К вопросу об абсолютной устойчивости нелинейных систем с переключениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Ю. Александров, А. В. Платонов, Я. Чен

К ВОПРОСУ ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ

1. Введение. В данной работе рассматривается проблема абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями. Система с переключениями представляет собой гибридную динамическую систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент времени, какая из подсистем является активной. Системы такого рода широко применяются в задачах управления механическими, энергетическими системами, технологическими процессами, а также в ряде других областей [1, 2].

Одна из важных проблем, возникающих при исследовании систем с переключениями, - проблема устойчивости. Заметим, что устойчивость системы при каждом фиксированном режиме, вообще говоря, не гарантирует ее устойчивости при переключении этих режимов [2]. Часто закон переключения или неизвестен, или слишком сложен для того, чтобы его можно было в явном виде учитывать при анализе устойчивости. В таких случаях пытаются получить условия, при выполнении которых устойчивость рассматриваемых систем имеет место для любых допустимых законов переключения [1, 3]. Для этого достаточно построить функцию Ляпунова, общую для всех подсистем, составляющих гибридную систему.

Проблема устойчивости систем с переключениями изучалась во многих работах (см., например, [1-4]). Однако большинство результатов было получено для случая, когда переключения происходят между линейными подсистемами. Тогда общая функция Ляпунова ищется в классе квадратичных форм, и вопрос о ее существовании сводится к вопросу о существовании решения системы линейных матричных неравенств [4, 5].

В настоящей статье рассматриваются существенно нелинейные системы специального вида. Предполагается, что неопределенность в задании правых частей таких систем связана не только с возможными переключениями значений их параметров, но и с тем, что входящие в них нелинейности принадлежат некоторому классу допустимых функций. Предлагается способ построения функций Ляпунова для данных систем и определяются условия, при выполнении которых асимптотическая устойчивость нулевого решения будет иметь место для любых законов переключения и допустимых нелинейностей.

2. Постановка задачи. Пусть задана система

/г; ш ш

Хг = а|^/г(Жг) + •••/»'" (х„), 1 = 1, . . . , П. (1)

.7=1

Здесь скалярные функции определены и непрерывно дифференцируемы при

\'Хг\ < Д, 0 < Д ^ +оо, причем при Хг Ф 0 справедливы неравенства хг/г(х{) > О, /1(хг) > 0; кусочно-постоянная функция а = ст(£) : [0, +оо) н> () {1,...,Ж} задает

1 (§)

закон переключения системы между различными режимами функционирования; а\ , - постоянные коэффициенты; - неотрицательные рациональные числа с нечетными знаменателями; р = 1,..., п, ] = 1,,к{, г = 1,..., п, « = 1,..., N. Будем

© А. Ю. Александров, А. В. Платонов, Я. Чен, 2008

считать, что для любых значений индексов г и '] найдется хотя бы одна такая величина $, что ъ\8) Ф 0. Таким образом, в каждый момент времени работа изучаемой системы описывается одной из подсистем

к ■

Х1 = а^)Мх{) + '^2ь\*)/^1(х1).../пы(хп), г = 1 .з = 1,...,М. (2)

3=1

П Г Л

Пусть ^ а\р > 3 = 1 )•••)&») г = 1, ■ ■ ■ ,п. Тогда система (1) имеет нулевое решение.

р= 1

Система (1) является обобщением системы вида

х Р,Л'(х). (3)

где х = (ап,... ,хп)*; Г(х) = (/1(аг1),...,/„(аг„))*; Рь...,Рлг - постоянные матрицы. В этом случае переключения происходят между подсистемами

X РЛ-(х). 1......V. (4)

Такие системы широко применяются при исследовании систем автоматического регулирования [6-8], а также при моделировании нейронных сетей [9].

Определение 1. Будем говорить, что система (1) абсолютно устойчива, если ее нулевое решение асимптотически устойчиво для любых допустимых функций

/1(^1), . . . , /п(хп)-

Основная цель настоящей работы - получить условия, при выполнении которых абсолютная устойчивость рассматриваемой системы имеет место при любых законах переключения. Как уже отмечалось в п. 1, для решения поставленной задачи достаточно построить для подсистем (2) общую функцию Ляпунова, удовлетворяющую требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Предположим, что справедливы соотношения

^ 0, ,] = 1 1 = 1 $ = 1,...,М. (5)

Отметим, что при выполнении условий (5) подсистемы (2) являются системами Ва-жевского [10]. Они могут быть получены, например, в качестве систем сравнения для сложных (многосвязных) систем [10-12].

Определим сначала условия существования общей функции Ляпунова для подсистем (2), коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам (5), а затем изучим возможность распространения полученных результатов и на случай, когда неравенства (5) могут не выполняться.

3. Исследование системы при фиксированном режиме функционирования. Предположим сначала, что переключения в системе (1) отсутствуют, т. е. она функционирует в одном режиме. Таким образом, рассмотрим уравнения

к •

Х{ = а{/{(х{) + ^2ь^/1п (х1).../пы (хп), г = 1,..., п. (6)

3=1

Будем считать, что Ьу > 0, ] = 1,... ,к{, г = 1 ,...,п. Тогда при любых допустимых функциях /1(2:1), • • •, /п{хп) система (6) является системой Важевского. Следовательно [13, 14], она абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда для любого 8 > 0

существует решение 8±,... ,8п системы неравенств

аА + £ Ьц^1 ... С*" < 0, г = 1,..., п, (7)

з=1

такое, что 0 < в г < 6, г = 1,п. Значит, для абсолютной устойчивости системы (6) необходимо выполнение неравенств Ог<0, г = 1,,п.

В работе [14] было доказано, что условие абсолютной устойчивости системы (6) эквивалентно условию существования для нее функции Ляпунова вида

п рзн

У(х) = £а4 / Лп(т)ёт,

г=1 ^

удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Здесь 7г - положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, Аг > 0, г = 1,..., п. Более того, этот результат был получен без предположений

о непрерывной дифференцируемости функций /1(2:1), • • •, /«(#„) и о неотрицательности их производных, т. е. система (6) могла и не являться системой Важевского. Заметим, однако, что предложенный в [14] способ выбора коэффициентов А1,..., А„ достаточно сложен для того, чтобы использовать функцию У(х) при исследовании устойчивости системы (1). Поэтому рассмотрим другой способ построения функции Ляпунова для системы (6), который может эффективно применяться и для систем с переключениями. Пусть

' Лт! ^ (Ш)У*+1 (о,

\ (х) = . тах —— , (8)

г=1,...,п \ Ог /

где в\,..., вп - положительные постоянные; 71, • • •, 7п — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Функция (8) положительно определена. Обозначим через £)+У(х) правую верхнюю производную Дини от функции У(х), вычисленную в силу системы (6) [10].

Теорема 1. Система (6) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда для нее существует функция Ляпунова вида (8) такая, что в некоторой окрестности начала координат ||х|| < Н (Н > 0) имеет место неравенство

£)+У(х) < Щх), (9)

где И-'» - отрицательно-определенная функция.

Доказательство. Достаточность условий теоремы очевидна (см. [10]). Покажем необходимость.

Предположим, что система (6) абсолютно устойчива. Тогда для любого 6 > 0 существует решение 01,...,вп системы неравенств (7) такое, что 0 < < 6, I = 1,... ,п.

В работе [14] доказано, что в этом случае система

” пи) 1

Е^ГТ^—./ 1..../-%• г = 1

“ 7* + 1 Ъ + 1

имеет положительное решение 71,...,7„. Без потери общности можно считать, что 71,..., 7„ - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями.

Пусть 8±,... ,8п — некоторые положительные постоянные, удовлетворяющие системе (7). Тогда найдется число щ > 0 такое, что

к ■

щвг + ^Ьцв^1 ...впЫ <-Т], 1 = 1,...,П.

3 =1

Функцию Ляпунова строим в виде

т~/ ч (1^х^"П+1

ух = тах ——

«=1V вг

Пусть 0 < Н < Д. Выберем точку х (х\,..., хп)* такую, что ||х|| < Н, и рассмотрим решение х(£) системы (6), выходящее при Ь = 0 из этой точки. Найдем

тах '

1=1

7г+1

Предположим, что данный максимум достигается на индексах г £ А С {1 ,...,п} и равен числу В, т. е.

Ж^)У*+1 р .с, .

1 = В при г £ А, —=— < В при г р А.

Если постоянная Н достаточно мала, то для каждого г £ А имеем

і ((УттУ*1) <

і=0 г 3=1

Значит,

Iу Н*) 5% —Вгі П1ІП

гЄЛ \ 0і )

Используя полученную оценку, нетрудно показать существование требуемой функции Ил(х). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть система (6) имеет вид х = Р1'(х). Здесь Р = (р^)^=1 -метцлерова матрица [11], т. е. рц < 0, ру ^ 0 при і ф і, і = 1, • • •, п. Эта система является абсолютно устойчивой тогда и только тогда, когда для нее существует функция Ляпунова

ЛТ( \ МХг

V (х) = шах

(10)

удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат ||х|| < Н (Н > 0) неравенству (9), где Ил(х) - отрицательно-определенная функция.

Замечание 1. Для построения требуемой функции (10) можно в качестве постоянных 6\,...,6п взять положительное решение системы неравенств Рв < 0. где в = (в1,...,вп)*.

4. Условия абсолютной устойчивости систем с переключениями. Рассмотрим теперь систему (1), в которой имеют место переключения режимов функционирования. Очевидно, что абсолютная устойчивость каждой из подсистем (2) является

необходимым условием абсолютной устойчивости системы (1). В то же время, как уже отмечалось в п. 1, данное условие достаточным не будет.

Предположим сначала, что справедливы неравенства (5). Для нахождения условий абсолютной устойчивости системы (1) будем строить для подсистем (2) общую функцию Ляпунова в форме (8). Используя теорему 1, получаем следующий результат.

Теорема 2. Для абсолютной устойчивости системы (1) достаточно, чтобы для любого S > 0 существовали числа в\,... ,вп, удовлетворяющие неравенствам

ki

4S)ei + J2bife ?" • • • < °, г = 1,..., n, s = l,...,N, (11)

з=і

такие, что 0 < ві < S, г = 1,..., п.

Следствие 2. Пусть матрицы Pi,...,Pjv в подсистемах (4) являются метц-леровыми. Тогда для абсолютной устойчивости системы (3) достаточно, чтобы существовал положительный вектор в = (ві,... ,вп)*, удовлетворяющий неравенствам

Ps6»<0, * 1.........V. (12)

Исследуем теперь случай, когда для коэффициентов в подсистемах (2) неравенства (5) могут не выполняться. Положим

щ = max a\s\ Ьц = max і = 1,.і = 1,...,п,

s=l,...,N 1 s=l,...,JV и

и рассмотрим систему

к •

іг = aifiiXi) + ^2bijf1il (x1)...fnin (xn), і = 1,... ,n. (13)

3=1

Теорема 3. Для абсолютной устойчивости системы (1) достаточно, чтобы система (13) была абсолютно устойчива.

Условия абсолютной устойчивости, определяемые теоремой 3, могут оказаться слишком грубыми. В некоторых случаях их удается ослабить.

Построим новую систему с переключениями

к •

ii =a(f)fi(xi) + '^2b(i*)fiil (xi) ...fnin (хп), і = 1,..., п. (14)

з=і

Здесь = a[s\ j = 1, • • • ,h, і = 1,...,п, s = 1,... ,N.

Определение 2 [8]. Пусть задан набор чисел oji,.. .шп, каждое из которых равно +1 или —1. Рассмотрим область G = {х Є Е” : ацші > 0, і = 1 ,...,п}. Числа

и>1,... ,и>п называются базисом области G.

Теорема 4. Если для элементов некоторого базиса ,..., шп при всех s = 1,..., N справедливы соотношения

/ ч ,,Ш .ЛІ)

Ьіі/шіш1і1 ...шпіп ^0, j = l,...,ki, і = 1,... ,п, (15)

то система (1) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда абсолютно устой-

чива система (14).

Для доказательства теоремы следует в системе (1) произвести замену переменных = уш, 1 = 1,...,п.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 4 исследование системы (1) на абсолютную устойчивость эквивалентно аналогичному исследованию системы (14). А для получения условий абсолютной устойчивости системы (14) можно использовать теорему 2.

Рассмотрим теперь подсистемы

з=і

соответствующие системе (14).

Нетрудно показать, что справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Для того чтобы для подсистем (2) существовала общая функция Ляпунова вида (8), производная которой в силу каждой из подсистем отрицательно определена, достаточно, а если для любого в Є {1,...,Ж} можно указать базис ші,... ,шп, удовлетворяющий условиям (15), то и необходимо, чтобы такая функция Ляпунова существовала для подсистем (16).

Замечание 2. В теореме 5 предполагается, что для каждого значения в Є {1,..., N} базис может быть свой, а в теореме 4 требуется, чтобы для подсистем (2) существовал общий базис.

Следствие 3. Для абсолютной устойчивости системы (1) достаточно, чтобы для любого 6 > 0 существовали числа в\, ■ ■ ■ ,вп, удовлетворяющие неравенствам

кі

а\*)6і + '*Гь\?6ї*1> < 0, г = 1,..., п, з = 1,...,Ы,

з=і

такие, что 0 < ві < 6, г = 1,..., п.

Пример 1. Пусть система (1) имеет вид

іі = а{і] к{х!) + Ь[а) /1(х2)/!(х3),

х-2 = /2{х2) + /1/Ъ{хг), (17)

із = 4^ /з (хз) + 4^ Л1/6 (хі) ■

Предположим, что данная гибридная система состоит из двух подсистем (Ж = 2):

хі = ~/і(хі) +/І(х2)/І(х3), І! = — 2/і(а?і) — 2/!(аг2)/|(аг3),

х2 = ^а/2(х2) — /і^5(хі), х2 = -а/2{х2)+ 2/1,ъ{хг),

Хз = -2/з(Жз) + 1І/Ь{Х!), Хз = ^3/з(хз) — /У5(Х]_),

где а - положительный параметр. Выясним, при каких значениях этого параметра система (17) абсолютно устойчива.

Используя теорему 3 и результаты п. З, получаем, что для абсолютной устойчивости системы (17) достаточно выполнения неравенства а > 1. Применение следствия 3 позволяет ослабить это условие. Согласно ему, система (17) будет абсолютно устойчивой, если а > 1/2.

Условия (15) в рассматриваемом случае имеют вид Ш1Ш3 > 0, шіш2 < 0 - для первого режима функционирования системы (17) и < 0, шіш2 > 0 - для второго.

Таким образом, требуемый базис ш!,ш2,ш3 можно подобрать для каждого из режимов. Действительно, пусть и\ = = 1, ш2 = — 1 при « = 1 и Ш1 = = 1, шз = — 1 при

« = 2. Общего для обоих режимов базиса здесь не существует.

В п. 4 проблема абсолютной устойчивости системы (1) была сведена к вопросу о существовании в любой сколь угодно малой окрестности начала координат положительного решения системы неравенств специального вида. В п. 5 рассмотрим некоторые классы систем, для которых можно предложить конструктивные способы проверки существования такого решения.

5. Условия существования положительных решений систем линейных неравенств. Пусть задана система (3), причем Р1,...,Р^ - метцлеровы матрицы. Тогда, согласно следствию 2, для абсолютной устойчивости данной системы достаточно, чтобы система неравенств (12) имела положительное решение. Определим условия существования этого решения.

Если матрицы Р1,..., Р^ являются перестановочными, т. е.

РчР/ Р/Рч- з,к= 1,...,Ж, (18)

то справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть выполнены соотношения (18). Тогда для существования положительного решения системы (12) необходимо и достаточно, чтобы матрицы Р1,..., Рлг были гурвицевыми.

Доказательство. Необходим,ость. Матрицы Р1,..., Р^ являются метцлеро-выми. Но тогда их гурвицевость следует из существования положительного решения системы (12) (см. [12]).

Достаточность. Пусть Р1,...,Рдг - гурвицевы матрицы. Значит [12], они удовлетворяют условиям с^Р8 Ф 0 и Р^1 0 (покомпонентно), я = 1,...,Ж. Выберем

произвольным образом положительный вектор Ь. Несложно проверить, что тогда вектор в = С — 1) 4 Р, 'Р2 1 ...РЧ'Ь будет положительным решением системы (12). Теорема доказана.

Установим теперь критерий существования положительного решения системы (12) в общем случае.

Наряду с неравенствами (12) рассмотрим систему уравнений

П

Г;М- ' 1....."■ з = 1,...,М.

3 =1

Здесь р^ - элементы матрицы Р8, с\^ - некоторые отрицательные постоянные. Эта система может быть представлена в виде совокупности из п подсистем:

А*0 = с*, г = 1,..., п, (19)

( (!) где с{= I с\ ,.. А! = • Ю(1Л 1*1 п А — , ..., ±л.п — /ю(1) Рп1 Рп2 • ■ Рпп ^

Ш) •• Рщ / (ЛП \Рп1 Р{пМ2} ■ Р'ПЛЪ j

Применим к системе (19) модифицированный метод Гаусса. На г-м шаге данного метода каждое уравнение г-й подсистемы с отрицательным коэффициентом при в{ используется для исключения переменной из (г+1)-й, ..., п-й подсистем, г = 1,..., п —1.

С помощью такой процедуры получим новую совокупность из п подсистем, вообще говоря, с большим количеством уравнений, нежели в исходной системе.

Теорема 7. Для существования положительного решения системы неравенств (12) необходимо и достаточно, чтобы указанный модифицированный метод Гаусса приводил систему (19) к виду

В,;0 = <•;

г = 1,..., п,

(20)

где

В1 =

11

(л)

м \

' 1«

/?(«!)

' 1п /

/'о /?й

,в,=

(1)

(1)

\о Р,

22

(«2

22

М \

У2п

оШ У2п /

= (?Ы

(о

. ,с,

0 /С] \ о

С{ < О, < 0, ^ 0, = 1,... ,д{, /-• /' + I.». г = 1,...,п.

Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна. Докажем достаточность.

Пусть система (19) с помощью модифицированного метода Гаусса приведена к виду (20). Зададим некоторое е > 0. Положим вп = 1,

= тах

1=

■ Е

3=г+1

г = 1,..., п — 1.

Если е достаточно мало, то все компоненты векторов Сх,..., е„, получающихся из системы (19) при выбранных значениях в\,..., вп, будут отрицательными.

Действительно, по построению имеем ёр —еп~г, I = 1,..., д*, г = 1, • • •, п — 1. Для каждого г = 2,..., п и ^ = 1,..., N найдется I £ {1,..., щ} такое, что

7.(1') Лз) _ п — г+1

Здесь ,..., (1р_ 1 - неотрицательные коэффициенты, на которые при применении модифицированного метода Гаусса умножались соответствующие уравнения из преобразованных подсистем с номерами 1,..., г — 1 для исключения переменных в\,..., из ^'-го уравнения г-й подсистемы. Следовательно, при достаточно малом е > 0 имеем ёр < 0 для всех ] = 1,...,Ж, г = 1 ,...,п. Таким образом, построенный вектор в удовлетворяет системе неравенств (12).

Замечание 3. Доказательство теоремы 7 содержит конструктивный алгоритм нахождения положительного решения системы (12).

6. Метод исключения переменных для систем нелинейных неравенств.

Предположим, что в каждом уравнении системы (1) имеется только одна связь, т. е.

= 1, г = 1,..., п. Таким образом, рассмотрим систему

Хг = а^Мхг) + Ь\а)/г11 (хг)... (хп

г = 1,..

(21)

Здесь < 0, b\8^ > О, max b\8^ > 0: а-1Г) - неотрицательные рациональные числа с

5=1,..., JV 1

п

нечетными знаменателями, р = 1,..., п, Е aw > 0; i = 1,... ,п, s = 1,..., N.

p= l

Выпишем неравенства (11), соответствующие системе (21):

apOi + bp в®11 ... <0, г = 1,..., п, s = 1,..., N.

Очевидно, что положительные числа в\,...,вп удовлетворяют этой системе неравенств тогда и только тогда, когда они удовлетворяют системе

8“in < 0, i = l,...,п. (22)

Установим далее необходимые и достаточные условия существования в любой сколь угодно малой окрестности начала координат положительного решения системы (22).

Заметим, что такая задача является тривиальной, если схц ^ 1 для всех i = 1,..., п. Поэтому будем считать, что ощ < 1 хотя бы для одного значения индекса i. Пусть, например, ап < 1. Тогда из первого неравенства системы (22) можно получить нижнюю оценку для переменной в\ в виде произведения неотрицательных степеней остальных переменных с некоторым положительным коэффициентом. Используем данную оценку для исключения в\ из других неравенств рассматриваемой системы. Среди полученных новых неравенств снова ищем такое j-e неравенство (j Ф 1), которое позволяет оценить снизу переменную 9j произведением неотрицательных степеней оставшихся переменных с положительным коэффициентом. Если требуемое неравенство существует, то с помощью найденной оценки исключаем 9j из всех неравенств (кроме уже использованных 1-го и j-ro), и т. д.

Описанный метод исключения приведет систему (22) (с точностью до перенумерации переменных) к виду

-вр11 +Ьгв112 < о,

-в^ +Mf23...(^2" <0,

-e-t” + <о,

-1 + Ьг+1^1-г+10^1'г+2 .. .вп+1'п < о,

-1 + Ьпвр+1+1в%2+2. . . < 0.

Здесь 1 ^ г ^ п (при г = п последнее неравенство в этой системе будет иметь вид -в^пп + Ьп < 0); Ррр < 0, р = 1,...,г; /% ^ 0 при j = г + 1,... ,п, г = 1,... ,г и при

i,j г + I.....п: - положительные постоянные, i = 1,... ,п.

Получаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Для того чтобы для любого S > 0 система (22) им,ела положительное решение 0\,..., 0п такое, что 0 < в{ < S, г = 1 ,...,п, необходимо и достаточно выполнение таких условий:

1) г < п;

2) для любого р = 1,..., г существует такое j £ {р + 1,..., п}, что f5pj > 0;

3) если для некоторого значения индекса г € {г + 1,..., п} имеют место равенства Рг,г+1 = . . . = 13Ы = 0, то Ьг < 1.

Замечание 4. Построим матрицу

А =

(— 1 + ЙЦ «12 • • • «1Г

«21 — 1 + і * 22 • • • 0-2г,

\ (%п1 (%п2 • • • 1 "1" (%пп/

Наряду с системой (22) рассмотрим систему линейных уравнений

АЬ = с,

где Ь = (/11,..., Ьп)*, а с = (а, ■ ■ ., сп)* - произвольным образом выбранный положительный вектор. Несложно заметить, что если к этой системе применить метод Гаусса последовательного исключения неизвестных, то элементы матрицы А будут меняться по тем же формулам, что и показатели степеней переменных 8±,... ,8п при применении метода исключения к системе (22).

Пример 2. Предположим, что система (21) - это система с замкнутой петлей обратной связи:

%1 = а{1а)/1(х1) + ь[а)/^(хп), . .

Жг = а\‘т)/г(Хг} + Ь\‘т)/°^11(Хг-1), % = 2, . . . , П,

в которой а\ < О, Ъ\ ^ О, ™ах^ Ц > 0, «г - положительные рациональные числа с

нечетными знаменателями, г = 1,..., п, 8 = 1,..., N.

Применяя метод исключения к соответствующей системе неравенств вида (22), получаем, согласно теоремам 2 и 8, что для абсолютной устойчивости системы (23) достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) «1 ...«„> 1,

2) «1 ...«„ = 1, и справедливо соотношение

П

шах

• 5=1,...,N І—1

Замечание 5. В некоторых случаях метод исключения переменных удается использовать не только для анализа абсолютной устойчивости системы (21), но и для систем с другими типами связей.

Пример 3. Пусть система (1) имеет вид

Хг = ар]ЇіІХі) + ь\а)/%*(хп), і = 1,... ,п — 1,

(и) г ( \ , (и) Г0І / \ (24)

Хп = ауп 7„(®„) + Е с) 7# (*і).

3=1

где йр^ < 0, ^ 0, тах > 0, ^ 0; «г, /?,• - положительные рациональные

«=1,...,ЛГ ■’

числа с нечетными знаменателями; р = 1,п, і, і = 1,..., п — 1, 8 = 1,..., Ж.

Снова используя теорему 2, получаем, что для абсолютной устойчивости системы (24) достаточно выполнения следующих условий:

азРз > !> ^ = — 1, (25)

< 1. (26)

Здесь А — множество значений индексов для которых соответствующее неравенство из системы (25) обращается в равенство. В частности, если все неравенства (25) строгие, то А = 0, и в этом случае полагаем условие (26) автоматически выполненным.

7. Модификация метода исключения. Предположим теперь, что для каждого уравнения системы (1) имеется N возможных связей {кг = Ы, г = 1 Однако

в любой фиксированный момент времени включена только одна из связей {ъ\8^ = О ПРИ 3 Ф $)■ Таким образом, переключения в системе (1) будут происходить между подсистемами вида

Хг = 1г{'Хг) + Ъ{:8)/р1 {'X!) . . ./пы {хп), I = I, . . . ,П, 8 = 1,...,Ы,

где а\8^ < 0; > 0; ^ 0; Е > 0.

.7=1

Запишем неравенства (11), соответствующие рассматриваемому случаю. Получим

..в„<0, г = 1,...,п, « = !,..., Ж. (27)

Выясним, при каких условиях система (27) имеет положительное решение в любой сколь угодно малой окрестности начала координат.

(«)

Если ан ;> 1 для всех г = 1,..., п, з = 1,..., N, то данная задача является три-

(«)

виальной. Поэтому далее считаем, что ан < 1 хотя бы для одной пары значений г и з.

Система (27) может быть представлена в виде совокупности из п подсистем (каждая подсистема содержит неравенства из (27) с фиксированным значением индекса г). Применим к ней модифицированный метод исключения переменных.

(«)

Пусть, для определенности, аг1 < 1 хотя бы для одного значения з. Каждое неравенство из первой подсистемы, в котором < 1, будем использовать для исключения переменной в\ из других подсистем. Получим новую совокупность подсистем, вообще говоря, с большим количеством неравенств, чем в исходной системе. Среди этих подсистем снова ищем такую ^’-тую подсистему {] ф 1), в которой есть неравенства, позволяющие оценить снизу переменную в^ через произведения неотрицательных степеней оставшихся переменных с некоторыми положительными коэффициентами. Если указанная подсистема существует, то с помощью каждой из полученных таким образом оценок исключаем данную переменную из всех подсистем (кроме уже использованных 1-й и ]-й), и т. д.

В результате придем (с точностью до перенумерации переменных) к системе вида

0, /, 1................

/?(г2) ~ц \ /4^2)

+ь|г2)^23 ...0^" <0, 1-2 = 1,..., д2,

) + 2 й^г + 0Р”+1.

г+1 г+1 г+2

Ь(г’ Уп г+1 Рг+2 Яп Л о

Здесь 1 ^ г ^ п (при г = п последняя подсистема в этой совокупности будет состоять из неравенств вида —вп^пп + Ьп"^ < 0, 1п = 1,..., дп); для любого і = 1,..., г существует

(]Л 11 . \

такое іі Є {1,... ,ді}, что (Зи < 0; /?)• ^ 0 для остальных значений индексов г, ] и 1^;

5|г*) _ положительные постоянные, іі = 1,... ,д-і, і = 1,...,п.

Теорема 9. Для того чтобы для любого 6 > 0 система (27) им,ела положительное решение 0П такое, что 0 < в і < 6, г = 1 ,...,п, необходимо и достаточно

выполнение условий:

1) г < п;

(1 Л

2) для любых і = 1,..., г и іі = 1,..., щ, для которых Ри < 0, существует такое

І Є {і + 1,..., п}, что > 0;

3) если для некоторых значений пары индексов і Є {1 ,...,п} и іі £ {1 имеют место равенства = 0 для всех значений і, то < 1.

Доказательство теоремы 9 проводится так же, как теоремы 7.

Замечание 6. Построим матрицы

Аі =

/-1 + 0^ «і2} ... а(^\

\ —1 + ... а[^/

А —

(а(1) а(1) -1 + а(1)\

хп1 п2 ' '' ^ ипп 1

(-/V) (АП , (ЛП

\<і аП2 ••• -1 + «пп/

Наряду с системой (27) будем рассматривать совокупность систем линейных уравнений Аііі = с у і = 1,..., п, где її = (/її,..., Ь,п)*, а с; = ..., - произвольным

образом выбранные положительные векторы. Если к этой совокупности систем применить модифицированный метод Гаусса, описанный в п. 5, то элементы матриц А і будут меняться по тем же формулам, что и показатели степеней переменных в±, ■ ■ ., вп при применении модифицированного метода исключения к системе (27).

Пример 4. Предположим, что система (1) имеет вид

іі = —/і(агі) + ЬІі}/! Ы/зЫ + Ь[1)/1(х2)/1(х з),

*2 = -/2(х-2)+^{І/\х1)^\хі) + ^Ґі/\х1)!І/\хі),

х3 = -а/з(хз) + /С(х1)/2/15(х2),

где N = 2; Ь$ = Ь$ = Ь$ = Ъ$ = 1; Ь™ = 6$ = Ь%> = Ъ$ = 0; а > 0; /? - неотрицательное рациональное число с нечетным знаменателем. Таким образом, переключения

в данной системе происходят между двумя подсистемами:

xi = -fi(xi) + fl(x2)f!(x3), ( Хг = -fi(xi) + fl(x2)fi(xs),

х-2 = —/2(аг2) + fi/7(xi)fg/7(x3), < х2 = -f2(x2) + ff/9 (xi)/^9 (хз),

х3 = -af3(x3) + ff(x1)f.2/15(x2), I х3 = ^а/з(жз)+ /f(a:i)/21/15(a:2).

Выпишем соответствующие им неравенства (11):

—в\ + в2в\ < 0, -0! +вр'1 < О,

В2 + в\'7в\'7 < О, -в2 + ^Х/9 < 0, ~авз + efe1/15 < 0. ( j

Применение модифицированного метода исключения к неравенствам (28) приведет к системе

0\ + в'Щ < О, 0\ + в?2в'1 < о,

-в2 + ef < 0, -в2 + ef < 0, -1 + в1,7вз < о, -l + e\,zez < О,

^а + в?0-1/3<О, ^а + в3320-1/3<О, ^а + в190-2/15<О, ^ + 0341^2/15 < 0.

В результате, согласно теореме 9, имеем, что для существования в сколь угодно малой окрестности начала координат положительного решения системы (28) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий: 1) /? > 1/69; 2) /? = 1/69 и а > 1.

8. Анализ устойчивости системы, состоящей из двух связанных нелинейных осцилляторов. Пусть задана система

хг + а[а) х"1 + hx! =

v )

х2 + а{2 х22 + Ъ2Х2 = q2ip2(t,x,x).

Здесь xi,x2 £ Е1, х = (xi,x2)*; функция а = a(t) : [0, +оо) {1,..., N}, как и ранее,

(s) (s) (S) (s) 7 7 1

задает закон переключения параметров; а{ , а\ , q\ , q\ , 0ъ 02 - постоянные коэф-

(s)

фициенты, а\ > 0, Ь{ > 0, i = 1, 2, s = 1,..., N; v\ ^ 1, p2 ^ 1 - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями; функции (pi (t, х, х) и ip2 (t, х, х) непрерывны при t ^ 0, ||х|| < Д, ||х|| < Д (Д = const > 0) и удовлетворяют неравенствам

|v?i(i,x,x)| ^ f3i (xl+xl)ai/2 , \tp2(t,x,i)\ ^ f32 (xf +xf)a2/2 ,

в которых «i, a2, /?i, f}2 - положительные постоянные. Тогда система (29) имеет нулевое решение.

Система (29) описывает взаимодействие двух нелинейных осцилляторов

Хг + а^Х^ + ЪгХг = 0, f = 1,2. (30)

Таким образом, в рассматриваемой системе происходят переключения параметров, характеризующих диссипативные силы (силы сопротивления). Кроме того, переключениям подвержены и функции связей между уравнениями (30).

Известно [7], что нулевые решения изолированных подсистем

Хг + а\^х^ + Ь{Х{ = 0, i = 1,2, s = 1,..., N,

асимптотически устойчивы. Определим условия, при выполнении которых нулевое решение связанной системы (29) асимптотически устойчиво для любых законов переключения.

Рассмотрим подсистемы, соответствующие гибридной системе (29):

Xi + + bixi = i = 1,2, s = l,...,N. (31)

Выберем функции Ляпунова в виде

Vi = bi^2 + ~2 + Г,{Х^^и % = COnst > °’ i = 2'

Дифференцируя эти функции в силу s-й подсистемы из совокупности (31), получим

(s) ‘ Vi +1 7 Vi +1 , Vi —1*2 (s) Vi • Vi , / • I Vi \ (s) / , • \

Vi = -a\ X — rjibiXi +г)гЩХ{г х{ -гца\ 'х{гх{г + {Xi + щх{г) q\ Vn*,x,x),

г = 1,2, * I.......V.

При достаточно малых значениях щ и щ найдутся положительные числа S, Сц, с-ц, .(«>

'4 г

езг, с^, / 1.2. * 1......V. такие, что при ||х|| < S, ||х|| < S справедливы оценки

Сц {х] + х]) ^ Ьг у + ^ + ^ С2г (ж- + х]) ,

|Жг + ГЦХ? | 5$ е3г (ж• + ЗГ • ) 1/2 ,

—а|*^аг^+1 — г]гЪгХ^+1 + 1]1Р1Х^^1Х^ — х\1 ^ (ж2 +аг?)^’+1^2, г = 1,2.

Тогда получаем неравенства

г>1 < 4*)«^1+1)/2 + 4гЧ/2г£1/2> *2 < 42«2^+1)/2 + 4\)щ2/2щ/2,

где Й11 — С41 С21 , а12 — |?1 |Р1С31СЦ С12 , «22 — 42 22 > “21 —

^2^ \(32Сз2С12^2 С1*2^2, в = 1,..., Ж. Следовательно [10], систему

* = «’*Г+и/,+«М/,й'/*.

можно рассматривать в качестве системы сравнения для (29). Таким образом, для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (29) достаточно, чтобы нулевое решение системы (32) было асимптотически устойчиво в неотрицательном ортанте к+ = {(1/1, Ы* : У1 > 0, У2 ^ о}.

К системе (32) применимы результаты, полученные в п. 2-7. В самом деле, система (32) является системой вида (1). Здесь /г(|/г) = Ур,+1^2, г = 1,2. В системе (1) предполагалось, что показатели степеней а\^ рациональны и имеют нечетные знаменатели. Но поскольку систему (32) достаточно рассматривать только в неотрицательном ортанте К+, то можно использовать и показатели степеней с четными знаменателями. По этой же причине здесь не требуется, чтобы имели место соотношения уг/г{уг) > 0 при yi < 0, г = 1, 2.

Согласно теореме 2, получаем, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (32) в К+ достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1) 010-2 > Р1Р2;

2) 0102 = Р1Р2, и справедливо неравенство

Aleksandrov A. Yu., Platonov А. V., Chen Ya. On the absolute stability of nonlinear switched systems.

By the use of Lyapunov’s direct method, the sufficient conditions of absolute stability for a certain class of nonlinear switched systems are obtained.

Литература

1. Liberzon D., Morse A. S. Basic problems in stability and design of switched systems // IEEE Control Systems Magazine. 1999. Vol. 19, N 15. P. 59-70.

2. Decarlo R. A., Branicky M. S., Pettersson S., Lennartson B. Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems // Proc. of the IEEE. 2000. Vol. 88, N 7. P. 1069-1082.

3. Narendra K. S., Balakrishnan J. A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting Л-matrices // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. Vol. 39, N 12. P. 2469-2471.

4. Liberzon D., Hespanha J. P., Morse A. S. Stability of switched systems: a Lie-algebraic condition // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 37, N 3. P. 117-122.

5. Каменецкий В. А., Пятницкий E. С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1987. № 1. С. 3-12.

6. Барбашин Е. А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем // Труды 1-го конгресса 11ФАК (М.). 1961. С. 742-751.

7. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

8. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 5-11.

9. Дудников Е. Е., Рыбашов М. В. Сеть нейронов с нелинейными обратными связями // Автоматика и телемеханика. 1997. № 6. С. 64-73.

10. Руш П., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с

англ.; Под ред. В. В. Румянцева. М.: Мир, 1980. 300 с.

11. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 308 с.

12. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / Пер. с англ.; Под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с.

13. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 8. С. 1392-1407.

14. Aleksandrov A. Yu., Platonov А. V. Construction of Lyapunov’s functions for a class of

nonlinear systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2006. Vol. 6, N 1. P. 17-29.

Статья рекомендована к печати проф. Г. А. Леоновым.

Summary

Статья принята к печати 4 декабря 2007 г.