Построение общей функции Ляпунова для семейства механических систем с одной степенью свободы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 4

И. Е. Мурзинов

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ*)

Исследование устойчивости систем c переключениями является одной из актуальных задач современной теории управления [1—3]. Система с переключениями представляет собой гибридную динамическую систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент времени, какая подсистема активна [1, 2]. Системы такого рода широко применяются в задачах управления механическими, энергетическими, электроэнергетическими системами, при управлении технологическими процессами, а также в ряде других областей [1, 2]. Во многих случаях необходимо проверить, является ли система устойчивой либо диссипативной при произвольных переключениях. Данные задачи возникают естественным образом, если закон переключения неизвестен либо слишком сложен для того, чтобы использовать его точное представление.

Основной подход к решению задач на исследование устойчивости или диссипатив-ности системы при произвольных переключениях состоит в построении общей для всех подсистем функции Ляпунова, удовлетворяющей теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости [4] либо теореме Йосидзавы о равномерной диссипативности [5]. Этот подход успешно применяется (см. [1, 2, 6] и цитируемую там литературу). Тем не менее условия существования общей функции Ляпунова не полностью изучены даже для семейства линейных автономных систем [6-8]. Для двумерных и трехмерных линейных систем получены необходимые и достаточные условия существования общей квадратичной функции Ляпунова [3, 7], однако для систем большей размерности это удалось сделать только при дополнительных требованиях, например требовании коммутативности матричных коэффициентов [2, 9].

Еще сильнее данная задача усложняется для механических систем. Их движение описывается уравнениями второго порядка, что приводит к возникновению некоторых особых свойств. В таких системах переключения могут происходить в действующем силовом поле. Причины переключений могут быть как внутренними, например использование компьютера или микропроцессора в контуре управления [10], так и внешними, если движение механической системы происходит в среде с изменяющимися параметрами. Даже если действующие силы являются линейными, при таких переключениях условия коммутативности будут заведомо нарушены [11], поэтому соответствующие результаты о существовании общей квадратичной функции Ляпунова неприменимы к механическим системам. Такие особые свойства механических систем приводят к необходимости выделять их в отдельный класс систем с переключениями, который обладает некоторыми теоретическими особенностями и несомненной практической значимостью.

В настоящей статье исследована нелинейная гибридная механическая система

Мурзинов Илья Евгеньевич — студент, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: murz42@gmail.com.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00376) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР № 9.38.674.2013).

© И. Е. Мурзинов, 2013

с одной степенью свободы, которая описывается дифференциальным уравнением второго порядка, содержащим два параметра (коэффициенты демпфирования и жесткости). Предполагается, что эти параметры могут переключаться с одних значений на другие. Для соответствующего семейства подсистем получены достаточные условия существования общей функции Ляпунова специального вида. Их выполнение обеспечивает асимптотическую устойчивость или диссипативность соответствующей гибридной системы при произвольных переключениях.

Постановка задачи. Рассмотрим семейство нелинейных механических систем с одной степенью свободы

х + а,хха + Ь,хв =0, % = 1,...,М. (1)

Уравнения такого вида называются уравнениями Льенара [12]. Здесь х(Ь) - состояние системы, а^ и Ьi - постоянные положительные коэффициенты, а > 0 - рациональное число с четным числителем и нечетным знаменателем, в > 1 - рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. Каждая подсистема имеет асимптотически устойчивое положение равновесия х = х = 0 [13].

Зададим кусочно-постоянную функцию а = а(€) : [0, —>Q = {1,..., М}, определяющую закон переключения. В данной статье предполагается, что на каждом ограниченном временном интервале закон переключения имеет конечное число точек разрыва, которые называются моментами переключения, и принимает постоянное значение между любыми двумя последовательными моментами переключения. Такие законы переключения будем называть допустимыми. Семейство (1) вместе с законом переключения описывают гибридную систему

х + аа хха + Ьа хв = 0. (2)

Задача 1. Получить условия на коэффициенты са^ и ^, при которых нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво для любого допустимого закона переключения.

Задача 2. Получить условия на коэффициенты са^ и Ь^ при которых решения уравнения (2) предельно ограничены для любого допустимого закона переключения. В этом случае система называется диссипативной [5].

При а = 0, в =1 и а = 0, в > 1 необходимые и достаточные условия существования общей функции Ляпунова специального вида для семейства (1) получены соответственно в [14] и [15].

В качестве функции Ляпунова выбираем функцию

у2 хв+1

у= у + +с2жму + с3жу7, (3)

где С1 > 0, С2 > 0, сз < 0; ц и 7 - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, 1 ^ 1, 7 ^ 1.

Исследование асимптотической устойчивости. Производная функции Ляпунова (3) в силу %-го уравнения семейства (1) имеет вид

V =(С1 - ^)хву + С21х^-1 у2 + Сзу7+1 - сцхау2 - о^С2ха+^у -

- а^х^у' - - СзЬг 1хв+1у^-1 = Ш(х,у).

Найдем условия на коэффициенты а. и Ъ. и показатели степеней а и в, при которых можно выбрать параметры с\, С2, сз, ¡, 7 таким образом, чтобы функция Ляпунова (3) являлась положительно-определенной, а ее производная в силу подсистем из семейства (1) - отрицательно-определенной. Тогда функция Ляпунова (3) будет удовлетворять теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости [5].

Для нахождения таких условий применим следующие леммы.

п

Лемма 1 [4]. Рассмотрим функцию /(х) = ^^ с3хр, где с8 > 0, р8 - положи-

8=1

тельные рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями. Если для функции т(Ь, х), заданной при ||х|| < Н и £ ^ 0, справедлива оценка \т(г, х)| < Ь\х1 \Р1 \х2\Р2 ...\хп\Рп, где Н > 0, Ь > 0, ^ > 0, % = 1,...,п, то, для того чтобы при любом значении коэффициента Ь функция /(х)+т(1, х) была положительно определена, необходимо и достаточно выполнения неравенства

п

8=1 Р8

Лемма 2 [4]. Рассмотрим функцию /(х) = с1хгр1 + с2х2,2 + с3х11 х22, где с1, с2, с3 -положительные коэффициенты, р., 5. - положительные рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями. Будем считать, что — + — < 1.

У ' Р1 Р2

Пусть для функции т(Ь, х), заданной при £ ^ 0, ||х|| < Н, справедлива оценка \г(1, х)\ ^ Ь\х1\Р1 \х2\Р2, Н > 0, Ь> 0, ^ 0, % = 1, 2. Тогда, для того чтобы при любом значении коэффициента Ь функция / (х) + т(1, х) была положительно определена, необходимо и достаточно выполнения неравенств

р1 - 51 р2 - 62

¥>1 Н--;-¥>2 > Ри -;-<Р1+<Р2>Р2-

52 51

При помощи леммы 1 находим следующие необходимые условия положительной определенности функции Ляпунова (3):

1 >

1 >

/3+1 2 ' 2/3 /3+1'

Предположим сначала, что

+ 4т<1.

1 + в 1 + 1

Используя лемму 2, получим, что для отрицательной определенности функции Ш(х, у) необходимо, чтобы выполнялись условия

1 = в — а,

' ^ /3-а> 1 > а +1,

> 2/3—2а—1

' ^ /З-а ' -V > 2а±1 ' ^ а+1 '

> /3+2а+1

' ^ /3+1 ■

а

Если в ^ 2а +1, то эти условия могут быть записаны в виде

¡ = в - а,

^ 2в-2а-1

7 > д •

__(4)

/З-а

Заметим, что при выполнении условий (4) функция Ляпунова (3) положительно определена.

Если в < 2а+1, то применение леммы 2 приводит к противоречию в системе условий отрицательной определенности функции Ш(х, у). Поэтому в данном случае пользуемся леммой 1, с помощью которой получаем следующие необходимые условия положительной определенности функции Ляпунова (3) и отрицательной определенности функции Ш(х, у):

I /3+1'

иМ — 2 •

Применение лемм 1 и 2 позволяет не учитывать слагаемые более высоких порядков при исследовании отрицательной определенности функции Ш(х,у), что существенно упрощает задачу в случае в ^ 2а +1. Однако при в < 2а +1 анализ оставшихся слагаемых представляет собой довольно сложную проблему, поэтому в настоящей статье рассмотрены только случаи в > 2а+1 и в = 2а +1. Стоит заметить, что при в = 2а+1 системы

х = У,

у = -а^хау - , % = 1,...,М,

соответствующие уравнениям семейства (1), являются обобщенно-однородными [13].

Случай в > 2а + 1. В этом случае 1 = в - а, и функцию Ш(х, у) можно записать в виде

Ш = ха((С1 - к - сМС2)хв-ау - сМу2 - ЬгС2х2в-2а) + С2(в - а)хв-а-1у2 -

- а^Сз^ха+1у1 - СзЬ^хв+1у~'-1 + сзу1+1.

Если 7 > 2^2а-1, то для отрицательной определенности функции IV(х, у) достаточно отрицательной определенности функции

д(х,у) = (С1 - ^ - ас)хв-ау - aiy2 - ^С2х2в-2а,

являющейся квадратичной формой относительно переменных хв-а и у.

В соответствии с критерием Сильвестра функция д(х, у) отрицательно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства

> (С1 - Ь - ос)2, % = 1,...,М,

или _

2 Vх афгС-2 > |С1 -Ьг- а»с21, г=1,...,Н.

Следовательно,

2

< С1 < (^/(ЦС2 +

I = 1,...М.

Для существования требуемого числа е\ необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

/a,i02

-y/bi

1,...,N.

Получаем условия

а/с2 (л/al + л/aj) > Vh ~ \/bj, л/сг (л/al - л/aj) < Vh +

i,3 = 1,...,N.

Для всех i,j = 1,...,N положим

A =

-V^

i,j=i,...,N J~a~i + Л/а7

если ai = a

■j'

>,3 = 1,...,N,

B=< . Vh + л/bj

mm —-—, если не все a^ равны друг другу.

(5)

(6)

. ai>aj \ ai — . a

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в > 2а +1. Тогда для существования общей функции Ляпунова вида (3) для семейства (1), удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, достаточно, чтобы выполнялось неравенство A <B, где A и B определяются формулами (5) и (6).

Следствие 1. Пусть в > 2а + 1. Тогда для асимптотической устойчивости системы с переключениями (2) достаточно, чтобы выполнялось неравенство A<B, где A и B определяются формулами (5) и (6).

Замечание 1. Теорема 1 дает конструктивный алгоритм построения функции Ляпунова.

Следствие 2. Если переключения происходят только в скоростных силах (bs = b = const > 0), то положение равновесия x = x = 0 системы (1) является асимптотически устойчивым при любом допустимом законе переключения и любых положительных значениях коэффициентов ai и b.

Следствие 3. Если переключения происходят только в потенциальных силах (as = a = const > 0), то положение равновесия x = X = 0 системы (1) является асимптотически устойчивым при любом допустимом законе переключения и любых положительных значениях коэффициентов a и bi.

Следствие 4. Если система (1) содержит две подсистемы, то положение равновесия x = X = 0 системы (1) является асимптотически устойчивым при любом допустимом законе переключения и любых положительных значениях коэффициентов ai и bi.

Замечание 2. Следствия 3 и 4 не справедливы для линейных систем (а = 0, в =1) [6]. ^

Случай в = 2а + 1. В данном случае для отрицательной определенности функции W(x,y) при ¡1 = ¡3 — а, 7 > достаточно отрицательной определенности функции

g(x, y) = (ci - bi - c2ai)xa+1y + (е2(а + 1 - a,i)y2 - c2bi

2a+2

Эта функция является квадратичной формой относительно переменных ха и у. Пользуясь критерием Сильвестра, получаем систему неравенств, выполнение которых обеспечивает положительную определенность функции Ляпунова и отрицательную определенность ее производной:

2^c2bi(ai - с2(а + 1)) > |ci - h - с2сч\, „ — ai

i = 1,...,N,

C2 < —г-г, i=l,...,N,

а +1 ci > c2(а + 1).

Из этой системы легко определить условия существования параметра ci

Vh-\Jc'2{o,i -с2(а + 1)) < л/bj + \Jc2 (cij -c2(a+ 1)), i,j = l,...,N. (7)

Для нахождения условий разрешимости этих неравенств применим результаты, полученные в [14]. В указанной работе была изучена устойчивость линейной системы (а = 0, ß = 1) и на аналогичном этапе проведено исследование отрицательной определенности производной функции Ляпунова, которое свелось к вопросу существования решения системы (7).

Положим ©j j = = ^joX■ При всех i,j = 1,... ,N определим числа

Pijln, Pijax, Pijmax следующим образом: а) при bi < bj положим

рТГ = min ■ ai

а +1 а +1 j ' при bi > bj и yJaiCLj ^ (а + 1 положим

ij-

в) при bi > bj, yfäiäj < (а + 1 )£ij и y^min j^-, ^pxj К - a,j \ < (a + 1)^ положим

m.n _ Üj ((« + 1 )2K + o.j) - 2^aiaj ~(a+ 1Щ) РТ]Ш = (al-ajy+ 4(а+Щ '

max _ Üj ((« + 1 )2K + o.j) + 2^aiaj-(a+l)ei3)

= (al-ajy+ 4(а + Щ 5

г) при bi > bj, y/CLiCLj < (а + 1 )£ij и ^Jmin{^-, - a,j\ > (a + 1)^ положим

((« + 1 )2K + o.j) - 2^aiaj ~(a+ 1)£2.)

Pij (ai-ajy+4(a+l)gj

pm ах = min

а +1 а + 1 J '

д) при ai < a j положим

2 max _ ai .

Pij i 1 '

J а +1

e) при ai ^ a,j и у/aj(cii — cij) > (a + 1 )&ij положим

2 max _ aj .

Pij i 1 '

J а +1

ж) при ai Ji aj и ^Jaj{ai — aj) ^ (a + 1 )&ij положим

% ((« + !)2K + ai) + %\Jaiaj — (a + 1)©?^

2 max _ _

Пусть теперь

A = max pmin, (8)

ij

в = ^m {pmm ax,p?jmax}. (9)

i,j

При A < В система (7) имеет решение, что обеспечивает существование искомых значений параметров ci и С2 функции Ляпунова (3). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть в = 2а +1. Тогда для существования общей функции Ляпунова вида (3) для семейства (1), удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, достаточно, чтобы выполнялось неравенство A < В, где A и В определяются формулами (8) и (9).

Следствие 5. Пусть в = 2а + 1. Тогда для асимптотической устойчивости системы с переключениями (2) достаточно, чтобы выполнялось неравенство A < В, где A и В определяются формулами (8) и (9).

Пример. Рассмотрим семейство, состоящее из трех уравнений:

x + x2x + 2xr = 0,

x 3x x x — 0, x + 2x x

+ kx7 = 0,

где k - положительный коэффициент. Функцию Ляпунова будем строить в виде

y 2 x8

v(x,y) = Y + + с2хАу + с3жу7. (10)

Здесь y > 9/5, ci > 0, c2 > 0, сз < 0. Пользуясь теоремой 1, выпишем достаточное условие существования для этого семейства общей функции Ляпунова типа (10):

f 1 k - 2 k - 11 f 3, , 1

max ——, —— ^ <mm -Д+Ц + 2 ■

Решая это неравенство, получим условие k < 13/2.

a

a

j

Исследование диссипативности. Для исследования системы (2) на равномерную диссипативность обратимся к теореме Йосидзавы [5]. Функцию Ляпунова опять строим в виде (3). Производная этой функции - Ш(х, у). Для того чтобы найти условия на параметры функции Ляпунова, при которых существуют Дх > 0, Д2 > 0, такие, что сама функция положительна при ||(х,у)|| > Дх, а ее производная - отрицательна при || (х, у) || > Д2, применим лемму (см. [16], с. 180). Для изучаемого случая она может быть записана таким образом.

Лемма 3. Рассмотрим функцию /(х) = сххР1 + с2х22 + с3х11 х22, где сх, с2, с3 -положительные коэффициенты; рг, 5г - положительные рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями. Будем считать, что — Н—- > 1.

Р1 Р2

Пусть для функции r(t, х), .заданной при £ ^ 0, ||х|| > Н, справедлива оценка \т(Ь, х)| ^ Ь\х1\1р1 \х2\Р2, Н > 0, Ь > 0, ^ 0, г = 1, 2. Тогда, для того чтобы при любом значении коэффициента Ь существовало положительное число Д, такое, что функция /(х) + т(£, х) < 0 при ||х|| > Д и £ ^ 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств

, Р1 ~ ^ ^ Р2 ~д2 , ^ п-п

¥>1 Н--г-< Р1, -г-< Р2- (11)

52 5х

Замечание 3. Если неравенства (11) в лемме 3 нестрогие, то такие условия являются необходимыми.

Используя свойства обобщенно-однородных функций [5], выпишем необходимые условия существования положительного Д1, такого, что функция Ляпунова V(х, у) > 0 при ||(х,у)|| > Дх. Имеем

. /3+1

2^ (12) 7 < ——•

г /3 + 1

Из первого условия леммы 3 с учетом замечания 3 для слагаемых (сх — Ъг)хву и агс2ха+^у в выражении для Ш(х, у) получаем соответственно неравенства р ^ в — а и р ^ в — а. Следовательно, должно иметь место равенство р = в — а. Рассматривая оставшиеся слагаемые с учетом этого соотношения, определяем необходимые условия существования положительного Д2, такого, что Ш(х,у) < 0 при ||(х, у)|| > Д2.

Если в < 2а + 1, то

р = в — а,

< 2/3—2а —1 ' ^ /3—а '

Поскольку р = в — а и р ^ 1, с помощью леммы 3 возможно исследовать только случай в ^ а + 1. Заметим, что при таких значениях параметров р и 7 условия (12) выполнены.

Повторяя рассуждения, проведенные при изучении асимптотической устойчивости, приходим к следующим результатам.

Теорема 3. Пусть а +1 ^ в < 2а +1. Тогда для существования общей функции Ляпунова вида (3) для семейства (1), удовлетворяющей требованиям теоремы Йосид-завы о равномерной диссипативности, достаточно, чтобы выполнялось неравенство А < В, где А и В определяются формулами (5) и (6).

Следствие 6. Пусть а + 1 ^ в < 2а +1. Тогда для равномерной диссипативности системы с переключениями (2) достаточно, чтобы выполнялось неравенство А < В, где А и В определяются формулами (5) и (6).

Теорема 4. Пусть в = 2а +1. Тогда для существования общей функции Ляпунова вида (3) для семейства (1), удовлетворяющей требованиям теоремы Йосидзавы о равномерной диссипативности достаточно, чтобы выполнялось неравенство A < В, где A и В определяются формулами (8) и (9).

Следствие 7. Пусть в = 2а+1. Тогда для равномерной диссипативности системы с переключениями (2) достаточно, чтобы выполнялось неравенство A < В, где A и В определяются формулами (8) и (9).

Литература

1. DeCarlo R., Branicky M., Pettersson S., Lennartson B. Perspectives and results on the stability and stabilisability of hybrid systems // Proc. IEEE. 2000. Vol. 88. P. 1069-1082.

2. Hai Lin, Antsaklis P. J. Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results // IEEE Trans. Automat. Control. 2009. Vol. 54, N 2. P. 308-322.

3. Shorten R., Wirth F., Mason O., Wulff K., King C. Stability Criteria for Switched and Hybrid Systems // SIAM Rev. 2007. Vol. 49, N 4. P. 545-592.

4. Александров А. Ю., Платонов А. В. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 2002. 79 с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 469 с.

6. Liberzon D., Morse A. S. Basic Problems in Stability and Design of Switched Systems // IEEE Control Syst. Magazin. 1999. Vol. 59, N 15. P. 59-70.

7. Пакшин П. В., Поздяев В. В. Критерий существования общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго порядка // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. Вып. 4. С. 22-27.

8. Narendra K. S., Balakrishnan J. A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-matrices // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. Vol. 39, N 12. P. 2469-2471.

9. Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory / eds. by V. D. Blondel & A. Megretski. Princeton: Princeton University Press, 2004. 334 p.

10. Kosov A. A., Vassilyev S. N., Zherlov A. K. Logic-based controllers for hybrid systems // Intern. J. Hybrid Syst. 2004. Vol. 4, N 4. P. 271-299.

11. Aleksandrov A. Yu., Chen Y., Kosov A. A., Zhang L. Stability of Hybrid Mechanical Systems with Switching Linear Force Fields // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2011. Vol. 11, N 1. P. 53-64.

12. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959. 324 с.

13. Rouche N., Habets P., Laloy M. Stability Theory by Liapunov's Direct Method. New York e. a.: Springer, 1977. 300 p.

14. Васильев С. Н., Косов А. А. Общие функции Ляпунова и вектор-функции сравнения Матро-сова в анализе гибридных систем // Труды X Междунар. Четаевской конференции. Т. 2. Секция 2: Устойчивость. 12-16 июня. Казань, 2012. С. 162-176.

15. Aleksandrov A. Yu., Murzinov I. E. On the Existence of a Common Lyapunov Function for a Family of Nonlinear Mechanical Systems with One Degree of Freedom // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2012. Vol. 12, N 2. P. 137-143.

16. Александров А. Ю., Платонов А. В. Метод сравнения и устойчивость движений нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 263 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 30 мая 2013 г.