Исследование устойчивости решений одного класса сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.925.51 А. Ю. Александров

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1. Введение. Основным при исследовании устойчивости движений нелинейных систем является прямой метод Ляпунова (метод функций Ляпунова) [1]. Он эффективно используется для решения широкого класса задач. Однако главной проблемой, связанной с применением этого метода, остается построение функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям той или иной теоремы. Она является особенно трудной для систем большой размерности. Поэтому анализ устойчивости таких систем обычно проводится с помощью метода декомпозиции - агрегирования [2, 3]. Сначала производится декомпозиция изучаемой системы (разбиение ее на подсистемы меньшей размерности с выделением связей между ними), далее строятся функции Ляпунова для изолированных подсистем, а затем на этапе агрегирования найденные функции объединяются в одну скалярную или векторную функцию Ляпунова для получения условий устойчивости исходной системы.

Указанный метод использовался еще А. М. Ляпуновым при исследовании устойчивости в критических случаях [1, 4]. С помощью специальных преобразований он разбивал рассматриваемые системы на подсистемы, соответствующие критическим и некритическим переменным. Теория критических случаев получила глубокое развитие в трудах Г. В. Каменкова, И. Г. Малкина, В. И. Зубова, Н. Н. Красовского и многих других авторов (см. [5-9]).

Метод декомпозиции-агрегирования нашел широкое применение в задачах анализа устойчивости сложных (многосвязных, крупномасштабных) систем. В работах [2, 3, 10, 11] были предложены различные способы декомпозиции и агрегирования. В то же время следует заметить, что большинство из них эффективно только в случае, когда взаимодействующие подсистемы линейны или имеют экспоненциально устойчивые нулевые решения. Для существенно нелинейных подсистем использование этих способов может привести к «сверхдостаточным» условиям устойчивости [2, 3].

В настоящей статье исследуется динамика сложной системы, состоящей из двух взаимодействующих подсистем. Предполагается, что одна из изолированных подсистем

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 108. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: alex43102006@yandex.ru.

© А. Ю. Александров, 2011

является существенно нелинейной и описывается векторным уравнением Льенара [9]. С помощью метода функций Ляпунова и метода агрегирования определяются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения изучаемой системы как по всем, так и по отношению к части переменных.

2. Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dF dG

X+MX + M=B((-W»- (1)

Z = Q(t,Z ) + D(t,X,X ,Z).

Здесь X e En, Z e Ek; скалярная функция G(X) и элементы вектора F(X) непрерывно дифференцируемы при всех X e En и являются однородными функциями порядка Л + 1 и v + 1 соответственно, л ^ 1, v > 0; векторные функции Q(t,Z), R(t, X, X,Z), D(t,X,X,Z) определены и непрерывны в области

t > 0, \\XII <h, \\Xу <h, ||Zу <h (2)

(h = const > 0, || • у - евклидова норма вектора) и удовлетворяют условиям Q(t, 0) = 0,

R(t, 0, 0,0) = 0, D(t, 0,0, 0) = 0 при всех t ^ 0. Таким образом, система (1) имеет нулевое

решение.

Уравнения (1) описывают динамику сложной системы, состоящей из двух изолированных подсистем

1 + ||а- + |§=0, «з,

Z = Q(t,Z), (4)

а функции R(t, X, X,Z) и D(t, X, X,Z) характеризуют взаимодействие между этими подсистемами.

Изолированная подсистема (3) представляет собой векторное уравнение Льенара [9], которое эквивалентно системе

х=у- y=-ffy-ff <5>

Пусть для любого X = 0 матрица 3F/3X + (3F/3X)* положительно определена. Тогда при всех X,Y e En справедлива оценка

dF

y*axy>Cl||x|rm|2’ Cl>0-

Кроме того, будем считать, что G(X) - положительно-определенная функция. Известно [9, 12], что из указанных условий следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (5).

З а м е ч а н и е 1. Уравнения (1) могут описывать взаимодействие двух механических систем, первая из которых находится под действием нелинейных диссипативных и потенциальных сил [13]. Они также могут быть получены при исследовании критического случая п пар чисто мнимых корней (при л = 1) или критического случая 2п нулевых корней (при /л > 1) [1, 5, 7].

Основная цель настоящей статьи - определить условия, при выполнении которых устойчивость нулевых решений изолированных подсистем (3) и (4) обеспечивает устойчивость нулевого решения системы (1).

3. Построение функции Ляпунова для уравнения Льенара. Рассмотрим сначала векторное уравнение Льенара (3) и эквивалентную ему систему (5). Известно [9, 12], что функцию Ляпунова для системы (5) можно выбрать в виде

Таким образом, функция (6) удовлетворяет требованиям теоремы Барбашина-Красов-ского [12, с. 19].

Заметим, что производная V(X, У) в силу системы (5) знакопостоянна отрицательна, но не является отрицательно-определенной функцией. Существенный недостаток использования таких функций Ляпунова состоит в том, что они не дают возможности получить условия сохранения устойчивости в случаях, когда параметры изучаемых систем известны с некоторой погрешностью или когда на системы действуют внешние возмущающие силы [8, с. 97]. Поэтому построим для системы (5) функцию Ляпунова с отрицательно-определенной производной.

где 71 < 0, 72 > 0, в ^ 1, г ^ 1. Используя свойства обобщенно-однородных функций [14], находим, что если

а числа 71 и 72 достаточно малы по абсолютной величине, то в некоторой окрестности точки (X*,У*)* = (0*, 0*)* справедливы неравенства

Здесь а1,а2,аз - положительные постоянные. Значит, VI(X, У) - положительно-определенная функция, а ее производная в силу системы (5) отрицательно определена.

С помощью метода оценок [7, с. 70-75] нетрудно показать, что из выполнения неравенств (9) и (10) следует существование чисел 3 > 0 и Д > 0 таких, что если начальные данные решения (X*(£),У*(£))* системы (5) удовлетворяют условиям ||Х(£о)|| < 3, ||У^0)Ц < 3, то при всех £ > £0 имеем

У(Х, У) = С(Х) + ^ У*У

(6)

Имеем

Пусть

VI(X,У) = С(Х) + ^ У*У + 71||У||8-1У*Х + 72||Х|Г-1Х*У,

(7)

г = тах {л — V; V +1} ,

а1 {IXГ+1 + ||УЦ2) < Vl(X,У) < а2 {IXГ+1 + ||У||2) ,

(9)

(10)

цадг+1 + ||у(*)||2<д(*-*0 + 1)-^,

где ш = тах{л — V — 1; V}.

Наряду с уравнением (3) рассмотрим возмущенное уравнение

(11)

в котором векторная функция Ф(£, X, X) определена и непрерывна при £ ^ 0, IX|| < Н, ||X|| < Н и удовлетворяет неравенству

ЦЪ(г, X, X)|| < С2 (|\x||п|X|| + ||X||е) , С2 > 0, п > 0, с > 0.

Переходя от уравнения (11) к соответствующей системе

Х = У У = -Цу-|| + 3,((,А-,У)

и дифференцируя функцию Ляпунова V (X, У) в силу этой системы, получаем, что при выполнении условий

Л +1

П > V, С > тах л; V +

2

нулевое решение возмущенного уравнения также будет асимптотически устойчивым.

4. Условия асимптотической устойчивости относительно части переменных. Рассмотрим теперь сложную систему (1). Будем считать, что для функций R(t, X, X, Z) и D(t, X, X, Z), характеризующих взаимодействие между подсистемами, в области (2) справедливы оценки

ЦR(t,X,X,Z)Ц < c3(X,X,Z) (IXII + IXIIе), ЦD(t,X,X,Z)Ц < С4 IX||л,

где сз(X, X, Z) ^ 0 при IX|| + IX|| + ||Z|| ^ 0; п, С, А, С4 - положительные постоянные.

Предположим также, что нулевое решение изолированной подсистемы (4) устойчиво, причем для нее в области £ ^ 0, ||Z|| < Н существует функция Ляпунова У2^, Z), обладающая следующими свойствами:

1) V2(t,Z) непрерывно дифференцируема и ее частные производные дУ2/дг^, г = 1,...,к, ограничены;

2) V2(t, Z) - положительно-определенная функция;

3) V; | (4) < 0.

З а м е ч а н и е 2. При выполнении данных условий устойчивость нулевого решения подсистемы (4) является равномерной [8, с. 58].

Если подсистема (3) - линейная (V = 0, л = 1), то для нахождения условий устойчивости нулевого решения исследуемой сложной системы можно использовать теорему Ляпунова-Малкина об устойчивости в критическом случае нескольких нулевых корней [5, с. 108-113] и ее обобщения, полученные в [15-18]. Согласно результатам указанных работ, для устойчивости нулевого решения системы (1) по всем переменным и асимптотической устойчивости относительно X и X достаточно, чтобы имели место неравенства п ^ 0, ( > 1, А > 0.

Цель п. 4 статьи - распространить теорему Ляпунова-Малкина на случай, когда подсистема (3) существенно нелинейна.

Теорема 1. При выполнении неравенств

Г] ^ V, С ^ ШаХ |М! V + — | I ^ > тах {м — V ~ 1! и}

нулевое решение системы (1) равномерно устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво относительно X и X.

Доказательство. Воспользуемся способом агрегирования, основанном на построении векторной функции Ляпунова и нелинейной системы сравнения. Перейдем от системы (1) к эквивалентной ей системе

X = У,

*=-Шг-Ш+т'х'г'г)' (12)

Z = Q(t,Z) + D(t, X, Y, Z).

Рассмотрим вектор-функцию Ляпунова V(t,X,Y,Z) = (V1(X,Y),V2(t,Z))*. Здесь V1(X, Y) - функция Ляпунова, построенная по формуле (7), а V2(t, Z) - функция Ляпунова, соответствующая изолированной подсистеме (4). Дифференцируя эти функции в силу уравнений (12), получаем, что если для параметров r и s функции Vi(X,Y) справедливы равенства (8), а значения 71 и 72 достаточно малы по абсолютной величине, то в некоторой окрестности точки (X*,Y*,Z*)* = (0*, 0*, 0*)* и при всех t ^ 0 имеют место соотношения

Vi|(!2)< (-bi + b2C3(X,Y,Z)) (||X 1Г* + ||Y||s+1), V2|(12)< b3\\X||л,

где b1, b2, b3 > 0. Следовательно, существует число 6 > 0 такое, что при t ^ 0, ||X|| < 6, || Y| <6, \\Z| <6 выполняются неравенства

г+Ц А

412)^-W+1, ^1(12)^ w+i.

Здесь b4, b5 - положительные постоянные. Таким образом, система

й\ = — &4m|‘+1 ,

. V (13)

й2 = bzu£+1

представляет собой систему сравнения для уравнений (12).

Нетрудно проверить, что если А > r — 1, то нулевое решение системы (13) равномерно устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво относительно ui. Используя свойства функций Vi(X,Y) и V2(t, Z), получаем [3, с. 46-50], что тогда нулевое решение системы (12) является равномерно устойчивым по всем переменным и асимптотически устойчивым относительно X и Y. Теорема доказана.

Пример 1. Пусть задана система

x + (a + <^>(z))x2 x + bx = 0, z + q(z) = ф^),

описывающая взаимодействие двух нелинейных осцилляторов. Здесь x G E1, z G E1; a и b - положительные постоянные; функции y>(z) и q(z) определены и непрерывны при \z\ < h (h = const > 0), причем y>(0) = q(0) = 0, zq(z) > 0 при z = 0; функция ф^) определена и непрерывна при \x\ < h и удовлетворяет условию ^(x)\ ^ c\x\A, с > 0, А > 0.

Рассмотрим соответствующие изолированные подсистемы

х + ах2х + Ьх = 0, 2 + q(z) = 0.

(15)

(16)

Подсистема (15) представляет собой скалярное уравнение Льенара и имеет асимптотически устойчивое нулевое решение. Нулевое решение подсистемы (16) устойчиво, а функцию Ляпунова для нее можно выбрать в виде

Применяя теорему 1, получаем, что если выполнено неравенство А > 2, то положение равновесия х = X = х = х = 0 системы (14) устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво относительно х и X.

5. Условия асимптотической устойчивости по всем переменным. Далее будем считать, что элементы вектора Q(t, 2) заданы и непрерывны при £ ^ 0, 2 € Ек и для каждого фиксированного £ являются однородными функциями порядка а ^ 1 переменных х\,...,хк. Кроме того, предположим, что нулевое решение изолированной подсистемы (4) асимптотически устойчиво, причем для нее существует функция Ляпунова V (£, 2), которая определена и непрерывно дифференцируема в области £ ^ 0, ||21| < Н и удовлетворяет неравенствам

Здесь ,@4,£ - положительные постоянные.

Замечание 3. Условия существования такой функции Ляпунова были получены в работах [7, 8, 19]. В частности, известно [7], что если подсистема (4) - автономная ^(£, 2) = Q(Z)) и ее правые части непрерывно дифференцируемы при всех 2 € Ек, то для любого положительного рационального числа £ с нечетными числителем и знаменателем можно построить непрерывно дифференцируемую однородную порядка £ +1 функцию У2(2), для которой справедливы оценки (17).

Замечание 4. В [19] доказано, что если выполнены неравенства (17), то при а = 1 нулевое решение подсистемы (4) экспоненциально устойчиво, а при а > 1 можно указать числа 3 > 0 и Д > 0 такие, что для любого решения 2(£) этой подсистемы, начальные данные которого удовлетворяют условиям ^ 0, 12(£о)|| < 3, имеем

в которой Ф(£, 2) - непрерывная при £ ^ 0, 121| < Н векторная функция, такая, что ||Ф(£, 2)|| ^ с5\2||“, с5 > 0, а > 0. Известно [19], что при а > а возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения.

Определим условия, при выполнении которых из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (3), (4) следует асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнений (1).

В данном случае будем считать, что для функций Д(£, X, X, 2) и Д(£, X, X, 2) в области (2) справедливы оценки

о

№||*+Ч У2(г,г) </з2|ті«+1, </з3іті«, ї2\{4)^-/з4\\г\\^. (17)

Наді < д(і-і0 + і

при всех і ^ іо-

Рассмотрим возмущенную систему

2 = Q(t,Z ) + Ф(*,Я),

\IR(t,X,X,Z)\l < ce|Z||“, \ID(t,X,X,Z)\l < C7 ||X||л,

где C6, C7, а, А - положительные постоянные.

Для получения требуемых условий используем способ агрегирования существенно нелинейных сложных систем, предложенный в работах [20-22].

Теорема 2. При выполнении неравенства

аХ > a max |уи; и + ^ ^ | (18)

нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функции

/ 1 \ ®1 + 1

V1(X,Y)= [G(X) + -Y*Y\ +ll\\Y\\s-lY*X + l2\\X\\r-lX*Y,

V2(t,Z ) = Vr2+1(t,Z).

Здесь 71 < 0, 72 > 0, s ^ 1, r ^ 1, Ш1 ^ 1, m2 ^ 1, а V2(t, Z) - функция Ляпунова, построенная для подсистемы (4) и удовлетворяющая оценкам (17).

Для системы (12) функцию Ляпунова выбираем в виде

V(t, X, Y, Z) = V1(X,Y)+V2(t,Z). (19)

Пусть

r = mi(a + 1) + max {ц — i/; v + 1} , s = 2mi + max <——; 1 H-----1. (20)

+ 1 M +1J

Тогда при достаточно малых по абсолютной величине значениях 71 и 72 в некоторой окрестности точки (X*, Y*, Z*)* = (0*, 0*, 0*)* и при всех t ^ 0 будут выполнены соотношения

Ъ^||XУ(™1+1)(м+1) + ||YУ2(™і+1) + ||Zу(т2+1)(«+1^ ^ V <

< Ъ2(||X||(mi+l)(M+l) + уyу2(т1+1) + jjZу(т2+1)(«+1^,

Vl(l2)^ -Ъз(IIXіг+м + УY||8+1 + ||Xу-+(м+1)(ті+1)HYу2 +

+ HX |Г у Y у2(ті + 1) + HZ ут2(«+1)+«+^ + b4І|X H"HZ ут2(«+1)+« +

+ Ъ5УZУ" (||X||r + УY||2mi+l + ||Xу(м+1)тіуYУ + ||X||||YH8-1^

Здесь Ь > 0, і = 1,..., 5.

Используя свойства обобщенно-однородных функций [14, с. 187-191], нетрудно показать, что если

А г + /х (в - 2тоі)(то2(£+ 1) +£ + сг)

<г т2{£+1)+£ + а’ “ 8 + 1 ’ 1 ;

то существует число 3 > 0 такое, что при £ ^ 0, IX|| < 3, ||У|| < 3, 121| < 3 имеем

^1(12)< (|1^1Г+М + ПГ1 + 1Х1Г(5+1)+5+ст)•

Таким образом, функция (19) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Учитывая формулы (20), по которым определяются параметры г и в, получаем, что если справедливо неравенство (18), то числа ш\ и можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения (21). Теорема доказана.

6. Оценки решений. Пусть правые части системы (1) обладают свойствами, указанными в п. 5. В частности, по-прежнему предполагаем, что для изолированной подсистемы (4) существует функция Ляпунова У (£, 2), для которой справедливы оценки (17). Кроме того, будем считать, что выполнено неравенство (18). Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Значит, найдется такая окрестность положения равновесия (X*, X*, 2*')* = (0*, 0*, 0*)*, что для любого решения (X*(£), 2*(Ь))* с начальными данными (X*(£о),^Т*(£о),2*(£о))*, принадлежащими этой окрестности, имеет место предельное соотношение

IX(£)|| + |Х(£)|| + (£)||^0 при £ ^ +го.

Цель п. 6 статьи - оценить время переходных процессов в исследуемой сложной системе.

Пусть параметры г и в функции Ляпунова VI (X, У), построенной при доказательстве теоремы 2, определяются по формулам (20). При фиксированных значениях а и А неравенства (21) можно рассматривать как ограничения на параметры ш\ и ш2. Замечание 5. Если функцию Ляпунова для системы (12) строить в виде

У (£, X, У, 2) = е^, У) + у (£, 2), (22)

где е > 0, то при соответствующем выборе числа е одно из неравенств (21) (любое) может обращаться в равенство.

При достаточно малых по абсолютной величине значениях 71 и 72 для функции (22) в некоторой окрестности точки (X*, У*, 2*)* = (0*, 0*, 0*)* и при всех £ ^ 0 имеем

У>|(12)< -ь1 (IX1Г+к + ||УГ+1 + 1™2(«+1)+«+^ < -б2у^+1.

Здесь

Р = ШаХ{(т1 + 1КМ + 1)5 (т2 + 1)(£+1)}’ ^ = тах{^ — V — I] г/},

а ь1 и ь2 - положительные постоянные.

С помощью метода оценок [7, с. 70-75] получаем, что существуют числа 5 > 0 и Д > 0, зависящие, вообще говоря, от Ш1 и Ш2, такие, что если начальные данные решения (X*(£),2*(£))* системы (1) удовлетворяют условиям £о > 0, IX(£о)|| < <5, |Х(£о)|| <

5, |Х(£о)| <5, то

1Х(*)1Г+1 + \\Х(т2 < Д(* - *0 + (23)

11-^(^)11?+1 < _ + 1) <т2+1)р (24)

для любых £ ^ £о.

Рассмотрим теперь задачу нахождения допустимых значений параметров Ш1 и Ш2, при которых неравенства (23) и (24) будут давать наиболее точные (в смысле наименьших показателей степеней) оценки решений.

Исследуем сначала неравенство (23). Пусть

/ \ / . -.4 ) и (а - 1)(Ш1 + 1)

д{т 1, ш2) = (т! + 1)р = тах ' •

р +1 (С + 1)(т2 + 1)

Требуется выбрать Ш1 и Ш2 так, чтобы величина функции д(т1, Ш2) была наименьшей. При этом параметры Ш1 и Ш2 должны удовлетворять ограничениям (21). С учетом замечания 5 данные ограничения можно записать в виде

то2 + 1 а(р + 1 )(то2 + 1)

т1 + 1 А(С + 1)(т2 + 1) + А(а - 1) - аи:

т1 + 1 (р + V + 1 + а>)(£ + 1)(гп1 + 1)

то2 + 1 2а(р + 1)(гп1 + 1) + а(о> + г/)-(р + г/+1 + а>)(<7 - 1)

Если (р + V + 1 + и)(а - 1) ^ 2аи, то значение функции д(т1,т2) будет тем

меньше, чем больше выбрано т-1 и чем ближе выражение (т-1 + 1)/(т2 + 1) к величине

(р + V + 1 + и)(£ + 1)/(2а(р + 1)).

Если же (р + V +1 + и)(а — 1) < 2аи, то для нахождения наименьшего значения функции д(т1, т2) сначала нужно выбрать т-1 настолько большим, чтобы

(р + V + 1 + у)(ш1 + 1) (сг - 1) си

2а(р + 1)(т1 + 1) + а(и + V) — (р + V +1+ и)(а — 1) р +1

а затем выбрать т2 так, чтобы выполнялось равенство (т-1 + 1)/(т2 + 1) = и (С + 1)/((а - 1)(р + 1)).

Неравенство (24) исследуется аналогичным образом.

В результате получаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Существуют постоянные 6, Д1, Д2 > 0 такие, что для реше-

ний (X*(£), 2*(£))* системы (1) с начальными данными, удовлетворяющими условиям £о ^ 0, IX(£о)|| < 6, 11X. (£о)11 < 6, |Х(£о)|| < 6, при всех £ ^ £о имеют место оценки

IXФГ+1 + l|X(t)||2 < Д 1(£ - £о + 1)—01, (25)

II2(£)11 < Д2(£ - £о + 1) 02. (26)

Здесь

Д+1 (и+^+1 + ^)(^—1) ( 1 \( 1 \ \

н-1—, если а > ———г, если Л(а — 1) ^ аи;

и ’ 2и ’ I <г — 1’ ^ 1

, если а < (1*+*+1+ш)(<г-1) если Л(а - 1) < спа,

(К+У+1+м)(а—1у ^ 2и ’ V ’ V ' ’

а р1 и р2 - любые числа из интервала (0,1).

Замечание 6. Оценки (25) и (26) будут тем точнее, чем ближе значения Р1 и р2 к единице. При этом постоянные 3, Д1, Д2, вообще говоря, зависят от выбора величин р1 и р2 .

З а м е ч а н и е 7. Если выполнены неравенства

а >

то показатели степеней в оценках, полученных для решений сложной системы (1), совпадают с показателями степеней в известных оценках для решений изолированных подсистем (3), (4).

Пример 2. Рассмотрим систему

где х,у,г € Е1; а,Ъ,й,С1,С2 - постоянные коэффициенты, причем а > 0, Ь > 0, й> 0; А - положительное рациональное число с нечетным знаменателем.

В соответствии с теоремой 2, для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (27) достаточно выполнения неравенства А > 2. Применяя теорему 3,

системы (27) с начальными данными, удовлетворяющими условиям to ^ 0, |x(to)| < 8,

Здесь в = 1/2, если А ^ 3, и в = Ар/6, если 2 < А < 3, а в качестве р можно выбирать любое число из интервала (0, 1).

Литература

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

2. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

3. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

4. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1963. 116 с.

5. Каменков Г. В. Избранные труды: в 2 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 260 с.

6. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

7. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

8. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

9. Rouche N., Mawhin J. Ordinary differential equations: stability and periodic solutions. Boston etc.: Pitman, 1980. 260 p.

10. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SIAM J. Contr. Ser. A. 1962. N 1. P. 32—34.

11. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / пер. с англ.; под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 c. (Siljak D. D. Decentralized Control of Complex Systems. Cambridge, MA: Academic Press, 1991.)

12. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 c.

13. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 c.

14. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959. 324 c.

15. Озиранер А. С. Об устойчивости движения в критических случаях // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, вып. 3. С. 415—421.

16. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: сб. науч. трудов: [материалы Всесоюз. конференции. Иркутск, 1—3 июля 1986 г.] / отв. ред. В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский. Новосибирск: Наука, 1988. C. 195-203.

X = у,

у = —ax2y — bx3 + c\z6, z = —dz3 + C2XX,

(27)

получаем, что существуют числа 3, Д1, Д2 > 0 такие, что для решений (х(£), у(£), х(Ь))*

|y(t0)| < 8, |z(to)| < 8, при всех t ^ t0 справедливы оценки

|x(t)| ^ A±(t — to + 1) 2, \y{t)\ ^ Ai(i — to + 1) 1, \z{t)\ < A2(t — to + 1) в-

212 c.

17. Воротников В. И. К задачам устойчивости по отношению к части переменных // Прикл. математика и механика. 1999. Т. 63, вып. 5. С. 736—745.

18. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 2GGG. Т. 64, вып. 4. C. 545—55G.

19. Красовский Н. Н. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19, вып. 5. C. 516—53G.

2G. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 1G. C. 1432-1434.

21. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях // Автоматика и телемеханика. 2GG1. № 9. C. 3-13.

22. Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V. Construction of Lyapunov’s functions for a class of nonlinear systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2GG6. Vol. 6, N 1. P. 17-29.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.

Статья принята к печати 19 мая 2G11 г.