CC BY
25
УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНОГО КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
EQUATION OF LONGITUDINAL VIBRATIONS OF PRESTRESSED TRANSVERSELY ISOTROPIC PLATE
И.А. Гелюх, P.H. Степанов
P.A. Gelukh, R.N. Stepanov
ГОУ ВПО МГСУ
В этой статье, предварительно напряженные трансверсалъно-изотропные пластины принимаются как трехмерные трансверсалъно-изотропные тела и формулируются их приближенные уравнения продольных колебаний.
In this article, pre-stressed transversely isotropic plates are taken as three-dimensional transversely isotropic bodies and formulate approximate equations of longitudinal vibrations.
Пластинки или в общем случае плоские элементы являются основными элементами многих современных конструкций. Во многих случаях материал плоского элемента предварительно-напряжен, что приводит к повышению прочностных свойств элемента.
В настоящей работе излагается теория колебания такого элемента для одного случая предварительного напряжения материала плоского элемента с учетом вязкости, т.е. на основе теории вязкоупругих сред.
1. Общая постановка задачи. Предварительно-напряженнную трансверсально-изотропную пластинку постоянной толщины будем рассматривать как вязкоупругую среду в трехмерной постановке, на внешних поверхностях которой задаются нестационарные внешние усилия или напряжения.
Пусть предварительно-напряженное состояние однородно в плоскости (x,y), т.е. оно имеет вид:
wo = cz (1Л)
Зависимости напряжений а от деформаций s для предварительно напряженной пластинки имеют вид:
Г A fîu /ôv dw
= [+ A12 b")] + (1 + c)A13 (—)
ox oy oz
Г A fîu /ôv dw
= [ A12 + A11(^)] + (1 + c) A13
ox oy oz
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
ди ,dv dw
°zz = A13[(^ + + (1 + С)A33
ox oy oz
dv dw
= AJb") + (1 + c)(—)] oz dy
A Г/^. /1 N/^W.,
Vz = A44 [(~ ) + (1 + c)(—)]
(1.2)
oz
1
dx
ди dv-
°xy =- (A11 - A12)[7T + T", 2 dy ox
Где Ay вязкоупругие операторы и равны
Aj (о=ay at) -jj -оасж
A0 = aj
1 - J fj (СЖ
(1.3)
Уравнения движения материала пластинки в перемещениях запишутся как
{А11 ТГ + 1( А11 - А12 ) + А44 + 1( А11 + А^ +
ох 2 оу 01 2 охоу
+(1 + c)( A13 + A44)
д2 w dxdz
д 2и = Р1 ^t2
1
{A +1(A _ A ) ^+A {A11 д 2 + 0 (A11 A12^ 2 + A44 д 2 ■■ 0
oy 2 ox oz 2
2 ' ~ vn "12/ ~ 2 ' '^44 ~ 2 } + ^ (A11 + A12) Ox
д2 w 5 2v
д и
dxdy
(1.4)
+(1 + c)( A13 + A44)
dydz
= P1 dt2
32 w д2 w д2 w д2и д2 v
(1 + c){A33 ^Г + A44 ЬТ +ТГ)} + (A13 + A44) -Г-Г- + (A13 + A44 )
oz ox oy oxoz oyoz
= P\
д2 w ~d?
В общем случае колебания пластинки вызываются внешними усилиями, приложенными к поверхности пластинки, т.е. граничные условия принимают вид
^zz = Fz± (x, y, t)
^ = К (x, y, t) (1.5)
^yz = К (^ У, tЬ (z = ±h)
Начальные условия задачи будем считать нулевыми.
Таким образом, трехмерная задача о колебании предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластинки сводится к решению уравнений колебания (1.4) с граничными условиями (1.5) и нулевыми начальными условиями. Общие решения уравнений (1.4) будем искать в виде
ГО • 7 К
Г sin kx . „ rcos qy г
-}dk |———}dq I u1 exp(pt)dp
'- cos kx 0 sin qy
( e)
ГО Ах Ю '
v = f——}dk f Slnq }dq fvlexp(pt)dp (1.6)
¿sin kx 0 - cos qy ¿
cos kx cos qy
w = I-}dk I-}dq I wl exp(pt)dp
o sin kx O sin qy ¿
Подставляя (1.6) в уравнения (1.4) для определения ul,vl,wl получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Общие решения уравнений строятся стандартными методами и равны Ul(0) = Alch(al z) + A1 ch(a2 z) + A3 sh(al z) + A4 sh(a2 z)
Vl(0) = Blch(Pz) + B2 sh(fíz) (l.7)
W/0) = Alwl sh(al z) + A2o>2 sh(a2 z) + A3mlch(al z) + A4®2 sh(a2 z)
Где al,a2,¡3 - корни уравнений (l + c) AO A(0a4 - {[A4(40) + (l + c) AO ]ApP + (l + c)[Al<0> AO + a4? -
-(A^ + A^40))2](k2 + q 2)}a2 + [ «k2 + q2) + A p 2][(l + c) ^ (k2 + q2) + A p2] = 0 (l.8)
AÍ40)^2 -[j« - A(0))(k2 + q2) + Ap2] = 0 При этом
aQ2 -[AQ(k2 + q2) + Ap2] (l9)
' а,- (k2 + q 2)(l + c)( A(0) + A<40))
Разложим гиперболические функции в выражениях в степенные ряды по аргументам и введем вспомогательные неизвестные, которые являются первыми слагаемыми в рядах.
= Al + A;Vl0 = Bl;Wl0 = aI®I«I + A^l (l l0)
U20 = Clal + C2a2;V20 = ¡3B2;W20 = Clal + C2a2
Переходя от постоянных Aj,Bj, Cj к переменным (l.l0), и обращая полученные выражения по k, q, p, для величин U ,V ,W, через величины Uj ,Vj ,Wj получаем общее решение задачи Коши.
Рассмотрим продольные колебания предварительно напряженной трансверсаль-но-изотропной пластинки.
2. Продольное колебание. Оно возникает, когда внешние усилия удовлетворяют условиям F^ = = Fz; Fj2 = Fjz = Fjz, при этом неизвестные U2, V2, W2 равны нулю.
Из полученной системы трех уравнений относительно Ul,Vl,Wl нетрудно получить приближенное уравнение. Ограничиваясь в рядах общих уравнений первыми слагаемыми, получаем приближенную систему, где (р , у равны А^ = Ul, А у = V и являются потенциалами продольных и поперечных волн при z=0, a Wl определяется из третьего приближенного уравнения. Имеем
Д2 l 8F 8F
[А — - Азз1 (АцA33 - (l + c)A2)Д]р = Al3 (Fz) + - АззА-1 (-^ + (2.l)
ot h ох oy
4/2010 М1 ВЕСТНИК
Литература
1. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах, М, 2007г.
2. Егорычев О.О., Колебания плоских элементов конструкций, АСВ, М, 2005г.
References
1. 1. Filippov I.G., Filippov S.I. Oscillatory and wave processes in continuous compressible media, M, 2007.
2. 2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.
Ключевые слова: предварительно напряженная трансверсально-изотропная пластина, продольное колебание, приближенное уравнение, граничные условия, уравнения колебания, задача Коши, вязкоупругая среда
Key words: pre-stressed transversely isotropic plate, the longitudinal vibration, the approximate equation, boundary conditions, wave equation, Cauchy problem, viscoelastic medium
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26
e-mail: [email protected] Контактные данные: (495)183-24-01, e-mail: [email protected]
Статья представлена Редакционным советом «Вестник МГСУ»
