Периодические контактные задачи для слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2019-1-30-32

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ*

© 2019 г. Д.А. Пожарский1, М.В. Бедоидзе1, Е.Д. Пожарская1

1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия

PERIODIC CONTACT PROBLEMS FOR A LAYER

D.A. Pozharskii1, M.V. Bedoidze1, E.D. Pozharskaya1

1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia

Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: pozharda@rambler.ru

Бедоидзе Мария Васильевна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: masha.bedoidze@gmail.com

Dmitrii A. Pozharskii - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: pozharda@rambler.ru

Marya V. Bedoidze - Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: masha. bedoidze@gmail. com

Пожарская Елизавета Дмитриевна - студент, кафедра Elizaveta D. Pozharskaya - Student, Department of

прикладной математики, Донской государственный техни- Applied Mathematics, Don State Technical University,

ческий университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail:

344000, Россия, e-mail:pozharskaya.elizaveta@rambler.ru pozharskaya.elizaveta@rambler.ru

Рассматриваются трехмерные периодические контактные задачи теории упругости для неоднородного слоя с переменным по глубине коэффициентом Пуассона и постоянным модулем сдвига. Модуль Юнга также изменяется по глубине соответствующим образом. Одна грань слоя находится в условиях скользящей или жесткой заделки, другая контактирует с периодической цепочкой штампов, расположенных вдоль одной из осей координат. Фундаментальные решения для упругого слоя с переменным коэффициентом Пуассона были получены А.Н. Бородачевым при помощи представления Фрайбергера. На основе этих решений контактные задачи сведены к интегральному уравнению, из ядра которого выделена главная часть. Предполагается, что область контакта неизвестна. Для решения используется метод Б.А. Галанова нелинейных граничных интегральных уравнений, который позволяет одновременно определить область контакта и контактные давления. Сделаны расчеты механических характеристик при разных параметрах неоднородности, относительных толщинах слоя и полупериодов контакта. Ранее в трехмерной постановке исследовались периодические контактные задачи для однородного упругого слоя.

Ключевые слова: периодическая контактная задача, неоднородный упругий слой.

Three-dimensional periodic contact problems of the elasticity theory are considered for an inhomogeneous layer with variable Poisson's ratio in depth and constant shear modulus. The Young's modulus is also variable in depth. One laye face is subject to sliding support or fixed while the other layer face contacts with a periodic punch system situated along one coordinate axis. Fundamental solutions for an elastic layer with variable Poisson's ratio were derived by A.N. Borodachev with the help of Freiberger presentation. On the basis of those solutions the contact problems are reduced to integral equations with separated principal parts in their kernels. For the case of unknown contact zones, the B.A. Galanov method of nonlinear boundary integral equations is used which make it possible to determine the contact zones and the contact pressures simultaneously. Mechanical characteristics are calculated for different values of nonhomogeneity parameter as well as for different relative layer thickness and the contact semiperiod. Earlier similar three-dimensional periodic contact problems were treated for a homogeneous layer.

Keywords: periodic contact problem, inhomogeneous elastic layer.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00017).

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Исследуются периодические контактные задачи с заранее неизвестной областью контакта для упругого слоя {|x|«», |у|«», 0<z<h}, упругий материал которого характеризуется постоянным модулем сдвига G и переменным по глубине коэффициентом Пуассона v(z). Грань слоя z=h находится в условиях скользящей или жесткой заделки (задачи А и Б соответственно). Грань z=0 взаимодействует с бесконечной цепочкой одинаковых и равноудаленных друг от друга штампов, вытянутой вдоль оси x. К штампам периодическим образом приложены одинаковые вдавливающие силы P. Осадки штампов равны 8, формы основания - круговые параболоиды.

Фундаментальные решения, необходимые для вывода интегрального уравнения контактных задач А и Б, получены в работе [1].

Пусть характеризующая указанную неоднородность функция у(z) = [1 — v(z)]—1 [1] разлагается в степенной ряд по z/h. Далее без ограничения общности будем удерживать в этом разложении два первых члена:

у( z) = a0 + a^z / h, a0 = [1 -v(0)] 1.

(1)

J J

00 = Gao,

L(r) =

4^20oh

L(r) , £+ 2km-x4 , л-Z cos( -)cos(t—

r k=-~ h I

y

)dsdt,

ch(2r) -1

sh(2r) + 2r + a[(ch(2r) - 1)/(2r) + r ] ai

■ = Js 2 +12

(2)

a=

ao

ного полупространства. При этом учтем поведение функции (2) в нуле (стремится к нулю) и в бесконечности (убывает как a/r). Отметим, что для однородного слоя (о=0) имеется экспоненциальное убывание символа в бесконечности.

Используя подход, развитый в [2], представим символ ядра (2) в виде

L(r) _ 1 - exp(-2r)

+M (r),

M (r) =

L(r) -1 + exp(-2r)

(3)

При использовании (3), интеграла из [2]

1 » » exp (—au) , ч , w , — J J —i-cos( sx)cos( ty )dsdt =

—ГГЛ—ГГЛ u

1

■Ja 2 + x2 + y 2

и формулы из [2]

Пусть неизвестная область контакта О под штампом, для которого точка первоначального касания совмещена с началом координат, заключена в квадрате £={|х|<й, |у|<£}. Используя периодичность и фундаментальное решение [1], сведем задачу А к следующему интегральному уравнению относительного контактного давления q(х,y) в области О:

Я д(5, л)К(х, у, 5, = 8-(х2 + у2)/(2Я)

О

((х, у) еО), К (х, у, 5, л) = - 1

~ „ 5 + 2км-х

2 ^---) =

к=-ге п

= 2лС0Б( 52 8(2м - 2лк)

п к =-ге п

представим ядро уравнения (1) в виде двух слагаемых по аналогии с [2].

Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем):

х- = х, у' = у, 8' =8, А = Ь, Х = п, ц = мм > 1, (4) Ь Ь Ь 2Я Ь Ь

д\х\у') = Ч(ху) , Р =—, О^О' и т.д. 2л0о 2л00Ь2

В обозначениях (4) при учете (3) интегральное уравнение (1) примет вид

я д (5, л)[К (х, у, 5, л) + К2( х, у, 5, =

О

= 8-А(х2 + у2), (х,у)еО,

К1( х, у, 5, л) =

~ 1 1 =во + 2 сек + е-к), вк =—-к=1

(5)

Rk ^4Х2 +

Параметр m характеризует полупериод контакта [2]. При a=0 уравнение (1) совпадает с соответствующим уравнением для однородного слоя [2].

Для задачи Б функция L(r) обладает таким же асимптотическим поведением в нуле и бесконечности, как функция (2), и здесь не приводится.

Для решения контактной задачи используем метод Галанова [3], позволяющий одновременно определить область контакта и давления в ней. Из ядра уравнения (1) важно выделить главную часть, соответствующую контактной задаче для однород-

1 х л - V

K2(X,y,Л) = - JM(t)cos( t)dt +

Ц 0 ^

2 „ ,,, , л -yw %k(£- x) + - Z JM(rk(t))cos( t——— )dtcos—^--,

H- k=1o ^ H-

Rk =^1 £ + 2V-x)2 + (л-y)2,

rk (t) =

n2k\2 2 —-—+12.

Член Qo содержит главную часть ядра интегрального уравнения (5).

В таблице для задачи А при разных значениях безразмерных параметров a, X и ц, которые харак-

r

r

да да

X

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

теризуют соответственно неоднородность материала слоя, его относительную толщину и полупериод системы штампов, даны значения интегральной характеристики контактного давления - вдавливающей силы Р. При этом прямоугольник 5" покрывали сеткой из 9x9 узлов и полагали Л =8=1. Как видно из таблицы, при а>0, когда коэффици-

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

ент Пуассона и модуль Юнга возрастают по глубине от поверхности контакта, контактные давления больше, чем при а<0, когда коэффициент Пуассона и модуль Юнга убывают по глубине от поверхности контакта. С увеличением X (толщины слоя) контактные давления снижаются, что связано с отдалением скользящей заделки.

Значения силы P в контактной задаче A

a

1/3 0 -1/3

X=5 X=10 X=5 X=10 X=5 X=10

5 0,354 0,325 0,339 0,315 0,301 0,286

10 0,352 0,327 0,338 0,319 0,313 0,300

Взаимовлияние штампов проявляется больше при а<0, чем при а>0, что вызвано снижением модуля Юнга в глубину от области контакта.

Литература

1. Бородачев А.Н. Упругое равновесие неоднородного по толщине слоя // Прикладная механика. 1988. Т. 24, № 8. С. 30-35.

2. Александров ЯМДвоякопериодические контактные задачи для упругого слоя // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 307-315.

3. Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта // ПММ. 1985. Т. 49, вып. 5. С. 827-835.

Поступила в редакцию /Received

References

1. Borodachev A.N. Uprugoe ravnovesie neodnorod-nogo po tolshchine sloya [Elastic equilibrium in-homogeneous across the thickness of the layer]. Priklad-naya mekhanika. 1988, vol. 24, No. 8, pp. 30-35.

2. Aleksandrov V.M. Dvoyakoperiodicheskie kon-taktnye zadachi dlya uprugogo sloya [Doubly periodic contact problems for an elastic layer]. PMM. 2002, vol. 66, iss. 2, pp. 307-315.

3. Galanov B.A. Metod granichnykh uravnenii tipa Gammershteina dlya kontaktnykh zadach teorii uprugosti v sluchae neizvestnykh oblastei kontakta [The method of boundary equations of Hammerstein type for contact problems of elasticity theory in the case of unknown contact areas]. PMM. 1985, vol. 49, iss. 5, pp. 827-835.

4 февраля 2019 г. /February 4, 2019