Об устойчивости положения равновесия неавтономных колебательных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Ю. Александров

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕАВТОНОМНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Введение. Пусть движение голономной нестационарной механической системы с одной степенью свободы описывается уравнением

Здесь функция а(£) (коэффициент демпфирования) непрерывна, а функция Ь(Ь) (обобщенная жесткость) непрерывно дифференцируема на промежутке [0,+оо); функция д(х) задана и непрерывна при всех х е (—оо, +оо). Будем предполагать, что д(х) обла-

Задача нахождения условий устойчивости колебательных систем с переменными параметрами изучалась во многих работах (см., например, [1-8]). Одним из подходов к ее решению является подход, предложенный в статье [6] и основанный на применении теории дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина [9].

В соответствии с указанным подходом, функция Ляпунова для уравнения (1) выбирается в виде

При этом предполагается, что b(t) > 0 при всех t ^ 0.

Далее вводятся следующие обозначения. Для функции h(t), заданной на промежутке [0, +оо), положим [fo(t)]+ — max{0; h(t)}, [h(t)]- = max{0; —h(t)}.

Пользуясь этими обозначениями, приходим к дифференциальному неравенству

сходятся. Тогда если Ь(Ь) > 0 при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что Ь(£) ^ Ьо при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным.

Цель настоящей статьи - усилить результаты, полученные в [6], а также распространить указанный подход на колебательные системы с нелинейными диссипативными (ускоряющими) силами.

© А. Ю. Александров, 2005

х + a(t)x + b(t)g(x) = 0.

(1)

дает свойством С(ж) = д{г)йт > 0 при х ф 0. Из этого условия, в частности, следует, что #(0) = 0. Таким образом, уравнение (1) имеет положение равновесия

х = х = 0.

(2)

V = b(t)G(x) + у.

(3)

Таким образом, справедлива теорема. Теорема 1 [6]. Пусть интегралы

— = b(t)G(x) — a(t)x2.

dt (і)

Покажем, что для построенной функции Ляпунова можно получить более точную оценку по сравнению с оценкой (4). При этом снова будем предполагать, что Ь(£) > О при всех £ ^ 0.

Рассмотрим функцию

при всех t € [0,4-оо), где М - некоторая постоянная. Тогда если b(t) > 0 при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что b{t) ^ 6о при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным.

Теорема 2 задает менее жесткие условия на функции a(t) и b(t) по сравнению с условиями, полученными в работе [6]. Действительно, если интегралы (5) сходятся, то найдется постоянная М, для которой имеет место оценка (8). Вместе с тем из выполнения неравенства (8), вообще говоря, не следует сходимость интегралов (5).

Пример 1. Пусть a(t) = cost, b(t) = e~2t. В этом случае условие Л)+00[а(£)]_<Й < +оо не выполнено и теорема 1 неприменима. В то же время функция c(t), построенная по формуле (6), имеет вид с(£) = -2 cos £, причем /0 c(r)dr ^ 2 при t ^ 0. В соответствии с теоремой 2 получаем, что положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво относительно X.

Пример 2. Пусть a(t) = sin*, b(t) = е2cos4. Тогда оба интеграла (5) являются расходящимися, c(t) = —2sin£ и c(r)dr ^ 0 при t 6 [0,+оо). Следовательно,

теорему 1 применять нельзя, а теорема 2 гарантирует, что положение равновесия устойчиво по всем переменным.

Оценка (7), в отличие от оценки (4), позволяет получить достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия по части переменных.

Теорема 3. Пусть

о

Тогда если Ь(£) > 0 при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (1) асимптотически устойчиво относительно х.

(6)

Для любых х,х Е (—оо, +оо) и t ^ 0 справедливо неравенство

(7)

Значит, имеет место теорема. Теорема 2. Пусть

(8)

о

(9)

Пример 3. Предположим, что функции a(t) и b(t) в уравнении (1) имеют вид a(t) = 1+2 cos t, b(t) = e-6*. Тогда c(i) = —2—4 cos in c(r)dr = — 2t—4sinf-> — oo при t —>■ +oo. Значит, положение равновесия асимптотически устойчиво относительно х.

Замечание 1. Из предельного соотношения (9) следует, что b(t) -> 0 при t -»• +оо. Поэтому в формулировке теоремы 3, в отличие от теорем 1 и 2, не предполагается существования числа 6о > 0 такого, что b(t) ^ &о при t ^ 0. Таким образом, с помощью рассмотренного подхода не удается получить условия асимптотической устойчивости положения-равновесия по всем переменным.

Замечание 2. Используя оценку (7), можно определить достаточные условия устойчивости положения равновесия по всем переменным и асимптотической устойчивости относительно X.

Действительно, интегрируя неравенство (7), получаем, что, с одной стороны, для решения x(t) уравнения (1) с начальными данными to ^ 0, x(to) = жо, x(to) = хо при всех t ^ to справедливы соотношения

^ ЩеХРу1 c^dTJ (b(to)G(x0) +

x2(t) ^ exp c(r)drj (2b(t0)G{x0) + io) С другой стороны, при t ^ to имеем

t

|*(01 ^ Ы + J \x{r)\dn

to

^ |ж0| + (2b{tQ)G(x0) + Xq)1/2 f exp I i f c(s)ds I dr.

to \ to J

Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 4. Пусть b(t) > 0 при t ^ 0 и справедливо предельное соотношение (9). Тогда если выполнено хотя бы одно из условий

°) Io°° ехР (11оГ Ф)<&) dr < +°°>

б) exp (f* c(T)dr') ^ Lb(t) при t ^ 0, где L - положительная постоянная, то

положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво относительно х.

Следствие 1. Пусть b(t) > 0 при t ^ 0, b(t) —» 0 при t —> +оо и b(t)/b(t) ^ — 2а(£) для всех t ^ 0. Тогда положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным и асимптотически устойчиво относительно х.

Следствие 2. Пусть b(t) > 0 при t ^ 0 и существуют числа ао > 0 и Ъ > 0 такие, что па промежутке [0, +оо) справедливы неравенства

Тогда положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным и экспоненциально устойчиво относительно х.

Замечание 3. Условия а) и б) теоремы 4 могут выполняться независимо друг от друга.

Пример 4. Пусть а(£) = 1, b(t) = e~3t. Тогда c(t) = —2, условие а) выполнено, а условие б) нет.

Пример 5. Предположим теперь, что a(t) = 1, b(t) = l/(t + 1). В данном случае c(t) = —1 /(£ 4-1), выполнено условие б), но не выполнено условие а).

Замечание 4. В работе [10, с. 264, 265] с использованием метода /х-систем были получены достаточные условия устойчивости по всем переменным и экспоненциальной устойчивости относительно х для линейного осциллятора

х + a(t)x + b(t)x = 0. (11)

Однако эти условия являются более грубыми по сравнению с условиями, сформулированными в следствии 2 к теореме 4. Наряду с выполнением неравенств (10) в данной работе требовалось, чтобы при всех t ^ 0 имело место соотношение

- ^(1 - b(t))2 ^ е = const > 0. (12)

‘ Например, если a(t) = ао, b(t) = boe~st, где ао, Ьо, <5 - положительные постоянные,

то при любых значениях ао, Ьо и S будут выполняться неравенства (10), а условие (12)

приводит к дополнительному ограничению: ао<5 >1/4.

Доказанные теоремы можно распространить и на системы вида

8G

X + A(t)X + b(t)—= 0, (13)

где X - n-мерный вектор, элементы матрицы A(t) заданы и непрерывны при t ^ 0, скалярная функция b(t) непрерывно дифференцируема и положительна на промежутке [0, +оо), а функция G(X) определена и непрерывно дифференцируема для всех X G Еп, причем G(X) > 0 при X ф 0, (7(0) = 0.

Для этого следует в качестве функции Ляпунова выбрать функцию

V = b(t)G(X) + iХ*Х.

Получим

dV

dt

= b(t)G(X) - X*A(t)X.

(13)

Пусть а(Ь) = тт^=11...)ПЛj(t). Здесь А^) - собственные числа матрицы (Л(£) + А*(£))/2. Используя функцию а(£), снова приходим к дифференциальному неравенству (7), где с(£) по-прежнему определяется по формуле (6).

В работах [4, с. 175-178; 6; 10, с. 264, 265] при исследовании устойчивости положений равновесия уравнений вида (1) рассматривались и случаи, когда обобщенная жесткость может принимать отрицательные значения. Покажем, что если Ь(£) < 0 для всех £ ^ 0, то подход, предложенный в настоящей статье, также позволяет получить новые условия устойчивости положения равновесия.

V = -b(t)G(x) + у.

Имеем

А\Г

— -b(t)G(x) — a(t)x2 — 2 b(t)g(x)x.

dV_

dt

(i)

Будем считать, что в некоторой окрестности точки х = 0 справедливо неравенство д2(х) KG(x), где К - положительная постоянная. Это неравенство имеет место, например, в случае, когда д(х) = х^, где /и - рациональное число с нечетными числителем и знаменателем, ц ^ 1.

Тогда при всех t ^ 0, х е (—оо, -Ьоо) и достаточно малых по модулю значениях х выполняется соотношение

dV b{t)

dt

(i) b{t) ~ a+ (~Kb{t)G{x) + x2),

используя которое получаем следующую теорему.

Теорема 5. Если Ь(£) < 0 при ^ 0 и существуют числа а® > 0 и Ъ > 0 такие, что на промежутке [0, +оо) имеют место неравенства (10), то положение равновесия (2) уравнения (1) устойчиво по всем переменным и экспоненциально устойчиво относительно х.

Замечание 5. Сформулированные в теореме 5 ограничения на функции а(£) и Ь(£) являются менее жесткими по сравнению с ограничениями, полученными в работе [10, с. 264, 265] для линейного осциллятора (11).

2. Далее исследуем случай, когда демпфирование в рассматриваемой системе является нелинейным.

Пусть задано уравнение

х + афх1' + Ь(£)</(ж) = 0. (14)

Здесь V - положительное рациональное число с нечетными числителем и знаменателем, а функции а(£), Ь(£) и д(х) обладают указанными во введений свойствами. Снова будем считать, что Ь(£) > 0 при .всех £ ^ 0.

Предположим сначала, что и > 1. Дифференцируя функцию Ляпунова (3) в силу уравнения (14), получаем , .

■ = К0С?(а0 - а(£)ж"+1.

а£ (14)

Выберем число А > 0. Тогда при |ж| ^ Д и всех £ ^ 0, х € (—оо,+оо) имеют место неравенства

с1У' - Ь(*КЭД + 2[а(*)].Д-'-1у

+

где с(£) = тах |[6(£)/Ь(£)]+; 2[а(£)]_ Д"-11. • • .! ..

Значит, если решение ж(£) уравнения (14) на некотором промежутке [£о,Т] удовлетворяет условию |ж(£)| ^ Д, то на указанном промежутке выполняется соотношение

<• Ь(£)

1(14) b{t)

Получаем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть интегралы (5) сходятся. Тогда если b{t) > 0 при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что b(t) ^ Ьо при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) устойчиво по всем переменным.

Покажем теперь, что в случае, когда b(t) ^ 0 при t ^ 0, теорему 6 можно усилить.

Снова выбираем число А > 0. Если выполнено условие b(t)G(x) ^ А, то для производной функции Ляпунова имеет, место соотношение

dv>.

dt

(14)

Здесь с/?1(£) = А^1 "&(£)/&(£), (р2&) = -2("+1)/2 а(£), причем </?1(£) ^ 0 при всех t ^ 0. Используя соотношение (16), приходим к дифференциальному неравенству

dV_

dt

<а(г)У^, (17)

(14)

где

ЭД = ^ . (18)

и1^0,и2^0,И1+и2 = 1 \ /

Нетрудно показать, что с(£) = ^(О, если (р-2^) ^ 0, и

ад = (ы*)!2^'11 +1^(()|2/<--1))(1“‘',/2,

если <^2(0 < 0.

Интегрируя неравенство (17), получаем, что для решения ж(£) уравнения (14), удовлетворяющего на некотором промежутке [£о)Г] условию Ь(£)(7(ж(£)) ^ А, при всех t 6 [£о ,Т] справедлива оценка

V(t)<V(to)^-^V^(to)Jc^т)dтJ . (19)

Здесь У(£) = У(£,а;(£),£(£)), а начальные данные ж(£о)> #(£о) рассматриваемого решения должны быть достаточно малы, чтобы на указанном промежутке выполнялось соотношение {и — 1)У^*'-1)/2(£о) //0 с(т№т/2 < 1.

Теорема 7. Пусть при всех £ ^ 0 имеют место неравенства &(£) ^ 0,

* . ' ' ' ' 1.с{т)вт^М, ' (20)

■ ‘ ” < о •

где М - некоторая постоянная. Тогда если 6(£) > 0 при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что Ь(£) > Ьо при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) устойчиво по всем переменным.

Теорема 8. Пусть Ь(£) ^ 0 при Ь ^ 0 и справедливо предельное соотношение

г

Дпп J с{т)йт = -оо. (21)

о

Тогда если Ь(£) > 0 при t ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) асимптотически устойчиво относительно х.

Замечание 6. Оценки (15) и (19) будут тем точнее, чем меньше выбрано число А. Однако, уменьшая значение А, мы сужаем область начальных данных решений, для которых можно пользоваться этими оценками.

Замечание 7. Функция с(£) зависит от выбора числа Д. При этом для одних значений Д условия (20) и (21) могут выполняться, а для других - нет. Для применения теорем 7 и 8 достаточно, чтобы существовало число До > 0, при котором справедливы соотношения (20) и (21). Заметим, что тогда, в силу определения функции с(£), они будут иметь место и при всех Д € (0, До].

Пример 6. Пусть V = 3, а(£) = 1 — 8'вт£, Ь(£) = е~ь. Получим, что с(£) = 4(8вт£ — 1), если 8зт£ ^ 1, и с(£) = 4(8эт* - 1)/(1 + 4Д(1 - 8вт£)), если 8вт£ < 1. Следовательно, при достаточно больших значениях Д функция с(т)с1т будет не ограничена сверху на промежутке [0,+оо), а при достаточно малом Д будет справедливо предельное соотношение (21).

Замечание 8. Если функция Ь(£) принимает значения разных знаков, то для оценки решений уравнения (14) на тех промежутках, на которых &(£) > 0, следует пользоваться неравенством (15), а на промежутках, на которых Ь(£) 0, - неравенст-

вом (19).

Пример 7. Пусть £0 = 0, Ь2к+1 = <2* + к + 1, Ы+2 = Ы+1 + 1, к = 0,1,... . Будем предполагать, что Ь(£) ^ 0 при £ 6 [Ь2к,Ьк+\], Щ) > О ПРИ * € (^гн-ь*2*4-2), причем ДЛЯ некоторого Д > 0 имеем с(£) ^ 0 при £ 6 ^2к-,^2к+1], с(т)с!т = —к — 1,

СГ^ = 1-.

В этом случае условия теорем 6-8 не выполнены, а последовательное применение неравенств (15) и (19) на промежутках [£гл+1 ^2^+2] и [Ьк,^2к+1] позволяет доказать, что положение равновесия асимптотически устойчиво относительно х.

Пусть теперь параметр и удовлетворяет условию V € (0,1). Задаем число Д > 0. Тогда при всех £ их, для которых выполнено неравенство Ь(£)С?(а;) ^ Д, и любых х 6 (—оо, +оо) справедлива оценка (16). В данном случае функции </Э1(£) и </?г(£) имеют вид ср\{Ь) = Д(1-,/)/2 [6(£)/Ь(£)]+, </?г(£) = 2("+1)/2 [а(£)]_. Таким образом, снова приходим к дифференциальному неравенству (17), где функция с(£) по-прежнему определяется по.формуле,(18). Учитывая, что <£>1(£). и </?г(£) - неотрицательные.функции, получаем

с(£) = тах{</?1 (£);<р2(£)}; если = 0, и с(£) - ^/(1_,/)(£) +-у>2/(1—^(О)( ^ »

если (^1(£)<^2(£) > 0.

Значит, для решения ж(£) уравнения (14), удовлетворяющего на некотором промежутке [£о,Т] условию Ь(£)(7(ж(£)) ^ Д, при всех £ € [£о,Т] справедливо соотношение (19). Однако теперь 0 < V < 1. Поэтому выполнение данного соотношения при всех £ ^ £о ^ 0 и сходимость интеграла ■ * •

.., ■ , ............ , , . +09 . , . .

■ • <*..• - • ■ • > ■ . У С(Ь)(И ■ . (22)

о ,

НЮ

уже не гарантируют устойчивости положения равновесия ни по всем^ ни по части переменных. В то же время, если указанный интеграл сходится, то с(т)с1т -> 0 при £о -> +оо равномерно относительно £ ^ £о- Следовательно, используя оценку (19), можно получить условия эвентуальной устойчивости [11] положения равновесия. Заметим при этом, что для сходимости интеграла (22) необходимо и достаточно, чтобы сходились интегралы (5). Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 9. Пусть интегралы (5) сходятся. Тогда если &(£) > 0 при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) эвентуально, устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что &(£) ^ Ьо при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) эвентуально устойчиво по всем переменным.

Далее будем считать, что а(£) ^ 0 при £ ^ 0. В этом случае для решений уравнения (14) можно получить более точную оценку по сравнению с оценкой (19). Действительно, при \х\ ^ Д, где Д - положительная постоянная, имеем

(И

Здесь с(£) = шах |&(£)/&(£); — 2а(£)Д" х|. Значит, справедливы следующие теоремы. Теорема 10. Пусть при всех £ ^ 0 выполнены неравенства а(£) ^ 0 и

г

/

с{т)<1т ^ М, (23)

где М - некоторая постоянная. Тогда если 6(£) > 0 при £ ^ 0, то положение равновесия (2). уравнения, (14) устойчиво относительно х, а если существует число Ьо > 0 такое, что Ь(£) ^ Ьо при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) устойчиво по всем переменным.

Теорема 11. Пусть а(£) ^ 0 при £ ^ 0 и справедливо предельное соотношение

г

Пт

£—++оо

О

J с{т)в,т = —оо. (24)

Тогда если Ь(£) > 0 при £ ^ 0, то положение равновесия (2) уравнения (14) асимптотически устойчиво относительно х. *

Как и в случае, когда и > 1, получаем, что теоремами 10 и 11 можно пользоваться, если условия (23) и (24) выполняются хотя бы при достаточно малых значениях параметра Д. \

Зам е ч а н и е, 9. Если функция а(£) принимает значения разных знаков, то для оценки решений уравнения (14) на тех промежутках, на которых а(£) ^ 0, следует использовать неравенство (15), а на промежутках, на которых а(£) < 0, - неравенство (19).

Замечание 10. С помощью оценок (15) и (19) для уравнения (14) можно получить достаточные условия устойчивости положения равновесия по всем переменным и асимптотической устойчивости относительно X.

Summary

Aleksandrov A. Yu. On the stability of an equilibrium of nonautonomous oscillatory systems.

By the use of Lyapunov’s functions. method and the method of differential inequalities the conditions of stability of an equilibrium for some classes of nonlinear oscillatory systems with time-varying parameters are obtained.

Литература

1. Веллман P. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под ред. А.Д. Мышкиса. М., 1954. 216 с.

2. Игнатьев А. О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 41, № 1. С. 167-168.

3. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1969. 380 с.

4. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., 1987. 253 с.

5. Руш Н., А бете П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ.; Под ред. В.В. Румянцева. М., 1980. 300 с.

6. Хатвани Л. О применении дифференциальных неравенств к теории устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. математика, механика. 1975. № 3. С. 83-89.

7. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, JN® 4. С. 725-732.

8. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Немыцкого. М., 1964. 477 с.

9. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.; Л., 1950. 102 с.

10. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М., 1991. 288 с.

11. Л а Саллъ Дж. П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. 1965. Т. 1. С. 69-75.

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.