О пределе упругого деформирования трансверсально-изотропных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Борисов А.В., асп. (4872) 35-14-82, ekc_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),

Кузнецов Е.Е., , канд. физ.-мат. наук, доц., (4872) 35-14-82, ekc_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),

Матченко Н.М., д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 35-14-82, ekc_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)

О ПРЕДЕЛЕ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Посредством аффинных преобразований компонент тензора напряжения и тензора деформации вводится понятие аффинно-подобных трансверсально-изотропных материалов. Среди бесконечного множества трансверсально-изотропных аффинно-подобных материалов выделяется класс материалов, энергия деформирования которых расщепляется на шаровую и девиаторную части. Предложен критерий предельного упругого деформирование трансверсально-изотропного материала. Указываются пути экспериментального определение механических характеристик предельного состояние.

Ключевые слова: упругость, аффинные преобразование, предел упругого деформирование.

1. Закон Гука для трансверсально-изотропного материала.

Пусть трансверсально-изотропна среда отнесена к прямоугольной декартовой системой координат x, y, z. Надраим ось z нормаьно к

плоскости изотропии, а оси x и у - в этой плоскости произвольны. Уравнения закона Гука имеют вид

ex = a11®x ~ a12Pу ~ a13^z, eyz = a44^yz; ey = _a12^x ^ a11°y _ a13^z, exz = a44^xz;

ez = _а13(x + ay)~a33®z, exy = a66®xy, (1)

где ex, ..., exy - компонентьытензора деформации, ax, ..., axy - компоненты: тензора напряжений, йц, ..., agg - характеристики анизотропии упругих свойств.

Механические характеристики ац, ..., agg связаны1 с техническими характеристиками соотношениями

а11 = 1 / Ex, а12 = yyx ^ Ey, а13 = = zx ^ Ex, а33 ~=/Ez;

а66 _ 1 / 2Gxy = a11 ~ а12 _ ( 1 ^ yyx )/ Ex, а44 _ 1 / 2Gxz. (2)

Трансверсаьно-изотропное тело обладает упругим потенциаом, имеющим формы! билинейную

2Ж вхах + вуау + ег аz + 2(вхуаху + еуг + ехг ®хг )

и квадратичную

Ж = ап{а'2 + а2;)+ ¿/33а;2 -2[а\2ахау + а13(ах + ау)z] +

4 ¿44 (а1 + а^ )+ 4а66а2у • (3)

В общем случае упругий потенциал не расщепляется на шаровую и девиаторную части.

Исследуем возможность расщепления энергии деформирования трансверсаьно-изотропного тела на шаровую и девиаторную части, ввода аффинное моделирование [4].

2. Аффинно-подобный материал.

Введем аффинно-подобный материа посредством аффинных преобразований:

- компонент тензора деформации

2 2 , 2

6Х — О ^, ву — О вц, 6z —Ъ 2

6ху = а 6E>r^, 6xz = 6yz = (4)

- компонент тензора напряжен я

2 2 2 ах — а^/ а , ау — ац/ Ъ , аz — ас / Ъ ;

2

аху =а^г/а , аxz =а^с/аЪ’ аyz =агс/аЪ. (5)

При выполнен и аффинных преобраований (4) - (5) упругий потен-циа (3) принимает вид

2,Ж = 6хах + 6уау + 6z аz + 2(вхуаху + 6yz аyz + 6xzаxz ) —

— в^а^ + вуЦ^г + в^а^ + 2(га^г + в^а^ + в^а^ )•

4 4 4 2 2

где Ъ\\ — а\\/а , Ъ\2 — а\2/а , Ъзз —¿33/Ъ , Ъ\з — а\з/аЪ ,

Ъ44 — а44 / а2Ъ2, Ъбб — абб/ а4 - коэффициенты податливости трансверсаль-но-изотропного аффинно-подобного материаа.

Моделируемый и аффинно-подобный материаы являются энергетически сопряженными:

2,Ж = вхах + вуау + 6z аz + 2(вхуаху + 6yz аyz + 6xzаxz ) —

— в^а^ + вгаг + в СаС + 2(в£ла^г + в^СаС + вгСагС^ (6)

Закон Гука (4) для аффинно-подобного материаа принимает вид вЕ, = ка — Ъ\2аг — Ъ\3аС, вгС = Ъ44агС; вГ — _Ъ\2аЕ, + ЪИаг “Ъ\3аС ’ в^С =Ъ44а^С; вс=-Ъ\3(а+аг)+Ъ33аС’ в^г=Ъбба ц.

Поскольку параметры а и Ь пр°извольны, то формулами (4), (5) вводится бесчисленное множество моделей трансверсально-изотропных аффинно-подобных материалов.

3. Аффинно-подобный объемно-изотропный матери а.

Пусть на трансверсаьно-изотропный аффинно-подобный материал воздействует напряжение

а; =ал =аС=ао, (7)

где ао = (а; + ал + а)/3 - среднее аффинное напряжение.

Величину ао будем рассматривать как обобщенное аффинное гидростатическое давление. Из (7), следует, что в аффинно-подобном мате-риае возникнут деформации

е; = ел = (1 _Ь12 _Ьи)ао, ^ = (2Ь13 + Ьзз >Уо.

Полученные соотношения перепишем в виде

ео = Pоао, е; - ео = ел _ ео = р;а еС“ео = Рса (8)

где введены обозначения:

ео = ( + ел + е^)/3, ро = [2(ЬП -Ь12 -2Ь13) + Ьзз]/3,

Р; = Ь11 - Ь12 - Ь13 -P0, РС = -2Ь13 + Ь33 -ро-

Величина ео определяет среднюю аффинную деформацию. Из (8) следует, что среднее аффинное напряжение ао вызывает в аффинноподобном материае изменение формы.

Используя произвол в выборе параметров аффинною преобраова-ни а, Ь, среди бесконечного множества аффинно-подобных материаов выделим класс аффинно-подобных материалов, у которых среднее аффинное напряжение не вызывает изменение формы:

е; - ео = е^ - ео = ес - ео = о. Такие аффинно-подобные материаы будем

наывать объемно-изотропными.

Така реакция аффинно-подобного трансверсаьно-изотропного материла на воздействие среднего аффинного напряжения возможна в том случае, если р; = рс = о:

Ь11 -Ь12-Ь13 = P0, Ь33 ~2Ь13 = Ро- (9)

Исключа параметр ро из уравнений (9), получим

^33 _Ь13 +Ь12 _Ь11 = о.

Учитыва зависимости (6), придадим уравнению (9) вид

4 2

а33® + а^ю -ац - а12 = о,

где со = Ь / а.

Отсюда

8о

®2 = - а13 + V4 + 4(а11 + а12 )а33 /2а33 или, используя технические характеристики,

Из уравнений (6) найдем

Таким образом, компоненты аффинного преобразования можно задавать с точностью до параметра а.

Отметим, что требование объемной изотропии для аффинноподобного материала не накладывает никаких ограничений на механические характеристики моделируемого материала.

Для объемно-изотропного материла в аффинном пространстве закон Гука можно записать в виде

где введены обозначения

¿11 =¿11 -Р0/3, ¿12 = ¿12 - Р0/3, ¿13 - ¿13 -Р0/3, ¿33 =¿33 -Р0/3. Учеты вм, что

Для аффинно-подобного трансверсально-изотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии, упругий потенциал можно записать в виде

Таким образом, энергия упругого деформирования аффинноподобного трансверсально-изотропного материала, обладающего свойством объемной изотропии, расщепляется на шаровую и девиаторную части.

4. Условие предельного состояния.

е£, = р0а0 + ¿11а^ + ¿12ал + ¿13аС ’ ЄЛС = ¿44алС’ еЛ = Р0®ср +¿12^ +¿11^^ +¿13^’ = ¿44^;

еС =Р0°0 + ¿13 +^л)+b~33^С’ Є;Л = ¿бб^Л’ (10)

В литературе наблюдается тенденция связать характеристики предела упругого деформирования с механическими характеристиками упругого деформирования [1-3, 4-8]. К такого типа предложениям следует относиться весьма осторожно, поскольку даже для изотропных материалов в экспериментальных исследованиях не наблюдается корреляция упругих характеристик с характеристиками предельного сопротивления.

Рассмотрим класс материалов, для которых предельное состояние определяется квадратичной функцией

где сц, ..., Сбб - характеристики предела упругого деформирования.

Параметры Сц, ..., Сбб связаны с пределами упругого сопротивления соотношениями

где ах - предел упругого сопротивления при одноосном растяжении в

плоскости ху, - предел упругого сопротивления пи растяжении

вдоль оси г; %8хгпредел упругого сопротивления при сдвиге в плоскости

хг; а25(ху), а2э(хг) - предеы упругого деформирования пи двухосном

сжатии вдоль главных осей анизотропии. Для определения пределов упругого деформирования необходимо повести пять экспериментов. Введение различных гипотез позволяет сократить количество экспериментов, необходимых для определения механических характеристик. Например, гипотеза о нечувствительности пределов упругого сопротивления приводит к зависимостям

аsx ~ а25(хг); аsz ~ а25(ху)•

Известно, что гидростатическое давление приводит к формоизменению анизотропного материала, поэтому рассмотрим иную систему гипотез, позволяющую учесть этот факт.

По аналогии с (4) - (5) введем аффинные преобразования

(11)

С11 -1/; с33 -1/; с66 - С11 +с12; 11 111

1

компонент тензора напряжения

Х Т^Т| / а* , ^Х2 Т^С / Ь* , ^у2 ^ЛС / а*Ь*

где є^, ..., Є^Л и т, • ”, Тл " компоненты аффинных деформаций и напряжений, связанных с квадратичной формой предельного состояния (11),

а*Ь*

В аффинном объемно-изотропном пространстве условие предельного состояния (11) можно представить в виде

30X00 + ~12( - Тл )2 + ~13 [(^ - т )2 +

+ (тЛ _Тс)2]+4с44(Лс + х2С)+4с66х2л =

где

2 2 0 = С11 + С12 + Ю*С13 = СО*

+ <»*33

О* =

- С13 + д/С13 + 4(с11 - с12)сзз

/2с

33:

~о/3;

/ 3, Ю* — Ь* / а*.

с11 - с11 _ р0 /3; с12 - с12 _ р0 /3; с13 - с

~33 - с33 _ р0 /3; ~0 = [2(с11 _ с12 _ с13 ) + с33. -Рассмотрим класс материалов, нечувствительных к воздействию аффинного давления То . В этом случае на характеристики предельного состояния накладывается условие

С11 ^ с12 ^ = ю* (2с13 ^ ®*с33 )

или

(12)

-2 2І -2 , -2 -2 \ 4 -2_п

Х2 sxy Ю**Х sx +Хяі Х2sxz) Ю*Х sx = 0.

Тогда условие предельного состояния принимает вид

[(сх-схУ +(ал-Хс)2 |+

(ХЕ, Хл) + с13

+ 4 С44 (аЛл + Х^)+ 4с66х!л = 1.

Введем гипотезу о совпадении обобщенных аффинных средних напряжений а о и то при воздействии на материал гидростатического давления а:

2 /п. 2 ч 2 /п. 2ч

а (2 + со ) = а* (2 + со*)

Если предположить, что трансверсально изотропный материл обладает свойством

ю — ю*, а — а*

то соотношения (12) и (13) позволяют не проводить эксперимент на двухосное сжатие.

Параметр a находится из условия сопряжения аффинного и физического пространств.

Библиографический список

1. Алфутова Н.Б. Отношение эквивалентности упруго-пластических свойств анизотропных тел. МГУ. М., 1987, 18 с. Деп. в ВИНИТИ 4159-В-87. от 09.06.1987.

2. Ильюшин А.А. Об изоморфизме упругопластических свойств анизотропных тел // Тезисы докладов YI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

3. Кравчук А.С. О теории пластичности анизотропных материалов // Расчеты на прочность. М., 1986, № 27. С 21-29.

4. Кузнецов Е.Е. О закономерностях аффинного моделирования в линейной теории упругости анизотропных сред // Известия ТулГУ. Серия. Механика деформированного твердого тела и обработка металлов давлением. 2008. Вып. 3. С. 31-39.

5. Ломакин В.А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 4. С. 60-64.

6. Лукьянов А.А, Пеньков В.Б. Корректна модель несжимаемой анизотропной ассоциированной пластичности: течение Хилла // Вестник СамГУ. Естественнонаучна сери. 2007. № 4. С. 280-289.

7. Рыхлевский Ян. Разложение упругой энергии и критерии предельности// Успехи механики. 1984. 7. Вып. 3. С. 51-80.

8. Рыхлевский Ян. Об энергетическом пределе упругости анизотропного тела // Упругость и неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам мехники деформируемого твердого тела, посвященного 95-летию А.А. Ильюшина. М., 2006. С. 228-236.

A. Borisov, Y. Kuznetsov, N. Mattchenko

About a limit of elastic deformation of cross-section-isotropic environments.

By means of affine transformations the component тензора pressure and deformations is entered concept of affine-like cross-section-isotropic materials. Among infinite set of cross-section-isotropic affine -like materials the class of materials which energy of deformation is split on ' energy of change of volume and the form is allocated. The criterion of limiting elastic deformation of a cross-section-isotropic material is offered. Ways of experimental definition of mechanical characteristics of a limiting condition are specified.

Получено 05.08.09