Клиновидный штамп на трансверсально-изотропном полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

КЛИНОВИДНЫМ ШТАМП НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

© 2013 г. Д.А. Пожарский, Д.Б. Давтян, Е.А. Артамонова

Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Давтян Давид Борисович - аспирант, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Артамонова Елена Александровна - аспирант, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Pozharskii Dmitry Aleksandrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Applied Mathematics Department, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Davtyan David Borisovich - Post-Graduate Student, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Artamonova Elena Aleksandrovna - Post-Graduate Student, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, e-mail: reception@dstu.edu.ru.

Исследована трехмерная контактная задача о действии клиновидного в плане штампа на трансверсально-изотропное полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. Упругая жесткость границы существенно зависит от выбранного направления на ней. В связи с этим рассмотрены два случая расположения клиновидной области контакта: она может быть вытянута вдоль первой или второй оси декартовой системы координат на границе тела. Для решения контактной задачи применяется интегральное преобразование Меллина и метод Галеркина, предложенный ранее для изотропного случая. Основное внимание уделяется выделению особенности контактного давления в угловой точке области контакта.

Ключевые слова: контактная задача, клиновидный штамп, полупространство.

The three-dimensional contact problem of wedge-shaped punch acting onto a transversely isotropic half-space is investigated when isotropy planes are perpendicular to the half-space boundary. The elastic stiffness of the boundary depends substantially on the punch direction on the boundary. Therefore two cases of location of the wedge-shaped contact domain are considered: it can be directed along the first or the second Cartesian system axis on the boundary. For solving the contact problem a Mellin integral transformation together with the Galerkin method are used which were applied earlier for the isotropic case. The main attention is put to the analysis of the contact pressure singularity at the angular point of the contact domain.

Keywords: contact problem, wedge-shaped punch, half-space.

Исследована контактная задача о действии клиновидного штампа на трансверсально-изотропное полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. Для решения применяется преобразование Меллина и метод Галеркина. Ранее рассматривалась аналогичная задача о действии эллиптического штампа [1].

В декартовых координатах рассмотрим трансвер-сально-изотропное упругое полупространство х>0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии 2=сош1 Закон Гука имеет вид [1]

ах = Лп % + (Лп -2Лбб)-^ + 4з ^,

диу л -uz , ,, 66;—у + Л13—z

дх ду dz

, л л ч дих диу duz

а у = (Л11 - 2Л66 + Л11 -¿у + Л13^Г

дх ду dz

. дих . диу . duz

а z = Л13 "Ц- + Л13 "Г + Лзз "Г >

дх ду az

дих диу

т ху = Л66 + Л66~^,

диу ди2 т уг = Л44 ""+ Л44 > ' L хг = Л44 + Л44 '

(1)

-uv , ди,

дz ду

Tv,= Лаа—^ + Л,

дz

дх

Получено [1] решение задачи Буссинеска для полупространства, подчиняющегося условиям (1). В зависимости от значений упругих постоянных Ар граница х=0 может быть жестче в направлении оси у или 2, что определяется сравнением значений нормальных перемещений точек, расположенных на осях на равных расстояниях от приложенной в начале координат нормальной сосредоточенной силы.

В условиях (1) рассмотрим контактные задачи без учета сил трения о вдавливании в полупространство клиновидного в плане штампа угла раствора 2Д В задаче А заданная область контакта симметрична по у, в Б - симметрична по 2. Введем полярные координаты (у=гсо$ф, 2=гаиф в задаче А; 2=гс0Бф, у=таиф - в Б) так, что область контакта описывается неравенствами 0<г<ю, |ф|<Д Используя фундаментальное решение [1], получим следующее интегральное уравнение относительно отнесенного к А66 неизвестного нормального контактного давления д(г,ф): Р ю

\ I к{г, р, ф, уЖр, у)рфй?у = /(г, ф), -р о

0<г<ю, -Р<ф<Р,

к (г, р, ф, у) =

1 да2я

= —-1 {Ф^ехр^/'а^cos(ф-y)-р^(у-у)]}а^а, 4л 00

где функция /г,ф) описывает подошву и жесткое перемещение штампа. Для задачи А • 2

Ф(у) = (т2 - т)1^ С 1С 2,

/ 2 2 2 С n =у1у2 sin Y + cos у (n = 1,2,3),

D = mih^Ci -2 - 4(mi -^«os2 У CiC2С3, (3)

2 2 2 hj = (m/ +1)Уз sin у + 2cos у,

2

А11У/ - A44

m =

(/ = 1,2), У3 =

a44

4,6

Q(s, v) = J q(p, v)p 0

s-1

dp, F (s, ф) =J f (r, y)rs 1dr, 0

1 c+ix

q(r, ф) = — J Q(s+1, ф)г

2ra c-ix

-s-1

ds.

(8)

4з + ^44

Параметры уь у2 находятся из уравнения у4AllA44 -у2^^ - Alз(Alз + 2A44)] + AззA44 = 0 . (4) Для задачи Б в формулах (3) для Ф(у) следует заменить у на у-л2.

Для исключения решений уравнения (2) с бесконечной энергией будем рассматривать случай, когда к функциям д(г,ф), /г,ф) применимо преобразование Меллина по переменной г и

р да р да

| а?ф | q(г, ф)гаТ < да, | а?ф | f (г, ф)Ыг < да. (5) -р 0 -р 0

Применив к уравнению (2) преобразование Мел-лина по г, придем к одномерному интегральному уравнению вида Р

\ N ф, +1, = F (s, ф), -р<ф<р, (6) -Р где

значения sk являются нулями определителя бесконечномерной матрицы с элементами (к, 1=0, 1, 2, ...)

л n(k -1) £ akl =- cos--- S Г„ (s) Jk (mP) x

4 2 ГУ) = —СГ>

x Z Tn+m (1 - s)fnJ/ ((n + m)ß)cos —. (10)

n=-x 2

Здесь fn - коэффициенты Фурье функции Ф(у) да (-1)n "

Ф(У) = Z fn exp(iny), fn = -—— J Ф(у) cos(ny)dy, (11)

( s + п V [ П - s + 2

Г„ (s) = г[ — ^ / ^ ^^

В расчетах полагали Ли=22, Л13=9, Л33=33, Л44=8, Л66=4 (случай уО; Л11=33, Л13=9, Л33=22, Л44=8, Л66=4 (случай у2); Л11=22, Л13=9, Л33=33, Л44=4, Л66=8 (случай 21); Л11=22, Л13=15, Л33=33, Л44=4, Л66=8 (случай 22). Для сравнения рассматривался изотропный материал (случай 0), когда /0=1, /„=0 („>1). Анализ значений нормальных перемещений точек поверхности полупространства, лежащих на координатных осях на равных расстояниях от нормальной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат, позволяет сделать вывод, что в случаях у1, у2 поверхность полупространства жестче в направлении оси у, чем в направлении оси 2, соответственно в 1,59 и 1,81 раза. Для случаев 21, 22 поверхность полупространства жестче в направлении оси 2, чем в направлении оси у, соответственно в 1,27 и 1,43 раза.

В таблице для разных случаев упругих материалов даны значения показателей особенности контактного давления е вида (9) в угловой точке.

Показатели особенности е

1 2л

N(s, ф, v) = j E- (s, 9-y)E+ (1 - s, у-у)Ф(у)^, (7) 4л2 о

ТО

E± (s, 9) = j exp(±/'tcos 9)ts-1dt. 0

Как известно [2], показатель особенности функции д(г,ф) при связан с точками спектра интегрального оператора (6). Полюсами sk функции g(s+1^) будут значения s, при которых могут существовать нетривиальные решения у соответствующего однородного уравнения, т.е. точки спектра интегрального оператора (6). Используя обратное преобразование Меллина, имеем

Случай Задача А Задача Б

ß=5ro« ß=3ro/4 ß=7rc/8 ß=5ro« ß=3*/4 ß=7^8

У1 0,28 0,08 0,01 0,44 0,29 0,08

У2 0,27 0,04 - 0,48 0,30 0,07

0 0,36 0,19 0,04 0,36 0,19 0,04

Zl 0,40 0,24 0,06 0,32 0,13 0,02

Z2 0,43 0,25 0,05 0,31 0,10 -

Согласно теории вычетов, из (8) получим, что при

Я(г, ф) = O(г "е), е = 1 + sk, sk е (-1;0). (9) Для нахождения проводится дискретизация уравнения (6) по схеме метода Галеркина [2]. В качестве базисных выберем функции Чебышева первого рода с весом [2]. В результате найдем, что искомые

Для острых углов р значения е для задач А и Б незначительно отличаются от соответствующих значений для изотропного полупространства [2] и не приводятся в таблице.

Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Пусть ось симметрии клиновидного штампа ориентирована в направлении координатной оси большей жесткости поверхности полупространства (случаи у1, у2 в задаче А; 21, 22 - в задаче Б). Тогда для острых углов р значения е больше (а для тупых углов р значения е меньше), чем для изотропного полупространства. Пусть упругая поверхность существенно жестче в направлении оси симметрии штампа, чем в перпендикулярном направлении (случай у2 в задаче А; 22 - в задаче Б). Тогда существует тупой угол р, начиная с которого контактное давление уже не имеет особенности вида (9), т.е. ограниченно. Пусть ось симметрии

x

0

n=-x

x

штампа направлена по оси меньшей жесткости поверхности полупространства (случаи 2Ь 22 в задаче А; уь у2 - в задаче Б). Тогда для острых углов р значения е меньше (а для тупых углов р значения е больше), чем для изотропного полупространства.

Работа поддержана грантом РФФИ 12-01-00065.

Литература

1. Fabrikant V.I. Non-traditional contact problem for trans-

versely isotropic half-space // Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. 2011. Vol. 64, № 2. P. 151-170.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика

неоднородных линейно-упругих сред. М., 1989. 344 с.

Поступила в редакцию_26 сентября 2012 г.