Контактная задача с силами трения для трансверсально изотропного полупространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2015. № 1

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА С СИЛАМИ ТРЕНИЯ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА*

© 2015 г. Д.А. Пожарский, Т.Г. Замулина

Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, e-mail: pozharda@rambler. ru

Замулина Татьяна Геннадиевна - аспирант, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000.

Pozharskii Dmitrii Aleksandrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: pozharda@rambler. ru

Zamulina Tatiana Gennadievna - Post-Graduate Student, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia.

Исследована квазистатическая контактная задача с учетом сил трения Кулона для трансверсально изотропного полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его границе. На основе решения задачи Буссинеска, полученного при помощи двукратного интегрального преобразования Фурье, контактная задача сведена к двумерному интегральному уравнению первого рода. Затем для решения использован метод Галанова нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, позволяющий одновременно определить область контакта и давления в этой области. Сделаны расчеты контактного давления и вдавливающей силы для эллиптического штампа при разных направлениях движения и упругих материалах. Ранее аналогичные задачи изучались без учета сил трения.

Ключевые слова: контактная задача, трение, полупространство, анизотропия.

The quasi-static contact problem is investigated taking friction force into account for a transversely isotropic half-space is investigated, when the isotropy planes are perpendicular to its boundary. On the basis of a Boussinesq problem, the solution of which has been derived with the help of a double Fourier transformation, the contact problem is reduced to a two-dimensional integral equation of the first kind. Then for solving the problem the Galanov 's method of Hammerstein type nonlinear boundary integral equations is used, which allows us to determine the contact domain as well as the contact pressure simultaneously. The contact pressure and the impressed force are calculated for an elliptical punch for different directions of motion and elastic materials.

Keywords: contact problem, friction, half-space, anisotropy.

Рассмотрим квазистатическую контактную задачу для трансверсально изотропного полупространства х>0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии г=сош1 Жесткий штамп начинает движение по границе х=0 под углом р к оси г. Силы куло-новского трения направлены против движения. Форма основания штампа описывается функцией /(у, 2). На штамп действует нормальная вдавливающая сила Р и касательная сила Т=дР (в направлении движения; д -коэффициент трения). При известных параметрах упругости А1Ь А13, А33, Л44, А66, величинах р, ц, осадке штампа 5 и функции /(у,г) требуется определить контактное давление ах(0,у,г)=-д(у,г), а также область контакта Затем можно определить силу

Р = Ц ц(у, . (1)

□

На основании решения задачи Буссинеска [1] сведем задачу к следующему интегральному уравнению (ИУ) относительно д(у,г):

-— Я q( Уо , zo)F (y - Уo,z - zo )dyodzo =

A

66 Q

=2я[5-/(y,z)], (y,z)eQ,

(2)

F (y, z) = Y3 K (y, z) + ц cos ßKj (y, z) + ц sin ßK (y, z),

K (y, z) =

L1( У, z) L2( У, z)

L1(У,z) = (m2 -ml)y24Y2y2 + z2 a/yIj

2 2 2 / 2 2 2 2-'2 + z л/Y2 У + z2

L2(y,z) = m2[(mi + 1)y2y2 + 2z2]2 Jy2У2 + z2 -

-mi[(m2 + 1)YзУ2 + 2z2]2 л/Y2У2 + z2 -

лг \ 2 I 2 2 , 2 I 2 2. 2 ¡22, 2 - 4(m2 -mi)z VYi У + z VY2У + z VY3У + z ,

Ki (y, z) = -1 J Л1(Ф)^2(Ф)-^f1^ COS2 <ф*р , n о 0(ф)[z COS ф- y sin ф]

*Работа поддержана грантом РФФИ 15-01-00331.

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2015. № 1

K 2( y, z) = У х ж

х j m2h1 (Ф)^2(Ф) - m1h2 (ф^1 (Ф) + 2(m1 - m2 )Cl (фК2(фК3(Ф) х 0

X sin2 фй?ф ,

2 2

Б(ф) = ^2^1 (ф)С2 (ф) " m1h2. (ф)С 1 (ф) + 2

+ 4(mi -^2)sin ф^1(ф)С2(ф)Сэ(ф),

2 2 2

hk (ф) = (m +1)y3Cos ф + 2sin ф, k = 1,2;

Сn(ф) = -/y2 cos2 ф + sin2 ф, n = 1,2,3; An Y2 - A44 A11y2 - A44 2 A44

m = 1111-44 , m2 = 1112-44, Y3 = —^

A13 + A44 4з + A44 Á66

2 2

Yi, Y2 являются корнями характеристического уравнения

4 2

Y An A44 - y [AnA33 - A13 (A13 + 2A44)] + (3)

+ A33 A44 = 0. ()

Для численного решения уравнения (2) применим метод нелинейных граничных ИУ, позволяющий одновременно определить область контакта и контактные давления [2, 3]. Проведена отладка метода при отсутствии трения путем сравнения с точным решением для эллиптического штампа [2], когда

0(ф)[z2 cos2 ф-y2 sin2 ф]

f (y,z) = y2 /(2Ä1) + z2 /(2R2).

Предположим, что область контакта содержится в прямоугольнике 5 = {| у |< Ъ, |< а}, который покроем равномерной сеткой (брали 13*13 узлов). При расчете значений ядра (2) в узлах сетки его особенности сглаживались путем регуляризации [2], которая применялась также при вычислении сингулярных интегралов по ф, входящих в формулы (2). Используем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем):

а

,_ y zi_ z g, _ 8 ^ _b

B=

a a

2Rj

q'(y'z')=qí.Ml F=-A

A = -P

2R

(5)

„2

x2 A66 A66 a'

В таблице даны значения давления q(y,0) при разных ц и ß (5=A=B=0,5, е=1; значения параметров

2 2 2

Yi, y2, У2, щ, m взяты из [2, таблица]. Как показывают расчеты, трение практически не влияет на вдавливающую силу P и давление в центре области контакта. При движении вдоль оси z (ß=0) функция давления становится несимметричной по переменной z, а при движении вдоль оси y (ß=rc/2) - несимметричной по переменной y. Несмотря на возникновение асимметрии, интегральная характеристика давления P сохраняет свое значение.

(4)

a

a

a

Контактные давления

Материал Ц ß y

-2/3 -1/2 -1/3 -1/6 0 1/6 1/3 1/2 2/3

Титан 0 — 0,573 1,15 1,41 1,54 1,58 1,54 1,41 1,15 0,573

0,2 ж/4 0,605 1,18 1,42 1,54 1,58 1,53 1,39 1,13 0,539

0,2 ж/2 0,621 1,19 1,43 1,55 1,58 1,53 1,38 1,12 0,527

Углеволокно 0 — 1,20 1,76 2,05 2,20 2,25 2,20 2,05 1,76 1,20

0,2 ж/4 1,23 1,78 2,06 2,20 2,25 2,19 2,03 1,74 1,17

0,2 ж/2 1,25 1,79 2,07 2,21 2,25 2,19 2,03 1,73 1,15

Керамика PZT-4 0 — 0,330 0,947 1,19 1,32 1,36 1,32 1,32 0,947 0,330

0,2 ж/4 0,376 0,977 1,21 1,33 1,36 1,31 1,31 0,915 0,286

0,2 л/2 0,396 0,991 1,22 1,33 1,36 1,31 1,31 0,902 0,268

Литература

1. Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for trans-

versely isotropic half-space // Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. 2011. Vol. 64, № 2. P. 151-170.

2. Бедоидзе М.В., Пожарский Д.А. Взаимодействие штам-

пов на трансверсально изотропном полупространстве // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78, вып. 4. С. 576-582.

3. Галанов Б.А. Нелинейные граничные уравнения кон-

тактных задач теории упругости // Докл. АН СССР. 1987. Т. 296, № 4. С. 812-815.

References

1. Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for transversely

isotropic half-space. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2011, vol. 64, no 2, pp. 151-170.

2. Bedoidze M.V., Pozharskii D.A. Vzaimodeistvie shtampov na

transversal'no izotropnom poluprostranstve [Interaction of the stamps on transversely isotropic half-space]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2014, vol. 78, no. 4, pp. 576-582.

3. Galanov B.A. Nelineinye granichnye uravneniya

kontaktnykh zadach teorii uprugosti [Nonlinear boundary equation of contact problems of elasticity theory]. Dokl. AN SSSR, 1987, vol. 296, no 4, pp. 812-815.

Поступила в редакцию_14 января 2015 г.