по измеряемым координатам и дополнительным вспомогательным переменным, являющимся обобщенными

А ^ 1, V ^ 1, п ^ 1, Р ^ 1, а ^ шах{^/^; 1}, £ ^ шах{^/^; 1},

Аі'ді + Ві(і + £іВі2д2 + Сіді — Ql(д), А2д2 + Є2В2іді + В2(2 — Q2(д).

(9)

(10)

АцХ + Аі2 у + Сііх + Сі2у — и, А12 X + А22 у + СТ2 х + С22У — 0.

(11)

(12)

Здесь матрица

кинетической энергии Т = ^д^А\д\ РБ симметрична и положительно определена, а относительно симметричной матрицы

потенциальной энергии П(</і) = П(ж, у) = ^д^С\д\ будем предполагать, что положи-

координатами для присоединяемого МЕБ. При этом в соответствии с концепцией пассивного управления и перекачки энергии с целью уменьшения амплитуд вынужденных колебаний будем конструировать обратную связь, т. е. взаимодействие между РБ и МЕБ, в классе нелинейных функций.

Далее будем считать, что число вспомогательных переменных равно числу измеряемых координат, и управление возьмем в потенциальном виде

ап (ж,«;)

“=—(1з)

где вспомогательный потенциал выберем следующим образом:

П (х,и) = ЛФ1 (х) +7 Ф(х,ад)+Ф(ад). (14)

Здесь Ли 7 - положительные числа; Ф].(ж) = ^хтСцх, Сц - симметричная положительно-определенная матрица размером т х т; Ф(и) - непрерывно дифференцируемая однородная порядка ц +1 > 2 положительно-определенная функция; Ф(х, и) - дважды непрерывно дифференцируемая однородная порядка ц +1 > 2 функция, причем такая, что при любых постоянных векторах с0 ,и>° € Ет система уравнений

дФ(х, и0) 0

дю =С

имеет только конечное число решений относительно вектора х.

Уравнения для вспомогательных переменных (уравнения МЕБ) возьмем в виде

„ д П (х,и)

А2и) + В2и) =-------. (15)

ди

Здесь матрицы А2 и В2 - симметричные положительно-определенные.

Пусть М = А221С22, Ь = С12 — А12 А-2 С22.

Теорема 3. Если матрица С22 положительно определена, а пара матриц (М, Ь) полностью наблюдаема, то, выбирая число Л > 0 достаточно большим, а число ^ > 0 достаточно малым, можно стабилизировать положение равновесия д1 = </1 = 0, V = V = 0 замкнутой системы (11)—(15) до асимптотической устойчивости.

Доказательство. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова полную энергию замкнутой системы

V = ^д[А1д1 + ^гЬТА2и) + П(ж,г/) + П(ж, го).

При достаточно большом Л > 0 и достаточно малом ^ > 0 эта функция будет положительно-определенной в некоторой окрестности исследуемого положения равновесия. Вычисляя производную в силу замкнутой системы, получаем

У = —иитВ2'>Ь ^ 0.

Покажем, что множество нулей производной функции Ляпунова

Е = |(дт,дт,ит,ит)т : У = 0| = |(дт,дт,ит,и>т)т : V = 0|

состоит лишь из положений равновесия, причем положение равновесия в начале координат локально единственно.

Из тождества w = 0 следует, что w = w0 = const. Тогда из (15) имеем х = x0 = const. Выразим у из уравнения (12) и подставим в (11). Получим

Ly = ^A12 A22iCT! — Си) x0 = ci = const. (16)

Дважды продифференцируем тождество (16) и заменим у его выражением из (12). Имеем

LMy = c0 = const. (17)

Повторяя эту операцию над (17) и получаемыми далее тождествами k—1 раз, придем к системе

LMly = c°+i = const, i = 0,1,...,k — 1. (18)

Заметим, что правые части системы (18) выражаются известным образом через х0

и w0 .

Предположим, что пара матриц (M, L) полностью наблюдаема, т. е. матрица наблюдаемости

L LM

H

\LM k-1J

имеет полный ранг (rangH = k). Тогда система (18) при любых постоянных правых частях имеет единственное постоянное решение у = у0 = const.

Из уравнений (11) и (12) на множестве E получаем равенства

(си + АСп) х + С\2у = —7-------С^2Х + ^22У = 0. (19)

Из равенств (19) на основании теоремы о неявной функции можно выразить x и y как

функции w:

х = p(w), у = ^(w). (20)

При этом ^(0) = 0, ф(0) =0 ив окрестности точки w = 0 порядок малости функций <^>(w) и ^(w) не ниже первого.

Подставляя (20) в уравнения (15), находим

дФМ д Ф(w(w),w)

L =°- <21>

Умножая равенство (21) скалярно на w и используя уравнение Эйлера для однородных функций [8], имеем

(„+1)ФМ + -,^”(У*<1,)’“,)=0. (22)

dw

Функция Ф^) положительно определена. Поэтому существует окрестность точки w = 0, в которой справедливы оценки

T d^(<p(w),w)

w

dw

где о,1 и о,2 - положительные постоянные. Если 7 < о,1(р +1)/а2, то в рассматриваемой окрестности точки и = 0 равенство (22) может выполняться лишь в ней самой. Но тогда из (20) следует, что х = 0 и у = 0.

Таким образом, x0 = 0, y0 = 0, w0 = 0, т. е. равновесие в начале координат локально единственно и потому на основании теоремы Барбашина-Красовского асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда во вспомогательном потенциале (14) первое слагаемое остается прежним, а в качестве второго и третьего слагаемых используются следующие функции:

m

ФМ = £ diW^+\ di > 0, (23)

i=1

m

7^(x, w) = ^2(aixi + biWi)Mi+ 1, ai = 0, bi = 0, 7 = 1. (24)

i=1

Здесь ^i > 1 - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Заметим, что именно такие компоненты потенциала характерны для механических систем, содержащих нелинейные пружины [1, 2]. Принципиальное отличие этого случая от предыдущего заключается в отсутствии малого параметра, поскольку 7 = 1.

Теорема 4. Если матрица C22 положительно определена, а пара матриц (M, L) полностью наблюдаема, то, выбирая достаточно большое число X > 0 и второе и третье слагаемые потенциала (14) в соответствии с (23) и (24), можно стабилизировать положение равновесия q1 = </1 = 0, w = W = 0 замкнутой системы (11)-(15) до асимптотической устойчивости.

Доказательство. Выберем ту же функцию Ляпунова и, рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3, получаем, что множество

E = {(qf,qf,wT,WT)T : V = 0j

состоит лишь из положений равновесия x = x0 = const, y = y0 = const, w = w0 = const. На этом множестве справедливы равенства

[Оц + XC11) x + С12У = u, Ui = -a,i(p>i + 1)(aixi + biwi)Mi, i =1,...,m, (25)

C2 x + C22 y = 0, (26)

di(^i + 1)wf + bi(^i + 1)(aixi + biwi )Mi = 0, i =1,...,m. (27)

Выражая из (26) и (27) переменные y и w линейным образом через x и подставляя в (25), получим систему

(сп + XC11 - C12C221Cf2) x = Z(x), (28)

в которой Z(x) - непрерывно дифференцируемая функция с порядком малости выше

первого.

При достаточно большом X > 0 матрица-коэффициент в левой части (28) будет положительно определена, поэтому найдется окрестность точки x = 0, в которой система (28) не имеет решений, за исключением самой этой точки. Но тогда из (26), (27) следует, что y = 0 и w = 0.

Таким образом, равновесие в начале координат локально единственно и на основании теоремы Барбашина-Красовского асимптотически устойчиво.

Замечание 2. Точно так же рассматривается случай, когда во вспомогательном потенциале (14) первое слагаемое остается прежним, а в качестве второго и третьего слагаемых используются следующие функции:

т

Ф(ю) = ^2 йю^+1, йг > 0,

г=1

т

7Ф(х,ю) = ^ аг’шгх?*, аг = 0, 7 = 1.

г=1

Здесь > 1 - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями.

Замечание 3. Если исходный потенциал РБ П(х, у) положительно определен, то в управлении можно положить Л = 0, т. е. использовать линейное слагаемое в обратной связи нет необходимости. Утверждения теорем 3 и 4 с соответствующими изменениями при этом останутся справедливыми.

4. Стабилизация положения равновесия трехмассовой системы при неполном измерении координат. Рассмотрим три расположенных на горизонтальной прямой груза с массами То1, ш2, тз, которые соединены друг с другом линейными пружинами, а крайние грузы с помощью линейных пружин прикреплены к стенам. Пусть положение равновесия всей системы соответствует недеформированному состоянию пружин, а отклонения грузов от их равновесных положений характеризуются координатами х1,х2,хз, отсчитываемыми вдоль прямой в одну сторону. Будем считать, что измерению в каждый момент времени доступна только координата крайнего справа третьего груза хз(£) и к нему же можно применять управляющее воздействие.

Уравнения движения имеют вид [10]

т^! + к1 х1 — к,2 (х2 — х1) = 0,

т2х2 + к2(х2 — х1) — кз(хз — х2) = 0, (29)

тзхз + кз (хз — х2) + кх = и.

При отсутствии управления (и = 0) положение равновесия х1 = х2 = хз = 0 будет устойчивым, но не притягивающим, поскольку демпфирование в системе отсутствует. Требуется выбрать управление и по принципу неполной обратной связи с использованием только измеряемой координаты так, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость положения равновесия.

Уравнение для скалярной вспомогательной переменной возьмем в виде

тги + Ью + в1(ю — хз )з + С2"шз = 0, (30)

а управление выберем следующим образом:

и = —С1('ш — хз)3. (31)

Здесь т, Ь, С1,С2 — положительные параметры.

Согласно теореме 4, положение равновесия хг = хг = и> = и> = 0, г = 1, 2, 3, замкнутой системы (29)—(31) асимптотически устойчиво при любых положительных значениях входящих в систему параметров. Таким образом, задача упрочнения устойчивости до асимптотической устойчивости в данном примере решается за счет присоединения

к звену, координата которого доступна измерению, нелинейного звена с демпфированием, что полностью соответствует присоединению NES в терминологии [1, 2].

Отметим, что задача гашения колебаний трех грузов, соединенных линейными пружинами, при измерении координаты одного крайнего груза решалась в [10] на основе другого подхода. В отличие от [10], предложенный нами подход гарантирует асимптотическую устойчивость и в том случае, когда пружины в исходной системе (29) так же, как и в NES (30), являются нелинейными [11].

Литература

1. Lee Y. S., Vakakis A. F., Bergman L. A. et al. Passive non-linear targeted energy transfer and its applications to vibration absorption: a review // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt K. J. of Multi-body Dynamics. 2008. Vol. 222, N 2. P. 77-134.

2. Pham T. T., Lamarque C.-H., Savadkoohi A. T. Passive control of a 2 dof system under two different harmonic excitations //IV European Conference on Computational Mechanics. Palais des Congres. Paris, France, May 16-21, 2010. URL: http://www.eccm2010. org/complet/fullpaper_1369.pdf.

3. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судостроение, 1962. 632 с.

4. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1976. 320 с.

5. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.

6. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

7. Пожарицкий Г. К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 4. С. 657-667.

8. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

9. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959. 324 c.

10. Skruch P. Stabilization of second-order systems by non-linear feedback // Intern. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2004. N 4. P. 455-460.

11. Александров А. Ю., Косов А. А. О стабилизации механических систем с однородными потенциальными силами // Качественные свойства, асимптотика и стабилизация нелинейных динамических систем: межвуз. сб. науч. трудов / отв. ред. В. Н. Щенников, О. В. Дружинина. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2010. С. 59-73.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.

Статья принята к печати 14 октября 2010 г.