Контактная задача для неоднородного упругого полупространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА*

© 2014 г. Д.А. Пожарский, М.В. Бедоидзе

Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: [email protected].

Бедоидзе Мария Васильевна - аспирант, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000.

Pozharsky Dmitry Aleksandrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Applied Mathematics Department, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected].

Bedoidze Mariya Vasil'evna - Post-Graduate Student, Applied Mathematics Department, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia.

Исследована трехмерная контактная задача с неизвестной областью контакта для неоднородного упругого полупространства, когда модуль сдвига постоянный, а коэффициент Пуассона зависит от глубины. Дополнительная нормальная сила приложена вне области контакта. При помощи интегрального преобразования Фурье задача сведена к двумерному интегральному уравнению первого рода. Затем для решения использован метод Галанова нелинейных граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, позволяющий одновременно определить область контакта и давления в этой области. Сделаны расчеты контактного давления и вдавливающей силы для пирамидального штампа при тригонометрических законах изменения коэффициента Пуассона.

Ключевые слова: контактная задача, неоднородное полупространство, коэффициент Пуассона.

*Работа поддержана грантом «Михаил Ломоносов» Минобрнауки РФ и DAAD (Германия).

The three-dimensional contact problem with an unknown contact zone is investigated for an inhomogeneous elastic halfspace when shear modulus is constant while Poisson's ratio depends on depth. An extra normal force is applied outside contact area. With the help of a Fourier transformation the problem is at first reduced to a two-dimensional integral equation of the first kind. Then for solving the problem the Galanov 's method of Hammerstein type nonlinear boundary integral equations is used, which allows us to determine the contact domain as well as the contact pressure simultaneously. The contact pressure and the impressed force are calculated for a pyramidal punch for trigonometric distributions of Poisson's ratio.

Keywords: contact problem, inhomogeneous half-space, Poisson's ratio.

Исследована трехмерная контактная задача с неизвестной областью контакта для неоднородного упругого полупространства, когда коэффициент Пуассона зависит от глубины. Дополнительная нормальная сила приложена вне области контакта. Для решения задачи использован метод нелинейных граничных интегральных уравнений (ИУ) [1]. Ранее аналогичные задачи рассматривались в осесимметричной постановке без учета действия дополнительной силы [2, 3].

Рассмотрим задачу о вдавливании штампа, основание которого описывается функцией /(х,у), в неоднородное полупространство г>0, модуль сдвига О=сош1, коэффициент Пуассона изменяется по одному из законов:

1) к(*) = 1 ~ 1

2) К z) = 1 -

a + b sin(cz) 1

(0 <v(z) < 1/2) . (1)

а + Ь со$(с2)

Штамп вдавливается без перекоса нормальной силой Р, в точке х=х0, у=2=0 действует дополнительная нормальная сила Q. Пусть 5 - осадка штампа; О - неизвестная область контакта. При заданных /(х,у), О, к^), 5, Q, х0 требуется определить контактное давление сг(х,у)=д(х,у), найти О и Р.

При помощи преобразования Фурье задача сводится к ИУ вида

Л 4(4, Л)К(4, Л, х, у)й4йл = й(х, у), (х, у) е П, (2) п

К(4,Л,X,у) = 1 Л,

0 л п (0

1 I (Я /)

й(х, у) = 2П?[8 - /(х, у)] - Q | -0Я2 ж,

0 'Л п (0

Я = у!(х-4)2 + (у-Л)2, Яо =7(X-хо)2 + у2,

. .. a 2bc Ai(t) = - +

t c 2 + 4t2'

K2(t) = - +

4bt

t c2 + 4t2

д'(х',у') = д(х,у)/(2пОа), Р' = Р/(2пОЪ а), 0 = Q /(2пф 2а), П ^ П и т.д.

Штрихи далее опускаем. Параметр Я характеризует частоту осцилляций коэффициента Пуассона. Из ядра ИУ (2) при п=1 выделим особые члены, представив его в обозначениях (3) в удобной для вычислений форме

Kx,у) =1 - b-Kо(Л) + R 4Л 2

+ b2 - t2 J o(Rt )dt

1 b (Л2 + 4t 2)(Л2 + 4t2 + b1t)'

(4)

_ 2b Л 1 a

Для второго закона (1) в обозначениях (3) изменим только величины

д'(х',у') = д(х,у)а/(2яС?), Р = Ра /(2лОЬ2), 0 = 0а1/(2яф2), а1 = 1/(а + Ъ). (5)

Штрихи далее опускаем. Из ядра ИУ (2) при п=2 выделим особые члены, представив его в обозначениях (3), (5) в удобной для вычислений форме

К(4, л, х, у) =1 +^ [Iо (кЯ) - ¿0 (кЯ)], Я 2к

b2 =

Ä2ba1

ko =

Л

(6)

4 0 2 * 1 В формулах (2)-(6) ^(х), К0(х), 10(х) - функции Бесселя; Ь0(х) - функция Струве, для вычисления которой можно использовать разложение

2п+1

Lo(x) = - Е

(7)

где п=1 и п=2 соответственно для первого и второго законов (1).

Для решения ИУ (3) при условии д(х,у)=0, (х,у)еЗО используем метод нелинейных граничных ИУ [1], позволяющий одновременно определить область контакта и контактное давление.

Для первого закона (1) введем безразмерные обозначения:

х = х/Ъ, уу = у/Ъ, 8' = 8/Ъ , Л = Ъс, х0' = х0/ Ъ, Я' = Я / Ъ, (3)

п п=0 [(2п +1)!!]2 В таблице для синусоидального и косинусоидаль-ного законов (1) при а=1,5, ¿=0,1 даны значения контактного давления ^0=^(0,0) и силы Р, рассчитанные при разных значениях Ли Q при 8=1, х0=1,5 для пирамидального штампа, когда /(х.у)=шах(|х|,|у|).

Дополнительная сила Q влечет нарушение симметрии контактных давлений относительно точки первоначального контакта. Как видно из таблицы, при уменьшении параметра Л давление и вдавливающая сила возрастают. При увеличении значения дополнительной нормальной силы Q вдавливающая штамп сила Р и давление д0 снижаются.

Аналогичные выводы сделаны для случая вдавливания эллиптического параболоида и для монотонного закона изменения коэффициента Пуассона [2]

к( *) = 1--1 . (8)

а + Ъ exp(-2cz)

Значения давления и силы P

1 Синусоидальный закон Косинусоидальный закон

0=0,1 0=0,2 0=0,1 0=0,2

qo P q0 P q0 P q0 P

10 0,478 0,212 0,468 0,183 0,459 0,197 0,448 0,169

6 0,479 0,212 0,469 0,184 0,465 0,199 0,454 0,170

2 0,481 0,214 0,471 0,186 0,473 0,203 0,462 0,174

1 0,482 0,217 0,472 0,189 0,475 0,206 0,464 0,178

0,5 0,483 0,220 0,473 0,192 0,476 0,208 0,465 0,180

Литература

1. Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гам-мерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, вып. 5. С. 827-835.

2. Borodachev A.N. Rigid punch on an elastic semispace with a depth-varying Poisson ratio // International Applied Mechanics. 1984. Vol. 21, № 8. P. 753-757.

3. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М., 2006. 236 с.

Поступила в редакцию 14 мая 2014 г.