CC BY
44
2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 1
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.977
А. Ю. Александров, А. В. Платонов
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Введение. При исследовании нелинейных систем важное место занимает проблема абсолютной устойчивости. Она имеет как теоретическое, так и прикладное значение [1]. Основным подходом к определению условий абсолютной устойчивости является прямой метод Ляпунова. Однако общих методов построения функций Ляпунова для нелинейных систем пока еще не существует.
В настоящей работе рассмотрен один класс нелинейных систем дифференциальных уравнений. Предложен метод построения функции Ляпунова специального вида. Доказано, что условия абсолютной устойчивости рассматриваемых систем эквивалентны условиям существования функции Ляпунова указанного вида, удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В результате удалось определить для анализируемых систем конструктивные критерии абсолютной устойчивости. При этом был применен аппарат теории графов.
В статье исследуется возможность распространения полученных результатов на более общие классы систем, в частности на нестационарные системы. Также предлагаемый подход используется для получения достаточных условий абсолютной неустойчивости. Кроме того, показывается, что для решения некоторых задач предлагаемый метод построения функций Ляпунова дает более лучшие результаты, по сравнению с известными, например, при оценке скорости затухания переходных процессов. Для этого применяются функции Ляпунова предложенного вида. Рассматривается проблема выбора оптимальных параметров в функциях Ляпунова для получения наилучших оценок на решения системы, с помощью которых анализируется влияние па систему неограниченных по времени возмущений. Устанавливается связь между скоростью стремления к началу координат решений невозмущенной системы и порядком возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения.
Полученные результаты могут быть также использованы при изучении устойчивости нелинейных сложных систем, в частности, для построения так называемых систем агрегирования [2], асимптотическая устойчивость которых гарантирует асимптотическую устойчивость рассматриваемых систем. Кроме того, данные результаты позволяют для некоторых классов автономных систем Важевского [2] уточнить известные критерии (см. [2]) асимптотической устойчивости.
1. Постановка задачи. Пусть задана система дифференциальных уравнений
п
5 = !,...,«.
(1)
3=1
© А. Ю. Александров, А. В. Платонов, 2006
Здесь pSj - постоянные коэффициенты; aSJ - положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями; функции fj(xj) непрерывны при всех Xj <Е (—оо,+оо) и удовлетворяют условию Xjfj(xj) > 0 при хj ф 0. Таким образом, система (1) имеет нулевое решение. Не умаляя общности, можно считать, что ass = 1, s = 1 ,...,п.
Определение 1. Будем говорить, что система (1) абсолютно устойчива, если ее нулевое решение асимптотически устойчиво при любых допустимых функциях fj(Xj).
Основная задача настоящей статьи - получение условий абсолютной устойчивости рассматриваемой системы. Для ее решения используем прямой метод Ляпунова. Функцию Ляпунова строим в виде
п х'
^ = [ f?'(r)dT, (2)
где As - постоянные коэффициенты, Аа > 0; /j,s - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, fis > 0. Функция (2) положительно определена. Дифференцируя ее в силу уравнений (1), имеем
dV = £ AJbjfFMfFizj).
( ' S,j=1
dt
Следовательно, требуется найти множество значений параметров и а,^ системы (1), для которых числа Ая и ¡-1д можно выбрать так, чтобы функция
п
£ А.РчуЦ-у?' (3)
была отрицательно определена.
Замечание 1. Данная проблема исследовалась в работах [1, 3, 4] для случая, когда все показатели степеней равны единице. При этом параметры /.¿я в функции Ляпунова (2) также полагались равными единице.
2. Необходимые условия существования функций Ляпунова. Используя свойства обобщенно-однородных функций [5], нетрудно показать, что для отрицательной определенности функции (3) необходимо, чтобы выполнялись неравенства рдя < 0, в = 1,...,п,
Н + 1 Ив + 1'
Заметим, что если какой-то из коэффициентов ра^ равен нулю, то соответствующий ему показатель степени а8] можно считать сколь угодно большим.
Теорема 1 [6]. Для существования положительных чисел .. ,цп, удовлетворяющих условиям (4), необходимо и достаточно, чтобы для любого набора индексов ¿1,.. . (г, € {1, ...,п},ц Ф гг при I ф г) таких, что р^ ф 0 Ф 0 ,...,рЫк ф 0, имело место неравенство
^ггп^гзгг ■ ■ • айгк ^ (5)
В [6] предложен конструктивный алгоритм выбора требуемых значений ...,р,п. Из указанного алгоритма следует, что если среди неравенств (5), в которые входит
<*8j ^ , ;, s,j = l,...,n. (4)
параметр а:^-, хотя бы одно обращается в равенство, то и соответствующее этому параметру условие из системы (4) также будет иметь вид равенства. В противном случае числа .. ,/лп можно подобрать так, чтобы данному показателю степени в системе (4) отвечало строгое неравенство.
Значит, если все неравенства вида (5) являются строгими, а р88 < 0, в = 1,..., п, то существуют числа ..., цп, при которых функция (3) отрицательно определена. Причем на коэффициенты psj и на положительные постоянные А],..., Ап никакие дополнительные ограничения не накладываются. А в случае, когда среди соотношений (5) имеются равенства, отрицательную определенность функции (3) можно попытаться обеспечить за счет выбора чисел Ах,..., Ап. Далее исследуем условия существования таких значений Ах,..., Ап.
3. Критерий абсолютной устойчивости. Пусть коэффициенты р^ удовлетворяют условиям
р3з ^ 0 при в ф ]. (6)
Эти неравенства имеют место, например, когда уравнения (1) получены в качестве системы сравнения для некоторой сложной (многосвязной) системы [2].
Используя лемму 1 из работы [2, с. 260, 261], нетрудно показать, что если все а^ — 1, то система (1) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда для матрицы Р — (^я^')я ¿=1 выполнены условия Севастьянова-Котелянского:
> о, к=\,...,п. (7)
В то же время из указанной леммы следует, что при — 1, = 1, 8,] = 1 ,...,п, условия (7) являются необходимыми и достаточными условиями существования положительных постоянных Аг,..., Ап, при которых функция (3) отрицательно определена. Известно также (см. [2]), что выполнение неравенств (7) эквивалентно существованию положительных чисел в\,..., 0п, удовлетворяющих соотношениям < 0, в = 1 ,...,п. Таким образом, при а^ — 1, я,.? = 1 ,...,п, функция Ляпунова (2) полностью решает вопрос об абсолютной устойчивости рассматриваемой системы.
Цель п. 3 статьи - обобщить указанные результаты на случай, когда показатели степеней а,^ могут быть не равны единице.
Наряду с уравнениями (1) рассмотрим систему неравенств
п
< °> «= !,■••,п. (8)
Определение 2. Будем говорить, что для системы (1) выполнено условие Мартынюка-Оболенского (МО-условие), если для любой величины 6 > 0 существуют числа 0х,...,вп, удовлетворяющие неравенствам (8), такие, что 0 < в^ < 5, 3 = 1,...,п.
Теорема 2. Система (1) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда для нее выполнено МО-условие.
Доказательство. Необходимость. В работе [2] показано, что если - неубывающие функции, то МО-условие является необходимым условием
асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (1) в положительном конусе. Значит, из абсолютной устойчивости рассматриваемой системы следует, что она удовлетворяет МО-условию.
Достаточность. Предположим, что для уравнений (1) выполнено МО-условие. Последовательно исключая неизвестные из системы неравенств (8), получим, что существуют положительные числа /XI,... удовлетворяющие соотношениям (4). Пусть (¡1,...,вп - решение системы (8), в^ > 0, ] = 1 ,...,п. Положим 7Я = 0%'\а/(ца + 1), = Уа/ва, в = 1,...,п. Рассмотрим систему неравенств
п
в = 1,--.,п. (9)
¿=1
Из выполнения МО-условия следует существование положительных чисел 71,...,7П, удовлетворяющих неравенствам (9). Для таких значений коэффициентов 71,...,7П в достаточно малой окрестности точки (2:1,..., гп)* = (0,..., 0)* справедливы оценки
п п п п п
з=1 ¿=1 «=1 ^'=1
где с > 0. Значит [1], нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Следствие 1. Система (1) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда для нее существует функция Ляпунова вида (2), удовлетворяющая требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Следствие 2. Пусть для изучаемых уравнений выполнено МО-условие, причем числа Ц1,..., ¡хп можно выбрать так, чтобы все неравенства в системе (4) обращались в равенства и при этом имели место соотношения {т)йт +оо при |жв| —> оо, я = 1 ,...,п. Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво в целом.
Замечание 2. В некоторых случаях проверку МО-условия можно упростить. Предположим, что среди соотношений (5) есть как строгие неравенства, так и равенства. Если какой-то из параметров входит только в строгие неравенства, то будем считать, что коэффициент рдсоответствующий этому параметру, равен нулю. Тогда для абсолютной устойчивости исходной системы (1) необходимо и достаточно, чтобы МО-условие выполнялось для построенной таким образом усеченной системы. Пример 1. Пусть уравнения (1) имеют вид
¿1 =Р11/1(2:1) +Р1з/За13(яз),
Х2=Р22ЬЫ+Р211Г^1) +Р2з/Р(яз), (10)
¿3 = Рзз/зЫ +Р31/Г1(Я1) +Р32/ГЫ.
Выпишем неравенства (5), соответствующие данной системе. Получим 0:13031 ^ 1, О23О32 ^ 1, 013032021 ^ 1. Предположим, что первые два из них строгие (013031 > 1, 023032 > 1), а последнее обращается в равенство (013032021 = 1). Согласно замечанию 2, для проверки МО-условия достаточно рассмотреть систему
Р1& +Р1гв%13 < о, р2292 +Р210Г1 < 0, рззвз +Р320232 < 0. (11)
Применяя к неравенствам (11) метод последовательного исключения неизвестных, находим, что система (10) абсолютно устойчива тогда и только тогда, когда справедливо * соотношение р13р%3р%заз* < [РпРзз'Р^ I-
4. Некоторое обобщение полученных результатов. В п. 3 предполагалось, что для величин рдсправедливы неравенства (б). Исследуем теперь случай, когда данные неравенства могут не выполняться.
Наряду с уравнениями (1) рассмотрим вспомогательную систему
п
X* = 8 = 1,..., п. (12)
¿=1
Здесь р38 = р33, р^ = \psjl при в ^ '], в,] = 1,... ,п.
Теорема 3. Если система (12) удовлетворяет. МО-условию, то система (1) абсолютно устойчива.
Доказательство настоящей теоремы такое же, как для теоремы 2.
Теорема 3 определяет только достаточные условия абсолютной устойчивости. Рассмотрим класс систем, для которых они являются и необходимыми. Следуя работе [4], базисом назовем набор чисел и>1,... ,ип, каждое из которых равно +1 или —1.
Теорема 4. Пусть коэффициенты р^ и элементы некоторого базиса Ш1,....,и>п связаны соотношениями
^ 0 при ьфз, 8,2 = 1,...,п. (13)
Тогда для абсолютной устойчивости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы система (12) удовлетворяла МО-условию.
Для доказательства теоремы следует в рассматриваемых уравнениях произвести замену переменных х8 = и18ув, в = 1,... ,п. Получим систему вида (1), коэффициенты которой уже будут удовлетворять предположениям п. 3.
Выясним теперь условия существования базиса ..., шп, удовлетворяющего неравенствам (13).
Построим ориентированный граф (?, характеризующий структуру связей в системе (1) (вершины в и $ соединяем направленным ребром $ —> я, если р3^ ф 0).
Определение 3 [7]. Граф (7 будем называть бисвязным, если из каждой его вершины можно по ребрам перебраться в любую другую вершину. При этом переход по ребру может осуществляться только в соответствии с его ориентацией.
Любой граф можно разбить на бисвязные блоки таким образом, что граф, описывающий их взаимодействие, не будет содержать ни одного цикла [7]. Из результатов работы [8, с. 83-85] следует, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1) необходимо и достаточно, чтобы были асимптотически устойчивы нулевые решения всех подсистем из (1), соответствующих бисвязным блокам графа (7. Кроме того, несложно показать, что, для того чтобы для системы (1) существовала функция Ляпунова вида (2), необходимо и достаточно, чтобы аналогичным свойством обладали все подсистемы, соответствующие бисвязным блокам графа С.
Таким образом, в рассматриваемых задачах достаточно исследовать только бисвязные графы. Поэтому без потери общности будем далее считать, что граф соответствующий системе (1), является бисвязным.
Теорема 5. Для существования базиса ... ,шп, удовлетворяющего неравенствам (13), необходимо и достаточно, чтобы для любого простого цикла —> ... ->
-» ч графа £7 выполнялось условие р■ ■ -Рг^-гРиги > 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть для системы (1) существует базис ..., шп, удовлетворяющий соотношениям (13). Рассмотрим произвольный простой цикл г\ —> ... -> н —> г\ графа С. Для него справедливы неравенства
Р{211и)г2шп > ••■> Ргкгк-1игкш1к-1 > Рп1кшпшгк > 0. Перемножая данные неравенства, получим требуемое.
Достаточность. Положим = 1. Рассмотрим произвольную вершину ] (3 е {2,... , п}) графа (7. В силу бисвязности существует путь из вершины 1 в вершину у. 1 гх ... гк ->• 1 и обратно: ] щ ... ->■ ит 1. Если р^р^ .. .Ргк1к_хРцк > 0, то положим Ш] = 1, в противном случае = — 1. Пусть для определенности 0/7 = 1. Покажем, что это значение Шj не зависит от выбора пути из вершины 1 в вершину 3. Действительно, предположим, что найдется путь 1 —> вх —>...—)• б'д —> для которого^' = —1 (т. е. рЯ11ра231 • ■ ■РзЧ8^хР]8я < 0). Применяя условие теоремы к циклу 1 -4 п -»...-> гк «1 ->...-> ит 1, получаем ри^ри2и1 ■ ■ ■Р«тит_1Р1г1т > 0.
Рассмотрим теперь цикл 1 51 —>• ... —> -4 у —и\ -» ... —> ит 1. Для него имеем
Ря11Ря281 • • -РзчЗя-1Р]8чРи\]Ри2и\ • • • Рит Ит- 1 Р1ит ^ 0)
что противоречит условиям теоремы. Таким образом, предлагаемый алгоритм однозначно определяет числа и)\,... ,шп. Несложно заметить, что построенный базис удовлетворяет системе (13).
Пример 2. Пусть система (1) задана в виде
¿1 = в1/1(х!) + Ъ1№(хп), ,
хв = ав/,(хв) + Ь,/?11(хв-1), 5 = 2 ,...,п, 1 '
где аа - положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, аа и Ь3 - постоянные коэффициенты, ая < 0, Ь3 ф 0, 5 = 1,..., п. Таким образом, рассматриваем систему с одним замкнутым контуром 1 2... -» п —1 (рис. 1).
1 2 п
Рис. 1.
Если справедливо строгое неравенство а1...ап > 1, то абсолютная устойчивость системы (14) имеет место при любых значениях коэффициентов ад и Ь3. Предположим теперь, что это неравенство обращается в равенство (с*1.. .ап = 1).
Согласно теореме 5, для существования базиса ... ,и>п, удовлетворяющего условиям вида (13), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Ь\ .. .Ьп > 0. Будем считать, что оно выполнено.
Тогда, применяя теорему 4, получаем, что для абсолютной устойчивости системы (14) необходимо и достаточно, чтобы
(-а§(-*г.....
. Данное условие абсолютной устойчивости совпадает с полученным в работе [9]. 8
Пример 3. Предположим теперь, что система (1) имеет вид
¿1 = ах/1(ц) + /и+т+г (хи+т+г),
х3 = а8/я(хв) + Ь8^1х{ха-{), в = 2,
¿и — ®и/и(хи) + 1(жи_1) + Ь„/и+т+г+р(:Си+т+г+р), , .
(15)
¿и+т+г+1 ~ аи+т+г+1/и+т+г+1.(а::и+т+г+1) + Ьи+т+г+1./и-|-га + + (Хи+тп);
¿Я = а8/д(х3) + Ь3/"11(ха-х), 8 = и + тп + г + 2,...,и + т + г+р.
Снова считаем, что ая < О, Ь3 ф 0, 5 = 1,..., и + т + г + р. Граф, соответствующий системе (15), имеет два простых цикла: 1 —> ... —>• и —> ... (и + т + г) —> 1 и и-* (и + 1) ... -» (и + т) (и + тп + г +!)->...-»• (и + т + г+р)—>и (рис. 2).
и-1 -1 -> и
и+т+г+р
и+т у► и+т+\
и+т+г+1
и+т+г
Рис. 2.
Если справедливы неравенства
а:1... аи-1аиаи+1... аи+гп+г > 1, &и°-и+1 • • • ^-и+т^и+т+г+Х • • • &и+т+г+р > 1) (16)
то система (15) абсолютно устойчива при любых значениях коэффициентов ад и Ьд. Предположим, что
Ь\ . . . Ьи—\ЬиЪи+\ . . . Ьи+т+г >0, ь иЬи+1 • • • Ьи+щЬи+т+г+1 ■ • ■ Ьи+т-\-г+р > 0.
Согласно теореме 5, выполнение этих неравенств является необходимым и достаточным условием существования базиса и)1,... ,ии+т+г+р, удовлетворяющего соотношениям вида (13).
Если одно из неравенств в (16) строгое, а другое обращается в равенство, то, в соответствии с замечанием 2, исследование абсолютной устойчивости системы (15) сведется к изучению системы с одним замкнутым контуром (см. пример 2).
Пусть оба неравенства в (16) обращаются в равенства. Тогда по теоремам 2 и 4 находим, что для абсолютной устойчивости системы (15) необходимо и достаточно выполнения соотношения + < 1, где
Ьх
и+т+г—1 / , 0:^ + 1 ...а„_|_т-}.г ■'и+т+г ^ "ГТ / V]
\ и-гтп-гг
-) п
&и+ТП+Г / \
1 \ и+т-1 , , Ч а, + 1...аи+тО!и+т+г+1...аи+т+г+р
^ _ / °и+т+г+р \ Д \
(¡■и+т+г+р / • \ а]
3 — и
'и+т
\ а«+ш+г+1-а„+т+,+р и+то+г+р-1 , ч а,-+1...вИ+т+Р+р
^ п <-1
аи+т ' }=и+т+г+1
При этом в выражении для Ь\ считаем, что Ьи = Ьи, аи = аи, а в выражении для 1,2 предполагается, что Ьи = Ьи.
5. Достаточные условия абсолютной неустойчивости. Аналогичным образом определяются условия абсолютной неустойчивости системы (1). Для этого найдем множество значений параметров и а3], для которых числа Л8 и можно выбрать так, чтобы функция Ляпунова (2) удовлетворяла требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости [1].
Очевидно, что для существования такой функции необходимо, чтобы коэффициенты рц,..., рпп были отличны от нуля, причем по крайней мере один из них должен быть положительным. Далее будем считать, что параметры р33 в системе (1) обладают указанными свойствами.
Пусть коэффициенты вспомогательных уравнений (12) определяются по формулам Рзз = -\Pssl Рз3 = \Рз] | при 5 ф 5, ^ = 1, . . . ,П.
Теорема 6. Если для системы (12) выполнено МО-условие, то для системы (1) существует функция Ляпунова вида (2), удовлетворяющая требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Теорема 7. Если справедливы неравенства
РззРзз ^ 0 при вфз, 8,з = \(17)
то для существования функции Ляпунова вида (2), удовлетворяющей требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости, необходимо и достаточно, чтобы для системы (12) было выполнено МО-условие.
Теорема 8. Пусть коэффициенты р3^ системы (1) и элементны некоторого базиса (¿1,..., шп связаны соотношениями
pssPзjOJзШj ^ 0 при в ф з, в,з = I,... ,п.
Тогда для существования функции Ляпунова, удовлетворяющей требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости, необходимо и достаточно, чтобы для системы (12) было выполнено МО-условие.
Заметим, что если имеют место неравенства (6), то функция Ляпунова (2) полностью решает вопрос об абсолютной устойчивости системы (1). Полученные в п. 5 теоремы определяют только достаточные условия абсолютной неустойчивости. Даже в случае, когда для коэффициентов р^ справедливы соотношения (17), из абсолютной неустойчивости системы (1), вообще говоря, не следует существование функции Ляпунова вида (2), удовлетворяющей требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Пример 4. Рассмотрим систему
¿1 = -/1(2:1) + /2(^2), ¿2 = /1(3:1) - /2(2:2), хз = /з(х3)-
Очевидно, что при любых допустимых функциях /1(2:1), /2(2:2), /3(2:3) нулевое решение этой системы неустойчиво. Однако для нее нельзя построить функцию Ляпунова вида (2), удовлетворяющую требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости.
6. Построение однопараметрического семейства функций Ляпунова.
Пусть в уравнениях (1) все показатели степеней а^ равны единице. Таким образом, рассмотрим систему
п
X, = 5 = 1,...,П. (18)
3=1
В соответствии с ограничениями (4) получаем, что тогда при построении функции Ляпунова по формуле (2) значения параметров ¡л\,... ,/лп нужно выбирать одинаковыми. Следовательно, функция Ляпунова будет иметь вид
п х'
У = //дал-. (19)
0
где /л - положительное рациональное число с нечетными числителем и знаменателем.
Известно [2], что если ¡л = 1, то для существования положительных постоянных А1,...,АП, при которых производная функции (19) в силу системы (18) отрицательно определена, достаточно, чтобы матрица Р = (р^)" удовлетворяла условиям Сева-стьянова-Котелянского. Здесь р88 — р^ = при эф]. В настоящей работе доказано, что при выполнении тех же самых условий для рассматриваемых уравнений при любом допустимом значении параметра ¡л можно построить функцию вида (19), удовлетворяющую требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Таким образом, для системы (18) существует однопараметрическое семейство функций Ляпунова.
Покажем далее, что при решении некоторых задач результаты, получающиеся с помощью функции (19), оказываются тем лучше, чем больше выбрано число /л.
Пусть в системе (18) функции (х^) определяются по формулам fj{xj) — х^ , где - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, ^ > 1. Тогда рассматриваемые уравнения имеют вид
п
х8 = , 8=1,..., п. (20)
3=1
Не умаляя общности, будем считать, что £1 ^ ... ^ £п. Предположим также, что для матрицы Р выполнены условия Севастьянова-Котелянского. В работе [10] с помощью функции Ляпунова
*=1 + 1
были найдены оценки скорости затухания переходных процессов в системе (20). Доказано, что если решение (хх^),... ,хп(£))* начинается при £ = 0 в достаточно малой окрестности точки х = 0, то при всех выполняются неравенства
|®,(«)| < 5 = 1,...,п.
Здесь х = (ж1,... ,хп)*, А - положительная постоянная.
Выберем теперь в качестве функции Ляпунова функцию
Тогда оценки решений принимают вид
< + 1)"<м«.+1п)<"£-1>, 8 = 1,...,п. (23)
Функции д3(ц) = 0«£п + 1)/(/г£я + 1), в = 1,... ,п—1, монотонно возрастают на интервале (0,+оо). Поэтому оценки (23) будут тем точнее, чем больше значение параметра ц. Таким образом, справедлива
Теорема 9. Существуют положительные постоянные 5, Ах,...,Дп такие, что для решений (жх(/),... ,хп^))* системы (20), начинающихся при Ь = 0 в 5-окрес7пности точки х = 0, при всех £ ^ 0 выполняются неравенс7пва
|®в(<)| < Д. (4 + 1)" «'(«*-!), в = 1,... ,71,
где - любые числа из интервала (0,1), а qn = 1. При этом постоянные
Аг,..., Дп_х, вообще говоря, зависят от выбора чисел ql,..., дп_1. Далее наряду с системой (20) рассмотрим возмущенную систему
п
Х3 = +гл(*,х), в = 1,..., п. (24)
¿=1
Здесь функции г8(1,х) определены и непрерывны при £ ^ 0, ||х|| < Н (Н - положительная постоянная, || ■ || - евклидова норма вектора) и удовлетворяют неравенствам |гв(*,х)| ^ с8(г + 1)а||Е(х)||сг, в = ... ,п, где с3 > 0, а > 0, а > 0,
Е(х) = 1,..., а;^" ^ . Таким образом, возмущения представляют собой неограниченные функции времени. Требуется определить условия, при выполнении которых нулевое решение системы (24) является асимптотически устойчивым.
В статье [10] устанавливалась связь между скоростью стремления к началу координат решений невозмущенной системы и порядком возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения. С помощью функции (21) было показано, что для сохранения асимптотической устойчивости достаточно, чтобы выполнялось неравенство
, , , а((п - 1)(6 + 1) ">1+ + % '
Данное ограничение на величину а можно ослабить, если вместо функции (21) использовать функцию, построенную по формуле (22), а затем перейти в найденном таким образом условии к пределу при д —> +оо. Получим, что имеет место
Теорема 10. При выполнении неравенства и > 1 + а(£п — 1)/£п нулевое решение системы (24) асимптотически устойчиво.
7. Системы с переменными коэффициентами. Предположим теперь, что коэффициенты в системе (1) являются функциями переменной t, заданными и непрерывными при Тогда изучаемая система будет иметь вид
п
х8 = « = 1,...,п. (25)
¿=1
Пусть существуют числа paj такие, что при всех t ^ 0 справедливы неравенства Pss{t) ^ Pss, \Psj(t)\ ^ Psj при s ф j, s,j — I,...,п. Снова рассмотрим вспомогательные уравнения (12).
Теорема 11. Если система (12) удовлетворяет МО-условию, то система (25) абсолютно устойчива.
Покажем, что в некоторых случаях найденные условия абсолютной устойчивости можно ослабить.
Далее будем считать, что все величины aaj равны единице. Получим систему
п
Xs = ^Psj(t)fj(Xj), 5 = 1,...,71. (26)
i=1
Определение 4 [11]. Функция (fi(t), заданная и непрерывная при t ^ О, обладает слабой вариацией, если для любых е > 0 и Т > 0 существует такое N> О, что для всех t\ и t2, удовлетворяющих условиям t\ ^ N, ¿2 ^ N, \t\ — ^ Т, выполняется неравенство |<p(fi) — < е-
Предположим, что коэффициенты psj{t) в системе (26) непрерывны и ограничены при t ^ 0 и обладают слабой вариацией. Пусть pss(t) = pss{t), psj(t) = ПРИ s Ф 3i
s,j — 1 ,...,n. He умаляя общности, можно считать (см. [11]), что psj(t) непрерывно дифференцируемы на промежутке [0, +оо) и p'sj(t) —> 0 при t —+оо.
Теорема 12. Если существуют функции 6i(t),... ,6n(t), заданные при t ^ О, такие, что для всех t € [0,+оо) справедливы соотношения 0 < 0s{t) ^ ва, 4%l1j=iPsj(t)Qj(t) ^ s = 1,... где д, 9\, ..., вп - положительные постоянные, то система (26) абсолютно устойчива.
Доказательство. Нетрудно показать, что для существования требуемых функций в\(£), ..., 6n{t) необходимо и достаточно, чтобы при t ^ 0 выполнялись условия
(—1)* det (Psj(t))ksj-i ^ Vi k = 1,... ,n. (27)
Здесь г) - некоторое положительное число.
Рассмотрим системы ]Cj=iPsj(t)0j = —1, Pjs(t)lj — —1 > s = 1,Для
любого t ^ 0 они имеют единственные решения ва = 6s(t), *у8 = ja(t), s = 1,... ,п. Пусть Ая(£) = 7a(t)/da(t), s = 1,..., п. Из выполнения условий (27) следует, что функции Лa(t) непрерывно дифференцируемы на промежутке [0,+оо), удовлетворяют неравенствам As ^ As(i) ^ As, где As и Ая - положительные постоянные, и A's(f) —> 0 при t +оо.
Функцию Ляпунова для уравнений (26) строим в виде
п Ха
V = ^As(i) [ /.(г) dr.
в=1 л
Получим, что в достаточно малой окрестности точки х = 0 и при всех £ ^ О справедлива оценка
(IV п
dt
в которой с - положительная постоянная, а х) —» О при £ —> +оо равномерно по х из указанной окрестности. Следовательно [8, с. 83-85], нулевое решение системы (26) асимптотически устойчиво.
Предположим теперь, что уравнения (26) можно представить следующим образом:
п
Ха = £ + М*)) xf » в = 1,..., п. (28)
3=1
Здесь asj - постоянные коэффициенты, функции 6sj(i) непрерывны и ограничены при всех i ^ 0, - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, > 1. Снова, не умаляя общности, будем считать, что ^ ... ^ £п.
Пусть для матрицы А = (asj)"j=1, где ass = ass, aSj — |aSj| при s Ф j, выполнены условия Севастьянова-Котелянского. Тогда для невозмущенной (bSJ (t) = 0) системы при любом допустимом значении параметра /г можно построить функцию Ляпунова V вида (22), удовлетворяющую требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Кроме того, предположим, что существует число ¡3, 0 ^ ¡3 ^ 1, для
которого справедливы предельные соотношения
1
t
Jrn^l J bsj(r)dr = 0, s,j = l,...,n. (29)
о
Теорема 13. Если /3 < £n(£i — l)/(£i(£n — 1))? то нулевое решение системы (28) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Выберем функцию Ляпунова в виде
п ~ *
Vi = V- £ g-xf Jbsj(r)dr, s,j=1 S о
где V - функция, построенная для невозмущенной системы, а затем воспользуемся подходами, предложенными в работе [10]. Получим, что при выполнении неравенства /3 ^ Ып + l)(£i — 1)/((/*£г + l)(in — 1)) нулевое решение системы (28) асимптотически устойчиво. Для окончательного доказательства теоремы нужно перейти в этом неравенстве к пределу при ц —>• +оо.
Пример 5. Рассмотрим систему
¿1=р11(0®!1+Р12(0г?, х2 = p2l(t)x\x + p22(t)xl2. (30)
Здесь и £2 ~ рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, 1 < £1 ^ £2, а функции psj(t) имеют вид pu(t) — — а + cosуД, P22(t) = —a — cos уД, pi2(t) = Р21 (i) = 1, где а - положительная постоянная.
В данном случае при всех t ^ 0 справедливы оценки pss{t) ^ — а + 1, s = 1,2. Применяя теорему 11, получаем, что для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (30) достаточно, чтобы выполнялось неравенство а > 2.
Заметим теперь, что коэффициенты рассматриваемых уравнений обладают слабой вариацией. Поэтому для уточнения условий асимптотической устойчивости можно воспользоваться теоремой 12. Новое условие будет a > у/2.
В то же время для функций pSJ(t) при любом ¡3 > 1/2 имеют место предельные соотношения (29). В соответствии с теоремой 13 получаем, что если £1 > 2^/(^2 + 1), то нулевое решение будет асимптотически устойчивым при а > 1.
Summary
Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V. Investigation of absolute stability conditions for a class of nonlinear systems.
The method of construction of Lyapunov's functions for a class of nonlinear differential equations systems is suggested. The conditions of absolute stability for systems investigated are obtained.
Литература
1. Барбашин E. А. Функции Ляпунова. M.: Наука, 1970. 240 с.
2. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова Думка, 1984. 308 с.
3. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.
4. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 5-11.
5. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.
6. Платонов А. В. Об устойчивости нелинейных сложных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. С. 41-46.
7. Зыков А. А. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969. 543 с.
8. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.
9. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одной нелинейной системы дифференциальных уравнений//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 3. С. 3-10.
10. Александров А. Ю. Об устойчивости по нелинейному приближению одного класса неавтономных систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, Л"2 7. С. 993-995.
11. Персидский К. П. Избр. труды: В 2 т. Алма-Ата: Наука, 1976. Т. 1. 272 с.
Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.
