Об устойчивости решений многосвязных разностных систем по нелинейному приближению Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов А. В. Расчет устойчивости решений дифференциальных уравнений второго порядка с приложениями / А. В. Зубов, Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова, О. В. Мутлу, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 1999. 184 с.

2. Зубов Н. В. Безопасность функционирования технических систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : ВВМ, 2009. 343 с.

3. Зубов С. В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость / С. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2010. 446 с.

4. Зубов Н. В. Автоматизация проектирования устойчивости и надежности колебательных систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : Мобильность-плюс, 2010. 355 с.

Поступила 22.01.2012.

УДК 517.935.4

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ МНОГОСВЯЗНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Нгуен Динь Хуен

Рассматриваются многосвязные (сложные) системы разностных уравнений, описывающие взаимодействие существенно нелинейных подсистем. Предполагается, что нулевые решения изолированных подсистем асимптотически устойчивы, а связи являются нелинейными и неавтономными. С помощью прямого метода Ляпунова получены условия, при выполнении которых нулевые решения сложных систем также будут асимптотически устойчивы.

1. Введение. Уравнения в конечных разностях широко применяются при описании динамических систем, состояния которых известны (измеряются) в дискретные моменты времени [3; 9]. Численное решение уравнений различных типов также приводит к замене непрерывных систем дискретными

[4].

Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений.

Основной метод исследования устойчивости нелинейных разностных систем — это прямой метод Ляпунова [9]. Главная проблема, возникающая при применении данного метода, заключается в отсутствии общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Эта проблема является особенно трудной для сложных (многосвязных, крупномасштабных) систем [7; 8].

Сложные системы имеют составную структуру и представляют собой объединение нескольких более простых подсистем, взаимосвязанных между собой. Характерной чер-

той сложных систем является многомерность, т. е. высокая размерность описывающих эти системы уравнений. Многомерность приводит к трудностям как аналитическим, так и вычислительным, и вынуждает искать специальные пути, позволяющие понизить размерность на отдельных этапах исследования.

Поэтому при анализе устойчивости сложных систем используется метод декомпозиции [6; 8]. В процессе декомпозиции из исходных уравнений выделяют изолированные подсистемы. Так как порядки подсистем обычно значительно ниже порядка всей системы, то для каждой из подсистем удается построить свою функцию Ляпунова. Далее с помощью полученных функций определяются условия устойчивости изучаемой полной системы. Однако следует заметить, что методы и алгоритмы анализа устойчивости сложных систем хорошо разработаны только в случае, когда взаимодействующие подсистемы линейны или имеют экспоненциально устойчивые нулевые решения.

В статье [2] исследовались условия

© Нгуен Динь Хуен, 2012

устойчивости сложных систем разностных уравнений по нелинейному приближению. С помощью подходов, разработанных в [1; 7], были найдены условия, при выполнении которых из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем следует, что нулевое решение сложной системы также будет асимптотически устойчиво.

Цель настоящей статьи — показать, что для некоторых типов связей колебательного характера полученные в [2] ограничения на параметры систем, гарантирующие асимптотическую устойчивость, можно ослабить.

2. Постановка задачи. Пусть задана сложная система

Xi(k + 1) = Xj(k) + hFi(xi(k)) +

п (1)

+ hXGj(k,x(k)), i = 1, ..., n,

1=1

описывающая взаимодействие изолированных подсистем

xi(k + 1) = x,(k) + hFAxAk)),

i i i (2)

i = 1, ..., n.

Здесь Xi(k) e Em,x(k) = (x*(k), ..., x„(k)) ; элементы векторов Fi(xi) — непрерывно

дифференцируемые при Xi e Emi однородные функции порядка mi > 1; вектор-функции Gj(k,x) определены при k = 0, 1, ...,

||x|| < H (H = const > 0), непрерывны по x и удовлетворяют неравенствам

IIG-v (k, x)|| < cij ||x,-| Г1 , cij > 0, а ,■ > 0;

I j II 1 у n 1

h > 0 — шаг дискретизации; i, j = 1, ..., n. При выполнении данных предположений системы (1) и (2) имеют нулевые решения.

Будем считать, что нулевые решения изолированных систем дифференциальных уравнений

Xi(t) = Fi(xi(t)), i = 1, ..., n (3) асимптотически устойчивы. Известно [1], что тогда при любом шаге дискретизации h нулевые решения разностных систем (2) также являются асимптотически устойчивыми.

В работе [2] исследовались условия устойчивости нулевого решения сложной системы (1) по нелинейному приближению (2). Было показано, что для асимптотической устойчивости достаточно, чтобы суще-

ствовали положительные числа У1, ..., уп, удовлетворяющие неравенствам

-Н + а1 > о, ¿,у = 1, ..., и. (4)

11 1 у

В настоящей статье рассмотрим случай, когда связи между подсистемами представимы в

следующей форме: Giу (к, х) = Вуу (к^у (ху),

где Вуу (к) — заданные и ограниченные при

к = 0, 1, ... матрицы, а элементы векторов

Qj (ху) — непрерывно дифференцируемые

при ху е Ету однородные функции порядка ау > 1; У = 1, ..., п. Таким образом, система

(1) принимает вид:

хг(к +1) = хг(к) + hF^(x^(к)) +

П (5)

+ h£Вуу(к)Оу(ху(к)), г = 1, п. у=1

Покажем, что если матрицы Вуу(к), г, у = = 1, к, и удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям, то найденные в

[2] условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5) можно ослабить.

3. Условия асимптотической устойчивости. Построим вспомогательные матрицы. Пусть

Фгу(0) = 0, Фу(к, + 1) = Ф¿у(k) + Ву(k), k = 0, 1, ..., г, у = 1, ..., и. (6)

Будем предполагать, что матрицы (6) ограничены при к = 0, 1, ... . В частности, известно [1], что данное предположение выполнено в случае, когда матрицы Вуу(к) имеют вид:

Ву(k) = В(у) cos(hk) + о(2) sin(hk),

г, у = 1, ., и,

г>(1) г>(2) где —у и —у — постоянные матрицы.

Теорема. Пусть нулевые решения систем (3) асимптотически устойчивы, ау > 1, у = 1, ..., п, и матрицы (6) ограничены при к = 0, 1, ..., . Если существуют положительные числа у1, ..., уп, такие, что

.^±1 + + « >0,

У, У у у/

+—^-> 0,

т , «у + т 1 -1

у у

а, -1

У,

- _

Уг " У у г,], / = 1, ..

+ «I >0,

У/

ЗУ

дх,-

/¿(х,), г =1, ..., п отрицательно опре-

У(к,х) = ^ V-(х,) - й 2

¿=1

9 У

г, у=1 V 9хг У

Ф ¿у (к)д;- (х у).

¿=1

зу

Зх,

■[ х,(к) + hF¿(x¿(k)) +

Л

+ 0,Ф 2Ву (к)Оу (ху (к))

у=1

- Й I (хг(к + 1))| (к +1)0

г,у=1V дхг

(х;(к + 1)) + Й I (^(к))

г, у=1 V дхг

ЗУ

Ф,; (к)д;- (ху (к)) = 2 У, (х, (к) + й^ (х, (к)))

=1

(7)

I У (х(к)) + Й I (Ву (к)0у (х у (к)))

¿=1 г, у=1

дУг

дхг

(хг(к) + Й^(хг (к)) + 0гкЙ I Ву (к)

то при любом шаге дискретизации к нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть положительные числа У1, •••, Уп удовлетворяют неравенствам (7). Не умаляя общности, будем считать, что Уг > т + 1, г = 1, •., п.

Известно [5; 10], что из асимптотической нулевых решений систем (3) следует существование дважды непрерывно дифференцируемых положительно определенных положительно однородных порядка Уг - тг + 1 функций V, (х,), таких, что функции

о, (ху (к))) - ^ (х (к + 1))

^ ^ Зхг

У=1

- h [Ву (к)

г, у=1

ЗУ

(Оу (Ху (к + 1)) - Оу (Ху (к)))] ^ (X (к + 1))

- Й I (Фгу(к)Оу(ху(к +1))) I ^ (х(к +1))

г,у'=1

дУ

дхг

Зх.

делены.

Для системы (5) функцию Ляпунова выбираем в виде

ЗУ (х(к)) | - h 2 [фгу (к) (Оу (ху (к + 1)) -

У г,у =1 - Оу (ху (к)))]* ЗУ (хг(к)).

При всех к = 0, 1, к и х е Ет, т = т + •.. + тп справедлива оценка

г \уг-тг-1

п . П п

АУ < -а12 ||хг|Уг + а2 2

Функция У(к, х) положительно определена. Вычислим ее приращение на решениях системы (5). Имеем

п

ду = 2 V (х,(к) + hF¿(х,(к))) -

=1

п п *

2 у,(х,(к)) + h 2 (Ву (к)Оу (ху (к))) ■

г,у=1

г=1

■2 11х/1 |2аг + аз 2 I N1 + 211хе

/=1 г=1 ^ е=1

|х^| + 2 х -||

г=1 V ум

п ЛУг

■ I

У=1

IIху II + I ||хд| ^

+ а4 2 | IIх,11+ 2 |хе

¿=1 ^ е=1

т - п

Xу У + I ||х/|«

1=1 у,-1

■2

у=1

ху + 2 хд 9=1

Ла у

Iх, Г + 2 |1х/| |а/1 +

/ = 1 У

+ а5 2 ||х,||уг тг

г,у =1

у-

ху + 2 ?=1

1Г з

& = 1,

+ 11 м гг 1=1

положительные

Здесь а5 постоянные.

Используя свойства обобщенно-однородных функций [5], получаем, что если выполнены неравенства (7), то при достаточно мак = 0, 1, ...

лых значениях имеем

х и при всех

шения сложной системы достаточно, чтобы выполнялось неравенство е^ < 1, где

51 = тах

52 = тах

т2 +1. т2 . т2 - «21

2а1 а1 - 1 + т1 ' а1 - 1 ]

т +1. т1 . т- «11 2«2 а2 - 1 + т2 ' «2 - 1 ]

4. Пример. Рассмотрим уравнения

А^ < -^ Ц|хг|.

2 ¿=1

Таким образом, функция V(k,x) удовлетворяет требованиям дискретного аналога теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [1; 9]. Теорема доказана.

Замечание 1. Нетрудно проверить, что если постоянные У1, к, уп удовлетворяют неравенствам (7), то неравенства (4) для них также будут выполнены. Значит, доказанная теорема задает более широкое множество значений параметров ^ и а^ для которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость нулевого решения сложной системы.

Следствие 1. Пусть т = а¿, ¿ = 1, ..., п.

Тогда нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.

Замечание 2. Следствие 1 утверждает, что для нестационарных связей рассматриваемого вида асимптотическая устойчивость имеет место и в случае, когда порядки однородности функций, входящих в правые части изолированных подсистем (2), совпадают с порядками однородности функций, описывающих связи между подсистемами.

Следствие 2. Пусть система (5) состоит из двух подсистем (п = 2). Тогда если а1 > 1 и а2 > 1, нулевые решения соответствующих систем дифференциальных уравнений (3) асимптотически устойчивы, а матрицы (6) ограничены при к = 0, 1, ..., то для асимптотической устойчивости нулевого ре-

х1 (k + 1) = х1 (к) + hp11x( (к) +

+ hpl2 cos (М) м6 (k),

¿2 (k + 2) = Х2 (к) + hp22X2 (k) +

+ hp2l sin (kh) мГ1.

(8)

Будем считать, что х^к) и Х2(к) — скалярные переменные; p¿y, ¿, ] = 1,2 — постоянные коэффициенты, причем рц < 0, Р22 < 0, а1 — положительное рациональное число с нечетным знаменателем; к > 0 — шаг дискретизации.

Система (8) представляет собой частный

случай систем (5). Здесь т =3, т2 = 5, а2 = 6,

В11(к) = В22(к) = 0, В12(к) = p12 cos(kh),

В21(к) = P2l sin(kh), а нулевые решения дифференциальных уравнений

¿1 = P11X13, -¿2 = P22M2 асимптотически устойчивы. Согласно теореме 8 из работы [2] для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (8) достаточно выполнения неравенства

> 5/2.

Применение результатов настоящей статьи позволяет получить более широкую область допустимых значений параметра а^ С помощью следствия 2 нетрудно проверить, что асимптотическая устойчивость будет иметь место при а1 > 9/8.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А. Ю. Устойчивость разностных систем / А. Ю. Александров, А. П. Жаб-ко. СПб. : НИИ химии СПбГУ, 2003. 112 с.

2. Александров А. Ю. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Сиб. мат. журн. 2010.

Т. 51, № 3. С. 481 497.

3. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования / П. В. Бромберг. М. : Наука, 1967. 324 с.

4. Деккер К. Устойчивость методов Рунге Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. М. : Мир, 1988. 334 с.

5. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.

6. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова : анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М. : Физматлит, 2001. 384 с.

7. Косов А. А. Об устойчивости сложных систем по нелинейному приближению / А. А. Ко-сов // Дифференц. уравнения. 1997. T. 33, № 10. С. 1432 1434.

8. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. М. : Мир, 1980. 300 с.

9. Халанай А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. М. : Мир, 1971. 312 с.

10. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field / L. Rosier // Systems and Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467 473.

Поступила 21.01.2012.

УДК 517.956

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ*

А. Ф. Зубова, И. В. Зубов, В. И. Зубов, С. В. Зубов, М. В. Стрекопытова

В данной статье предлагается сводить решение любой вычислительной задачи к построению системы дифференциальных уравнений; все решения или часть их сходятся к решению исходной вычислительной задачи. Далее задача сведется к численному интегрированию полученной системы.

При компьютерном моделировании пренебрежение наличием инвариантных множеств может привести к принципиально неверным прогнозам динамики системы. Прогнозирование состояния системы, сделанное с помощью компьютера, может иметь приемлемую точность, если дискретизованная модель сохраняет основные структурные особенности моделируемой системы, в число которых входят наличие стационарных и нестационарных инвариантных множеств, их свойства и характер предельного поведения траекторий системы. Все это требует тщательного аналитического исследования уравнений динамики для обнаружения этих свойств. Кроме того, сами алгоритмы дискретизации требуют такого их изменения, чтобы указанные структурные свойства непрерывной модели сохранялись и у дискретной модели, уже пригодной для компьютерной реализации.

Постановка задачи

Поставим задачу определения и анализа корней уравнения

¿е^А - 1Е) = 0, (1)

где А - (п х п) — матрица. Известно, что вопрос об устойчивости линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений будет решен, если выяснится, что корни уравнения (1) лежат в левой полуплоскости комплексного переменного 1. Следуя [1], отобразим эту левую полуплоскость на единичный круг в плоскости переменного р при помощи преобразования

1 = ■ (2) Р +1

При этом корни уравнения (1) перейдут в корни уравнения

det (В -рЕ) = 0, (3)

где В = Е + 2 (А - Е )-1.

Обозначим корни этого уравнения через Р1, Р2, ..., рп. Из нашего преобразования следует, что если корни уравнения (1) лежат в левой полуплоскости, то корни уравнения (3) лежат в единичном круге. А тогда, по-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).

© Зубова А. Ф., Зубов И. В., Зубов В. И., Стрекопытова М. В., 2012