О равномерной диссипативности нелинейных нестационарных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925.51

О РАВНОМЕРНОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ*

А. Ю. Александров1, А. П. Жабко2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. При решении задач управления различными реальными системами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в широком классе случаев требуется не только стабилизировать заданные программные режимы, но и гарантировать ограниченность всех движений рассматриваемых систем. С практической точки зрения особый интерес представляет ситуация, когда в фазовом пространстве изучаемой системы существует ограниченная область, такая, что каждое решение за конечное время попадает в эту область и остается в ней при дальнейшем возрастании времени. Системы, обладающие указанным свойством, называются диссипативными [1, 2].

Основным методом качественного анализа нелинейных систем является прямой метод Ляпунова [3]. С его помощью были получены условия ограниченности решений для многих типов систем (см. [1-5] и цитируемую там литературу). Однако до сих пор главной проблемой, связанной с применением данного метода, остается отсутствие общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Эта проблема является особенно сложной для нестационарных систем.

Один из эффективных подходов к исследованию условий устойчивости и ограниченности решений нестационарных систем состоит в использовании метода усреднения [2, 5-7]. Согласно ему выводы о свойствах решений нестационарной системы делаются на основе анализа свойств решений соответствующей усредненной системы. В то же время следует отметить, что обычно при получении результатов такого рода предполагается, что рассматриваемая система содержит малый параметр [6, 7].

В [8, 9] изучались системы нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой однородные функции порядка ^ > 0 относительно фазовых переменных. Было показано, что если ^ > 1, то из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненной системы следует асимптотическая

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (НИР №9.38.674.2013) и РФФИ (гранты № 13-01-00347^ и № 13-01-00376^).

© А. Ю. Александров, А. П. Жабко, 2013

устойчивость нулевого решения исходной нестационарной системы, а если у < 1, то диссипативность усредненной системы гарантирует, что исходная система также является диссипативной. Данные результаты получили дальнейшее развитие в работах [10-14]. Принципиальная особенность указанных результатов заключается в том, что для их обоснования не требуется наличие в системе малого параметра.

В настоящей статье с помощью подходов, предложенных в [8, 9, 14], устанавливаются новые условия равномерной диссипативности систем нелинейных дифференциальных уравнений. При этом теоремы, доказанные в [9, 12], распространяются на более широкие классы нестационарных систем. Кроме того, опредедяются типы нестационарных возмущений, для которых сохранение равномерной диссипативности для возмущенных систем имеет место и в случае, когда порядок возмущений больше порядка однородности правых частей невозмущенных уравнений.

2. Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

X = F (t,X), (1)

где X — n-мерный вектор, а вектор-функция F(t, X) определена и непрерывна при всех t > 0, X £ Rn. Обозначим через X(t, Xo, to) решение этих уравнений, выходящее при t = to из точки Xo.

Определение [2]. Система (1) называется равномерно диссипативной, если существует число D > 0 такое, что для любого Q > 0 число T > 0 можно выбрать так, чтобы при всех to > 0, t > to + T и ||Xo|| < Q выполнялось неравенство ||X(t,Xo,to)|| < D.

В настоящей работе будем предполагать, что компоненты вектора F(t, X) при каждом фиксированном t являются однородными относительно X функциями порядка у, причем 0 < у < 1. В [12] отмечалось, что такие классы векторных полей имеют широкие приложения, в частности, они играют важную роль в задачах finite-time stability [15-17].

Кроме того, будем считать, что выполнены следующие условия:

1) функция F(t, X) непрерывно дифференцируема по X при t > 0 и X = 0;

2) существуют числа Mi и M2 такие, что при t > 0 и ||X|| = 1 справедливы оценки ||F(t,X)|| < M1, ||dF(t,X)/dX|| < M2;

3) для функции F(t, X) равномерно относительно t > 0 и ||X|| = 1 имеет место предельное соотношение

t+T

^ J F(t, X)dr —> F(X) при T —> +00, (2)

t

причем функция f (X) непрерывна при X £ Rn и непрерывно дифференцируема при X = 0.

Здесь и всюду далее под || • || понимается евклидова норма вектора или согласованная с ней норма матрицы.

Таким образом, уравнения

X = F(X) (3)

представляют собой усредненную систему для (1). Заметим, что элементы вектора f (X) также являются однородными функциями порядка у, а система (3) имеет нулевое решение. Определим условия, при выполнении которых из равномерной дис-сипативности усредненной системы следует равномерная диссипативность исходной

нестационарной системы. Кроме того, рассмотрим случай, когда на уравнения (1) действуют нелинейные нестационарные возмущения, и выделим классы возмущений, не нарушающих равномерную диссипативность изучаемой системы.

3. Достаточные условия равномерной диссипативности. Известно [18], что если нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, то оно асимптотически устойчиво в целом. Значит, усредненная система будет диссипативной. Покажем, что тогда свойством диссипативности обладает и нестационарная система (1).

Теорема 1. Если нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, то система (1) равномерно диссипативна.

Доказательство. Из асимптотической устойчивости нулевого решения усредненных уравнений следует [16, 18] существование непрерывной при X € К" и дважды непрерывно дифференцируемой при X = 0 положительно однородной порядка 7 > 2 функции Ляпунова V(X), для которой справедливы оценки

а1||Хр < V(X) < а2||Х||"

^ (X)

< аз^||

7-1

ш

да) < -а^^||

7+М-1

Здесь а^ > 0, г = 1, 2, 3,4.

Чтобы построить функцию Ляпунова для нестационарных уравнений (1), воспользуемся подходом, предложенным в работах [8, 9, 14]. Пусть

у^х) = да) + I е-(^)(да) -

о

(4)

где £ — положительный параметр. Тогда при всех £ > 0 и X € К" выполнено неравенство

а1||хр - — ||Х||7+М_1 < У^Х) < а2\\ХГ + —\\Х\\">+»-\ а5 = const > 0.

а5

Продифференцируем VI(£, X) в силу системы (1). Получим

Т да)

/ /ада) у

дХ \\ дХ )

г \

У в-е(г-т^да) - ^(т,X))^т I.

Учитывая условия, которым удовлетворяют функция Ляпунова V(X) и вектор-функция ^(£, X), при £ > 0 и X € К" имеем

V"!|(1)< -счЦХГ^-1 + + £а3||Х||

7-1

„-ф-т)

(.да) - ^(т, X))йт

где аб > 0. Заметим, что постоянные а5 и аб не зависят от выбранного значения £.

Известно [6, с. 347, 348], что если предельное соотношение (2) выполняется равномерно относительно г > 0 и ||Х|| = 1, то существует функция п(е), заданная при е £ (0, и обладающая следующими свойствами: п(е) ^ 0 при е ^ 0 и

е-еЦ-т^^) - р(Т,Х))^т

< п(е)

для всех г > 0 и ||Х|| = 1. Значит,

V"!|(1)< -сцЦХЦ^»-1 + + аз^ет^»-1

при г > 0, X е М".

Выберем и зафиксируем е > 0 так, чтобы имело место неравенство азп(е) < а4/4. Тогда найдется число Д > 0 такое, что в области г > 0, ||Х|| > Д будут справедливы оценки

^||Х|Г < У^Х) < 2а2||Х|Г, Т4|(1)< -уЦХЦ^-1.

Следовательно, функция V (г, X) удовлетворяет всем требованиям теоремы Йосид-завы о равномерной диссипативности (см. [2, с. 290-293]). Теорема доказана.

Замечание 1. Достаточные условия равномерной диссипативности для систем вида (1) были получены в [9, 12]. Однако следует отметить, что в указанных работах предполагалось, что интеграл

г

|(Р(т, X) - Р?(Х)Мт (5)

о

ограничен при г > 0, ||Х|| = 1. В настоящей статье не требуется выполнения данного предположения. В частности, теорема 1 применима в случае, когда правые части системы (1) представляют собой линейные комбинации однородных порядка ц функций, причем коэффициенты этих линейных комбинаций являются почти периодическими функциями времени. Известно [2], что для таких систем интеграл (5) может быть не ограничен на множестве г > 0, ||Х|| = 1, поэтому для них нельзя использовать результаты работ [9, 12].

4. Условия сохранения диссипативности для возмущенных систем. Наряду с уравнениями (1) рассмотрим возмущенные уравнения

х = р (г,х) + с(г,х). (6)

Будем считать, что элементы вектора С(г,Х) непрерывны при г > 0, X £ М" и при каждом фиксированном г являются однородными относительно X функциями порядка а > 0, причем существует число Ь > 0 такое, что ||С(г, X)|| < Ь при г > 0,

»X || = 1.

Нетрудно проверить, что если нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, то при а < ^ система (6) будет равномерно диссипативна. Покажем далее, что для некоторых классов нестационарных возмущений равномерную диссипатив-ность системы (6) можно гарантировать и в случае, когда их порядок больше порядка однородности правых частей невозмущенных уравнений.

г

Е

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) функция ) непрерывно дифференцируема по X при £ > 0, X = 0;

2) существуют числа ¿1 и ¿2 такие, что при £ > 0 и ||ХУ = 1 справедливы оценки

! С(т,Х

< ¿1,

дС(т,Х) дХ

¿т

< ¿2.

Тогда если нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво, то для равномерной диссипативности системы (6) достаточно, чтобы имело место неравенство 2а < ^ + 1.

Доказательство. Функцию Ляпунова для возмущенных уравнений выбираем в виде

= I С{т,х)ат,

о

где У1(£, X) —функция, построенная по формуле (4). При всех £ > 0, X £ М" получаем

< У2{Ь,Х) < а2\\Х\\">+^\\Х\\">+»-1+а4\\Х\\">+°-1

аз ,

г

+ а7 (IXр+2-2 + IXр+ пИ^|

7+М-1

Здесь а1,...,а7 —не зависящие от е положительные постоянные, а п(е) ^ 0 при £ ^ 0.

Как и при доказательстве теоремы 1, нетрудно показать, что если е > 0 достаточно мало, то найдется число Д > 0 такое, что при £ > 0, IX|| > Д будут справедливы оценки

у||Х|Г < У2{г,Х) < 2а2||Х|Г, У2|(6)<

Снова получаем, что построенная функция Ляпунова удовлетворяет всем требованиям теоремы Йосидзавы о равномерной диссипативности. Теорема доказана.

5. Некоторое обсуждение полученных результатов. В настоящей работе изучаются системы дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой однородные функции относительно фазовых переменных, причем предполагается, что порядки их однородности меньше единицы. Поэтому требование непрерывной дифференцируемости правых частей при X = 0 накладывает довольно сильное ограничение на класс рассматриваемых систем.

Например, функция Р(£, X) будет обладать указанными в п. 2 свойствами, если она определяется по формуле

{ IXр-1Р(^ при X = 0,

Р (^ ) =

[ 0 при X = 0.

Здесь 0 < ^ < 1, а Р(£) —непрерывная и ограниченная на промежутке [0, матрица, для которой равномерно относительно £ > 0 справедливо предельное соотношение

^ J Р{т)д,т Р при Т —^ +оо, г

где Р — постоянная матрица. Векторные поля такого типа рассматривались в работах [12, 13].

Замечание 2. Для некоторых классов систем предложенный в настоящей статье подход позволяет получить достаточные условия диссипативности и в случае, когда правые части изучаемых уравнений не являются дифференцируемыми по X при £ > 0, X = 0 функциями.

Пример 1. Пусть система (1) имеет вид

^ дУГ(Х) *

+ (7)

¿=1

Здесь Ш(X), Ш^ж),..., Шк(X) — непрерывно дифференцируемые при X € М" однородные порядка ^+1 функции, 0 < ^ < 1, причем функция Ш(X) отрицательно определена; 61 (£),..., Ьк (£) —непрерывные и ограниченные при £ > 0 скалярные функции, для которых равномерно относительно £ > 0 выполнены предельные соотношения

4+Т

1

— / bj(т)dт ^ 0 при Т —>■ +оо, _7 = 1,...,/г.

г

Тогда нулевое решение соответствующей усредненной системы

дШ (X)

X

дX

асимптотически устойчиво, а в качестве однородной функции Ляпунова для нее можно выбрать функцию V(X) = ¡IX||2/2.

Функцию Ляпунова для рассматриваемых нестационарных уравнений строим по формуле (4). Имеем

к г

2 ¿=1 0

Действуя далее аналогично доказательству теоремы 1, с помощью этой функции получаем, что система (7) равномерно диссипативна.

Следует отметить, что в данном примере не требовалось, чтобы правые части изучаемой системы были непрерывно дифференцируемы по X при £ > 0, X = 0.

Замечание 3. Предложенный в настоящей статье подход может применяться и в случае, когда элементы векторов ^(£, X) и X) в системах (1) и (6) не являются однородными функциями. Достаточно только, чтобы существовало число Б > 0 такое, что эти функции и их производные по X удовлетворяют в области £ > 0, IX || > Б оценкам, характерным для однородных функций.

Пример 2. Рассмотрим систему

*< = Х)(Р<Д+М*))(1 + |рг||2)А' г = 1,...,п. (8)

Здесь V — рациональное число с нечетными числителем и знаменателем, V > 1, Л > 0, р^- —постоянные коэффициенты, функции bij (£) непрерывны и ограничены на промежутке [0, причем равномерно относительно £ > 0 справедливы предельные соотношения

4+Т

1

— / Ъц{т)йт ^ 0 при Т —> +оо, = 1, .. ., п.

г

Положим Р = {pij}^-=1. Будем считать, что все собственные числа матрицы Р + Рт отрицательны. Тогда нулевое решение усредненной системы

п XV

^^(йЙР)1' < = 1.......

асимптотически устойчиво в целом, а функцию Ляпунова для нее можно выбрать в виде

V (X) = ]Г

хГ+1.

i=1

Используя подход, предложенный при доказательстве теоремы 1, функцию Ляпунова для исходных нестационарных уравнений определяем по формуле

г

п п Г

С помощью этой функции нетрудно показать, что если V < 2Л +1, то система (8) равномерно диссипативна.

Заметим, что в рассмотренном примере равномерная диссипативность имеет место и при ц < 2Л, т. е. в случае, когда «порядок однородности» правых частей уравнений (8) является отрицательным числом.

Пример 3. Пусть движение механической системы описывается уравнениями

* + +$"£>=„. да

Здесь X £ Мп, Б —постоянная симметричная положительно определенная матрица, П(Х) —непрерывно дифференцируемая при X £ Мп положительно определенная однородная порядка ^ +1 функция, 0 < ^ < 1. Таким образом, на изучаемую систему действуют диссипативные и потенциальные силы. Заметим, что однородные потенциальные силы порядка однородности, меньшего единицы, рассматривались в работах

[3, 17, 19].

Известно [3], что уравнения (9) имеют асимптотически устойчивое в целом положение равновесия X = X = 0.

Далее, наряду с (9), рассмотрим возмущенную систему

1 + + ® + о, ,10,

в которой Q(X) —непрерывно дифференцируемая при X £ Rn однородная порядка а +1 функция, а > 0, а b(t) — скалярная функция, непрерывная и ограниченная при t > 0 вместе с интегралом f0 Ь(т)dr.

Функцию Ляпунова для возмущенных уравнений выбираем в виде

t

1 h i

V(t, X, X) = TZXTDX + + + hU(X) + (er + l)Q(X) / Ъ(т)<1т, (11)

0

где h — положительный параметр. Нетрудно проверить, что если выполнено неравенство 2а < ^ + 1, то при достаточно больших значениях h функция (11) удовлетворяет всем требованиям теоремы Йосидзавы. Таким образом, для нестационарных возмущений рассматриваемого типа равномерная диссипативность системы (10) может иметь место и в случае, когда их порядок больше порядка однородности потенциальных сил.

6. Заключение. В работе исследованы нестационарные системы дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой однородные функции относительно фазовых переменных порядка однородности, меньшего единицы. Доказано, что если нулевые решения соответствующих усредненных систем асимптотически устойчивы, то исходные нестационарные системы будут равномерно диссипатив-ны. Определены классы возмущений, не нарушающих равномерную диссипативность даже в случае, когда их порядок превышает порядок однородности невозмущенных уравнений. В отличие от известных результатов, установленных на основе метода усреднения, в настоящей работе не предполагается, что в правых частях изучаемых уравнений присутствует малый параметр. Диссипативность обеспечивается за счет порядков однородности.

Предложенные в статье подходы могут использоваться для нахождения достаточных условий равномерной диссипативности для более широких классов нелинейных нестационарных систем. В частности, интересным направлением дальнейших исследований является распространение полученных результатов на системы с запаздывающим аргументом.

Литература

1. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokyo: The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / пер. с англ.; под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

4. Рейссиг Р., Самсоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 320 с.

5. Khalil H. K. Nonlinear Systems. Upper Saddle River NJ: Prentice-Hall, 2002. 734 p.

6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.

7. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высшая школа, 1988. 184 с.

8. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Докл. РАН. 1996. Т. 349, №3. C. 295-296.

9. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, №2. C. 205-209.

10. Александров А. Ю. К вопросу об устойчивости по нелинейному приближению // Сибирский мат. журнал. 1997. Т. 38, №6. С. 1203-1210.

11. Peuteman J., Aeyels D. Averaging results and the study of uniform asymptotic stability of homogeneous differential equations that are not fast time-varying // SIAM J. Control and Optimization. 1999. Vol. 37, N 4. P. 997-1010.

12. Moreau L., Aeyels D., Peuteman J., Sepulchre R. A duality principle for homogeneous vectorfields with applications // Systems & Control Letters. 2002. Vol.47. P. 37-46.

13. Peuteman J., Aeyels D. Averaging techniques without requiring a fast time-varying differential equation // Automatica. 2011. Vol. 47. P. 192-200.

14. Тихомиров О. Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 123-130.

15. Bhat S. P., Bernstein D. S. Geometric homogeneity with applications to finite-time stability // Mathematics of Control, Signals and Systems. 2005. Vol. 17. P. 101-127.

16. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Systems & Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467-473.

17. Haimo V. T. Finite time controllers // SIAM J. Control and Optimization. 1986. Vol. 24, N4. P. 760-770.

18. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

19. Hong Y. Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems // Systems & Control Letters. 2002. Vol. 46. P. 231-236.

Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.